Đề Thi HSG Toán 12 Tỉnh Quảng Trị Năm 2020 Có Đáp Án

www thuvienhoclieu com www thuvienhoclieu com UBND TỈNH QUẢNG TRỊ SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VĂN HÓA LỚP 12 Khóa ngày 06 tháng 10 năm 2020 ĐỀ CHÍNH THỨC Môn thi TOÁN Thời gian làm bài 180 phút, không kể thời gian giao đề Câu 1 ( 5,0 điểm) 1 Tìm tất các các điểm cực đại và điểm cực tiểu của hàm số 2 Tìm để phương trình có đúng 5 nghiệm phân biệt Câu 2 ( 5,0 điểm) 1 Chứng minh rằng 2 Tìm tất cả các cặp số thực thỏa mãn và Câu 3 ( 6,0 điểm) 1 Cho hình chóp có đáy là tam giác đ[.]

UBND TỈNH QUẢNG TRỊ

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VĂN HÓA LỚP 12 Khóa ngày 06 tháng 10 năm 2020

Thời gian làm bài 180 phút, không kể thời gian giao đề

Câu 1 ( 5,0 điểm)

1 Tìm tất các các điểm cực đại và điểm cực tiểu của hàm số y cosx sin x

2 Tìm m để phương trình

2x  4x  1 2m0 có đúng 5 nghiệm phân biệt

Câu 2 ( 5,0 điểm)

1 Chứng minh rằng C12020 2C20202  1010 C10102020 1010.22019

2 Tìm tất cả các cặp số thực x y thỏa mãn ;  xy  và4

x y 220x y xy    8 

Câu 3 ( 6,0 điểm)

1 Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh , a tam giác SAB vuông cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy Tính thể tích

của khối chóp S ABC và khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và AC theo a

2 Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn ( ) I Gọi , , M D E lần lượt là trung

điểm của BC IB IC ,, , ; F G lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp các tam giác ABD

và ACE Chứng minh rằng AM vuông góc . FG

Câu 4 (2,0 điểm)

Cho dãy số  x được xác định bởi n x 1 2 và x n1  2 x n,  Chứngn 1 minh dãy số  x có giới hạn và tìm giới hạn đó n

Câu 5 (2,0 điểm)

Xét các số thực dương a b c, , có tổng bằng 3 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

P

Hết Thí sinh không được sử dụng máy tính cầm tay.

Câu 1.1 Tìm tất các các điểm cực đại và điểm cực tiểu của hàm số y cosx sin x

' sin cos

y  x x;

2 4 ' 0

3

2 4

y











 



  



'' sin cos

y  x x;

3

y   k   y   k  

Vậy các điểm cực đại của hàm số là:

3

2 4

x  k 

; Các điểm cực tiểu của hàm số là: 2

4

x  k 

Câu 1 2 Tìm m để phương trình

2x  4x  1 2m0 có đúng 5 nghiệm phân biệt.

2x  4x  1 2m 0 2x  4x  1 2m

Cách 1: Xét hàm số f x( ) 2 x4  4x2  có BBT của hàm số ( )1 f x và ( ) f x

Số nghiệm của phương trình bằng số giao điểm cửa đồ thị hàm số ( )f x và đường thẳng y m Vậy phương trình đã cho có đúng 5 nghiệm phân biệt khi 2m  hay1 1

2

m 

Cách 2: (HS 10,11)

2x  4x  1 2m (1)

Đặt

2, 0

t x t

PTTT:

2

2t  4t 1 2m

(2)

Xét hàm số f t( ) 2 t2  4t trên 1 [0;  ) | ( ) |f t có

đồ thị

Biện luận các trường hợp số nghiệm của (2) và (1) Từ đó kết luận

1 2

m 

Cách 3: Nhận thấy nếu x là nghiệm của (1) thì 0  x0 cũng là nghiệm của pt (1) Do đó nếu các nghiệm x  thì số nghiệm của phương trình (1) là số chẵn Vậy đk cần để i 0

pt có 5 nghiệm là pt (1) có nghiệm x  , thế vào tìm được 0 0 m 12. Giải phương

trình khi

1 2

m 

và kết luận

Câu 2 1 Chứng minh rằng C20201 2C20202  1010 C20201010 1010.22019

Cách 1: Ta có:  

1 1







2020 2019

2020 2019

1010 1009

2020 2019

2020







2019 2019 2019

Xét C20190 C20191  C20191009 C10102019  C20192019 22019 Mà C n k C n n k

2019 2019 2019

2 C C  C 2

2019 2019 2019

Cách 2:

Xét (1x)2020 C20200 xC12020 x C2 20202  x2020C20202020

Suy ra được:

2020(1x) C 2xC  2020 x C

2020 2 2020 1010 2020 1011 2020 2020 2020 2020.2

1

 

Do đó:

2020 2020

2020 2020

1010 1011

2020 2020

2020







Vậy: C20201 2C20202  1010 C20201010 1010.22019

Câu 2.2 Tìm tất cả các cặp số thực x y thỏa mãn ;  xy  và4

x y 220x y xy    8 

( 8) 4 20 0

S  S P  P  Xét pt theo S  (P 8)  4( 4 P20)P  16 Điều kiện phương trình có nghiệm P  Kết hợp điều kiện của giả thiết ta có4

P P

P  S (loại); P 4 S  , ,6 x y là 2 nghiệm của pt

2 6 4 0

Vậy các cặpx y : ;   3 13; 3  13 , 3   13; 3  13

Câu 3 1 Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh , a tam giác SAB vuông cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy Tính thể tích của khối chóp S ABC và khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và AC theo a

*Thể tích:

3 3 24

a

V 

*Khoảng cách giữa SB và AC:

Cách 1: Dựng Dđối xứng với C qua I ( , ) ( ,( )) 2 ( ,( )) 2

d SB AC d AC SBD  d I SBD  HK ACBD là hình thoi, nên IB ID IS, , đôi một vuông góc

a d

d SI  SB  SD  a  

Cách 2: *Kẻ đt BDsong song với AC. ( , ) ( ,( )) 2 ( ,( )) 2

d SB AC d AC SBD  d I SBD  HK

3 4

a

HI 

; 2

a

SI 

2 2 2 2

IK IH SI  IH SI   

Câu 3.2 Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn ( ). I Gọi , , M D E lần lượt là trung điểm của BC IB IC ,, , ; F G lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp các tam giác ABD và ACE Chứng minh rằng AM vuông góc FG

Gọi Hlà giao điểm thứ 2 của MDvà đường tròn qua A B D, ,

Gọi Klà giao điểm thứ 2 của MEvà đường tròn qua A C E, ,

Ta có:

2

và

2

nên A H K, , thẳng hàng

Tam giác MDEvà MKHđồng dạng (Vì MED MHK  ) Suy raME MK MD MH  , hay

M nằm trên trục đẳng phương của hai đường tròn tâm F G, .

Suy ra AM FG. (Trục đẳng phương vuông góc với đường nối tâm)

Câu 4 (2,0 điểm)

Cho dãy số  x được xác định bởi n x 1 2 và x n1  2 x n,  Chứngn 1 minh dãy số  x có giới hạn và tìm giới hạn đó n

HD: 0x n  2, n 1.

Ta có: x n1 x n  x n2 x n1

1 2

x  ,x 2 2 2 , x 3 2 2 2 ,như vậy x3 x1 nên từ (*) ta suy ra

x2 1n  là dãy giảm Cùng với tính bị chặn nên tồn tại lim 2n 1

  

Từ x3x1 x4 x2 Tương tự tồn tại nlim x2n b.

  

Từ hệ thức truy hồi ở giả thiết, chuyển qua giới hạn ta được:

1 2

b









Do nlim x2n1 nlim x2n 1

    

nên nlim x n 1.

  

Cách 2:

1

1

n

n

x

x





1

1 1

Do

n

n

x

2

1 1 1 1 1 1 1 n

lim x n  1 0  limx n  1 limx n 1

Cách 3: 0x n  2, n 1.

Đặt x n 2 cosn, n0; Ta có 1 4;x1 2 cos4

x    x             

1

n

1

n





         

1

n

Câu 5 (2,0 điểm)

Xét các số thực dương a b c, , có tổng bằng 3 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

P

HD:

P

3

3

1 1 1

a b c

a b c

    

.(1)

Ta có:

3

a b c  a b c   (2)

Đặt

1 1 1

3

t

a b c

Xét hàm

18 ( ) 3

t

 

trên [3;)

Ta có: ( ) 15f t  f(3) (3)

Vậy minP 15 đạt được khi các đẳng thức (1), (2), (3) xảy ra

1 1 1

3

a b c

a b c



 











 





 ,hay a b c  1.

Cách 2: …

            

3 2 2.18 15

…