bài tập toán cao cấp đại số tuyến tính

Bài tập Toán cao cấp A3 BM Toán – Khoa Cơ bản Page 1 CHƯƠNG I LOGIC TẬP HỢP ÁNH XẠ (2,5 tiết) 1 1 Tìm tập nghiệm của phương trình hay bất phương trình dưới đây và biểu diễn chúng trên trục số a x2 4x + 3 = 0 b x2 4x + 3 > 0 c x2 x + 1 ≤ 0 1 2 Tìm tập nghiệm của hệ phương trình hay bất phương trình dưới đây và biểu diễn chúng trên mặt phẳng toạ độ a { 3x + 2y = 8 4x − y = 7 b { 3x − y = 2 −6x + 2y = −4 c 3x y = 0 d 3x y > 0 e 3x y < 0 1 3 Trong các trường hợp sau đây, hỏi A = B không a A là tập c.

CHƯƠNG I: LOGIC - TẬP HỢP - ÁNH XẠ (2,5 tiết)

1.1 Tìm tập nghiệm của phương trình hay bất phương trình dưới đây và biểu diễn chúng

1.3 Trong các trường hợp sau đây, hỏi A = B không

a A là tập các số thực không âm, B là tập mọi số thực không nhỏ hơn trị tuyệt đối của chính nó

b A là tập các số thực không âm, B là tập mọi số thực không lớn hơn trị tuyệt đối của chính nó

c A là tập mọi số nguyên không âm và không lớn hơn 100 có luỹ thừa bậc 3 là một số

lẻ không chia hết cho 3, B là tập các số nguyên không âm và không lớn hơn 100 có bình phương trừ 1 chia hết cho 24

1.4 A, B, C là tập con của E Chứng minh rằng nếu A ∪ C ⊂ A ∪ B và A ∩ C ⊂ A ∩ B thì

c A × B = { (x, y) ∈ ℤ × ℤ : x > y }

1.8 ℤ là tập số nguyên, ℕ∗ là tập các số nguyên dương Quan hệ ~ trên tập ℤ × ℕ∗ được xác định như sau:

(a, b) ~ (c, d) ⟺ ad = bc

Chứng minh rằng đó là một quan hệ tương đương

1.9 ℕ là tập số tự nhiên Trên tập ℕ × ℕ xét quan hệ ≤ xác định như sau:

(i, j) ≤ (k, m) ⟺ i + j < k + m hoặc nếu i + j = k + m thì i ≤ k

Chứng minh rằng đó là một quan hệ thứ tự toàn phần trên tập ℕ × ℕ Viết theo thứ tự

đó các phần tử đứng trước phần tử (3, 0)

1.10 ℕ là tập các số tự nhiên Trên tập ℕn xét quan hệ ≤ xác định như sau:

(a1, a2, , an) ≤ (a1, a2, , an) ; (a1, a2, , an) ≤ (b1, b2, , bn) khi và chỉ khi tồn tại

i ≤ n sao cho ak = bk với k = 1, , i-1 và ai < bi

Chứng minh rằng đó là một quan hệ thứ tự toàn phần trên tập ℕn Quan hệ này được gọi là quan hệ thứ tự từ điển

1.11 Trong các tập số tự nhiên, các quan hệ sau có phải quan hệ tương đương không?

a a chia hết cho b

b a không nguyên tố cùng nhau với b

1.12 Cho ánh xạ f: X ⟶ Y Giả sử A, B là các tập con của tập X; C, D là các tập con của Y Chứng minh các hệ thức sau:

Hãy chứng tỏ tập các số thực thuộc khoảng mở (a, b) cùng lực lượng với tập ℝ tất cả các số thực

CHƯƠNG II: CẤU TRÚC ĐẠI SỐ SỐ PHỨC (1 tiết)

2.1 Gọi ℝ∗: = ℝ \ {0} Xét các hàm số fi: ℝ∗ ⟶ ℝ∗ như sau:

2.3 Xét xem các nhóm sau đây đối với phép toán đã cho có phải là một nhóm hay không?

a Tập các số tự nhiên với phép toán cộng

b Tập các số nguyên với phép toán cộng

c Tập các số tự nhiên với phép toán nhân

d Tập các số thực khác 0 đối với phép toán nhân

e Tập các số hữu tỉ đối với phép toán nhân

f Tập các số hữu tỉ dương đối với phép toán nhân

g Tập M = {1, -1} đối với phép toán nhân

2.4 Xét tập ℤp = {0, 1, , p-1} Chứng minh rằng:

a Với phép cộng, phép nhân đồng dư p thì (ℤp, +, ) là một vành giao hoán có đơn vị

b Phần tử i ∈ ℤp khả nghịch khi và chỉ khi (i, p) = 1 (i và p nguyên tố cùng nhau)

c Vành ℤp là trường khi và chỉ khi p là một số nguyên tố

2.5 Thực hiện các phép tính sau:

a (1 + 2i)(2 - 3i)(2 + i)(3 - 2i)

b in với n là số nguyên lớn hơn 0

CHƯƠNG III: MA TRẬN - ĐỊNH THỨC HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH (7 tiết)

3.1 Giả sử A là ma trận cỡ m x p Xác định cỡ của các ma trận B, C sao cho biểu thức sau

24); B = (

3

−2

23); C = (

14

2

−1

); D = (−2 3 −4

1 2 0) Tính:

d (1 −2 3).(

221)

CHƯƠNG V: KHÔNG GIAN VECTƠ (6 tiết)

5.1 Kí hiệu ℝ+ là các tập số thực dương Chứng tỏ tập (ℝ+)n là một ℝ - không gian

vectơ đối với các phép toán xác định như sau:

Với x = (x1, , xn) ∈ (ℝ+)n, y = (y1, , yn) ∈ (ℝ+)n và α ∈ ℝ thì:

x + y = (x1.y1, x2.y2, , xn.yn);

αx = (x1α, x2α, ,xnα)

5.2 Giả sử V, V’ là các 𝕂 – không gian vectơ Chứng minh rằng tập tích Đề các V×V’

cùng với các phép toán sau là một 𝕂 – không gian vectơ:

(x, x’) + (y, y’) = (x + y, x’ + y’);

α(x, x’) = (αx, αx’)

5.3 Trong tập E các dãy vô hạn các số thực, ta định nghĩa phép cộng các dãy và nhân một

số thực với một dãy như sau:

{un} + {vn} = {un + vn} α{un} = {αun}

Chứng minh E là một ℝ - không gian vectơ đối với các phép toán trên

5.4 Xét xem các tập con sau đây của không gian vectơ ℝ4, tập nào là không gian con

Nếu là không gian con, hãy các định một cơ sở và bù tuyến tính của nó:

c Các vectơ có dạng (a, b, c) với b = a + c

d Các vectơ có dạng (a, b, c) với b = a + c + 1

5.6 Gọi 𝕄2 là tập các ma trận vuông cấp hai với phép cộng và nhân ma trận với một số

thực thông thường Chứng minh rằng 𝕄2 là một không gian vectơ Hỏi mỗi tập dưới đây có là không gian vectơ con của 𝕄2 hay không:

5.7 Hỏi mỗi tập dưới đây có phải là không gian con của P3 không:

a Các đa thức a0 + a1x + a2x2 + a3x3 trong đó a0 = 0

b Các đa thức a0 + a1x + a2x2 + a3x3 trong đó a0 + a1 + a2 + a3 = 0

c Các đa thức a0 + a1x + a2x2 + a3x3 trong đó a0, a1, a2, a3 là các số nguyên

5.8 Hãy biểu diễn vectơ x thành tổ hợp tuyến tính của vectơ u, v, w:

ui = fi + fi+1, i = 1, , n-1

un = fn + f1Chứng tỏ rằng hệ {u1, , un} độc lập tuyến tính nếu n lẻ, phụ thuộc tuyến tính nếu n chẵn

b Với k cho trước 1 < k < n, xét hệ vectơ:

vi = fi, i = 1, , k

vi = ∑kj=1fj + fi, i = k+1, , n Chứng minh rằng hệ {v1, , vn} độc lập tuyến tính

5.15 Giải thích tại sao các tập sau không phải là cơ sở của không gian tương ứng:

d Các vectơ có dạng (a, b, c) trong đó b = a + c

5.19 Xác định số chiều và một cơ sở của không gian nghiệm của các hệ sau:

b Các vectơ có dạng (a, b, c, d) trong đó d = a + b, c = a – b

c Các vectơ có dạng (a, b, c, d) trong đó a = b = c = d

5.21 Tìm một cơ sở và số chiều của không gian con của ℝ4 sinh bởi các vectơ sau:

c Tìm ma trận chuyển cơ sở từ B’ sang B

5.25 Xét các cơ sở B = {u1, u2, u3} và B’ = {v1, v2, v3} của ℝ3 trong đó:

u1 = (-3, 0, -3), u2 = (-3, 2, 1), u3 = (1, 6, -1), v1= (-6, -6, 0), v2= (-2, -6, 4), v3=(-2, -3, 7)

a Tìm ma trận chuyển từ cơ sở B’ sang cơ sở B

b Tính ma trận toạ độ [w]B, [w]B′ trong đó w = (-5, 8, -5)

c Tìm ma trận chuyển cơ sở từ B’ sang B

5.26 Xét các cơ sở B = {p1, p2} và B’ = {q1, q2} của P2 trong đó:

p1 = 6 + 3x, p2 = 10 + 2x, q1= 2, q2= 3 + 2x

a Tìm ma trận chuyển từ cơ sở B’ sang cơ sở B

b Tính ma trận toạ độ [p]B, [p]B′ trong đó p = -4 + x

c Tìm ma trận chuyển cơ sở từ B sang B’

5.27 Gọi V là không gian sinh bởi f1 = sinx và f2 = cosx

a CMR g1 = 2sinx + cosx và g2 = 3cosx tạo thành một cơ sở của V

b Tìm ma trận chuyển từ cơ sở B’ = {g1, g2} sang B = {f1, f2}

c Tính ma trận toạ độ [h]B với h = 2sinx – 5cosx và suy ra [h]B′

d Tìm ma trận chuyển từ cơ sở B sang B’

CHƯƠNG VI: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TRỊ RIÊNG VÀ VECTƠ RIÊNG (4 tiết) 6.1 Ánh xạ f: ℝ2 ⟶ ℝ2 dưới đây có phải là tuyến tính không:

6.4 Gọi 𝕄mxn là tập các ma trận cỡ mxn Cho B là một ma trận cỡ 2 x 3 hoàn toàn xác

định Chứng minh rằng ánh xạ T: 𝕄2x2 ⟶ 𝕄2x3 định nghĩa bởi T(A) = A.B là ánh xạ tuyến tính

)) = (3

0), T((

001

c Tìm T((

xyz)

6.6 Cho T: ℝ2 ⟶ ℝ2 là một ánh xạ nhân với ma trận:

−8 4 )

a Hỏi vectơ nào dưới đây thuộc Im(T)

tuyến tính trong không gian các đa thức R[x] Hãy xác định KerT và ImT

6.8 Cho ánh xạ tuyến tính T: P2 ⟶ P3 xác định bởi T(p(x)) = xp(x)

a Hỏi phần tử nào thuộc Ker(T): x2, 0, 1 + x

b Phần tử nào thuộc Im(T): x + x2, 1 + x, 3 - x2

6.9 V là một không gian vectơ, cho T: V ⟶ V xác định bởi T(v) = 3v

6.11 V là không gian n chiều Tìm hạng của ánh xạ tuyến tính T: V ⟶ V xác định bởi:

6.18 Giả sử E là một Q – không gian vectơ hai chiều B = {e1, e2} là một cơ sở của E

a Chứng minh B’ = {e′1, e′2} với e′1 = e1 + e2, e′2 = e1 - e2 là một cơ sở của E

b Tìm ma trận chuyển P từ cơ sở B sang cơ sở B’ và ma trận chuyển P’ từ cơ sở B’ sang B

6.21 Cho T: P2 ⟶ P2 xác định bởi:

T(a0 + a1x + a2x2) = (5a0 + 6a1 + 2a2) – (a1 + 8a2)x + (a0 - 2a2)x2

Tìm giá trị riêng và cơ sở của không gian riêng của T

6.22 Chứng minh rằng các ma trận sau không chéo hoá được:

a A chéo hoá được nếu (a − d)2 + 4bc > 0

b A không chéo hoá được nếu (a − d)2 + 4bc < 0

CHƯƠNG VII: DẠNG SONG TUYẾN TÍNH VÀ DẠNG TOÀN PHƯƠNG KHÔNG GIAN EUCLID (6 tiết)

7.1 Tính tích vô hướng Euclid trong ℝ2:

a CMR: <p, q> = a0b0 + a1b1 + a2b2 là một tích vô hướng trên P2

b Áp dụng để tính tích vô hướng của: p = -1 + 2x + x2, q = 2 - 4x2

c Kiểm tra bất đẳng thức Cauchy – Schwarz

7.4 Với tích vô hướng Euclid trong ℝ3, hãy xác định k để u và v trực giao:

a u = (2, 1, 3), v = (1, 7, k)

b u = (k, k, 1), v = (k, 5, 6)

7.5 Với tích vô hướng Euclid trong ℝ4, hãy tìm hai vectơ có chuẩn bằng 1 và trực giao

với các vectơ sau:

u = (2, 1, -4, 0), v = (-1, -1, 2, 2), w = (3, 2, 5, 4)

7.6 Xét không gian C[0, π] là tập các hàm số liên tục trên [0, π] với tích vô hướng:

<f, g> = ∫ 𝑓(𝑥)𝑔(𝑥)𝑑𝑥0π

và xét các hàm số fn(x) = cosnx, n = 0, 1, 2,

Chứng minh rằng fk và fl trực giao với nhau nếu k ≠ l

7.7 Chứng minh rằng họ sau là một họ trực giao trong ℝ4 với tích vô hướng Euclid

7.9 Trong ℝ3 xét tích vô hướng Euclid Hãy tìm một cơ sở trực chuẩn trong không gian

con sinh bởi các vectơ (0, 1, 2) và (-1, 0, 1)

7.10 Trong không gian ℝ3 xét tích vô hướng <u, v> = u1v1 + 2u2v2 + 3u3v3 Hãy áp dụng

trực giao hoá Gram – Schmidt để biến: