Chuyên đｚ Hình hがc không gian Trang | 1 Bài 1 Cho hình chóp S ABC có ABC là tam giác đ忝u c徊nh a Hai m忖t ph徭ng ( ), ( )SAC SAB cùng vuông góc v怏i đáy và góc t徊o b恚i SC và đáy b徨ng 060 Tính kho很ng cách t恍 A t怏i m忖t ph徭ng ( )SBC theo a GiМi Do ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) SAC ABC SAB ABC SA ABC SAC SAB SA Suy ra góc t徊o b恚i SC và m忖t đáy là 030SCA tan 3SA AC SCA a G怐i ,I H l徇n l恊恪t là hình chi忱u vuông góc c恟a A trên ,BC SI ┸ khi đó┺ ( ) ( ) [.]
Trang 1- Trang | 1 -
Bài 1 Cho hình chóp S ABC có ABC là tam giác đ u c nh a Hai m t ph ng (SAC), (SAB) cùng
vuông góc v i đáy và góc t o b i SC và đáy b ng 0
60 Tính kho ng cách t A t i m t ph ng (SBC) theo a
Gi i
Do
Suy ra góc t o b i SC và m t đáy là
0
30
SCA SA ACtanSCA a 3
G i I H, l n l t là hình chi u vuông góc
c a A trên BC SI, khi đó
M t khác: AH SI nên suy ra AH (SBC)
Do đó d A SBC( , ( ))AH Tam giác ABCđ u c nh a nên 3
2
a
AI
Khi đó xét tam giác SAI: 1 2 12 12 12 42 52
5
a AH
5
a
Bài 2 Cho hình chóp S ABCD có ABCD hình thang vuông t i A và D Bi t ADDCa AB, 2a;
SA vuông góc v i đáy và góc t o b i SC và m t ph ng (SAD) b ng 0
30 Tính kho ng cách t A đ n
m t ph ng (SBC)
Gi i
Ta có: SA (ABCD) SA CD CD (SAD)
Suy ra SD là hình chi u vuông góc c a SC trên m t ph ng (SAD)
Do đó góc t o b i SD và m t ph ng (SAD) là CSD300
sin 30 sin
CSD
G i K là trung đi m c a AB khi đó
KHO NG CÁCH T ĐI M T I M T
ĐÁP ÁN BÀI T P T LUY N
I
H
C
B A
S
H
K
B A
S
Trang 2
Chuyên đ : Hình h c không gian
- Trang | 2 -
ADCK là hình vuông nên:
2
AC
CK a Suy ra tam giác ACB vuông t i C hay ACCB
M t khác SACBCB(SAC)
G i H là hình chi u vuông góc c a A trên SC
CB AH AH (SBC) d A SBC( , ( )) AH
AC AD DC a SA SC AC a a a
Xét tam giác SAC : 1 2 12 12 12 12 12
AH SA AC a a a V y d A SBC( , ( ))a
Nh n xét: ví d 2 do ACBC, nên vi c d ng hình chi u c a A trên m t ph ng (SBC) ch là công
Bài 3.(A, A1 2004) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông c nh a , 3
2
a
SD , hình chi u vuông góc c a S trên m t ph ng ABCD là trung đi m c a c nh AB Tính theo a kho ng cách
t A đ n m t ph ng (SBD)
Gi i:
G i H là trung đi m c a ABSH (ABCD)
( , ( ))
( , ( )) 2 ( , ( ))
K HMDB (MDB) và HKMS (KSM)
Mà HKSM do đó
HK SBD d H SBD HK (2)
.sin sin 45
Xét tam giác SHM: 1 2 12 1 2 12 82 92
3
a HK
HK SH HM a a a (3)
T (1), (2) và (3) suy ra: ( , ( )) 2
3
a
Bài 4 Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình ch nh t, AB a , SA BC 2a Bi t hai m t ph ng
(SAC) và (SBD) cùng vuông góc v i m t đáy Tính theo a kho ng cách t A đ n m t ph ng (SBC)
Gi i :
G i AC BD H
M K
H
D
C B
A
S
Trang 3- Trang | 3 -
Ta có:
Ta có
Xét tam giác SAH ta có :
2
4
SH SA AH a
( , ( ))
K HI BC (IBC), suy ra BC HI BC (SHI)
AB a
HI
K HKSI (K ), suy ra SI HK BC HK (SBC) d H SBC( , ( )) HK
Xét tam giác SHI , ta có: 1 2 12 12 42 42 482 33
a HK
HK SH HI a a a (3)
T và ta đ c: ( , ( )) 33
6
a
d A SBC
Bài 5 (B 2013). Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình vuông c nh a , m t bên SAB là tam giác
đ u và n m trong m t ph ng vuông góc v i đáy Tính theo a kho ng cách t A đ n m t ph ng
(SCD)
Gi i :
G i H là trung đi m c a ABSHAB và 3
2
a
SH
Ta có
Có AH/ /CDAH/ /(SCD)d A SCD( , ( ))d H SCD( , ( ))
K HI CD ( ICD) , suy ra CD(SHI)
K HKSI (KSI), suy ra HK CD HK (SCD)
Khi đó d A SCD( , ( ))d H SCD( , ( ))HK
Ta có HI AD Xét tam giác SHI ta có: a 1 2 12 12 42 12 72 21
a HK
HK SH HI a a a
V y ( , ( )) 21
7
a
Bài 6 Cho hình h p đ ng ABCD A B C D có đáy là hình vuông tam giác A AC vuông cân, A C = a Tính
theo a kho ng cách t đi m A đ n m t ph ng (BCD )
Gi i:
S
I
K
H
B A
I
K S
H
D
C B
A
Trang 4
Chuyên đ : Hình h c không gian
- Trang | 4 -
Do tam giác A AC vuông cân, suy ra ' '
K AH A B' (HA B' ) (1)
Do CB(ABB A' ')CBAH (2)
T (1) và (2) suy ra AH (BCD A' ')
d A BCD( , ( '))d A BCD A( , ( ' ')) AH
Ta có ABCD là hình vuông nên
2 2
Xét tam giác ABA' ta có:
a AK
AH AA AB a a a V y ( , ( ')) 6
6
a
Bài 7 Cho hình lăng tr tam giác ABC A B C ' ' ' có đáy ABC là tam giác vuông t i A và
ABa BC a Bi t hình chi u c a B' lên m t ph ng (ABC) trùng v i tâm c a đ ng tròn ngo i
ti p tam giác ABC và góc gi a đ ng th ng CC và m t ph ng ' ( ' 'A B C') b ng 0
60 Tính theo a kho ng cách t đi m B t i m t ph ng ( 'B AC)
Gi i:
G i H là trung đi m c a BC
Do tam giác ABC vuông t i A nên H là tâm c a đ ng tròn ngo i ti p tam giác ABC
( , ( ' ))
K HI AC ( IAC), suy ra AC ( 'B HI)
K HKB I' (KB I' ), suy ra:
'
HK B I
Do '/ / '
( ' ' ') / /( )
0
(BB', (ABC)) (CC', ( ' 'A B C')) 60
B HBH B BHa a
Ta có HI/ /BA (vì cùng vuông góc v i AC ), suy ra
AB a
a HK
HK SH HI a a a (3)
T (1); (2) và (3), suy ra ( , ( ' )) 2 39
13
a
Bài 8 Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình thoi c nh a , c nh bên SA vuông góc v i đáy
0
120
BAD , M là trung đi m c a c nh BC và 0
45 SMA Tính theo a kho ng cách t B đ n m t
ph ng (SDC)
Gi i:
Do AB// DC AB//(SDC)
d B SDC( , ( ))d A SDC( , ( )) (1)
C' B'
A'
I
K
B
A
H D'
C'
B' A'
B A
Trang 5- Trang | 5 -
K ANDC ( NDC)
Do ABCD là hình thoi c nh a và 0
120 BAD nên ABC ADC, đ u là các tam giác đ u c nh a
2
a
AM AN
G i H là hình chi u vuông góc c a A trên SN khi đó
CD AN CD (SAN) CD AH
mà AH SNAH(SCD)d A SCD( , ( )) AH (2)
Xét tam giác SAN ta có:
a AH
AH AS AN a a a (3) T (1); (2) và (3), suy ra
6
4
a
Bài 9 Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là hình chóp đ u c nh a G i M là trung đi m c a c nh
AB, hình chi u vuông góc c a S trùng v i tr ng tâm c a tam giác MBC , bi t 2
3
a
SC Tính theo a kho ng cách t C đ n m t ph ng (SAB)
Gi i :
G i H là tr ng tâm tam giác MBC , suy ra SH(ABC)
G i CH BM I CH (SAB) I
Suy ra ( , ( )) 3 ( , ( )) 3 ( , ( ))
( , ( ))
K HDAB (DAB)AB(SHD)
K HKSD (KSD), suy ra :
HK AB HK (SAB) d H SAB( , ( )) HK
Tam giác ABC đ u c nh a nên 3
2
a
CM
a
Xét tam giác SHD , ta có: 1 2 12 1 2 122 122 242 6
12
a HK
HK SH HD a a a (3)
S
I K
M
H D
C B
A
N
M
S
H
B A
Trang 6
Chuyên đ : Hình h c không gian
- Trang | 6 -
T và ta đ c: ( , ( )) 6
4
a
Bài 10 Cho hình chóp S ABC có BAC1200, BCa 3,
2
a
SA G i M là trung đi m c a BC và
BC vuông góc v i m t ph ng (SAM) Bi t góc t o b i SM và m t ph ng (ABC) b ng 0
60 Tính theo
a kho ng cách t đi m B t i m t ph ng (SAC)
Gi i:
Do BC(SAM), suy ra góc t o b i SM và m t ph ng (ABC) là 0
60 SMA (1)
BC a
MC và AMBC, suy ra tam giác ABC cân t i ACAM 600
0
3
T (1) và (2) suy ra tam giác SAM đ u
Khi đó g i H là trung đi m c a AMSHAM
mà SH BC (do BC(SAM))SH (ABC)SH AC
K HI AC ( IAC)AC(SHI)
D ng HKSI (K ) SI HK(SAC)d H SAC( , ( ))HK
Ta có SAM là tam giác đ u c nh 3
SH
sin sin 60
Suy ra 1 2 12 12 162 642 802 15
a HK
20
a
d H SAC (*)
( , ( ))
( , ( ))
T (*); (2*) và (3*), suy ra ( , ( )) 4 ( ) 15
5 , ( )
d B SAC d H SAC a
Bài 11 Cho hình h p ABCD A B C D có ABCD là hình vuông c nh a Hình chi u vuông góc c a ' ' ' ' '
A xu ng m t đáy (ABCD) là trung đi m M c a AB và góc t o b i đ ng th ng AA' và m t
ph ng (ABCD) b ng 0
60 Tính kho ng cách t B đ n m t ph ng (AA C' ) theo a
Gi i:
MA là hình chi u vuông góc c a AA' trên m t ph ng(ABCD)
Nên ta có A AM' 600 là góc t o b i AA' và m t ph ng
(ABCD) Suy ra A AB ' là tam giác đ u c nh
' 3
2
a
AB a A M
M
K I
S
C
B
A H
Trang 7- Trang | 7 -
( , ( ' ))
d B A AC( , ( ' ))2 (d M A AC, ( ' )) (1)
K MI AC ( IAC)
MI v i BD AC O
M t khác ACA M' AC( 'A MI) G i H là hình chi u vuông góc c a M trên A I'
'
Xét tam giác A MI' : 1 2 1 2 12 42 82 282 21
a MH
MH MA MI a a a
(3)
T (1); (2) và (3), suy ra: ( , ( ' )) 21
7
a
Bài 12 Cho hình lăng tr ABC A B C ' ' ' có đáy ABC là tam giác đ u c nh a Hình chi u vuông góc
c a A' trên m t ph ng (ABC) là trung đi m c a AB Góc t o b i A C và m t ph' ng đáy (ABC)
b ng 0
60 Tính theo a kho ng cách t trung đi m M c a BC đ n m t ph ng (ACC A' ')
Gi i:
G i H là trung đi m c a ABA H' (ABC), suy ra
góc t o b i A C và m t ph' ng đáy (ABC) là 0
A CH
Do HM là đ ng trung bình trong tam giác ABC
MH// ACMH//(ACC A' ')
d M ACC A( , ( ' '))d H ACC A( , ( ' ')) (*)
D ng HI AC (IAC) và k HKA I' (1)
'
T (1) và (2) suy ra HK(ACC A' ')
d H ACC A( , ( ' '))HK (2*)
Do ABC là tam giác đ u c nh a nên 3
2
a
CH và
2
3 4
ABC
a
A HHC A CH Lúc này ta tính HI theo hai cách sau:
Cách 1: Ta có
2
3
4
AHC ABC
a
HI
sin sin 60
Xét tam giác A HI' ta có: 1 2 12 1 2 162 42 522 3 13
a HK
HK HI HA a a a (3*)
T và ta đ c: ( , ( ' ')) 3 13
26
a
M
600
H
K I
C'
B' A'
C
B A
Trang 8
Chuyên đ : Hình h c không gian
- Trang | 8 -
Bài 13 Cho hình chóp S ABC có ABC là tam giác đ u c nh a Hình chi u vuông góc c a S xu ng
m t đáy trùng v i tr ng tâm tam giác ABC Góc t o b i m t ph ng (SBC) và m t đáy b ng 0
30 G i
M là đi m th a mãn 2
3
MS MA Tính kho ng cách t M đ n m t ph ng (SBC) theo a
Gi i:
G i H là tr ng tâm tam giác ABC , suy ra SH (ABC)
3
MS MA nên M thu c đo n SA và 2
5
MS
AS
( , ( )) 2 ( , ( ))
5
M t khác: G i AH (SBC){ }I
( , ( ))
3 ( , ( )) 3 ( , ( )) ( , ( ))
D ng HKSI (KSI khi đó
BC AI BC (SAI) BC HK
Mà SI HK, suy ra HK(SBC)d H SBC( , ( ))HK
Do BC(SAI) nên góc t o b i (SBC) và m t đáy là 0
30 SIA
Khi đó 1 2 12 12 362 362 482 3
a HK
12
a
d H SBC
T và ta đ c: ( , ( )) 6 3
5 1
3 1
a
d H SBC a
4
a
ADBC ; 3
2 ,
2
a
AB a CD Tam giác SCD vuông cân t i S và n m trong m t ph ng vuông góc v i đáy (ABCD) Tính theo a kho ng cách t tr ng tâm c a tam giác ABD t i m t ph ng (SAB)
Gi i :
G i H là trung đi m c a CDCHCD và 3
Ta có:
G i M là trung đi m c a AB; G là tr ng tâm tam giác ABD
và HG AB I , suy ra:
3
K I
M
H S
C
B A
S
I G
M
K
H
D
C
B
A
Trang 9- Trang | 9 -
Do ABCD là hình thang cân nên ta có :
2
Ta có AB HM AB (SHM)
K HKSM ( KSM), suy ra HK AB HK (SAB) d H SAB( , ( )) HK
Xét tam giác SHM , ta có: 1 2 12 1 2 162 42 282 3 7
a HK
HK SH HM a a a (3)
T (1); (2) và (3) suy ra ( , ( )) 7
14
a
Bài 15 Cho lăng tr ABCD ABC D 1 1 1 1 có đáy ABCD là hình ch nh t, AB = a, ADa 3 Hình chi u
vuông góc c a A1 trên m t ph ng (ABCD) trùng v i giao đi m c a AC và BD Góc gi a hai m t ph ng
1 1
(ADD A)và (ABCD) b ng 0
60 Tính theo a kho ng cách t tâm c a hình ch nh t ABCD đ n m t
ph ng (ACD 1 )
Gi i:
G i AC BD H AH1 (ABCD)
D ngHMAD (MAD) AD(AHM1 )
Suy ra góc t o b i m t ph ng (ADD A1 1)
và (ABCD) là HMA1600
Ta có
AB a
0
3
K HI CD (ICD) và HK AI1 (KAI1 )
hay d H ACD( , ( 1 ))HK
AD a
Xét tam giác AHI1 ta có: 2 2 2 2 2 2
1
a HK
HK AH HI a a a
4
a
Bài 16 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông t i A và D; ABAD2a, CD = a; góc
gi a hai m t ph ng (SBC)và (ABCD)b ng 600 G i I là trung đi m c a c nh AD Bi t hai m t ph ng
(SBI)và (SCI) cùng vuông góc v i m t ph ng (ABCD), tính theo a kho ng cách t I t i m t
ph ng (SBC)
600
I
D1
C1
H
B1
A1
D
C B
A
Trang 10
Chuyên đ : Hình h c không gian
- Trang | 10 -
Gi i:
Ta có
K IM BC(MBC)BC(SIM),
suy ra góc t o b i m t ph ng (SBC)và (ABCD) là
0
60 SMI
D ng IH SM (HSM)BCIHIH(SBC)
d I SBC( , ( ))IH
3
ABCD
2
IAB IDC
AI AB ID DC a
Suy ra
2
3
2
IBC ABCD IAB IDC
a
BC AB DC AD a
2
3 2
5 5
IBC
a
IM
Xét tam giác IHM ta có: sin 3 5 sin 600 3 15
10
a
Bài 17 Cho hình lăng tr tam giác ABC A B C có ' ' ' BB' , góc gi a đ ng th ng a BB'và m t ph ng (ABC)b ng 600; tam giác ABC vuông t i C và BAC600 Hình chi u vuông góc c a đi m B' lên m t
ph ng (ABC)trùng v i tr ng tâm G c a tam giác (ABC) Tính theo a kho ng cách t G t i m t
ph ng (BCC B' ')
Gi i:
G i I là trung đi m c a AC Do B G' (ABC), suy ra
góc t o b i BB' và m t ph ng (ABC) là 0
B BG 3
2
'.cos '
a
Do BAC600 nên 0
.tan 60 3
Ta có:
3
BC CI BI AC
và BC( 'B GK) (1)
M I
S
H
B A
I H
K
G
C'
600
C
Trang 11Chuyên đ : Hình h c không gian
- Trang | 11 -
K GHB K' (HB K' ) (2) Theo (1) suy ra BCGH (3)
T (2) và (3) suy ra GH(BCC B' ')d G BCC B( , ( ' '))GH
Ta có 1 2 1 2 1 2 42 522 1602 30
a GH
GH GB GK a a a hay ( , ( ' ')) 30
40
a
Bài 18 Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông c nh 2a, SA = a, SB = a 3và m t ph ng
(SAB)vuông góc v i m t ph ng đáy G i M, N l n l t là trung đi m c a các c nh BC CD, và H là hình chi u vuông góc c a S trên AB Tính theo a kho ng cách t H t i m t (SMN)
Gi i:
Ta có
4
AB a SA SB , suy ra tam giác SAB vuông t i S Khi đó
12 12 12 12 12 42 3
a SH
SH SA SB a a a
G i I K, l n l t là hình chi u c a H trên MN SI, khi đó
MN(SHI)MNHKHK(SMN)d H SMN( , ( ))HK
Ta có CMCN a MNa 2 và
2 2
3
Suy ra
2
3
AHND HBM NCM
2 11 5
HNM ABCD AHND HBM NCM
8
4 2
HNM
HI
Xét tam giác SHI , ta có: 1 2 12 12 322 42 1962 5 3
a HK
V y ( , ( )) 5 3
14
a
N S
I K
M H
D
C B
A
