Đề Thi Chọn HSG Toán 12 Sở GD-ĐT Hưng Yên 2018-2019 Có Đáp Án Và Lời Giải

thuvienhoclieu com thuvienhoclieu com SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯNG YÊN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 NĂM HỌC 2018 2019 MÔN THI TOÁN Thời gian làm bài 180 phút, không kể thời gian phát đề Câu I (5,0 điểm) 1 Cho hàm số với m là tham số Tìm các giá trị của m để hàm số có cực tiểu 2 Cho hàm số với m là tham số Gọi là một điểm thuộc đồ thị có hoành độ bằng 1 Tìm các giá trị của m để tiếp tuyến của đồ thị tại cắt đường tròn tại hai điểm phân biệt tạo thành một dây cung có độ dài nhỏ nhất Câu II (4,0[.]

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HƯNG YÊN

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12

NĂM HỌC 2018-2019 MÔN THI: TOÁN

Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề

Câu I (5,0 điểm)

1 Cho hàm số y=2x− −2 m x2−4x+5 với m là tham số Tìm các giá trị của m để hàm số có cực tiểu

2 Cho hàm số y x= −4 mx2+2m−2( )C với m là tham số Gọi A là một điểm thuộc đồ thị ( )C

có hoành độ bằng 1 Tìm các giá trị của m để tiếp tuyến của đồ thị ( )C

tại A cắt đường tròn

( )T x: 2+y2 =4 tại hai điểm phân biệt tạo thành một dây cung có độ dài nhỏ nhất.

Câu II (4,0 điểm)

1 Giải phương trình

2

sin cos2 5

3

x

 

+ = − + +

 ÷

 ÷

 

2 Tính tích phân ( )

2

1

dx

=

+ + +

∫

Câu III (5,0 điểm)

1 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh 2a và · ABC= °60 Gọi E , F lần

lượt là trung điểm của các cạnh SC , SD Biết SA SC SD= = và mặt phẳng (ABEF)

vuông góc với mặt bên (SCD)

, tính thể tích khối chóp S ABCD theo a

2 Cho tứ diện ABCD có độ dài các cạnh AB=3, AC=4, AD=6 và các góc

BAC BAD= = °, CAD· = °90 Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và CD

Câu IV (2,0 điểm) Cho đa thức f x( ) =x4+ax3+bx2+ +cx 1 với ; ;a b c là các số thực không âm.

Biết rằng phương trình f x( ) =0 có 4 nghiệm thực, chứng minh f(2018) ≥20194.

Câu V (2,0 điểm) Giải hệ phương trình:

1





 − = + −

Câu VI (2,0 điểm) Cho dãy số được xác định như sau:

1

*

1

u

=



1 Tìm số hạng thứ 10 của dãy số đã cho.

2 Chứng minh rằng u2019 là số vô tỷ.

GIẢI CHI TIẾT ĐỀ CHỌN HSG TỈNH Câu I (5,0 điểm)

1 Cho hàm số y=2x− −2 m x2−4x+5 với m là tham số Tìm các giá trị của m để hàm số có cực tiểu

2 Cho hàm số y x= −4 mx2+2m−2( )C với m là tham số Gọi A là một điểm thuộc đồ thị ( )C

có hoành độ bằng 1 Tìm các giá trị của m để tiếp tuyến của đồ thị ( )C

tại A cắt đường tròn

( )T x: 2+y2 =4 tại hai điểm phân biệt tạo thành một dây cung có độ dài nhỏ nhất.

Lời giải

1 Xét y=2x− −2 m x2−4x+5

TXĐ: ¡

2

2

m x

−

+) Hàm số có cực tiểu thì trước hết phương trình y' 0= có nghiệm.

2

2

x

− +

= ⇔ =

− Đặt g x( ) 2 x2 42x 5

x

− +

=

−

( )

2 2

2

x

−

−

− +

BBT:

Từ bảng biến thiên ta có phương trình (*) có nghiệm

2 2

m m

>



⇔  < − .

+)

2 2

2

2

x

m

−

− + −

−

− +

Với m> ⇒2 y'' 0< : Hàm số không có cực tiểu.

Với m< − ⇒2 y'' 0> : Hàm số có cực tiểu.

Vậy m< −2thì hàm số có cực tiểu.

thuvienhoclieu.com 2.

Ta có A m(1; −1).

Gọi d là tiếp tuyến của đồ thị ( )C

tại A Phương trình đường thẳng d là:

(4 2 ) ( 1) 1 (4 2 ) 3 5 0

y= − m x− + − ⇔ −m m x y− + m− = .

Đường thẳng d luôn đi qua điểm cố định

3

;1 2

I 

 ÷

 nằm trong đường tròn.

Do đó d luôn cắt đường tròn tại hai điểm M N, Gọi H là trung điểm MN

Ta có: MN=2MH =2 4−OH2 ≥2 4−OI2 = 3

min

2

m

MN ⇔H ≡ ⇔I OI ⊥ ⇔d − =− ⇔ =m

Vậy với

11 4

m=

thì MN đạt giá trị nhỏ nhất bằng 3

Câu II (4,0 điểm)

1 Giải phương trình

2

sin cos2 5

3

x

 

+ = − + +

 ÷

 ÷

 

2 Tính tích phân ( )

2

1

dx

=

+ + +

∫

Lời giải

1 Ta có:

2

2

x

x

x x

< < ≤ ≤ ⇒ ÷÷ ≤ ÷÷ =

> − ≤ ≤ ⇒ ≤ =

Vậy

2

sin

cos2

5

3

x

x

 

 ÷

 ÷

2

x

Lại có x− + + = − + + ≥ − + + =1 x 5 1 x x 5 1 x x 5 6, dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi (1−x x) ( + ≥ ⇔ − ≤ ≤5) 0 5 x 1

H E

C B

S

F

D

M

A O

Do đó

2

sin cos 2

5

3

x

  + = − + + ⇔ = ⇔ = −

 

Vậy phương trình có hai nghiệm là x=π;x=0.

I

1

dx

x x

+

1

+

1

Câu III (5,0 điểm)

1 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh 2a và · ABC= °60 Gọi E , F lần

lượt là trung điểm của các cạnh SC , SD Biết SA SC SD= = và mặt phẳng (ABEF)

vuông góc với mặt bên (SCD)

, tính thể tích khối chóp S ABCD theo a

2 Cho tứ diện ABCD có độ dài các cạnh AB=3, AC=4, AD=6 và các góc

BAC BAD= = °, CAD· = °90 Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và CD

Lời giải 1.

Gọi M là trung điểm của CD , I là giao điểm của EF và SM , H là giao điểm của AM và

DO

Có ABCD là hình thoi cạnh 2a, ·ABC= °60 nên ∆ACD đều cạnh 2a

⇒

Có SA SC= =SD nên hình chiếu của S lên mặt phẳng (ABCD)

trùng với H hay

SH ⊥ ABCD .

I S

thuvienhoclieu.com

Có (ABEF) (⊥ SCD) theo giao tuyến EF

Mà SM ⊥EF (Do SM ⊥CD EF CD; // )

AIM

⇒ ∆ vuông tại I

+) Gọi K là trung điểm của HM ⇒ IK là đường trung bình của ∆SHM .

⇒

2

do SH AM

IK AM

SH IK



 =



Xét AIM∆ vuông tại I có IK⊥ AM nên

IK = AK KM

= + ÷÷

2

15

36a

=

Vậy .

1 3

S ABCD ABCD

V = SH S 1 15( )2

a

a

3

a

=

2.

Gọi N là trung điểm của AD , M là điểm trên cạnh AC sao cho

3 4

AM = AC

Vì AB=3, AC =4, AD=6 ⇒AB=AM = AN =3.

Lại có BAC BAD· =· = °60 , CAD· = °90 nên BM =CN =3;MN =3 2.

BMN

⇒ ∆ vuông tại B

Gọi O là trung điểm của MN thì O là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆BMN .

Lại có AB AM= =AN( )=3

AO BMN

⇒ ⊥ và AO= AN2−ON2 =3 22 .

Vì ∆BMN vuông tại B nên

;

BO⊥MN BO= MN =

Đặt hệ trục toạ độ Oxyz như hình vẽ với:

(0;0;0)

O

,

3 2 0;0;

2

 ,

3 2

;0;0 2

 ,

3 2

;0;0 2

−

3 2

2

+) Vì N là trung điểm của AD nên

;0;

−

+) Có

2 2 ;0;

uuur uuuur

AB CD

⇒uuur uuur= − − −

Có uuurAC= −( 2 2 ;0; 2 2− )

AB CD AC

Áp dụng công thức

,

AB CD AC

d AB CD

AB CD

=

uuur uuur uuur uuur uuur

17

9 225 225

d AB CD

Câu IV (2,0 điểm) Cho đa thức f x( ) =x4+ax3+bx2+ +cx 1 với ; ;a b c là các số thực không âm Biết

rằng phương trình f x( ) =0 có 4 nghiệm thực, chứng minh f (2018)≥20194.

Lời giải

thuvienhoclieu.com Nhận xét: Nếu x là nghiệm của phương trình 0 f x( ) =0 thì x0 <0 (vì nếu x0 ≥0 thì ( )0 0

f x > ).

Gọi 4 nghiệm của phương trình f x( ) =0 là − −x1; x2;−x3;−x4 với x i > ∀ =0, i 1;4. Khi đó f x( ) (= +x x1) (x x+ 2) (x x+ 3) (x x+ 4); f ( )0 = ⇔1 x x x x1 2 3 4 =1.

Ta có

= + =  + + + + ÷÷

laà n

4

1 2 3 4 1

i

=

Dấu “=” xảy ra ⇔ =x1 x2 = =x3 x4 =1.

Câu V (2,0 điểm) Giải hệ phương trình:

1





 − = + −

Lời giải

( )

1 2





 − = + −



Cộng vế ( )1

và ( )2

ta có:

(do ( y2+ −1 y)( y2+ +1 y)=1

nên ln( y2+ +1 y) = −ln( y2+ −1 y)

) Xét hàm số f t( ) = − +t3 t ln( t2+ +1 t)

trên ¡

1

1 1

t t

+ +

( )

( 2 )3

6

1

t

t

+

( ) ( 2 )3

0 0

t

f t

t

=





′′ = ⇔



(phương trình ( 2 )3

vô nghiệm vì ( 2 )3

6 t +1 ≥ > ∀ ∈6 1, t ¡

) Bảng biến thiên:

t

( )

f′′ t

( )

f t′

0

+∞

0 +∞

Từ bảng biến thiên ta có f t′( )≥ ∀ ∈0, t ¡ ⇒ Hàm số f t( )

đồng biến trên ¡

Ta có: ( )3 ⇔ f x( ) = f y( ) ⇔ =y x.

Thay y x= vào ( )2

ta có: x3− =x x2 + − ⇔x 1 x3− −x2 2x+ =1 0 4( ) Đặt

1

3

t x= −

Phương trình ( )4

trở thành:

( )

0 5

Với

2 7

3

t <

thì

3 1

2 7

t <

, do đó tồn tại α∈[ ]0;π sao cho cosα = 2 73t hay t=2 7 cos3 α Thay

2 7 cos

3

vào ( )5

ta có:

3

14

α −

arccos

arccos

k

k k

π α

π α

 = − − ÷÷+



¢

Do α∈[ ]0;π nên suy ra

7 arccos

cos arccos

7 arccos

cos arccos

7 arccos

x y

x y

x y

α

α

α

−

−

−



































(Phương trình bậc ba có tối đa 3 nghiệm nên ta không cần xét trường hợp

2 7 3

t ≥

)

Câu VI (2,0 điểm) Cho dãy số được xác định như sau:

1

*

1

u

=



1 Tìm số hạng thứ 10 của dãy số đã cho.

2 Chứng minh rằng u2019 là số vô tỷ.

Lời giải

1 Từ giả thiết dễ thấy u n ≥ ∀ ∈1, n ¥ *

Khi đó

u + = + u u+ ⇔u + = + u u + ⇔u + − u u + − = ⇔u + = +u +u

Đặt

4

n

u = α α  π

∈ 

(do u n ≥ ∀ ∈1, n ¥ ), khi đó*

2 2

1

2cos

n

u

α

Ta thấy u1 1 cot 4

π

= =

nên u2 cot8 cot23 ,u3 cot24

, từ đó ta tìm được công thức tổng quát của dãy số là: u n cot2n 1

π

+

=

Vậy u10 cot211

π

=

2 Từ giả thiết ta viết lại

2 1 1

1 2

n n

n

u u

u

+ +

−

=

, nên nếu u n+1 hữu tỷ thì u hữu tỷ n

Do đó u2019 cot22020

π

=

số hữu tỷ thì u2018 hữu tỷ….và 2 cot 1 2

8

u = π = +

hữu tỷ, vô lý

Vậy u2019 cot22020

π

=

vô tỷ