Phương Pháp Tính Diện Tích Tam Giác Tứ Giác Toán 9

thuvienhoclieu com thuvienhoclieu com Chuyên đề 5 TÍNH DIỆN TÍCH TAM GIÁC, DIỆN TÍCH TỨ GIÁC NHỜ SỬ DỤNG CÁC TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC A Đặt vấn đề Ta đã biết cách tính diện tích tam giác theo một công thức rất quen thuộc là trong đó a là độ dài một cạnh của tam giác, h là chiều cao ứng với cạnh đó Bây giờ ta vận dụng các tỉ số lượng giác, các hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông để xây dựng thêm các công thức tính diện tích tam giác, tứ giác B Một số ví dụ Ví dụ 1 Chứng minh rằng diện tích một ta[.]

Chuyên đề 5 TÍNH DIỆN TÍCH TAM GIÁC, DIỆN TÍCH TỨ GIÁC NHỜ SỬ DỤNG CÁC TỈ SỐ

LƯỢNG GIÁC

A Đặt vấn đề

Ta đã biết cách tính diện tích tam giác theo một công thức rất quen thuộc là

1 , 2

S  ah

trong đó a là độ dài một cạnh của tam giác, h là chiều cao ứng với cạnh đó

Bây giờ ta vận dụng các tỉ số lượng giác, các hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông để xây dựng thêm các công thức tính diện tích tam giác, tứ giác

B Một số ví dụ

Ví dụ 1 Chứng minh rằng diện tích một tam giác bằng nửa tích hai cạnh nhân với sin của góc nhọn tạo bởi

các đường thẳng chứa hai cạnh ấy

Giải

Gọi  là góc nhọn tạo bởi hai đường thẳng chứa hai cạnh AB, AC của tam giác ABC Vẽ đường cao CH Xét ACH

 vuông tại H có CH AC.sin

Diện tích ABC là

1 2

S  AB CH

Do dó

1 sin 2

Lưu ý: Nếu  90 ,0 ta có ngay

1 2

S  AB AC

Như vậy sin 900  điều này sẽ học ở các lớp trên.1,

Ví dụ 2 Tứ giác ABCD có AC m BD n ,  , góc nhọn tạo bởi hai đường chéo bằng 

Chứng minh rằng diện tích của tứ giác này được tính theo công thức

1 sin 2

Giải

Gọi O là giao điểm của AC và BD Giả sử BOC   .

Vẽ AH BD CK, BD.

Ta có AH OAsin ;

sin

CK OC  và OA OC AC.

Diện tích tứ giác ABCD là:

1 1

ABD CBD

Lưu ý:

• Nếu ACBD ta có ngay

2AC BD 2m

• Phương pháp tính diện tích của tứ giác trong ví dụ này là chia tứ giác thành hai tam giác không có điểm trong chung, rồi tính diện tích của từng tam giác

Ví dụ 3 Cho tam giác nhọn ABC Gọi độ dài các cạnh BC, CA, AB lần lượt là a, b, c Tính diện tích tam giác

ABC biết a4 2cm b, 5cm c, 7cm.

Giải

Theo định lí côsin ta có: a2 b2c2 2 cos bc A

Do đó 4 22 5272 2.5.7.cos A

Suy ra

2

A  A  A  

Vậy diện tích tam giác ABC là: 1 1 4  2

sin 5.7 14

Nhận xét: Trong cách giải trên ta đã tìm cos A rồi suy ra sin A Ta cũng có thể vận dụng định lí côsin để tìm cos B rồi suy ra sin B (hoặc tìm cos C rồi suy ra sin )C

Ví dụ 4 Tứ giác ABCD có AC BD 12 cm Góc nhọn giữa hai đường chéo là 45  Tính diện tích lớn nhất của tứ giác đó

Giải

Gọi O là giao điểm của AC và BD.

Giả sử AOD   45

Diện tích tứ giác ABCD là:

S  AC BD   AC BD  AC BD

Theo bất đẳng thức Cô-si, ta có:

2

2

AC BD

AC BD  

2

.6 9 2

AC BD

S      cm

Vậy maxS 9 2cm2 khi AC BD 6cm.

Ví dụ 5 Cho tam giác ABC A   Vẽ đường phân giác AD ,  60

Chứng minh rằng:

AB AC AD

Giải

Ta có

0

.sin 30

ABD

sin 30

ACD

.sin 60

ABC

S  AB AC   AB AC

Mặt khác S ABD S ACD S ABC nên

2AB AD 2 2 AC AD 22AB AC 2

Do đó AD AB AC   AB AC 3

Suy ra



Nhận xét: Phưong pháp giải trong ví dụ này dựa trên quan hệ tổng diện tích các tam giác ABD và tam giác

ACD bằng diện tích tam giác ABC.

Ví dụ 6 Tam giác ABC có mỗi cạnh đều nhỏ hơn 4cm Chứng minh rằng tam giác này có diện tích nhỏ hơn

2

7cm

Giải

Giả sử A B C   , khi đó A   và 60

3 sin

2

A  Diện tích tam giác ABC là:

 2

.sin 4.4 4 3 6,92 7

Nhận xét: Do vai trò các góc A, B, C của tam giác ABC là như nhau nên ta có thể giả sử A B C   , từ đó

suy ra A   dẫn tới 60 ,

3 sin

2

A 

C Bài tập vận dụng

• Tính diện tích

5.1 Chứng minh rằng diện tích cùa hình bình hành bằng diện tích của hai cạnh kề nhân với sin của góc nhọn

tạo bởi hai đường thẳng chứa hai cạnh ấy

5.2 Cho hình chữ nhật ABCD AC a,  và BAC 0   45 

Chứng minh rằng diện tích của hình

chữ nhật ABCD là

2

1 sin 2 2

5.3 Cho góc nhọn xOy Trên tia Ox lấy điểm A và C, trên tia Oy lấy điểm B và D sao cho , .

Chứng minh rằng

AOB

COD

S

m n

5.4 Tam giác nhọn ABC có BC a CA b AB c ,  ,  . Gọi diện tích tam giác ABC là S Chứng minh rằng

4cot

b c a

S

A

 



Áp dụng với a39, b40, c41 và A   Tính S.45

5.5 Cho góc xOy có số đo bằng 45  Trên hai cạnh Ox và Oy lần lượt lấy hai điểm A và B sao cho

8

OA OB  cm Tính diện tích lớn nhất của tam giác AOB.

5.6 Cho tam giác nhọn ABC Trên các cạnh AB, BC, CA lần lượt lấy các điểm M,N, P sao cho

1 , 4

Chứng minh rằng diện tích tam giác MNP nhỏ hơn

1

3 diện tích tam giác ABC.

5.7 Cho đoạn thẳng AB5 cm Lấy điểm O nằm giữa A và B sao cho OA2 cm Trên một nửa mặt phẳng

bờ AB vẽ các tia Ax, By cùng vuông góc với AB Một góc vuông đỉnh O có hai cạnh cắt các tia Ax, By lần lượt tại D và E Tính diện tích nhỏ nhất của tam giác DOE.

5.8 Cho hình bình hành ABCD, góc B nhọn Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của A trên các đường thẳng

DC và BC.

a) Chứng minh rằng KAH ABC,từ đó suy ra KH AC.sin ;B

b) Cho AB a BC b ,  và B   Tính diện tích  60 AHK và tứ giác AKCH.

• Chứng minh các hệ thức

5.9 Cho tam giác ABC AB AC A(  ), 60  Đường phân giác ngoài tại đỉnh A cắt đường thẳng BC tại N.

Chứng minh rằng:

AB AC AN

5.10 Cho tam giác ABC vuông tại A AB AC  . Các đường phân giác trong và ngoài tại đỉnh A của tam giác cắt đường thẳng BC tại M và N Chứng minh rằng: 

a)

AM  AN AC

5.11 Cho tam giác ABC A ,  90 0 Vẽ đường phân giác AD Chứng minh rằng:

2 cos

AB AC AD



5.12 Cho góc xOy có số đo bằng 30  Trên tia phân giác của góc đó lấy điểm A sao cho OA a  Qua A vẽ một đường thẳng cắt Ox và Oy theo thứ tự tại B và C.

Tính giá trị của tổng

1 1

OB OC

5.13 Cho hình bình hành ABCD, góc nhọn giữa hai đường chéo bằng góc nhọn của hình bình hành Chứng

minh rằng độ dài hai đường chéo tỉ lệ với độ dài hai cạnh kề của hình bình hành

• Tính số đo góc Tính độ dài

5.14 Tam giác nhọn ABC có AB4,6cm BC; 5,5cm và có diện tích là 9,69cm Tính số đo góc B (làm2.

tròn đến độ)

5.15 Cho hình bình hành ABCD B ,  90  Biết AB4cm BC, 3cm và diện tích của hình bình hành là

2

6 3cm Tính số đo các góc của hình bình hành.

5.16 Cho tam giác ABC có diện tích S 50cm2, A  90  Trên hai cạnh AB và AC lần lượt lấy các điểm

D và E sao cho ADE nhọn, có diện tích là 1

1 2

Chứng minh rằng 10 tan  

2

5.17 Cho tam giác ABC, đường phân giác AD Biết AB4,7cm AC, 5,3cm và A   Tính độ dài AD72

(làm tròn đến hàng phần mười)

5.18 Cho tam giác ABC AB, 6cm AC, 12cm A,  120  Vẽ đường phân giác AD Tính độ dài AD.

5.19 Cho tam giác ABC AB, 5cm BC, 7cm CA, 8cm. Vẽ đường phân giác AD Tính độ dài AD.

5.20 Cho tam giác ABC, đường phân giác AD Biết

,

ABAC AD tính số đo góc BAC.

HƯỚNG DẪN GIẢI-ĐÁP SỐ

5.1 Xét hình bình hành ABCD D ,   90 

Vẽ đường cao AH.

Xét tam giác ADH vuông tại H, ta có:

AH AD 

Diện tích hình bình hành ABCD là: S CD AH CD AD .  . .sin 

Vậy S AD DC. .sin 

5.2 Xét ABC vuông tại B có

cos cos ; sin sin

Diện tích hình chữ nhật ABCD là:

2

cos sin sin cos

.2sin cos sin 2

2a   2a 

5.3 Tacó

sin ; sin

Do đó

1 sin

1 sin 2

AOB

COD

OA OB

m n





5.4 Vì ABC nhọn nên theo định lí côsin ta có a2 b2c2 2 cosbc A

cos

2

b c a

A

bc

 

Ta có

cos cot

A b c a b c a A

(vì

1 sin ) 2



Do đó

4cot

b c a

S

A

 



Áp dụng: Với a39, b40, c41 và A   ta có:45

0

40 41 39

440 4cot 45

(đvdt)

5.5 Ta đặt diện tích tam giác AOB là S.

Ta có

sin sin 45

2OA OB 2 4 OA OB

Nhưng

8

OA OB

OA OB     

.16 4 2 4

khi OA OB 4cm Vậy maxS 4 2cm2

5.6 Tacó

;

;

Ta đặt S AMP S S1; BMN S S2; CNP S3 và S ABC  S

Khi đó:

1

sin sin sin

2

sin sin sin

3

sin sin sin

Vậy 1 2 3

S S S    S  S

17 7

24 24

MNP

24 24 3

MNP

Cách giải khác: (không dùng tỉ số lượng giác) (h.5.10)

Vẽ đoạn thẳng AN Xét các tam giác NMB và NAB có

3 4

và chung chiều cao vẽ từ 4

đỉnh N nên 2  

3 1

4 NAB

Xét các tam giác ABN và ABC có

1 3

nên 1  2

3

ABN

Từ (1) và (2) suy ra 2

3 1 1

4 3 4

Chứng minh tương tự ta được 3 1

;

Do đó

MNP

S  S    S  S  S  S

5.7 Ta có AOD BEO (cùng phụ với BOE  ).

Ta đặt AOD  thì BEO 

Xét AOD vuông tại O, ta có:

2 cos cos

OA OD

Xét BEO vuông tại B, ta có:

3 sin sin

OB OE

Diện tích tam giác DOE là:

 

2 2 cos sin 2sin cos

Áp dụng bất đẳng thức x2y2 2xy ta được:

sin  cos  2sin cos  hay 12sinc so 

Thay vào (*) ta đươc:

2sin cos 1

S

(dấu “=” xảy ra khi sin cos  45)

Vậy minS 6cm2 khi  45

Nhận xét: Việc đặt AOD  giúp ta tính được các cạnh góc vuông của DOE, từ đó tính được diện tích

của tam giác này theo các tỉ số lượng giác của góc  Do đó việc tìm min S đưa về tìm maxsincos đơn giản hơn

5.8 a) Ta có AB CD mà AH CD/ /  nên AH AB.

• ADH và ABK có: H K 90 ;

 

D B (hai góc đối của hình bình hành)

Do đó ADH∽ABK(g.g)

Suy ra

AB AK

Do đó

AB AD BC (vì AD BC )

• KAH và ABC có KAH B (cùng phụ với BAK );



Do đó KAH ∽ ABC (c.g.c)

Suy ra

AC AB

Xét ABK vuông tại K có sin

AK B AB



Vậy sin

KH

B

AC  hay KH AC.sinB

b) Diện tích tam giác ABC là

.sin sin 60

ab

S  AB BC B ab  

(đvdt)

Vì S KAH ∽S ABC nên  

2

sin

4

KAH ABC

B

Suy ra

KAH ABC

(đvdt)

Ta có

3 sin 60

2

ABCD

ab

S ab  

(dvdt)

.sin 60 cos 60 sin 60

ABK

2

a

a a

(đvdt)

.sin 60 cos 60 sin 60

ADH

2 2

b b

(đvdt) Mặt khác S AKCH S ABCD S ABK S ADH

4

AKCH

(đvdt)

5.9 Ta có NAx NAB 1800 60 : 2 600  0

1

.sin 60

2

1

.sin 60

2

1

.sin 60

2

ANC

ANB

ABC

Vì S ANC S ANB S ABC

nên

.sin 60 sin 60 .sin 60

Do đó AN AC AB   AB AC.

Suy ra

1

AC AB



 hay

5.10 a) AM, AN là hai đường phân giác của hai góc kề bù nên AM AN.

0

2 2

ABM

S  AB AM  AB AM

;

0

2 2

ABN

S  AB AN  AB AN

; 1

2

AMN

(vì AMN vuông tại A).

Mặt khác, S ABM S ABN S AMN nên:

AB AM  AB AN  AM AN

2

AB AM AN AM AN

1 2

AM AN

AM A

AB

N 



hay

+

AM AN AB ; b) Góc nhọn tạo bởi hai đường thẳng AN, AC là 45 

Ta có

ANC

S  AC AN   AC AN

AMC

S  AC AM   AC AM

1

2

AMN

(vì AMN vuông tại A).

Mặt khác, S ANC  S AMC S AMN nên

2AC AN 2  2AC AM 2 2AM AN

2

Suy ra

1 2

2





AN AM

AM A

AC

N

hay

-AM AN AC

5.11

• Trường hợp góc A nhọn

Ra đặt A 

Ta có

1 sin

ABD

.sin ; sin

Mặt khác, S ABDS ACD S ABC nên

.sin sin sin



Suy ra AB AD. .sin2 AC AD. .sin 2 AB AC. .2.sin 2cos 2

(vì sin 2sin 2cos )2



2

Suy ra

2.cos 2

AB AC

AB AC AD







dẫn tới

2.cos

AB AC AD



• Trường hợp góc A tù

Ta đặt BAC  thì BAx 180 

Khi đó BAx là góc nhọn.

Ta có S ABD S ACD S ABC

Do đó 1 sin 1 sin 1 sin 180 



1

.2.cos sin

AB AC



2

Do đó

2.cos 2

AB AC

AB AC AD







hay

2.cos

AB AC AD



Nhận xét: Nếu A   thì ta chứng minh được90

,

ABAC AD vẫn phù hợp với kết luận của bài toán.

5.12

Ta có

0

1 sin15 2

AOB

0

1

.sin15

2

AOC

0

1

.sin 30

2

BOC

Mặt khác, S AOBS AOC S BOC

nên

.sin15 sin15 2sin15 cos15

Do đó OA OB OC   2OB OC cos15 

Suy ra

2cos15

OB OC

hay

5.13 Gọi O là giao điểm hai đường chéo

Ta đặt OC OA x OD OB  ,  y AD m CD n,  ,  .

Giả sử AOD ADC   90 

Xét OCD có AOD là góc ngoài nên

D  A  

Mặt khác D 2C1 A D C Suy ra C1D 1

Ta có

sin ; sin

Mặt khác S ADO S DCO nên m y n x.  .

Do đó

2 2

y n  yn hay

BD DC

5.14 Ta có

1 sin 2

0

2 2.9,69

4,6.5,5

S B

AB BC



Vậy B   50

5.15 Ta có S AB AC. .sinB

B

AB BC

Vậy B60  D60 ;  A C  120 

5.16 Ta đặt AD x AE , y.

Khi đó diện tích ADE là 1

1 sin ; 2

2 1

1 25 2

Ta có DE2 x2 y2 2 cosxy 

Mặt khác x2y2 2xy (dấu “=” xảy ra khi xy).

Do đó DE2 2xy 2 cosxy  2xy1 cos 

100 tan



Vậy DE 100tan 2 10 tan 2

5.17 Ta có

2cos

AB AC AD



(bài 5.11)

Do đó

4, 7 5,3  AD  4,7.5,3 AD

0

4,7.5,3.2.cos36

4,0 10

5.18 Ta có

2cos

AB AC AD



0

4

6 12  AD  4AD AD cm

5.19 Vì cạnh CA là cạnh lớn nhất nên góc B là góc lớn nhất trong ABC.

Ta thấy AC2 AB2BC2 (vì 825272) nên góc B là góc nhọn, do dó

ABC

 là tam giác nhọn

Theo định lí côsin ta có:

2 2 2 2 cos 72 52 82 2.5.8cos

Do đó

 0

1

2

A  A

Ta có:

0

1 A 2 cos 30

ABAC  AD

 

3 2

5.20 Ta đặt BAC  . Ta có

2cos

AB AC AD



Mặt khác

Suy ra





Do đó

0

1 2cos 1 cos cos 60

Do đó

cos 60 120

2



