SKKN Giúp học sinh định hướng nhanh cách giải một số dạng toán nguyên hàm, tích phân Mẫu 1 (1) MỤC LỤC SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ TRƯỜNG THPT TRIỆU SƠN 5 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM GIÚP HỌC SINH ĐỊNH HƯỚNG NHANH CÁCH GIẢI MỘT SỐ DẠNG TOÁN NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN Người thực hiện Lê Thị Hằng Chức vụ Giáo viên SKKN môn Toán THANH HOÁ NĂM 2017 SangKienKinhNghiem net MỤC LỤC Đề mục Trang 1 Mở đầu 1 1 1 Lí do chọn đề tài 1 1 2 Mục đích nghiên cứu 1 1 3 Đối tượng nghiên cứu 1 1 4 phương pháp nghiên[.]
Trang 1Mẫu 1 (1)
MỤC LỤC
- -SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
DẠNG TOÁN NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN
Người thực hiện: Lê Thị Hằng Chức vụ: Giáo viên
SKKN môn : Toán
Trang 2
MỤC LỤC
Trang 31 MỞ ĐẦU.
1.1 Lí do chọn đề tài
Để giúp học sinh giải một số bài toán nguyên hàm, tích phân trong các kỳ thi, đặc biệt là kỳ thi THPT quốc gia Để học sinh giải nhanh các bài toán trắc nghiêm
mà không chỉ đơn thuần dùng máy tính Casio mà phải sử dụng các kiến thức cơ bản một cách hợp lí, sử dụng một cách linh hoạt các phương pháp giải nguyên hàm, tích phân một cách nhanh nhất Muốn vậy phải bồi dưỡng năng lực tư duy độc lập, tư duy tích cực và tư duy sáng tạo của học sinh và kỹ thuật tính nhanh, trước tiên phải trang bị cho các em nền kiến thức cơ bản phổ thông vững trắc, các khả năng giải các dạng bài tập Muốn vậy, người giáo viên phả vận dụng các phương pháp khác nhau, hướng các em vào một môi trường hoạt động tich cực, xem học tập là một quá trình tự khám phá liên tục Học tập phải thực sự là nhu cầu, mang đậm tính tự giác, chủ động và sáng tạo của học sinh Người thầy giỏi phải giúp học sinh xem xét một bài toán dưới nhiều góc độ khác nhau, kích thích sự liên tưởng, kết nối giữa giả thiết và yêu cầu của bài toán Giữa bài toán chưa biết cách giải với bài toán quen thuộc đã biết cách giải Biết phân tích, tổng hợp, và so sánh, từng trường hợp riêng lẻ để giải một bài toán nhanh nhất Với lý do trên tôi đã
chọn chọn đề tài “giúp học sinh định hướng nhanh cách giải một số dạng toán nguyên hàm, tích phân”
phú và đa dạng, nó cũng là bài toán mà ta rất hay sử dụng vào thực tế như: Tính diện tích hình phẳng, thể tích vật thể tròn xoay Thời lượng trong phân phối chương trình thì ít ỏi Vì vậy tôi mạnh dạn đưa ra sáng kiến kinh nghiệm này với mục đích giúp học sinh giải một cách nhanh gọn một số bài tập nguyên hàm, tích phân Giúp các em đạt hiệu quả cao trong các kỳ thi, đặc biệt là kỳ thi THPT Quốc gia
Trong chương trình giải tích 12, kiến thức về nguyên hàm và tích phân chiếm một phần rất quan trọng Tuy nhiên các bài toán về nguyên hàm tích phân chưa nhiều và chỉ dừng lại ở các bài toán đơn giản, chưa có nhiều phương nhiều phương pháp và kỹ thuật giải từng dạng cho học sinh Học sinh chỉ mới giải các bài toán theo một hướng nhất định nào đó Do đó các bài toán về nguyên hàm tích phân chưa khai thác được hết cách giải Qua quá trình giảng dạy học tập, tìm hiểu sách vở và đặc biệt mạng internet tôi nhận thấy việc dạy cho học sinh định hướng giải một cách nhanh nhất một bài toán là rất cần kiến
để phù hợp với việc giải toán cho các kỳ thi đặc biệt là kỳ thi THPT Quốc gia rất cấp bách như hiện nay
1.5 Những điểm mới của sáng kiến kinh nghiệm
Khi tôi được phân công dạy môn Toán khối 12 tôi nhận thấy nếu cứ dạy theo
học sinh rất mơ hồ, không nhận dạng được các bài toán để giải
Trang 4quyết nhanh được.Từ đó tôi đã có suy nghĩ là làm cách nào để các em có thể giải quyết nhanh các bài toán nguyên hàm, tích phân Trong quá trình giảng dạy tôi đã tích lũy được “giúp học sinh định hướng nhanh cách giải một số dạng toán nguyên hàm, tích phân”
Dựa vào định nghĩa tích phân Các tính chất của tích phân Các phương pháp tính tích phân, ứng dụng tích phân để tính diện tích, thể tích
Học sinh chỉ biết vận dụng định nghĩa, định lí một cách máy móc mà không phân loại được thành từng dạng
2.3.1 Xác định nguyên hàm tích phân bằng phương pháp phân tích
Phương pháp chung:
Bước 1: Biến đổi f(x) về dạng:
f(x) =
n
i
i
i f x
1
) (
với fi(x) là nguyên hàm trong bảng công thức và i là các hằng số
Bước 2: Khi đó:
i
i i i
n
i
i f x dx f x dx dx
x
f
1 1
) ( )
( )
e
dx I
1
Giải: Sử dụng đồng nhất thức:
1 = (1 + ex) – ex
Ta được:
x x x
x
x x x
x x x
e
e d dx dx
e
e I
e
e e
e e e
1
1 1
1
1
1 1
1 1
1
= x - ln(1 + ex) + C
0
dx I
x 5x 6
A I = 1 B.I ln4 C I = ln2 D I = ln2
3
Nhận xét : -Nếu học sinh không biết cách phân tích đưa về dạng đã gặp
thì bài toán này rất khó giải quyết
- Ở ví dụ 2 ta sử dụng phương pháp đồng nhất thức
2 3
6 5
1
2 x
b x
a x
x
Trang 5- Nếu bậc của tử cao hơn bậc của mẫu thì ta có thể chia tử cho mẫu trước rồi mới thực hiện đồng nhất thức
Ví dụ 3: Giả sử khi đó a+b là
2
2 ) ( 2
sin 3 sin 4
0
b a xdx
A 1 B 1 C D
6
10
5
Ở ví dụ 3 ta thấy rằng muốn tính được nguyên hàm tích phân ta phải biến đổi lượng giác tích thành tổng sin3x.sin2x = (cosx – cos5x )
2 1
Như vậy: Nếu ta gặp hàm lượng giác ở dạng tích thì cách làm nhanh nhất thường là biến đổi tích thành tổng
2.3.2 Xác định nguyên hàm tích phân bằng phương pháp đổi biến số.
Phương pháp đổi biến số được sử dụng khá phổ biến trong việc tính tích phân Phương pháp đổi biến số để xác định nguyên hàm và dựa vào định lí sau
Định lý1:
a.Nếu f(x)dx = F(x) + C và u = (x) là hàm số có đạo hàm thì:
f(u)du = F(u) + C
b Nếu hàm số f(x) liên tục thì khi đặt x = (t) trong đó (t) cùng với đạo hàm ’(t) là những hàm số liên tục, ta được:
f(x)dx = f[(t)].’(t)dt
Định lý 2:
a Nếu f(x)dx = F(x) + C và u = (x) là hàm số có đạo hàm trên [a,b] thì:
) (
) (
)
(
)
(
) ( )
(
b
a
b
a
u F du u
f
b Nếu f(x) là hàm số xác định và liên tục trên đoạn [a,b], hàm số x = (t) xác định và liên tục trên đoạn [, ] và thoả mãn các điều kiện sau:
(i) Tồn tại đạo hàm ’(t) liên tục trên đoạn [, ]
(ii) () = a và ( ) = b
(iii) Khi đó : b
a
dt t t f dx x f
( ) '( ) )
(
Tuy nhiên cái khó của phương pháp này là cách chọn hàm x = (t) hay u =
(x) sao cho phù hợp với từng bài toán cụ thể
Lưu ý: Các dấu hiệu dẫn tới việc lựa chọn ẩn phụ:
Trang 62 2
x
a
t t a x
t t
a x
0 , cos
2 2
, sin
2 2
a
x
2 , , 0 , cos
0 , 2
, 2
, sin
t t
t
a x
t t
t
a x
x a
x a x a
x a
xabx x= a + (b – a)sin2t
Hàm f(x, f (x)) t = f (x)
Hàm f(x) =
xaxb
Hàm f(x) = f(lnnx; )
x
1 2
x x
dx I
Giải: Đổi biến số:
xdx tdt
x t x
t 2 1 2 2 1
Ta có:
C x
x
C t
t
dt t
t t
dt t
t
tdt
x x
xdx x
x
dx I
1 1
1 1 ln
2
1
1
1 ln 2
1
1
1 1
1 2
1 1 1
1 1
2 2
2 2
2 2 2
3x x2 1
dx I
Giải:
Đặt:
Trang 73 8
2 3
1
1
2 2
t x
t x
x
tdt dx t
xdx dx x
x dt
x
t
Khi đó:
t t
t
dt t t
tdt x
x
tdt x
x
dx
1 1
1 2
1 1 1
1
2
2
3 ln 2
1 1
1 ln
2
1
1 ln 1 ln 2
1 1
1 1
1 2 1
3 2
3 2 3
2
t t
t t
dt t
t I
2.3.3 Tính tích phân bằng phương pháp tích phân từng phần.
Nhận xét : Khi gặp các dạng sau thì ta dùng phương pháp tích phân từng phần
Dạng 1: P(x)axdx, P(x)sin(ax +b)dx, P(x)cos(ax + b)dx
đặt: u = P(x)
Dạng 2 : P(x)logaxdx
Đặt u = loga x
Dạng 3 : eaxsinbxdx, eaxcosbxdx
nên dùng tích phân từng phần hai lần để tính với cách đặt: u = eaxhoặc u = sinbx ;
u = cosbx
Sau đây là ví dụ nhằm minh hoạ cho tính phổ biến và tiện lợi của phương pháp này:
1
) 1 ln(
2
2
dx x
x x x
1 )
1 ln(
2
2
dx x
x x
x
1
1
1 1 1
1
1 ln
2
2 2
2
2 2
x v
x
dx dx
x x x
x
du dx
x
x dv
x x u
Đặc biệt :Khi bài toán là bài thi trắc nghiệm
Ví dụ 2 : Gọi F(x) = ( ax3 + bx2 +cx + d )ex là nguyên hàm của hàm số
f(x) = ( 2x3 + 9x2 - 2x + 5 )ex Tính a2 + b2 +c2 +d2
A 244 B 247 C 245 D 246
Trang 8- Như vậy khi gặp dạng tích phân này ta tính như thế nào ?
- Cũng dùng tích phân từng phần nhưng để tính nhanh ta làm như sau :
F(x) = f(x)ex - f’(x)ex + f”(x)ex - f’’’(x)ex sau đó ta cộng tổng các bình phương của các hệ số và chọn đáp án đúng
Nhận xét: Nếu ta dùng tích phân từng phần thì rất rắc rối và dài dòng và dẫn đến thời gian làm bài rất lâu, nên trong quá trình giảng bài tôi đưa ra cách tính nhanh như vậy để có kết quả nhanh trong quá trình làm bài trắc nghiệm
2.3.4 Xác định tích phân bằng phương pháp dựng nguyên hàm phụ.
Phương pháp xác định nguyên hàm của hàm số f(x) bằng kỹ thuật dựng hàm phụ xuất phát từ ý tưởng chủ đạo là tìm kiếm một hàm g(x) sao cho nguyên hàm của các hàm số f(x) g(x) dễ xác định hơn, từ đó suy ra nguyên hàm F(x) của hàm
số f(x).Để xỏc định nguyên hàm của hàm số f(x) theo phương pháp này, ta tiến hành thực hiện theo các bước sau:
- Bước 1: Tìm kiếm hàm số g(x).
- Bước 2: Xác định các nguyên hàm của các hàm số f(x) g(x), tức là:
' ) ( ) ( ) (
) ( ) ( ) (
C x B x G x
F
C x A x G x
F
- Bước 3: Từ hệ trên ta nhận được: F(x) = [A(x) + B(x)] + C.
2 1
Đối với phương pháp này, điều khác là cách tìm hàm số g(x) như thế nào để sao cho việc giải bài toán là dễ dàng hơn
x x
x
cos sin
sin
x x
x
cos sin
cos
Gọi F(x) và G(x) theo thứ tự là nguyên hàm của các hàm số f(x), g(x) Ta có: f(x) + g(x) =
x x
x x
cos sin
cos sin
Suy ra:
x F C
x x G x F
C x x
x G x F
C x dx x
G x F
x x
x x
x g x
f
C x x
x x
x x
d dx x x
x x
x G x
F
cos sin
ln 2
1 ) ( '
) ( ) (
cos sin
ln ) ( ) (
' )
( ) (
1 cos sin
cos sin
) ( )
(
cos sin
ln cos
sin
) cos (sin
cos sin
cos sin
) ( )
(
Để xác định tích phân của các hàm số lượng giác ta dùng cá phương pháp sau:
a)Sử dụng các nguyên hàm cơ bản
Trang 9b) Các hàm phân thức hữu tỉ đối với các hàm số lượng giác
c ) Sử dụng phương pháp biến đổi các công thức lượng giác
d) Phương pháp đổi biến
I = R(sinx, cosx)dx, ta giải bằng cách đổi biến lựa chọn một trong các hướng sau:
- Hướng 1: Nếu R( - sinx, cosx) = -R(sinx, cosx) đổi biến t = cosx.
- Hướng 2: Nếu R(sinx, - cosx) = -R(sinx, cosx) đổi biến t = sinx.
- Hướng 3: Nếu R(-sinx, - cosx) = R(sinx, cosx) đổi biến t = tgx.
- Hướng 4: Mọi trường hợp đều có thể đưa về tích phân các hàm hữu
tỉ bằng phép đổi biến t = tg
2
x
e)Phương pháp tích phân từng phần
f)Sử dụng nguyên hàm phụ
0 2
2 sin
2
2 sin
dx x
x I
Giải: Nhận xét
) cos , (sin
sin 2
) cos ( sin 2 sin
2
cos sin 2 sin
2
2 sin )
cos ,
x x
R
x
x x
x
x x x
x x
x R
Từ nhận xét ta đổi biến
Đặt: t = sinx, khi đó dt = cosxdx
Đổi cận: x = 0 t = 0;
x = t = -1
2
Khi đó:
điều kiện:
f ' (1) = 2 ;
2
0
f (x)dx 4
2 A
B 2
2 A
A 2
B 2
2 A
B 2
HD: f ' (x) = A.cosx f ' (1) = - A mà f ' (1) = 2 A = 2
2
0
f (x)dx
0
f (x)dx 4
2.3.6 Tích phân các hàm số hữu tỉ :
Trang 10Để xác định cách tính tích phân hàm số hữu tỉ ta cần linh hoạt lựa chọn một trong
các phương pháp cơ bản sau:
a)Phương pháp tam thức bậc hai
b)Phương pháp phân tích c)Phương pháp đổi biến
d)Phương pháp tích phân từng phần
e)Sử dụng các phương pháp khác nhau: có thể kết hợp việc dựng công thức
đổi biến số với kĩ thuật phân tích ra số hạng đơn giản hoặc tích phân từng
phần
Tuy nhiên, chọn cách sử dụng phương pháp nào cần phải căn cứ vào dạng
của từng bài toán cụ thể
3 4
1 0
2 4
x x
dx I
Giải: Biến đổi:
1 1
1 2
1 3 1
1 3
4
1
2 2
2 2
2 4
x x
x x
x x
Khi đó :
0
1 0 2 2
3 1
2
1
x
dx x
dx I
+) Ta đi xác định tích phân 1
0 2 1
1
x
dx I
Đặt x = tgt, 2 2;
t
Suy ra:
t tg
dt t tg x
dx dt
t tg
1
1 1
&
1
Đổi cận: x = 0 t = 0;
x = 1 t = 4
Khi đó: 4
0
4 0 1
4
t dt I
+) Ta đi xác định tích phừn 1
0 2 2
3
x
dx I
Đặt x = 3 tgt, ;
2 2
t
Trang 11Suy ra: dt.
t tg
dt t tg x
dx dt
t tg dx
3
1 )
1 ( 3
1 3 3
&
1
2 2
Đổi cận: x = 0 t = 0;
x = 1 t =
6
Khi đó
3 6 3
1 3
0
6 0 2
I
Từ đó ta có:
3 6 4 2
1
trên, cụ thể ở ví dụ trên ta đã sử dụng đồng thời hai phương pháp là phương pháp phân tích và phương pháp đổi biến
0 2
1
là
A 30 B 40 C 50 D 60
2.3.7.Tích phân của các hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối.
Để tính tích phân : ta thực hiện theo các bước sau:
b
a
dx m x f
+) Bước 1: Xétt dấu biểu thức f(x,m) trên đoạn [a, b] Từ đố phân đoạn [a,
b] thành các đoạn nhỏ mà trên mỗi đoạn đó f(x, m) có một dấu xác định, giả sử:
[a, b] = [a, c1] [c1, c2] … [ck, b]
+) Bước 2: Khi đó ta có :
1
1
) , (
) , ( )
, (
c
c
b c
c
dx m x f dx
m x f dx m x f I
1 0
dx a x x I
Giải: Ta xét các trường hợp sau:
Trường hợp 1: Nếu a 1, khi đó ta có:
3
1 2 2
3 )
(
1 0
2 3 1
0
x x a dx x ax a
I
Trang 12Trường hợp 2: Nếu 0 < a < 1, khi đó ta có:
3
1 2 3 2 3 2 3
1 2
3
2 3 2
3
) ( )
(
3 3 3 3
3
1 2 3 0
2 3
1 0
a a a a a a
a
ax x
ax
x
dx a x x dx a x
x
I
a
a a a
2.3.8.Một số tích phân đặc biệt :
Khi làm các bài toán nguyên hàm tích phân chúng ta thường lúng túng khi gặp một số bài toán đặc biệt: Sử dụng tính chẵn , lẻ của hàm số
Nếu hàm số y = f(x) là hàm lẻ thì
0 )
( dx x f
Ví dụ 1 : = 0
4
4
5
tan
xdx
Nếu hàm số y = f(x) là hàm chẵn thì
0 ) ( 2 ) (x dx f x dx f
Và
a
x f x dx a
dx x f
0 ) ( 1
) (
Ví dụ 2 : dx x dx
e
x
1
0 4 1
1
4
2.3.9.Một số bài tập trắc nghiệm :
Câu 1: Tích phân 1 2 bằng:
0
I (3x 2x 1)dx
Câu 2: Tích phân 2 bằng:
0
I sin xdx
Câu 3: Tích phân 1 2 bằng:
0
I (x 1) dx
3
7 3
Câu 4: Tích phân 1 x 1 bằng:
0
I e dx
Trang 13Câu 5: Tích phân 4 bằng:
3
x 1
x 2
A -1 + 3ln2 B 2 3ln 2 C 4 ln 2 D.1 3ln 2
Câu 6: Tích phân 1 2 bằng:
0
x 1
x 2x 5
5
1 8 ln
2 5
8
2 ln 5
8
2 ln 5
Câu 7: Tích phân e bằng:
1
1
x
e
Câu 8: Tích phân 1 x bằng :
0
I e dx
Câu 9: Tích phân 2 2x bằng :
0
I 2e dx
Câu 10: Tích phân 2 2 bằng:
4 1
1
x
8
23 8
21 8
25 8
Câu 11: Tích phân e bằng:
1
1
x 3
A ln e 2 B ln e 7 C.ln 3 e D
4
ln 4 e 3
Câu 12: Tích phân 3 bằng:
3 1
I x 1 dx
Câu 13: Tích phân bằng:
2
2 1
1
2x 1
2
1 15
1 4
Câu 14: Tích phân 1 2 bằng:
0
dx I
x 5x 6
3
Trang 14Câu 15: Tích phân: 3 bằng:
0
xdx J
(x 1)
8
4
Câu 16: Tích phân 3 2 bằng:
2
x
x 1
A K = ln2 B K = 2ln2 C K ln8D
3
2 3
Câu 17: Tích phân 3 2 bằng:
1
I x 1 x dx
3
3
3
3
Câu 18: Tích phân 1 bằng:
0
dx
x 2
Câu 19: Tích phân 1 Giá trị của bằng:
0
2dx
ln a
3 2x
Câu 20: Cho tích phân 1 3 , với cách đặt thì tích phân đã cho bằng
0
1 xdx
t 1 x
với tích phân nào ?
1 3 0
0
0
t dt
0
3 tdt
Câu 21: Tích phân ln 2 x bằng:
0
I xe dx
1 ln 2
1 ln 2
ln 2 1
1 ln 2
4
Câu 22: Tích phân 2 2 bằng:
1
ln x
x
1 ln 2
1 ln 2
ln 2 1
1 ln 2
4
Câu 23: Giả sử 5 Giá trị của K là:
1
dx
ln K 2x 1
Câu 24: Biến đổi 3 thành , với Khi đó f(t) là hàm nào
0
x dx
1 1 x
1
f t dt
t 1 x
trong các hàm số sau: