SKKN Kỹ thuật quy về hình chiếu vuông góc của một điểm lên một mặt phẳng để giải bài toán tính khoảng cách trong hình học không gian lớp 11 1 1 MỞ ĐẦU 1 1 Lý do chọn đề tài Toán học là bộ môn quan trọng trong chương trình phổ thông Việc giảng dạy và học tập môn Toán không những trang bị cho học sinh những kiến thức, rèn luyện cho học sinh các kỹ năng và phương pháp tư duy toán học cụ thể Mà còn áp dụng những kiến thức đó trong cuộc sống cũng như trong các bộ môn khoa học khác mới là điều quan tr[.]
Trang 11 MỞ ĐẦU 1.1 Lý do chọn đề tài
Toán học là bộ môn quan trọng trong chương trình phổ thông Việc giảng dạy và học tập môn Toán không những trang bị cho học sinh những kiến thức, rèn luyện cho học sinh các kỹ năng và phương pháp tư duy toán học cụ thể Mà còn áp dụng những kiến thức đó trong cuộc sống cũng như trong các bộ môn khoa học khác mới là điều quan trọng
Trong chương trình toán THPT, sách giáo khoa Hình học 11 cơ bản các bài toán tính khoảng cách giữa các đối tượng trong hình học không gian được đưa ra khá đơn giản, học sinh chưa được tiếp cận với cách tính cụ thể dẫn đến phần lớn học sinh học phần hình học không gian lớp 11 đặc biệt là bài toán khoảng cách các em còn gặp rất nhiều vướng mắc Với suy nghĩ làm thế nào để học sinh tự tìm ra và tháo gở những vướng mắc trong khi học hình học không gian lớp 11, hiểu rõ bản chất, thực hiện thành thạo kỹ năng tính khoảng cách và
có hứng thú với môn học này Từ đó, các em có thể tự học, tự tìm tòi và khám phá những điều hay, những cái mới của môn Toán Và từ kinh nghiệm giảng dạy của mình, để giúp học sinh nâng cao năng lực tư duy và có thêm kiến thức để tự tin hơn trong việc giải quyết các bài toán khó Đồng thời giúp cho quý Thầy, Cô
và các bạn đồng nghiệp dạy Toán có thêm một tài liệu tham khảo trong quá trình giảng dạy bộ môn của mình Vì vậy, tôi chọn đề tài:
'' Kỹ thuật quy về hình chiếu vuông góc của một điểm lên một mặt phẳng để giải bài toán tính khoảng cách trong hình học không gian lớp 11''.
1.2 Mục đích nghiên cứu
+ Giúp các em học sinh lớp 11 rèn luyện kĩ năng giải bài toán tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng trong hình học không gian lớp 11 bằng cách quy về một điểm là hình chiếu vuông góc của một điểm lên một mặt phẳng
và các em biết lựa chọn phương pháp tối ưu để giải các bài toán tính khoảng cách, đặc biệt là khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau dưới dạng câu hỏi
tự luận cũng như dưới dạng câu hỏi trắc nghiệm như hiện nay Từ đó giúp các
em phát triển, nâng cao năng lực tư duy và tạo hứng thú giải các bài toán khó + Chia sẻ kinh nghiệm dạy học với quý Thầy, Cô và các bạn đồng nghiệp
1.3 Đối tượng nghiên cứu
Bài toán tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng là bài toán cơ bản về tính khoảng cách
Tìm phương pháp, kỹ thuật quy về điểm hình chiếu vuông góc của một điểm lên một mặt phẳng để tính khoảng cách trong hình học không gian lớp 11
Phân biệt và lựa chọn phương pháp tối ưu để tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau trong không gian và áp dụng vào câu hỏi trắc nghiệm một cách linh hoạt hơn
Trang 2Phạm vi áp dụng: Đề tài này có thể áp dụng rộng rãi cho các em học sinh lớp 11, 12 ôn thi THPT Quốc Gia , các em học sinh giỏi và tất cả Thầy, Cô giáo giảng dạy môn Toán ở các trường trung học phổ thông tham khảo
1.4 Phương pháp nghiên cứu
Phương pháp nghiên cứu của đề tài được xây dựng trên cơ sở lý thuyết bộ môn toán, thực tiễn giảng dạy và đối tượng học sinh được áp dụng:
+ Tìm hiểu thực trạng về đổi mới phương pháp dạy học môn Toán, đặc biệt là phương pháp truyền đạt nội dung kiến thức môn hình học không gian lớp 11 + Tìm hiểu về thực trạng học tập môn hình học không gian ở trường Trung học
phổ thông
+ Tìm hiểu về kĩ năng sử dụng thiết bị, sơ đồ tư duy trong học tập hình học không gian lớp 11
+ Tổ chức thực hiện đề tài vào thực tế dạy học tại trường THPT Như Thanh + Tiến hành so sánh, đối chiếu và đánh giá về hiệu quả của đề tài khi áp dụng cho các lớp học sinh đã được giảng dạy
Nghiên cứu tài liệu
Trang 32 NỘI DUNG 2.1 Cơ sở lý luận
Hiện nay, nền giáo dục nước ta đang đổi mới và áp dụng những phương pháp giáo dục hiện đại, nhằm phát huy năng lực tự học, năng lực tư duy sáng tạo, và năng lực giải quyết vấn đề của người học
Việc đổi mới phương pháp dạy và học trong nhà trường phổ thông đang được thực hiện Việc đổi mới này nhắm đến người học, người học làm trung tâm, chủ động tìm hiểu và giải quyết vấn đề Người dạy là người hướng dẫn, định hướng cho người học, tạo hứng thú cho người học
Hình học không gian là môn học có cấu trúc chặt chẽ, nội dung phong phú,
là môn học đòi hỏi học sinh có tư duy lôgic, trí tưởng tượng không gian, và tính sáng tạo cao Đặc biệt là bài toán tính khoảng cách là bài toán khó yêu cầu học sinh phải có vốn kiến thức tổng hợp về hình không gian, hình học phẳng từ vẽ hình đến các kiến thức cơ bản để vận dụng vào bài toán cụ thể
Vì vậy, là giáo viên tôi phải áp dụng nhiều phương pháp giáo dục khác nhau trong dạy học phù hợp với từng đối tượng học sinh Trong đó, việc tổ chức các hoạt động học tập để giúp các em học sinh nắm bắt được những kiến thức cơ bản của hình học không gian nói chung và bài toán tính khoảng cách nói riêng Bồi dưỡng cho các em khả năng tự học, tự nghiên cứu, độc lập tư duy và nhất là tạo cho các em có sự hứng thú trước các vấn đề khó hay các bài toán khó Từ đó giúp các em đạt được kết quả cao trong quá trình học tập và vận dụng được các kiến thức, kỹ năng được học vào hoạt động thực tiễn
2.2 Thực trạng của vấn đề
Thực trạng học môn Toán hiện nay ở các trường THPT là một bộ phận không nhỏ các học sinh học toán nhưng không hiểu rõ bản chất, chưa chủ động tìm hiểu sâu về một vấn đề dẫn đến các em gặp phải nhiều khó khăn trong quá trình học tập môn toán cũng như các môn học khác
Ở trường các em học sinh được học sách Hình học 11 cơ bản, các bài tập tương đối đơn giản nhưng trong thực tế bài tập có yêu cầu cao hơn; hình thức thi trắc nghiệm cũng đòi hỏi học sinh phải giải quyết nhanh các bài toán dẫn đến học sinh đã không mấy hứng thú với môn hình học không gian lại còn thấy lúng túng và bế tắc hơn
Giáo viên còn hạn chế trong việc nâng cao hiệu quả sử dụng phương pháp, phương tiện, công cụ, thiết bị đồ dùng dạy học bộ môn, phần lớn giáo viên mới chỉ dừng lại ở mức trang bị lý thuyết và giao nhiệm vụ cho học sinh với một vài bài tập cụ thể mà chưa khai thác bài toán ở nhiều dạng khác nhau, dẫn đến học sinh chưa hứng thú học tập môn hình học không gian, kết quả học tập của học sinh còn hạn chế
Bên cạnh đó còn có nguyên nhân như các em chưa xác định đúng đắn động cơ học tập, chưa có phương pháp học tập cho từng bộ môn, từng phân môn hay từng chuyên đề mà giáo viên đã cung cấp cho học sinh Cũng có thể do
Trang 4chính các thầy cô chưa chú trọng rèn luyện cho học sinh, hay phương pháp truyền đạt kiến thức chưa tốt làm giảm nhận thức của học sinh
Từ thực trạng trên, là giáo viên dạy Toán trực tiếp giảng dạy khối lớp 11, tôi đã mạnh dạn đưa ra giải pháp sau để các em học sinh có kỹ năng tính khoảng cách giữa các đối tượng trong hình học không gian lớp 11 thành thạo và có thể vận dụng vào các bài toán khác cũng như môn học khác
2.3 Giải pháp và tổ chức thực hiện
2.3.1 Giải pháp để giải quyết vấn đề được nêu:
Bước 1 Tổ chức cho học sinh nắm bắt các kiến thức cơ bản về lí thuyết
Bài 5: Khoảng cách (SGK Hình học 11, cơ bản) theo phân phối chương trình
dạy học
Bước 2 Tổ chức bồi dưỡng rèn luyện kĩ năng quy về điểm hình chiếu
vuông góc của một điểm lên một mặt phẳng để tính khoảng cách giữa các đối tượng trong không gian
Thời lượng thực hiện thông qua thời lượng các tiết dạy học tự chọn Qua đây cũng rèn luyện khả năng tự học, phương pháp tư duy sáng tạo và tạo hứng thú học môn hình học không gian cũng như giải các bài toán khó cho học sinh
2.3.2 Tổ chức thực hiện giảng dạy nội dung:
Bài toán tính khoảng cách trong hình học không gian lớp 11
Phần I Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng, đến một mặt phẳng
a) Kiến thức cần nhớ ( SGK Hình học 11, cơ bản).
+ d(M, a) = MH trong đó là hình chiếu của trên a (Hình 1) H M
+ d(M, (P)) = MH trong đó là hình chiếu của trên H M mp P( ) ( Hình 2)
+ Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong
thì d vuông góc với
( )
+ Nếu hai mặt phẳng vuông góc với nhau thì bất kì đường thẳng nào nằm trong mặt phẳng này và vuông góc với giao tuyến thì vuông góc với mặt phẳng kia.
b) Bài toán 1: Tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng bằng cách sử dụng điểm hình chiếu vuông góc của một điểm lên một mặt phẳng
Giáo viên tổ chức hoạt động cho học sinh rèn luyện kỹ năng tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.
Trang 5Cho một điểm M và mp P( )
không chứa M , xác định khoảng cách
từ M đến mp(P)? Vì khoảng cách
( Hình 2) nên luôn ( ,( ))
nằm trên một mp Q( ) nào đó mà
vuông góc với Vì vậy,
( )
để xác định khoảng cách này ta cần
làm theo các bước sau:
Bước 1 Dựng mp Q( ) đi qua và vuông góc với M mp P( )
Bước 2 Xác định giao tuyến d của mp P( )và mp Q( )
Bước 3 Kẻ MH vuông góc với d tại H thì: MH ( )P d M P( ,( ))MH
Lưu ý: Các trường hợp đặc biệt :
+ Hình chóp đều có hình chiếu vuông góc của đỉnh lên mặt đáy là tâm của đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy
+ Hình chóp có các cạnh bên bằng nhau hoặc cùng tạo với mặt đáy một góc bằng nhau thì hình chiếu vuông góc của đỉnh lên mặt đáy là tâm của đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy
+ Hình chóp có các mặt bên cùng tạo với mặt đáy một góc thì hình chiếu vuông góc của đỉnh lên mặt đáy là tâm của đường tròn nội tiếp đa giác đáy
c) Áp dụng.
Ví dụ 1 Cho hình chóp S ABCD có ABCD là hình vuông cạnh bằng a SA
vuông góc với đáy và SA2a Tính khoảng cách
a) Từ đến D mp SAC( ) b) Từ đến A mp SBC( ) Hướng dẫn giải
a) ( Học sinh dễ dàng tính được)
Ta có: BD AC BD, SA
2 ( ,( ))
2
a
b) Giáo viên cần hình thành cho học sinh tìm
khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng
qua ba bước sau:
Bước 1: Xác định được BC (SAB)
BC SBC SBC SAB
Bước 2: SB(SBC)(SAB)
Bước 3:Trong (SAB) kẻ AH SB tại H thì AH (SBC), suy ra
( ,( ))
d A SBC AH
5
a
5
a
d A SBC
Trang 6Ví dụ 2 Cho hình chóp S ABC đều có cạnh bằng , là trọng tâm của tam a G
giác ABC Tính khoảng cách
a) Từ đến S mp ABC( ) b) Từ đến G mp SBC( )
Hướng dẫn giải
a) ( Học sinh áp dụng trường hợp đặc biệt)
là hình chóp đều nên trọng tâm của tam giác cũng là tâm
đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Ta có: SG(ABC)
mà
3
a
SG SA AG d G ABC( ,( )) 6
3
a
b) Giáo viên tiếp tục rèn luyện cho
học sinh tìm khoảng cách từ một điểm
đến một mặt phẳng qua ba bước sau:
Ta có: M là trung điểm của BC
BC AM BCSM BC SAM
hay (SBC)(SAM), và
(SBC)(SAM)SM
Kẻ GH SM tại , suy ra: H
GH SBC d G SBC GH
GH GM GS a a a
9
a
GH d G SBC( ,( )) 6
9
a
Nhận xét 1: Trong Ví dụ 2 nếu thay yêu cầu tính khoảng cách từ điểm G đến
mp(SBC) bằng tính khoảng cách từ trung điểm N của AB đến mp(SBC) thì việc tìm mp(Q) qua N và vuông góc với (SBC) khá là khó đối với học sinh khi mới làm quen với bài toán tính khoảng cách Vì vậy, giáo viên gợi mở cho học sinh
có thể tính khoảng cách đó bằng cách quy về tính khoảng cách từ G đến (SBC), ( G là hình chiếu vuông góc của điểm S lên (ABC)) và sử dụng kết quả sau:
* Nếu M N, không thuộc mp P( ) mà
cắt mp(P) tại và thì:
NI ( ,( )) ( ,( ))
d M P k d N P
Thậtvậy,
'
( Hình 3) ( ,( )) ( ,( ))
d M P k d N P
Trang 7Ví dụ 2 c) Tính khoảng cách từ ( trung N
điểm của ) đến ( AB SBC )?
Giải:
Ta có:
d N SBC d G SBC
(theo câu b) Ví dụ 2).
Ví dụ 3.( Trích đề thi tuyển sinh- Khối A – 2014, môn Toán) Cho hình chóp
có đáy là hình vuông cạnh bằng a, , hình chiếu vuông
2
a
SD góc của S lên mặt phẳng (ABCD) là trung điểm của AB Tính khoảng cách từ
điểm A đến mp SBD( )
Phân tích bài toán: để tính khoảng
cách từ điểm A đến (SBD) ta cần dựng
được hình chiếu vuông góc của A lên
, tuy nhiên nếu việc làm này
(SBD)
khó khăn thì ta có thể dùng cách khác
để tính d A SBD( ,( )) Nếu theo Nhận
xét 1 ta có thể quy về tính khoảng cách
khác Vậy, ta có thể quy d A SBD( ,( ))
về tính khoảng cách từ điểm nào đến
? Điểm đó có gì đặc biệt?
(SBD)
Áp dụng Bài toán 1.
+ Học sinh lập luận và đưa ra lời giải:
Bước 1: Quy d A SBD( ,( )) về d H SBD( ,( ))
Bước 2: Tính d H SBD( ,( )) với H là hình chiếu vuông góc của S lên (ABCD).
Giải
Gọi là trung điểm của H AB, nên SH (ABCD) Ta có:
AB 2 d A SBD( ,( )) 2 ( ,(d H SBD))
Kẻ HM BD tại thì M BD(SMH)hay (SBD)(SMH),(SBD)(SMH)SM Trong (SMH)kẻ HK SM tại , suy ra: K d H SBD( ,( ))HK Ta có:
5, D2 2 , 2
HD SH S HD a HM Tam giác SHM vuông tại , H HK là đường cao nên:
3
a HK
HK HM HS a a a
Trang 8Vậy ( ,( )) 2 ( ,( )) 2 .
3
a
d A SBD d H SBD
Nhận xét 2: Trong các ví dụ trên việc tích khoảng cách từ một điểm A đến một
mặt phẳng ( ) chúng ta đều phải dựng hình chiếu vuông góc của A lên ( ) Bài P P
toán dễ dàng giải được nếu ta quy khoảng cách đó về khoảng cách từ điểm M
đến ( ), mà là hình chiếu vuông góc của một điểm trên ( ) lên ( ) nào P M N P Q
đó và ( ) phải cắt ( ). Q P
Khi đó việc tính khoảng cách từ đến ( ) như sau: A P
+Bước 1: Sử dụng Nhận xét 1 quy
về
( ,( ))
d A P d M P( ,( ))
+Bước 2: Tính d M P( ,( ))
- Kẻ MI vuông góc với giao tuyến d
của ( ) và ( ) tại P Q I
- Kẻ MH NI tại thì H MH ( )P , suy
ra: ( ,( )) d M P MH
Ví dụ 4 Cho hình lăng trụ đứng tam giác đều ABC A B C ' ' ' có AA'2AB2a
, G là trọng tâm của tam giác ABB' Tính khoảng cách từ điểm đến G
( ' ')
mp AB C
Giải
Gọi là tâm của O ABB A' ', ta có: 1
GO
A O
=> ( ,( ' ')) 1 ( ',( ' '))
3
d G AB C d A AB C
Gọi M là trung điểm của B C' ', ta có:
=>
A M B C B C AA B C' '(AA M' )
hay(AB C' ')(AA M' )và(AB C' ')(AA M' )AM
Trong (AA M' ) kẻ A H' SM tại , suy ra: H
A H AB C ( ',(d A AB C' ')) A H'
và
3
'
2
a
A H A M A A
3a 4a 12a
19
a
A H ( ',(d A AB C' ')) 2 57
19
a
Vậy ( ,( ' ')) 1 ( ',( ' '))
3
57
a
Trang 9Phần II Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song, giữa hai mặt phẳng song song
a) Kiến thức cần nhớ ( SGK Hình học 11, cơ bản)
+ d(a,(P)) = d(M,(P)) với a // (P), M là điểm bất kì nằm trên a ( Hình 4) + d((P),(Q)) = d(M,(P)) với (P) // (Q), M là điểm bất kì nằm trên (Q) (Hình 5).
b) Bài toán 2: Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song, giữa hai mặt phẳng song song
Phương pháp giải:
Bước 1 Bằng định nghĩa chuyển khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng
song song, giữa hai mặt phẳng song song về khoảng cách từ một điểm đến một
mặt phẳng.( tức là chuyển Bài toán 2 về Bài toán 1)
Bước 2 Giải Bài toán 1.
c) Áp dụng.
Ví dụ 5 Cho hình chóp S ABCD có tất cả các cạnh bẳng a Tính khoảng cách
giữa AB và (SCD)
Giải
Ta có: AB/ /CD AB/ /(SCD) nên
d AB SCD d A SCD
Gọi O là tâm của ABCD thì
mà , suy ra:
OC ( ,(d A SCD))2 ( ,(d O SCD))
Gọi M là trung điểm của CD Ta có:
CD SOM (SCD)(SOM)
(SCD)(SOM)SM
Trong (SOM) kẻ OH SM tại thì H OH (SCD) nên d O SCD( ,( ))OH
4 3
a OH
OH OS OM a a Vậy d AB SCD( ,( ))2 ( ,(d O SCD))=2 3=
4
2
a
Trang 10Ví dụ 6 Cho hình lập phương ABCD A B C D ' ' ' ' có cạnh bẳng a Gọi M N P, , lần lượt là trung điểm của AB C D, ' ' và B C' ' Tính khoảng cách:
a) Giữa BC' và (AB D' ') b) Giữa (MNP)và (AB D' ')
Giải
a) Ta có BC'/ /AD'BC'/ /(AB D' '), suy ra: d BC( ', (AB D' '))d C( ', (AB D' ')) Gọi là tâm của O A B C D' ' ' ', vì OA' AC' nên d C( ', (AB D' '))d A( ', (AB D' '))
Ta có: B D' '(OAA') hay (AB D' ')(OAA') mà (AB D' ')(OAA') AO
Kẻ A H' OA tại thì H A H' (AB D' ') suy ra d A( ', (AB D' ') ) A H'
' 3
a
A H
A H A A A O a a d BC( ', (AB D' ') ) 3
3
a
b) Ta có:
/ / ', / / ' ' ( ) / /( ' ')
nên d MNP(( ), (AB D' ') )d N( , (AB D' ') )
Gọi là giao của I A N' và B D' ' thì là I trọng
tâm của tam giác A C D' ' ', suy ra: 1,
' 2
NI
A I
khi đó:
1 ( , ( ' ') ) ( ', ( ' ') )
2
6
a
(theo câu a))
Vậy d MNP(( ), (AB D' ') ) = 3
6
a
Nhận xét 3: Trong các Ví dụ 5, Ví dụ 6 thì việc tính khoảng cách giữa các đối
tượng đều dùng kỹ thuật quy về khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng và
điểm đó phải là hình chiếu vuông góc của một điểm lên một mặt phẳng Đây
là kỹ thuật rất cần thiết và quan trọng mà học sinh cân có trong tính khoảng cách.
Phần III Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
a) Kiến thức cần nhớ ( SGK Hình học 11, cơ bản)
a) Đường thẳng d cắt cả a, b và cùng vuông
góc với a, b được gọi là đường vuông góc
chung của a, b
b) Nếu d là đường thẳng vuông góc và cắt a,
b tại M N, thì MN được gọi là đoạn vuông
góc chung của a, b
c) Độ dài đoạn vuông góc chung MN của a,
b được gọi là khoảng cách giữa a, b