105 Câu Trắc Nghiệm Giới Hạn Của Dãy Số Có Đáp Án

www thuvienhoclieu com www thuvienhoclieu com BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM GIỚI HẠN DÃY SỐ A – LÝ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP GIỚI HẠN HỮU HẠN GIỚI HẠN VÔ CỰC 1 Giới hạn đặc biệt ; ; 2 Định lí a) Nếu lim un = a, lim vn = b thì lim (un + vn) = a + b lim (un – vn) = a – b lim (un vn) = a b (nếu b 0) b) Nếu un 0, n và lim un= a thì a 0 và lim c) Nếu ,n và lim vn = 0 thì lim un = 0 d) Nếu lim un = a thì 3 Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn S = u1 + u1q + u1q2 + = 1 Giới hạn đặc biệt 2 Định lí a) Nếu thì b) Nếu lim un[.]

thì a  0 và lim u n  a

c) Nếu u n v n

,n và lim vn = 0 thì lim un = 0

d) Nếu lim un = a thì lim u n a

3 Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn

S = u1 + u1q + u1q2 + … =

1

1

u q



d) Nếu lim un = +, lim vn = athì lim(un.vn) =

00

neáu a neáu a

 Để chứng minh limu n l ta chứng minh lim( u n l) 0 .

 Để chứng minh limu n  ta chứng minh với mọi số M 0 lớn tùy ý, luôn tồn tại số tự

nhiên n sao cho M u n M  n n M

 Để chứng minh limu n   ta chứng minh lim(u n)

 Một dãy số nếu có giới hạn thì giới hạn đó là duy nhất

C Nếu limu  , thì lim n 0 u  n 0

Câu 2 Giá trị của

1lim

Câu 14 Giá trị của

2 1lim

www.thuvienhoclieu com

Câu 15 Giá trị của

2lim2

Khi tính các giới hạn dạng phân thức, ta chú ý một số trường hợp sau đây:

 Nếu bậc của tử nhỏ hơn bậc của mẫu thì kết quả của giới hạn đó bằng 0

 Nếu bậc của từ bằng bậc của mẫu thì kết quả của giới hạn đó bằng tỉ số các hệ số của luỹ thừa cao nhất của tử và của mẫu

 Nếu bậc của tử lớn hơn bậc của mẫu thì kết quả của giới hạn đó là + nếu hệ số cao nhất của tử và mẫu cùng dấu và kết quả là – nếu hệ số cao nhất của tử và mẫu trái dấu

Câu 1 Cho dãy số  u n

với n 4n

n u

và

1 12





n n

u

u Chọn giá trị đúng của limu trong các số sau: n

Câu 3 Giá trị của

n bằng:

23



D 1

Câu 4 Giá trị của

2 2



12

2lim

1lim

www.thuvienhoclieu com

Câu 22 Chọn kết quả đúng của

2 2



bằng :

Câu 30

1 4

I

www.thuvienhoclieu com

11

www.thuvienhoclieu com

512

2





n B

n n bằng:

1lim

Câu 62 Tính giới hạn của dãy số  1 2







n n k

n u



D

112012!



Câu 72 Tìm limu biết n 2

1 1 khi 0( )

Câu 80 Tìm giá trị đúng của

u v

n n

u v

n n 0

neáu a v neáu a v



00

neáu a neáu a



00

www.thuvienhoclieu com

Một dãy số nếu có giới hạn thì giới hạn đó là duy nhất

Câu 1 Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:

Hướng dẫn giải:

Chọn C.

Theo nội dung định lý.

Câu 2 Giá trị của bằng:

Hướng dẫn giải:

Chọn A.

Câu 3 Giá trị của bằng:

Hướng dẫn giải:

Chọn A.

Câu 4 Giá trị của bằng:

1lim

a

n a

n a

2



n n

0



a

12

a

n a





M

M n

2n 1 2n M  1 M  n n M  lim(2n1)

M n

2 42

2





n n





n n

n

a n

n a

DẠNG 2: TÌM GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ DỰA VÀO CÁC ĐỊNH LÝ VÀ CÁC GIỚI HẠN CƠ BẢN

Phương pháp:

Sử dụng các định lí về giới hạn, biến đổi đưa về các giới hạn cơ bản

và mẫu

dụng phương pháp nhân lượng liên hơn

+ Dùng các hằng đẳng thức:

Dùng định lí kẹp: Nếu ,n và lim vn = 0 thì lim un = 0

Khi tính các giới hạn dạng phân thức, ta chú ý một số trường hợp sau đây:

 Nếu bậc của tử nhỏ hơn bậc của mẫu thì kết quả của giới hạn đó bằng 0

 Nếu bậc của từ bằng bậc của mẫu thì kết quả của giới hạn đó bằng tỉ số các hệ số của luỹ thừa cao nhất của tử và của mẫu

 Nếu bậc của tử lớn hơn bậc của mẫu thì kết quả của giới hạn đó là + nếu hệ số cao nhất của tử và mẫu cùng dấu và kết quả là – nếu hệ số cao nhất của tử và mẫu trái dấu

Câu 1 Cho dãy số với và Chọn giá trị đúng của trong các số sau:

n

23



1

2 2

n

3

3 2 5lim

n n

2 2

2lim

B

n n

n n

1

13

12

www.thuvienhoclieu com

Câu 24 Kết quả đúng của là:

n

2

2 5lim



1

32

11

1

Ta chia làm các trường hợp sau

1 4

344

23

44

a

b a

www.thuvienhoclieu com

TH 2: , chia cả tử và mẫu cho , ta được

1

n

3

!lim

2





n B

n n

2 3

q u

q

2 1

n u

n k

11

Từ công thức truy hồi ta có:

Giả sử dãy là dãy bị chặn trên, khi đó sẽ tồn tại

2

2

11

12012!

u

1 1 2

www.thuvienhoclieu com

n n

0 0

0 0

( , )u v

www.thuvienhoclieu com

Ta nhận thấy số nghiệm nguyên dương của phương trình (1) bằng số các số nguyên dương

Từ đó ta thu được bất đẳng thức sau:

Từ đó suy ra :

Câu 79 Cho dãy số có giới hạn (un) xác định bởi : Tìm kết quả đúng của

n n A

n A

14

32

11