Chuyên Đề Tỉ Số Thể Tích Khối Đa Diện Hình 12 Có Đáp Án Và Lời Giải Chi Tiết

www thuvienhoclieu com www thuvienhoclieu com CHUYÊN ĐỀ TỈ SỐ THỂ TÍCH GIẢI NHANH CÁC CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM THI TỐT NGHIỆP THPT A CÁC CÔNG THỨC GIẢI NHANH TỈ SỐ THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN 1 Tỉ số thể tích khối chóp tam giác Cho khối chóp tam giác Mặt phẳng cắt các đường thẳng lần lượt tại Khi đó ta có Ví dụ 1 Cho khối chóp có đáy là tam giác đều cạnh , và vuông góc với đáy Gọi , lần lượt là hình chiếu vuông góc của lên các đường thẳng và Tính tỉ số thể tích Lời giải Ta có Tương tự 2 Tỉ số thể tích khối[.]

CHUYÊN Đ T S TH TÍCH Ề TỈ SỐ THỂ TÍCH Ỉ SỐ THỂ TÍCH Ố THỂ TÍCH Ể TÍCH

GI I NHANH CÁC CÂU H I TR C NGHI M THI T T NGHI P THPT ẢI NHANH CÁC CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM THI TỐT NGHIỆP THPT ỎI TRẮC NGHIỆM THI TỐT NGHIỆP THPT ẮC NGHIỆM THI TỐT NGHIỆP THPT ỆM THI TỐT NGHIỆP THPT Ố THỂ TÍCH ỆM THI TỐT NGHIỆP THPT

A CÁC CÔNG TH C GI I NHANH T S TH TÍCH KH I ĐA DI N ỨC GIẢI NHANH TỈ SỐ THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN ẢI NHANH CÁC CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM THI TỐT NGHIỆP THPT Ỉ SỐ THỂ TÍCH Ố THỂ TÍCH Ể TÍCH Ố THỂ TÍCH ỆM THI TỐT NGHIỆP THPT

1 T s th tích kh i chóp tam giác ỉ số thể tích khối chóp tam giác ố thể tích khối chóp tam giác ể tích khối chóp tam giác ố thể tích khối chóp tam giác

Cho kh i chóp tam giác ối chóp tam giác S ABC M t ph ng . ặt phẳng ẳng  P c t các đ ng th ng ắt các đường thẳng ường thẳng ẳng SA SB SC l n l t t i, , ần lượt tại ượt tại ại

', ', '

A B C Khi đó ta có

' ' '

.

S A B C

S ABC

Ví d 1 ụ 1 Cho kh i chóp ối chóp tam giác S ABC có đáy ABC là tam giác đ u c nh. ều cạnh ại a, SA2a và SA vuông góc

Tính t s ỉ số ối chóp tam giác th tích ể tích

.

.

A BCNM

S ABC

V

L i gi i ời giải ải

S

A

B

C M

N

Ta có

2

5

Tương tự ng t ự

4 5

SN

SC 

2

.

4

5

S AMN

S ABC

.

.

9 25

A BCNM

S ABC

V V

2 T s th tích kh i chóp có đáy là hình bình hành ỉ số thể tích khối chóp tam giác ố thể tích khối chóp tam giác ể tích khối chóp tam giác ố thể tích khối chóp tam giác

a) ' ' ' ' 2. '

Ta có

' ' ' '

S A B C D

S ABCD

  



Ví d 2 ụ 1. Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành G iọi M là trung đi m ể tích SB ,

đi m ể tích P thu c c nh ộc cạnh ại SD sao cho SP2PD M t ph ng ặt phẳng ẳng AMP c t  ắt các đường thẳng SC t i ại N Tính t sỷ số ối chóp tam giác

.

.

S AMNP

S ABCD

V

L i gi i ời giải ải

I

O

S

N

Ta có

V y ậy

.

.

5 3

2 2

4.1.2

2 2

S AMNP

S ABCD

V

V

Ví d 3 ụ 1. Cho kh i chóp ối chóp tam giác S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành M t ph ng . ặt phẳng ẳng  P ch a c nhứa cạnh ại

Tính t s ỷ số ối chóp tam giác

SM k

SC



L i gi i ời giải ải

A D

S

N M

 

//

AB CD







Ta có

1

k

1 1

4

SABMN

SABCD

V

k

2

1 0

Ví d 4 ụ 1. Cho hình chóp S ABCD có th tích b ng ể tích ằng nhau V , đáy ABCD là hình vuông; SAABCD và

SC h p v i đáy m t góc b ng ợt tại ới đáy Gọi ộc cạnh ằng nhau 30 M t ph ng ặt phẳng ẳng  P đi qua A và vuông góc v i ới đáy Gọi SC , c t các c nhắt các đường thẳng ại

SB SC SD l n l t t i ần lượt tại ượt tại ại E F K Tính th tích kh i chóp , , ể tích ối chóp tam giác S AEFK .

L i gi i ời giải ải

O

S

F

E

K

Mà

2

5

2

SF  SE SK   SE SK 

.

4.1.4

2 2

S AEFK

S ABCD

V

Ví d 5 ụ 1. Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành; đi m ể tích I n m trên ằng nhau SC sao cho

2

IS  IC M t ph ng ặt phẳng ẳng  P ch a c nhứa cạnh ại AI c t c nh ắt các đường thẳng ại SB SD l n l t t i, ần lượt tại ượt tại ại M N G i , ọi V V l n l t', ần lượt tại ượt tại

là th tích kh i chóp ể tích ối chóp tam giác S AMIN và . S ABCD Tính giá tr nh nh t c a t s th tích ị nhỏ nhất của tỉ số thể tích ỏ nhất của tỉ số thể tích ất của tỉ số thể tích ủa ỉ số ối chóp tam giác ể tích

'

V

V

L i gi i ời giải ải

O

S

I

1

Ta có

2

3 1

x y

V

  



  D u b ng x y ra khi ất của tỉ số thể tích ằng nhau ảy ra khi

5 4

x y 

Ví d 6 ụ 1 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O M t ph ng ặt phẳng ẳng   thay

P Tính giá tr l n nh t và ị nhỏ nhất của tỉ số thể tích ới đáy Gọi ất của tỉ số thể tích giá tr nh nh tị nhỏ nhất của tỉ số thể tích ỏ nhất của tỉ số thể tích ất của tỉ số thể tích của a t s ỷ số ối chóp tam giác

.

.

S BMPN

S ABCD

V

L i gi i ời giải ải

O

S

P

SD

x y

.

S BMPN

S ABCD

V

2

3 4

  2

2 4 2

3 4

x





V y ậy

.

.

S BMPN

S ABCD

V

1 2 ,

6 9

3 T s th tích kh i lăng tr tam giác ỉ số thể tích khối chóp tam giác ố thể tích khối chóp tam giác ể tích khối chóp tam giác ố thể tích khối chóp tam giác ụ 1.

A B C MNP

A B C ABC

V

  

  

 



Đ c bi t ặc biệt ệt : 1 1 1 1 1 1

,



Ví d 7 ụ 1 Cho kh i lăng tr ối chóp tam giác ụ ABC A B C.   , có , ,M N P l n l t thu c các c nh ần lượt tại ượt tại ộc cạnh ại AA BB CC, ,  sao cho AM MA BN, 3NB CP, 3PC Đ t ặt phẳng V là th tích c a kh i đa di n1 ể tích ủa ối chóp tam giác ện ABCMNP , V là th 2 ể tích tích c a kh i đa di n còn l i Tính t s ủa ối chóp tam giác ện ại ỉ số ối chóp tam giác

1

2

V

V

L i gi i ời giải ải

B'

B

C A

N

P M

Ta có

Đặt V V ABC A B C.    Suy ra

2

1 3 3

Ví d 8 ụ 1 Cho kh i lăng tr ối chóp tam giác ụ ABC A B C.    có th tích b ng ể tích ằng nhau V , các đi m ể tích M N P l n l t thu c các , , ần lượt tại ượt tại ộc cạnh

di n ện ABC MNP , tính giá tr c a . ị nhỏ nhất của tỉ số thể tích ủa x đ ể tích

5

V

L i gi i ời giải ải

B'

B

C A

N

P M

Ta có

Suy ra

1

2 3

x

x



Ví d 9 ụ 1. Cho kh i lăng tr ối chóp tam giác ụ ABC A B C.    có th tích b ng ể tích ằng nhau 60cm , các đi m 3 ể tích M N P l n l t , , ần lượt tại ượt tại

L i gi i ời giải ải

B'

B

C A

N

P M

Ta có

Nên ' ' '

2 3 4

ABCMNP

ABCMNP ABCA B C

V

V V

BCMNP

Nh n xét ận xét Các bài toán d ng này sẽ xu t hi n nhi u kh i không ph i là các kh i có công th c ại ất của tỉ số thể tích ện ều cạnh ối chóp tam giác ảy ra khi ối chóp tam giác ứa cạnh

công th c tính, nay ta có ngay m t k t qu r t nhanh và chính xác ứa cạnh ộc cạnh ếu vuông góc của ảy ra khi ất của tỉ số thể tích

Ví d 10 ụ 1. Cho lăng tr ụ ABC A B C có , ' ' ' ' G G l n l t là tr ng tâm c aần lượt tại ượt tại ọi ủa các tam giác ABC và

' '

A B C M t ph ng ặt phẳng ẳng   c t ắt các đường thẳng AA BB CC GG l n l t t i ', ', ', ' ần lượt tại ượt tại ại M N P I , , ,

Ch ng minh ứng minh

I

B'

B

C A

G'

G

M

N

P

Đ t ặt phẳng

AM

; V ABC A B C ' ' '  V

D th y ễ thấy ất của tỉ số thể tích AGB A G B ' ' ' CGB C G B ' ' ' AGC A G C ' ' ' 3

V

AGB A G B

AGBMIN

V

V

 



;

C ng v v i v c 3 đ ng th c trên ta độc cạnh ếu vuông góc của ới đáy Gọi ếu vuông góc của ảy ra khi ẳng ứa cạnh ượt tạic

2 3

t V

 

Mà

3

3

3

ABCMNBP

x y z V

 

x y z

Ta đượt tạic đi u ph i ch ng minh.ều cạnh ảy ra khi ứa cạnh

T k t qu trên ta có ừ đó ếu vuông góc của ảy ra khi ' ' '

'

ABCMNBP ABC A B C

Nh n xét ận xét D a vào k t qu trên ta th y r ng ch c n bi t ự ếu vuông góc của ảy ra khi ất của tỉ số thể tích ẳng ỉ số ần lượt tại ếu vuông góc của   c t ắt các đường thẳng GG t i v trí đi m ' ại ị nhỏ nhất của tỉ số thể tích ể tích I xác

đ nh là ta đã bi t ị nhỏ nhất của tỉ số thể tích ếu vuông góc của   chia lăng tr thành hai ph n v i t s bao nhiêu r i.ụ ần lượt tại ới đáy Gọi ỉ số ối chóp tam giác ồi

4 Tính ch t ất 4: T s th tích kh i h p ỉ số thể tích khối chóp tam giác ố thể tích khối chóp tam giác ể tích khối chóp tam giác ố thể tích khối chóp tam giác ộp

Cho hình h pộc cạnh ABCD A B C D M t ph ng ' ' ' ' ặt phẳng ẳng   c t các c nhắt các đường thẳng ại AA BB CC DD l n l t t i', ', ', ' ần lượt tại ượt tại ại

, , ,

DD

ABCDMNQP

ABCD A B C D

V

Ch ng minh ứng minh

I O

O' A

A'

D

D'

C'

C

B

B'

N

Q M

P

a D th y t giácễ thấy ất của tỉ số thể tích ứa cạnh MNPQ là hình bình hành G i ọi ,I O l n l t là tâm c a hình bình hành ần lượt tại ượt tại ủa MNPQ

AM CP

BN DQ

b Áp d ng ụ Tính ch t 3 ất ta có

2

BCDNPQ ABCD A B C D

V

 



Do đó,

' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' 6 6 6

2

x y z t

  

   

  

Chú ý : ' ' ' '

ABCDMNQP

ABCD A B C D

  

Nh n xét ận xét M t k t qu tộc cạnh ếu vuông góc của ảy ra khi ương tự ng t nh ự ư Tính ch t ất 3 lăng tr là t ng ba t s chia ba, còn hình Ở lăng trụ là tổng ba tỉ số chia ba, còn hình ụ ổi luôn đi qua ỉ số ối chóp tam giác

h p là chia b n ộc cạnh ối chóp tam giác

Và cũng ch c n bi tỉ số ần lượt tại ếu vuông góc của   c t đo n th ng n i hai tâm đáy đâu là ta đã tìm đắt các đường thẳng ại ẳng ối chóp tam giác ở đâu là ta đã tìm được tỷ số hai khối ượt tại ỷ số ối chóp tam giác c t s hai kh iối chóp tam giác

t o thành do ại   c t hình h p Tuy nhiên, ắt các đường thẳng ộc cạnh Tính ch t ất 4 cũng kh ng đ nh ch c n bi t hai t s ẳng ị nhỏ nhất của tỉ số thể tích ỉ số ần lượt tại ếu vuông góc của ỉ số ối chóp tam giác ở đâu là ta đã tìm được tỷ số hai khối hai c nh bên đ i di n c a hình h p màại ối chóp tam giác ện ủa ộc cạnh   c t là ta cũng tìm đắt các đường thẳng ượt tại ỉ số ối chóp tam giác ể tích c t s th tích các kh i.ối chóp tam giác

Ví d 11 ụ 1 Cho kh i h p ch nh t ối chóp tam giác ộc cạnh ữ nhật ậy ABCD A B C D.     có th tích b ng ể tích ằng nhau 2110 Bi t ếu vuông góc của A M MA; 3

th tích kh i đa di n nh h nể tích ối chóp tam giác ện ỏ nhất của tỉ số thể tích ơng tự

L i gi i ời giải ải

O

O' A

A'

D

D'

C'

C B

B'

M

N

P Q

MNP c t  ắt các đường thẳng BB’ t i ại Q T gi i thi t ta có ừ đó ảy ra khi ếu vuông góc của

;

1 2

V y ậy ' ' ' '

7385 5275 2110

A B C D MNPQ

Ví d 12 ụ 1 Cho hình l p phậy ương tự ng ABCD A B C D.     có N là trung đi m ể tích CC M t ph ng . ặt phẳng ẳng   đi

qua AN , c t các c nh ắt các đường thẳng ại BB DD l n l t t i ', ần lượt tại ượt tại ại M P ; ,   chia kh i l p phối chóp tam giác ậy ương tự ng thành hai ph n có ần lượt tại

th tích tể tích ương tự ng ng b ng ứa cạnh ằng nhau V và 1 V V2  1V2 Tính t s ỉ số ối chóp tam giác

2

1

V

V

L i gi i ời giải ải

M

I O

O' A

A'

D

D'

C'

C

B

B'

N P

T gi i thi t ta có ừ đó ảy ra khi ếu vuông góc của ' ' ' '

1

ABCDPNM ABCD A B C D

V

Nên

2

1

3 3

ABCDPNM AMNPA B C D

B CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM

Câu 1: Cho kh i chóp ối chóp tam giác S ABCD đáy ABCD là hình vuông c nh . ại a ; SA a v à A S AB C D

G i ọi B D l n l t là trung đi m ', ' ần lượt tại ượt tại ể tích SB SD M t ph ng , ặt phẳng ẳng AB D c t ' ' ắt các đường thẳng SC t i ại C Đ t' ặt phẳng

' ' '

.

S AB C D

S ABCD

V k

V



, giá tr c a ị nhỏ nhất của tỉ số thể tích ủa k b ngằng nhau

A

1

1

1

1 6

Câu 2: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành; , M N l n l t là trung đi mần lượt tại ượt tại ể tích

T s ỷ số ối chóp tam giác

1

2

V

V b ngằng nhau

A

3

2

1

3 4

Câu 3: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, M là trung đi m c a c nhể tích ủa ại

SC M t ph ng ặt phẳng ẳng  P ch a ứa cạnh AM và song song v i ới đáy Gọi BD l n lần lượt tại ượt tại ắt các đường thẳng t c t các c nh bên ại SB và

SD t i ại N và Q T s ỷ số ối chóp tam giác

.

.

S ANMO

S ABCD

V

A

1

1

2

1 4

Câu 4: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành Đi m ể tích I n m trên c nh ằng nhau ại SC

N G i ọi V và V l n l t là th tích c a kh i chóp ' ần lượt tại ượt tại ể tích ủa ối chóp tam giác S AMIN và . S ABCD Giá tr nhị nhỏ nhất của tỉ số thể tích ỏ nhất của tỉ số thể tích

nh t c a t s ất của tỉ số thể tích ủa ỷ số ối chóp tam giác

'

V

V b ngằng nhau

Câu 5: Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, đi m ể tích M thu c c nh ộc cạnh ại SA ,

,

MN , c t các c nh ắt các đường thẳng ại SB và SC l n l t t i ần lượt tại ượt tại ại Q và P Bi t th tích c a kh i chópếu vuông góc của ể tích ủa ối chóp tam giác

S ABCD b ng ằng nhau V , khi đó giá tr l n nh t c a th tích kh i chóp ị nhỏ nhất của tỉ số thể tích ới đáy Gọi ất của tỉ số thể tích ủa ể tích ối chóp tam giác S MNPQ b ng. ằng nhau

A 4.

V

B

2 5

V

C

3 8

V

D 3.

V

Câu 6: Cho kh i chóp ối chóp tam giác S ABC có G là tr ng tâm tam giác . ọi SBC Đ ng th ng ường thẳng ẳng d đi qua G , c tắt các đường thẳng

các c nh ại SB SC l n l t t i , ần lượt tại ượt tại ại M và N G i ọi V V l n l t là th tích c a các kh i chóp1, ần lượt tại ượt tại ể tích ủa ối chóp tam giác

S AMN và S ABC T ng giá tr l n nh t và giá tr nh nh t c a t s ổi luôn đi qua ị nhỏ nhất của tỉ số thể tích ới đáy Gọi ất của tỉ số thể tích ị nhỏ nhất của tỉ số thể tích ỏ nhất của tỉ số thể tích ất của tỉ số thể tích ủa ỷ số ối chóp tam giác

1

V

V b ngằng nhau

A

17

21

37

10 9

Câu 7: Cho chóp S ABC Trên các c nh ại SA SB SC l n l t l y các đi m , , ần lượt tại ượt tại ất của tỉ số thể tích ể tích A B C , ,  G i ọi G là

A

3

'

SG

'

SG

2 '

SG

SG SG

Câu 8: Cho kh i lăng tr ối chóp tam giác ụ ABC A B C.    G i ọi M N l n l t là trung đi m c a hai c nh , ần lượt tại ượt tại ể tích ủa ại AA và

c a kh i chóp ủa ối chóp tam giác C MNB A và '. ' ' V là th tích c a kh i đa di n 2 ể tích ủa ối chóp tam giác ện ABC MNC T s . ' ỷ số ối chóp tam giác

1

2

V V

b ngằng nhau

A

2

1

3 2

Câu 9: Cho kh i lăng tr ối chóp tam giác ụ ABC A B C.    có th tích b ng ể tích ằng nhau V Các đi m ể tích M N P l n l t thu c, , ần lượt tại ượt tại ộc cạnh

,

ABC MNP b ngằng nhau

A

2

9

20

11

Câu 10: Cho kh i lăng tr đ u ối chóp tam giác ụ ều cạnh ABC A B C.    G i ọi I là trung đi m c a ể tích ủa AA' M t ph ng ặt phẳng ẳng IB C' 

chia kh i lăng tr thành hai ph nối chóp tam giác ụ ần lượt tại : ph n ch a đ nh ần lượt tại ứa cạnh ỉ số A B có th tích b ng , ể tích ằng nhau V và ph n1 ần lượt tại còn l i có th tích b ng ại ể tích ằng nhau V T s 2 ỉ số ối chóp tam giác

1

2

V

V b ngằng nhau

2

1

1 2

Câu 11: Cho hình h p ộc cạnh ABCD A B C D.     Trên các c nh ại AA BB CC, ,  l n l t l y ba đi mần lượt tại ượt tại ất của tỉ số thể tích ể tích

, ,

M N P sao cho

t iại Q T s ỉ số ối chóp tam giác

' '

D Q

DD b ngằng nhau

A 1.

3

Câu 12: Cho hình h p ch nh t ộc cạnh ữ nhật ậy ABCD A B C D     Trên các c nh ại AA BB CC, ,  l n lần lượt tại ượt tại ất của tỉ số thể tích t l y ba

'

DD t i đi mại ể tích T T s th tích c a kh i ỉ số ối chóp tam giác ể tích ủa ối chóp tam giác XYZT ABCD và kh i ối chóp tam giác XYZT A B C D     b ngằng nhau

A 7

24

Câu 13: Cho hình l p phậy ương tự ng ABCD A B C D.     có c nh b ng ại ằng nhau a M t ph ng ặt phẳng ẳng   c t các c nhắt các đường thẳng ại

AA BB CC   và DD l n lần lượt tại ượt tại ạit t i M N P Q Bi t , , , ếu vuông góc của

,

kh i đa di n ối chóp tam giác ện ABCD MNPQ b ng. ằng nhau

A

3 11

3 3

a

3 2 3

a

3 11

Câu 14: Cho kh i l p phối chóp tam giác ậy ương tự ng ABCD A B C D.     M t ph ng ặt phẳng ẳng   đi qua A c t các c nhắt các đường thẳng ại

BB CC DD   l n l t t i ần lượt tại ượt tại ại M N P sao cho ph n th tích c a kh i đa di n ch a đ nh, , ần lượt tại ể tích ủa ối chóp tam giác ện ứa cạnh ỉ số

B b ng m t n a th tích c a kh i đa di n còn l i T s ằng nhau ộc cạnh ửa thể tích của khối đa diện còn lại Tỉ số ể tích ủa ối chóp tam giác ện ại ỉ số ối chóp tam giác

CN CC b ngằng nhau

A

3

1

2

3 2

B NG ĐÁP ÁN ẢI NHANH CÁC CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM THI TỐT NGHIỆP THPT