Chuyên Đề Trắc Nghiệm Nguyên Hàm Có Đáp Án

thuvienhoclieu com thuvienhoclieu com CHƯƠNG III NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG CHỦ ĐỀ 1 NGUYÊN HÀM I Định nghĩa Giả sử liên tục trên khoảng , khi đó hàm số là một nguyên hàm của hàm số khi và chỉ khi , Nếu là một nguyên hàm của hàm số thì , II Vi phân Giả sử xác định trên khoảng và có đạo hàm tại điểm Vi phân của hàm số là Quan hệ giữa đạo hàm nguyên hàm và vi phân III Các tính chất của nguyên hàm 1 Nếu là hàm số có nguyên hàm thì ; 2 Nếu có đạo hàm thì 3 Phép cộng, phép trừ 4 Phép nhân với[.]

CHƯƠNG III NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG

CHỦ ĐỀ 1 NGUYÊN HÀM

I Định nghĩa:

Giả sử y  f x   liên tục trên khoảng   a b ,

, khi đó hàm số y F x    là một nguyên hàm của hàm số

 

y  f x khi và chỉ khi F x '( )  f x ( ),   x   a b , .

Nếu y F x    là một nguyên hàm của hàm số y  f x   thì  f ( x )dx F( x ) C  , C  ¡

II Vi phân:

Giả sử y  f x   xác định trên khoảng   a b ,

và có đạo hàm tại điểm x    a b ,

IV Phương pháp tính nguyên hàm:

1 Phương pháp đổi biến số:

Nếu  f u du F u C ( )  ( )  và u u x  ( ) có đạo hàm liên tục thì:

V Nguyên hàm của một số hàm thường gặp

VIII Các công thức tính đạo:

 sin x    cos x  sin u    u cos  u

cosx  sinx cosu  u.sinu

n

n n

u u

 sin2  cos2   1  sin2  cos2 n 1

 tan cot    1 tan cotn n  1

2 Giá trị lượng giác của các góc có liên quan đặc biệt

Để thuộc các công thức trên chỉ cần hiểu và thuộc câu thần chú sau:

cos đối, sin bù, phụ chéo

cos(   ) cos   sin(    ) sin   sin cos

kém  tan, cot , kém 2

 chéo cos

3 Công thức lượng giác

a Công thức cộng

b Công thức nhân đôi

c Công thức biến đổi tích thành tổng

d Công thức biến đổi tổng thành tích

sin( a b  ) sin cos  a b  sin cos b a

sin( a b  ) sin cos  a b  sin cos b a

cos( a b  ) cos cos  a b  sin sin a b

cos( a b  ) cos cos  a b  sin sin a b

tan tan tan( )

sin2   2sin cos  

cos2 cos sin

1 cos2sin

2

1 cos2cos

2

1 cos2tan

3 2

sin3 3sin 4sin cos3 4cos 3cos

3tan tan tan3

hoặc:

sin thì 3sin 4sỉn , cos thì

4 cổ 3cô

PHẦN 1 NGUYÊN HÀM

VẤN ĐỀ 1

Lý thuyết

Câu 1. Hàm số f x( ) có nguyên hàm trên K nếu:

A f x( ) xác định trên K . B f x( ) có giá trị lớn nhất trên K .

C f x( ) có giá trị nhỏ nhất trên K . D f x( ) liên tục trên K .

là một nguyên hàm của hàm số f x  

trên K Khẳng định nào sau đây đúng.

A Chỉ có duy nhất một hằng số Csao cho hàm số y F x C  ( )  là một nguyên hàm của hàm f trên K .

B Với mỗi nguyên hàm G của f trên K thì tồn tại một hằng số C sao cho G x ( )  F x C ( )  với x thuộc K

C Chỉ có duy nhất hàm số y F x  ( ) là nguyên hàm của f trên K .

D Với mỗi nguyên hàm G của f trên K thì G x ( )  F x C ( )  với mọi x thuộc K và Cbất kỳ.

Câu 3. Cho hàm số F x ( ) là một nguyên hàm của hàm số f x ( ) trên K Các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai.

Câu 5. Cho hai hàm số f x g x ( ), ( ) là hàm số liên tục, có F x G x ( ), ( ) lần lượt là nguyên hàm của f x g x ( ), ( ).Xét các mệnh đề sau:

(I) F x G x ( )  ( ) là một nguyên hàm của f x g x ( )  ( ).

(II) k F x ( ) là một nguyên hàm của kf x ( ) với k R.  .

(III) F x G x ( ) ( ) là một nguyên hàm của f x g x ( ) ( ).

Các mệnh đúng là

A Nếu F x( ) là một nguyên hàm của f x( ) trên (a b; ) và C là hằng số thì òf x x( )d =F x( )+C.

B Mọi hàm số liên tục trên (a b; ) đều có nguyên hàm trên (a b; ).

C F x( ) là một nguyên hàm của f x( ) trên (a b; )Û F x/( )=f x( ), " Îx (a b; ).

D ( òf x x( )d )/ =f x( ).

(I) Mọi hàm số f x( ) liên tục trên đoạn [a b; ] đều có đạo hàm trên đoạn đó.

(II) Mọi hàm số f x( ) liên tục trên đoạn [a b; ] đều có nguyên hàm trên đoạn đó.

Trong hai khẳng định trên:

Câu 8. Hàm số F x( ) được gọi là nguyên hàm của hàm số f x( ) trên đoạn [a b; ] nếu:

Câu 9. Trong các câu sau đây, nói về nguyên hàm của một hàm số f xác định trên khoảng D, câu nào là sai?

(I)F là nguyên hàm của f trên D nếu và chỉ nếu " Îx D F x: '( )=f x( ).

(II) Nếu f liên tục trên D thì f có nguyên hàm trên D

(III) Hai nguyên hàm trên D của cùng một hàm số thì sai khác nhau một hằng số.

Câu 10. Giả sử F x( ) là một nguyên hàm của hàm số f x( ) trên khoảng (a b; ) Giả sử G x( ) cũng là một nguyênhàm của f x( ) trên khoảng (a b; ) Khi đó:

A F x( )=G x( ) trên khoảng (a b; ).

B G x( )=F x( )- C trên khoảng (a b; ), với C là hằng số.

C F x( )=G x( )+C với mọi x thuộc giao của hai miền xác định, C là hằng số.

D Cả ba câu trên đều sai.

(I) ò (f x( )+g x( ))dx=òf x x( )d +òg x x( )d =F x( )+G x( )+C,

trong đó F x( ) và G x( ) tương ứng là nguyên hàm của f x g x( ) ( ), .

(II) Mỗi nguyên hàm của a f x ( ) là tích của a với một nguyên hàm của f x( ).

Trong hai câu trên:

Câu 12 Các khẳng định nào sau đây là sai?

Câu 18. Hàm số F x    5 x3 4 x2 7 x  120  C là họ nguyên hàm của hàm số nào sau đây?

T 

C

15

T 

D

73

T 

C

67

T 

D

76

Câu 26. Cho hàm số f x      x3 x2 2 x  1 Gọi F x  

là một nguyên hàm của f x ( ), biết rằng F   1  4 thì:

3 x   x C

D Không được tính

Câu 34. Cho hàm số y  f x   thỏa mãn y '  x y2. và f     1 1 thì f   2

m 

1 3

1 khi 0

khi 02

khi 02

khi 0 khi 0 2



391400



140



a b S

2

3 2020 4

2020 4

 Nếu đặt t x   1thì  f t dt  là

( ) ( )

x 1 dx x

x 4





D

3 2

1

x

f x x

1 dx x(x 3) 

x 3

1C

x 3

1C



 +C C

1 x a ln

a x a



1 x a ln

Câu 59 Hàm số nào dưới đây không là 1 nguyên hàm của hàm số

1 x 

1 C

1

C 4x 2x 5



2 y

Nếu sai, thì sai ở phần nào?

Câu 74. Tìm giá trị thực của a để F x   ax 5 1

a

35

a

25

Câu 76. *Biết F x ( ) là nguyên hàm của  

2

2 2

F     

  Giá trị nhỏ nhất của( )

S 

2 2

31

S 

C.

3 2

S 

D

1 2

T  

D

7 6

T 

3 1

ln 2

S 

C.

1 21

S 

D

3 7

S 

S 

C

8 3

S 

D

3 4

a b S

S       

D

20191 2

S       

2 d

S 

C

2 3

S 

D

7 3

S 

2( )

S 

C

3 8

S 

D

5 8

S  

x

ln 1

x d

S 

C

5 16

S  

D

16 5

b

  



S  

C

2 3

S 

D

2 3

Tính nguyên hàm của một số hàm số vô tỉ

Câu 96. Nguyên hàm của hàm số f x   3 x là:

x dxx

5

B

52 5ln x x C

5

C

52 5ln x x C

5

D

52 5ln x x C

5

Câu 99. Nguyên hàm của hàm số   2

x 4ln x C 5

C

3 53

x 4 ln x C

D

3 53

 Để hàm sốF x  

là một nguyên hàm của hàm số f (x)thì giá trị của a, b,c là:

A a 4; b 2;c 1    B a 4; b    2;c   1 C a 4; b    2;c 1  . D a 4; b 2;c     1

Câu 116. Hàm số f (x) x x 1  có một nguyên hàm là F(x) Nếu F(0) 2  thì giá trị của F(3) là

a b  

B

1 3

a b 

C

31

a b S

S       

D

20201 2

a b c 

C

3 2

S 

B

308 137

S 

C

135 508

S 

D

508 135

S 

B

1 2020

S 

C

1

1 3030

VẤN ĐỀ 5 Tính nguyên hàm của một số hàm số mũ và logarit

Câu 135. Tìm nguyên hàm của hàm số f x( ) e x ex.

8 ln 9

8 ln 9

8 ln 9

9 ln 8

D

x x

D

x

32

A

 

x4 3

3 ln 4

3 ln 4

3 ln 4

2e ln

x

x

eln

 Giá trị F (e)2 bằng:

3 2

P 

C.

4 . 27

e x



Câu 185. Cho hàm số y f x  

thỏa mãn hệ thức  f x sinxdx-f x cosπx x cosxdx Hỏi y f x  

là hàm số nào trong các hàm số sau?

Câu 186. Tìm một nguyên hàm F x ( )của hàm số f x ( )   4 x  1  ex

thỏa mãn điều kiện F (1)  e

C F(x) là hàm tuần hoàn chu kỳ 2 D F(x) không là hàm chẵn cũng không là hàm lẻ

Câu 192. Hãy xác định hàm số f từ đẳng thức sau:

u v

e   e C f (v)dv

x 3x 4



  Định m để F(x) là một nguyên hàmcủa f(x)

A

3

3 2

         ;  x 0

2( ) xd ( 2) x



1 ( )

x x

e dx

S 

7 3

S 

4 3

a b S

a b  

B

5 2

a b c   

B

1 3

a b c    

C 3 a b c    1. D

5 3

A.F x( ) 2019 cos  2x là một nguyên hàm của hàm số f x ( )   sin2 x.

B.Nếu F x ( ) và G x ( ) đều là nguyên hàm của hàm số f x ( ) thì    F x g x dx ( )  ( )  

có dạng h x ( )  Cx D  với,

C D là các hằng số, C  0.

A Nếu F x( ) là một nguyên hàm của hàm số f x( ) thì mọi nguyên hàm của f x( ) đều có dạng F x( )+C (C là

C F x( )= +1 tanx là một nguyên hàm của hàm số f x( )= +1 tan2x.

D F x( )= -5 cosx là một nguyên hàm của hàm số f x( )=sinx.

Câu 216. Xét các mệnh đề sau, với C là hằng số:

(I)  tan d x x   ln cos  x C  

C  sin 2 xdx  cos 2 x C  D  sin 2 xdx   cos 2 x C  .

2 ) 1 t n  

Câu 226.

2 2x cos dx



2sin 3xdx

3cos xdx





A ln 3cos x 2sin x C   B  ln 3cos x 2sin x C  

C ln 3sin x 2cos x C   D  ln 3sin x 2cos x C  

sin x cos xsin x cos x

B

2cot x

C

2 

C

2tan x

C 2

D

2tan x

1

C4cos x

1C4cos x

1C4sin x

1C4sin x

Câu 238.

5sin x.cosxdx

C 6

C

6cos x

C 6

D

6cos x

A

51 F(x) sin x C

C

34

1 sin x là:

Câu 246. Một nguyên hàm của hàm số: f (x) x sin 1 x   2 là:

A F(x)    1 x cos 1 x2  2  sin 1 x  2 B F(x)    1 x cos 1 x2  2  sin 1 x  2

A

3sin x sin 3x

C12

B

3cos x cos 3x

C12

C sin x C3 

2sinx cos x C 

Câu 257. Xét các mệnh đề sau, với C là hằng số:

(I) òtan dx x=- ln cos( x)+C.

;

1G(x) x sin 2x sin 4x C

A x tan x ln cos x  B x tan x ln cos x    C x tan x ln cos x  D x tan x ln sin x 

Câu 271. Họ nguyên hàm của hàm số f x    e cos x x là

I   cos 2x.ln(sin x cos x)dx 

A f (x) 4 cos x (4x 9)e    x B f (x) 4 cos x (4x 9)e    x

C

x

f (x) 4 cos x (4x 5)e    D f (x) 4cos x (4x 6)e    x

Câu 277. Hàm số F(x) e  x tan x C  là nguyên hàm của hàm số f(x) nào

A

x 2

x dx x

 ” Bạn Minh Hiền giải bằng phương pháp đổi biến như sau:

+ Bước 1: Đặt usinx, ta có ducosxdx

Hỏi bạn Minh Hiền sai ở bước nào?

sin cos 2 sin cos 2

A Dùng phương pháp đổi biến số đặt tcosx

B Dùng phương pháp nguyên hàm từng phần đặt

4sincos

C.

π 7 ( )

2

F   

C

1 (π)

3

C

1 ( ) sin 3 5

Câu 293. Hãy xác định hàm số f từ đẳng thức: sin u.cos v C f (u)du

Câu 294. Tìm nguyên hàm của: y sin x.sin 7x  với F 2 0



C

3m4

 

D

3m4



1 y sin x

2

  

B

2x F(x) cosx 2

2

   

C

2x F(x) cosx 20

2

D

2x F(x) cosx 20

2

Câu 301. Tìm nguyên hàm của hàm số f x  

thỏa mãn điều kiện: f x  2x 3cos x, F 3

16



   

Câu 303. Cho hàm số f x    cos3x.cos x Nguyên hàm của hàm số f x   bằng 0 khi x 0  là hàm số nào trongcác hàm số sau ?

A (III) B (I) C Cả 3 đều sai. D (II)

A F x     1 tan x là một nguyên hàm của hàm số f x     1 tan x2

B Nêu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) thì mọi nguyên hàm của f(x) đều có dạng

D F x     5 cos x là một nguyên hàm của f x    sin x

Câu 308. Để tìm nguyên hàm của f x    sin x cos x4 5 thì nên:

A Dùng phương pháp đổi biến số, đặt t cos x

B Dùng phương pháp lấy nguyên hàm từng phần, đặt 4 4

D Dùng phương pháp đổi biến số, đặtt sin x 

Câu 309. Biết F x    e mx sin x n  cos x  là một nguyên hàm của hàm số f x    ex 2sin x  3cos x  Tính

S m n.

5 2

S 

Câu 310. Cho F(x) là một nguyên hàm của   tan 2

tan 2

1 4.

tan 1 2

x x