Slide xác xuất thống kê: phần xác suất

Slide 1 Bài giảng Xác suất thống kê GV Trần Thị Kim Thanh CẤU TRÚC ĐỀ THI Câu 1 (2 điểm) Công thức cộng, nhân, Bayes, đầy đủ (chƣơng 1) Câu 2 (3 điểm)a)ĐLNN liên tục (chƣơng 2) hoặc ĐLNN 2 chiều (chƣơng 3) b) Quy luật phân phối xs (chƣơng 2) Câu 3 (3 điểm) Ƣớc lƣợng và kiểm định (chƣơng 4+5) Câu 4(2 điểm)Tƣơng quan và hồi quy (chƣơng 6) (5 điểm) (5điểm) CHƯƠNG 1 BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN VÀ XÁC SUẤT PHẦN I KIẾN THỨC BỔ SUNG PHẦN II XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ 4 Việc A Giai đoạn 1 Giai đoạn 2 Giai đoạn k • Một.

Bài giảng

thống kê

GV: Trần Thị Kim Thanh

CẤU TRÚC ĐỀ THI Câu 1: (2 điểm).Công thức cộng, nhân, Bayes, đầy đủ (chương 1)

Câu 2 (3 điểm)a)ĐLNN liên tục (chương 2) hoặc ĐLNN 2 chiều (chương 3)

b) Quy luật phân phối xs (chương 2)

Câu 3: (3 điểm) Ước lượng và kiểm định (chương 4+5)

Câu 4(2 điểm)Tương quan và hồi quy (chương 6)

CHƯƠNG 1: BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN VÀ XÁC SUẤT

PHẦN I: KIẾN THỨC BỔ SUNG

PHẦN II: XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ

4

Việc A

• Một công việc A thực hiện theo k-công đoạn liên tiếp

=>công việc A ban đầu có:

có nk cách hoàn thành

Ví dụ

Việc A

Phương án 1 Phương án 2 Phương án k

2.Quy tắc cộng

Một công việc A có thể thực hiện một trong k-phương án:

Vậy số cách thực hiện phương án A là

n1 + n2 + n3 + …+ nk (cách)

có n1 cách hoàn thành

có n2 cách hoàn thành

có nk cách hoàn thành

Ví dụ

2.Chỉnh hợp lặp

Định nghĩa: một chỉnh hợp lặp chập k từ n phần tử là 1 cách chọn có kể thứ tự k phần tử(có thể giống nhau)từ n phần tử khác nhau cho trước

 Định lý: Số chỉnh hợp lặp chập k từ n phần tử là :

 

3 Hoán vị

Một hoán vị của n phần tử là một cách sắp có thứ tự n phần tử khác nhau cho trước Số hoán vị của n phần tử, kí hiệu Pn

Chú ý:

4 Tổ hợp

Một tổ hợp không lặp chập k từ n phần tử là một cách chọn không kể thứ tự k phần tử khác nhau từ n phần tử khác nhau cho trước

Ví dụ

PHẦN2:

XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ

Bài 1 Phép thử ngẫu nhiên và biến cố ngẫu nhiên

Bài 2 Xác suất của biến cố

Bài 3 Các Định lí về xác suất

Bài 1:

PHÉP THỬ NGẪU NHIÊN VÀ BIẾN

CỐ NGẪU NHIÊN

- Phép thử được hiểu là một thí nghiệm, một phép

đo hay một quan sát nào đó

1.1.Phép thử ngẫu nhiên

Ví dụ 1:

Mỗi phép thử có nhiều kết quả khác nhau

Phép thử ngẫu nhiên là phép thử mà ta không đoán trước được kết quả chính xác của nó, nhưng ta có thể biết tập hợp tất cả các kết quả có thể có của phép thử

đó

* Phép thử ngẫu nhiên

1.2 Không gian mẫu

- Tập hợp tất cả các kết quả xảy ra của phép thử gọi là không gian mẫu Kí hiệu: Ω (đọc là ô-mê-ga)

Biến cố A là một tập con của không gian

Phân loại: Có 3 loại

-Biến cố chắc chắn: là biến cố luôn xảy ra khi thực hiện phép thử KH: U, 

-Biến cố không thể có: là biến cố không xảy ra khi thực hiện phép thử KH: V, 

-Biến cố ngẫu nhiên: là biến cố có thể xảy ra hoặc không xảy

ra khi thực hiện phép thử KH: A, B, C,…

Chú ý: Không gian mẫu  là biến cố gì?

 là biến cố gì ?

A B

II QUAN HỆ GIỮA CÁC BIẾN CỐ

1 Kéo theo

Biến cố A gọi là kéo theo biến cố B(Ký hiệu: A  B hay A

=> B) nếu A xảy ra thì B cũng xảy ra, khi thực hiện phép thử

2 TƯƠNG ĐƯƠNG (BẰNG NHAU)

Biến cố A gọi là bằng biến cố B , Ký hiệu: A = B hay

B A

A B

Với 2 biến cố A, B thì ta có 4 trường hợp:

+ A xảy ra, B xảy ra + A xảy ra, B không xảy ra + A không xảy ra, B xảy ra + A không xảy ra, B không xảy ra Vậy trường hợp nào ứng với xung khắc?

5 XUNG KHẮC

Biến cố A và B gọi là xung khắc, ký hiệu A.B =  nếu A

và B không đồng thời xảy ra



A

𝑨

𝜴

Với 2 biến cố A, B thì ta có 4 trường hợp:

+ A xảy ra, B xảy ra + A xảy ra, B không xảy ra + A không xảy ra, B xảy ra + A không xảy ra, B không xảy ra Vậy trường hợp nào ứng với đối lập?

6 ĐỐI LẬP

Biến cố A, B gọi là đối lập nếu A, B không đồng

thời xảy ra và một trong hai biến cố A hoặc B xảy

ra, khi thực hiện phép thử

Ký hiệu: B là 𝑨

III Các tính chất của các phép toán về biến cố

 Tính chất phản hồi

A + A = A A.A = A

 Tính chất giao hoán

A + B = B + A A.B = B.A

 Tính chất kết hợp

A + ( B + C) = (A + B) + C

A.(B.C) = (A.B).C

 Tính chất phân phối: A.( B + C) = A.B + A.C

 Tính đối ngẫu (De-Morgan)

C B A C

B

C B

A C

B

BÀI TẬP CỦNG CỐ

Bài 2:

Khái niệm: Xác suất của 1 biến cố là 1 con số đặc trƣng cho khả năng xảy ra của biến cố đó khi thực hiện phép thử

Con số này đi từ 0 đến 1.(hay nói là 0% đến 100%)

Biến

cố

Ở mức độ cơ bản, tính xác suất của một biến cố có các cách sau:

 Tính bằng định nghĩa

 Dùng công thức cộng, nhân xác suất

 Dùng công thức xác suất đầy đủ, Bayes

 Dùng công thức Bernoulli

* Số trường hợp cùng khả năng: Hai hay nhiều biến cố trong một phép thử có khả năng xảy ra như nhau được gọi là đồng (cùng) khả năng

Định nghĩa xác suất dạng cổ điển

Giả sử phép thử có n kết cục cùng khả năng xảy ra

(tức số phần tử của  là n, kí hiệu n() = n)

trong đó có m kết quả thuận lợi cho sự xuất hiện biến cố A

(tức số phần tử của A là m, kí hiệu n(A) = m)

Khi đó xác suất xảy ra biến cố A, kí hiệu:

n

m n

A n A





) (

) ( )

(

Ví du 1: Gieo ngẫu nhiên một con xúc xắc cân đối, đồng chất Tính xác suất của các biến cố sau

A: mặt chẵn xuất hiện

B: xuất hiện mặt số chấm chia hết cho 3

Ví dụ

II.Ƣu điểm và hạn chế của định nghĩa xác suất cổ điển

*Ƣu điểm: Tính đƣợc chính xác giá trị của xác suất mà ko cần thực hiện phép thử

*Hạn chế: Trong thực tế có nhiều phép thử vô hạn các biến cố và biến cố không đồng khả năng (không tính đƣợc n())

III Các định nghĩa xác suất khác

ĐN xác suất theo thống kê

ĐN xác suất theo hình học

ĐN xác suất theo tiên đề xác suất

KIỂM TRA BÀI CŨ

Công thức cộng 3 biến cố:

Công thức cộng 4 biến cố:

Ví dụ

2 Công thức nhân

Định nghĩa:Gọi A, B là hai biến cố của cùng một phép thử.Xác suất của

biến cố B với điều kiện biến cố A đã xảy ra ( P(A) > 0), gọi là xác suất có điều kiện, kí hiệu là P(B|A)

a, Xác suất có điều kiện

Công thức

) (

)

( )

|

(

A P

B A

P A

B

Tính chất

Tương tự

Biến cố độc lập

Định lí:

Biến cố A độc lập với biến cố B nếu B xảy ra hay không xảy ra không ảnh

hưởng đến khả năng xảy ra của A, nghĩa là P(A|B) = P(A) (1)

b CÔNG THỨC NHÂN

Nếu A độc lập đối với B thì B cũng độc lập đối với A, nghĩa là P(B|A) = P(B) (2) Lúc đó, ta nói A, B độc lập đối với nhau

???Chứng minh A và B độc lập ntn?

CÔNG THỨC NHÂN TỔNG QUÁT

*Với n biến cố bất kì A1 , A2 ,…, An :

P(A 1 .A 2 A n ) =

*Nếu A1 , A2 ,…, An độc lập thì

P(A 1 A 2 … A n ) = P(A 1 ).P(A 2 )…P(A n )

P(A 1 ).P(A 2 |A 1 ).P(A 3 |A 1 A 2 )…P(A n |A 1 A 2 …A n-1 )

Ví dụ

III Các tính chất của các phép toán về biến cố

 Tính chất phản hồi

A + A = A A.A = A

 Tính chất giao hoán

A + B = B + A A.B = B.A

 Tính chất kết hợp

A + ( B + C) = (A + B) + C

A.(B.C) = (A.B).C

 Tính chất phân phối: A.( B + C) = A.B + A.C

 Tính đối ngẫu (De-Morgan)

C B A C

B

C B

A C

B

Ví dụ

Bài 3&4

Xác suất

thống kê

GV: Trần Thị Kim Thanh

 Kiểm tra bài cũ

NỘI DUNG

Nội dung bài 3

•Công thức xác suất đầy đủ

•Công thức Bayes

•Công thức Bernoulli

•Đại lượng ngẫu nhiên:định nghĩa và bảng phân

phối xs

a, Hệ đầy đủ

3.CÔNG THỨC XÁC SUẤT ĐẦY ĐỦ (TOÀN PHẦN)

* Nhóm biến cố xung khắc từng đôi

Nhóm (họ) n biến cố A1 , A2 , …, An gọi là xung khắc từng đôi nếu hai biến cố bất kì trong nhóm là xung khắc nhau (nghĩa là Ai Aj =

, i, j)

A1 A2 A3

A4

* Nhóm biến cố đầy đủ (hệ đầy đủ)

Nhóm (họ) n biến cố A1 , A2 , …, An gọi là hệ đầy đủ nếu thỏa mãn 2 điều kiện:

A1 , A2 , …, An là nhóm biến cố xung khắc từng đôi

A1 + A2 + …+ An = 

Nhận xét: Hệ là hệ đầy đủ  A, A

3.CÔNG THỨC XÁC SUẤT ĐẦY ĐỦ (TOÀN PHẦN)

=B

B= BA1 + BA2 + BA3

3.CÔNG THỨC XÁC SUẤT ĐẦY ĐỦ (TOÀN PHẦN) a)Công thức:

Xét 1 phép thử T

 {A1 ,A2 , A3 } là hệ đầy đủ

 B là biến cố xảy ra thì suy ra sự xảy ra của ít nhất một biến cố

Ai nào đó

Vậy P(B) = P(B|A1 )P(A1 ) + P( B|A2 )P(A2 )+ …+ P(B|An )P(An )

Công thức xác suất đầy đủ (toàn phần)

Ví dụ

| ( ) (

)

|

(

B P

A B

P A P B

A

Ví dụ

5.Phép thử lặp - Công thức Bernoulli

• Phép thử Bernoulli: Xét một phép thử chỉ có 2 khả năng xảy ra: “biến cố A xuất hiện”(với xác suất p) hoặc “biến cố

A không xuất hiện”(với xác suất 1-p)

Phép thử như vậy gọi là phép thử Bernoulli

Ví dụ

Ví dụ

Bài tập củng cố

CHƯƠNG 2 ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN

(ĐLNN)

Phần 1 ĐLNN và các tham số đặc trưng của ĐLNN Phần 2 Các quy luật phân phối xác suất thông dụng

1.Định nghĩa

I ĐLNN

Biến ngẫu nhiên X (hay đại lượng ngẫu nhiên ) là

đại lượng tương ứng với mỗi kết quả của phép

Ví dụ: Tung một đồng xu sấp ngửa (đồng xu có 2 mặt) 2 lần Gọi X là số lần đƣợc mặt sấp X có là ĐLNN không?

Ví dụ

2 Phân loại đại lượng ngẫu nhiên

Biến ngẫu nhiên

Biến ngẫu nhiên

rời rạc Biến ngẫu nhiên liên tục

Có miền giá trị là tập

hữu hạn

• Có miền giá trị là R hoặc một khoảng (đoạn, nửa khoảng) con của R

 ĐLNN rời rạc: dùng bảng phân phối xác suất

 ĐLNN liên tục: dùng hàm mật độ xác suất

II BIỂU DIỄN ĐLNN

Ví dụ

NỘI DUNG

Nội dung bài 4

•Hàm mật độ

•Hàm phân phối xác suất

•Các tham số đặc trưng của ĐLNN

Kiểm tra bài cũ

b

Chú ý: Với ĐLNN liên tục X

Ví dụ

Hàm số F(x) = P(X < x), x  R được gọi là hàm phân phối xác suất

của biến ngẫu nhiên X

1

2 1

1

n

p p

p

p p

p x

F

nếu x ≤ x1 nếu x1 < x ≤ x2 nếu x2 < x ≤ x3

nếu xn- 1 < x ≤ xn nếu x > xn

IV CÁC THAM SỐ ĐẶC TRƢNG CỦA ĐLNN

1)Nhóm tham số thể hiện xu hướng trung tâm  Kỳ vọng

n

i i i

x p



• Ý nghĩa : Kỳ vọng của một ĐLNN chính là giá trị trung bình (theo xác suất) của ĐLNN đó Nó là trung tâm mà các giá trị cụ thể của X sẽ tập trung ở đó

* Tính chất: Với hằng số C bất kì:

1) E(C) = C 2)E(CX) = CE(X) 3)E(X  Y)= EX  EY 4)Nếu X, Y độc lập thì E(X.Y) = EX EY

Ví dụ

1.Nhóm tham số thể hiện xu hướng trung tâm  Kỳ vọng

1.Nhóm tham số thể hiện xu hướng trung tâm  Kỳ vọng

1.Nhóm tham số thể hiện xu hướng trung tâm  Kỳ vọng

1.Nhóm tham số thể hiện xu hướng trung tâm  Kỳ vọng

2 Nhóm tham số thể hiện xu hướng độ phân tán  Phương sai

 Độ lệch tiêu chuẩn

a)Phương sai (VX, DX, Var X, X2 )

Phương sai là giá trị kz vọng của

bình phương độ lệch của X so với giá

trị trung bình (EX) của nó

VX = E(X – EX)2

=> VX = EX2 – (EX)2

2 Nhóm tham số thể hiện xu hướng độ phân tán  Phương sai

 Độ lệch tiêu chuẩn

a)Phương sai (VX, DX, Var X, X2 )

Phương sai là giá trị kz vọng của

bình phương độ lệch của X so với giá

trị trung bình (EX) của nó





2 ( )

x f x dx





2 Nhóm tham số thể hiện xu hướng độ phân tán  Phương sai

 Độ lệch tiêu chuẩn

a)Phương sai (VX, DX, Var X, X2 )

Phương sai là giá trị kz vọng của

bình phương độ lệch của X so với giá

trị trung bình (EX) của nó

Ví dụ

Bài tập củng cố

Bài tập củng cố

CHƯƠNG 2 ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN

(ĐLNN)

Phần 1 ĐLNN và các tham số đặc trưng của ĐLNN Phần 2 Các quy luật phân phối xác suất thông dụng

Các quy luật:

•Đại lượng ngẫu nhiên liên tục:

-Quy luật PP chuẩn( chuẩn tắc)

Quy luật PP Khi bình phương

Quy luật PP Student

Quy luật PP Fisher •Đại lượng ngẫu nhiên rời rạc:

Quy luật PP không – một Quy luật PP siêu bội

Quy luật PP nhị thức Quy luật PP Poisson

I.QUY LUẬT PP XÁC SUẤT VỚI ĐLNN RỜI RẠC

2.Phân phối nhị thức

• Phép thử Bernoulli

Xét một phép thử chỉ có 2 khả năng xảy ra: “biến

cố A xuất hiện”(với xác suất p) hoặc “biến cố A không xuất hiện”(với xác suất 1-p)

Phép thử như vậy gọi là phép thử Bernoul li

Ví dụ:

q = 1- p

Nếu np + p nguyên thì ModX là hai số np + p và np - q

Nếu np + p không nguyên thì Mod X là giá trị nguyên của số thập phân np + p

 )Mod X

Ví dụ

a) Định nghĩa: Biến ngẫu nhiên X nhận giá trị từ

0, 1, 2, … gọi là có phân phối Poisson với tham số

b) Các tham số đặc trưng

 EX = VX = 

Nếu  là số nguyên thì Mod X nhận hai giá trị là  và  -1

Nếu  là số thập phân thì Mod X nhận giá trị nguyên nằm trong khoảng của hai giá trị là  và  -1

• Ví dụ

k m

n- m

n

4.Phân phối siêu bội

Ta giải bài toán thực tế: Một lô sản phẩm có n sản phẩm

trong đó có m sản phẩm tốt còn lại n - m sản phẩm xấu

Lấy ngẫu nhiên ra k sản phẩm

??tìm xác suất để có đúng i sản phẩm tốt

với p = m/n

Ký hiệu

) , , (

)

C

C

C i

X

n

i k m n

  

2

1 1

Đặt p = m/n, q= 1-p

Phần nguyên

kpq n

k

n DX

kp EX

II.PP XÁC SUẤT CỦA ĐLNN LIÊN

TỤC

3.Phân phối chuẩn

• Biến ngẫu nhiên X nhận giá trị trong R gọi là có phân phối chuẩn với tham số  và 2 nếu hàm mật

b.Phân phối chuẩn hóa

 Xét biến ngẫu nhiên X ~ N(, 2 ) Chuẩn hóa X

bằng cách đặt

 Khi đó EZ = 0 và VarZ = 1( ? ) Ta nói Z có phân phối

chuẩn hóa Ký hiệu

1)N(0

~

σ

μ X

Tính xác suất

Giả sử X  N(  , 2), đặt

Ví dụ

C,Xấp xỉ phân phối nhị thức bằng phân phối

Dùng phân phối chuẩn

• Xấp xỉ phân phối nhị thức bằng phân phối

chuẩn với:

 = EX = np

2 = VarX = np(1-p)

Ví dụ

Bài tập củng cố