thuvienhoclieu com thuvienhoclieu com ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 8 Năm học 2021 2022 MÔN TOÁN Thời gian làm bài 150 phút (không kể thời gian giao đề) (Đề thi gồm 05 câu, trong 01 trang) Câu 1 (5 điểm) 1 Phân tích đa thức thành nhân tử 2 Cho biểu thức a Rút gọn A b Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức A nhận giá trị nguyên c Tìm Điều kiện của x đề A > 0 Câu 2 (3,5 điểm) 1 Cho a, b, c đôi một khác nhau thỏa mãn Tính giá trị của biểu thức 2 Tìm số dư khi chia đa thức chia cho đa thức Câu 3 (3,5[.]
Trang 1ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 8
Năm học 2021- 2022 MÔN: TOÁN
Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
(Đề thi gồm 05 câu, trong 01 trang)
Câu 1: (5 điểm)
1 Phân tích đa thức thành nhân tử: (x−3 ) ( x−5) (x −6) ( x−10)−24 x2
2 Cho biểu thức:
A=(x x22−5 x−25−1):(x2+2 x−1525−x2 −
x+ 3 x+ 5+
x−5 x−3)
a Rút gọn A
b Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức A nhận giá trị nguyên
c Tìm Điều kiện của x đề A > 0
Câu 2: (3,5 điểm)
1 Cho a, b, c đôi một khác nhau thỏa mãn: ab+bc+ca=1
Tính giá trị của biểu thức : A=¿ ¿
2 Tìm số dư khi chia đa thức A=( x+1 )( x +3) ( x+5 )( x +7)+2028 chia cho đa thức x2
+8 x+12
Câu 3: (3,5 điểm)
1 Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn : x2−656 xy−657 y2=1983
2 Giải phương trình:
x−241
17 +
x−220
19 +
x−195
21 +
x−166
23 =10
Câu 4 (6 điểm): Cho hình vuông ABCD và các điểm E, F lần lượt trên các cạnh AB, AD sao
cho AE = AF H là hình chiếu trên DE
a Chứng minh AD2=DH DE
b Chứng minh hai tam giác AHF và DHC đồng dạng
c Xác định vị trí của các điểm E và F để diện tích ∆CDh gấp 9 lần diện tích ∆AFH
Câu 5: (2 điểm)
1 Chứng minh rằng A=n8+4 n7+6 n6+4 n5+n4chiahết cho 16
2 Cho a, b, c > 0 Chứng minh rằng:
a2
b2+c2+
b2
c2+a2+
c2
a2+b2
a3
+b3
+c3
2 abc
……… HẾT………
ĐÁP ÁN:
câ
u
m
1 1 (1,5 điểm)
(x−3 ) ( x−5) (x −6) ( x−10)−24 x2
= (x¿¿2−13 x +30)(x2−11 x+30)−24 x2
¿
= [(x2−12 x+30)−x¿.[(x2−12 x +30)+x ]−24 x2
0,25 0,25
Trang 2=(x¿¿2−12 x+30)2−25 x2¿
= (x2−12 x+30−5 x).(x2−12 x+ 30+5 x)
= (x2−17 x +30).(x2−7 x+30)
= (x2−2 x−15 x+30).(x2−7 x +30)
= (x−2)(x−15)(x2−7 x+30)
0,25 0,5 0,25
2 a (1,5 điểm) ĐKXĐ : x¿± 5 ; x¿3 0,25
A=(x x22−5 x−25−1):(x2+2 x−1525−x2 −
x+ 3 x+ 5+
x−5 x−3)
¿((x−5 )( x +5) x ( x−5 ) −1):(25−x2−(x +3) ( x−3)+( x−5) ( x +5)
(x−3 )( x +5) )
¿(x +5 x −1):(25−x2−x2+9+x2−25
(x −3) (x +5) )
¿ 5
x+5:
(3−x )( x +3)
(x+ 5)(x −3)
¿ 5
x+5 .(−x+5
x+3 )
0,5 0,25
0,25 0,25
b b.(1 điểm)
Để A nguyên thì x +3 Ư (−5)={−5 ;−1 ;1 ;5}
Vậy x{−8 ;−4 ;−2;2}
0,5 0,5
c A > 0 x + 3 < 0
x < - 3
0,5 0,5
2 1 (1,5 điểm)
A=¿ ¿
¿(a+ b)2¿¿
A=(a+b)2¿ ¿
0,5 1,0
2 A=( x+1 )( x +3) ( x+5 )( x +7)+2028 A=(x2+8 x +7).(x2+8 x+15)+2028 Đặt t=x2
+8 x+11 A=(t−4 ) (t +4)+2028 A=t2−16+2028
A=t2+2012
A=(x¿¿2+8 x+11)2+2012¿
A=¿
A=(x¿¿2+8 x+12)−2.(x2+8 x+12)+2013¿ Vậy số dư trong phép chia đa thức A cho đa thức x2
+8 x+12 dư 2013
0,25 0,25
0,5 0,25
0,25
3 1 (1,5 điểm)
x2−656 xy−657 y2=1983
x2−656 xy− y2−656 y2=1983
(x2
−y2)−656(xy + y2)=1983
( x− y ) ( x+ y )−656 y ( x+ y )=1983 ( x + y ) (x−657 y )=3.661=661.3=(−3) (−661)=(−661) (−3)
0,5 0,25
Trang 3x - 657y 661 3 -661 -3
Vậy (x; y) = {(4; -1); (-4; 1); (660; 1); (-660; -1)}
0,25 0,25
2 (2 điểm)
x−241
17 +
x−220
19 +
x−195
21 +
x−166
23 =10
x−241
17 −1+
x−220
19 −2+
x−195
21 −3+
x−166
23 +4=0
x−258
17 +
x−258
19 +
x−258
21 +
x−258
23 =0
( x−258 )(171 +
1
19+
1
21+
1
23)=0
x−258=0
x=258
Vậy phương trình có nghiệm x = 258
0,5
0,5 0,25
0,25 4
a (2 điểm)
Xét ∆ADE vuông tại A và ∆HDA vuông tại H có
^ADE chung
Nên ∆ADE đồng dạng ∆HDA (g.g)
suy ra AD
DH=
DE AD
AD2=DE DH
b (2 điểm)
Vì ∆ADE đồng dạng ∆HDA nên
AD
DH=
AE AH DC
DH=
AF
AH(do AD=DC ; AE=AF )
Mà ^HDC=^ HAD(cùng phụ góc HAD)
Suy ra ∆AHF đồng dạng ∆DHC
0,5 0,5 0,5 0,5 0,5
0,5 0,5
C D
B
F
Trang 4c (2 điểm)
Ta có ∆CDH đồng dạng ∆AFH nên :
S ∆ CDH
S ∆ AFH=¿
S ∆ CDH
S ∆ AFH=9¿ CD=3 AF
Vậy để diện tích ∆CDH gấp 9 lần diện tích ∆AFH thì E, F thuộc
AB, AD sao cho AE = AF = 1/3 AB
0,5 0,5 0,5 0,5
5 1 Chứng minh rằng A=n8+4 n7+6 n6
+4 n5
+n4chiahết cho 16 A=n8+4 n7+6 n6+4 n5+n4
A=n8+n7+3 n7
+3 n6
+3 n6+3 n5+n5+n4
A=n7(n+1)+3 n6(n+1)+3 n6(n+1)+n4(n+ 1)
A=(n+1) n4(n3+3 n2
+3 n+1)
A=(n (n+1)¿ ¿2)4¿
Vì n.(n + 1) là tích của hai số nguyên liên tiếp nên n ( n + 1) 2⁝ 2
Suy ra (n(n+1)¿¿2)4⁝ 24=16¿
2 Chứng minh rằng:
a2
b2+c2+
b2
c2+a2+
c2
a2+b2
a3+b3
+c3
2 abc
Ta có:
a2
b2+c2
a2
2bc
b2
c2+a2≤
b2
2 ac
c2
a2+b2≤
c2
2 ab
Cộng từng vế ta có:
a2
b2+c2+ b2
c2
+a2+ c2
a2
+b2≤ a
2
2 bc+
b2
2 ac+
c2
2 ab ≤
a3+b3
+c3
2 abc
0,5 0,5
0,5
0,25 + 0,25
