SKKN Những vấn đề cần lưu ý khi giải một số bài toán hình học trong lập trình

SKKN Những vấn đề cần lưu ý khi giải một số bài toán hình học trong lập trình MỤC LỤC 1 PHẦN 1 MỞ ĐẦU 2 1 LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI 2 2 MỤC ĐÍCH CỦA ĐỀ TÀI 2 3 ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU CỦA ĐỀ TÀI 2 3 PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU CỦA ĐỀ TÀI 2 PHẦN 2 NỘI DUNG 3 I – BIỂU DIỄN CÁC ĐỐI TƯỢNG CƠ BẢN CỦA HÌNH HỌC 3 I 1 Biểu diễn điểm, đoạn thẳng và đường thẳng 3 I 2 Kiểu dữ liệu số 3 II THUẬT TOÁN GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH HỌC CƠ BẢN 4 II 1 Tính toán hoặc so sánh độ dài của đoạn thẳng, chu vi, diện tích các hình 4 II 2[.]

MỤC LỤC 1

PHẦN 1 MỞ ĐẦU 2

1 LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI 2

2 MỤC ĐÍCH CỦA ĐỀ TÀI 2

3 ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU CỦA ĐỀ TÀI 2

3 PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU CỦA ĐỀ TÀI 2

PHẦN 2 NỘI DUNG 3

I – BIỂU DIỄN CÁC ĐỐI TƯỢNG CƠ BẢN CỦA HÌNH HỌC 3

I.1 Biểu diễn điểm, đoạn thẳng và đường thẳng 3

I.2 Kiểu dữ liệu số 3

II THUẬT TOÁN GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH HỌC CƠ BẢN 4

II.1 Tính toán hoặc so sánh độ dài của đoạn thẳng, chu vi, diện tích các hình 4

II.2 Vị trí tương đối giữa ba điểm liên tiếp A, B, C: 5

II.3 Phương trình đường thẳng 5

II.4 Vị trí tương đối giữa điểm và đường thẳng 6

II.5 Xác định điểm M có thuộc đoạn thẳng P 1 P 2 6

II.6 Xác định điểm M có thuộc tia AB 7

II.7 Xác định vị trí tương đối giữa 2 điểm M 1 ,M 2 so với đường thẳng p 1 p 2 7

II.8 Vị trí tương đối của 2 đường thẳng 8

II.8 Xác định 2 đoạn thẳng có giao nhau hay không 9

III MỘT SỐ BÀI TOÁN CƠ BẢN VỀ ĐA GIÁC 9

1 Một số định nghĩa 9

1.1 Đường gấp khúc 9

1.2 Đa giác 9

1.3 Đa giác tự cắt 9

1.4 Đa giác lồi 9

1.5 Định lý về bao lồi 10

2 Một số bài toán cơ sở: 10

2.1 Tính diện tích một đa giác 10

2.2 Kiểm tra đa giác lồi 10

2.3 Vị trí tương đối một điểm và đa giác 11

2.4 Tìm bao lồi có chu vi nhỏ nhất 14

PHẦN 3 KẾT LUẬN 19

Tài liệu tham khảo 20

PHỤ LỤC: MỘT SỐ BÀI TẬP VÍ DỤ 21

PHẦN 1 MỞ ĐẦU

1 LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI

Giải các bài toán có nội dung hình học luôn là một phần quan trọng trong chương trình tin học hiện nay Khi giải các bài toán về hình học bằng lập trình,

có một số công việc sẽ xuất hiện với các em học sinh học tin học, đầu tiên là việc đưa được ra mô hình toán thứ đến nữa là phải chuyển đổi mô hình toán đó thành chương trình Có điều khó khăn là, khi giải các bài toán về hình học việc

so sánh giá trị của hai đối tượng nào đó thường phải xử lý dưới dạng số nguyên (máy tính so sánh hai số thực có khi không chính xác), hơn nữa trong tin học việc giải các bài toán hình học lại thiên về việc xử lý trên rất nhiều đối tượng vì vậy cách thức tổ chức dữ liệu, cách thức xây dựng công thức, phương pháp tính toán là những vấn đề cần hệ thống lại để xây dựng cho các em học sinh có cách nhìn tổng quan về vấn đề này, giúp các em không bị rối khi lập trình giải các bài toán hình học Tuy nhiên các tài liệu như sách giáo khoa Tin học, sách bài tập Tin học chưa đi sâu vào vấn đề này

Vì những lý do nói trên nên trong đề tài này tôi đã mạnh dạn trình bày những kinh nghiệm của mình tích lũy được trong quá trình giảng dạy về lập trình giải các bài toán hình học, với mong muốn đề tài này có thể có ích cho học sinh, bạn bè đồng nghiệp và những người yêu lập trình

2 MỤC ĐÍCH CỦA ĐỀ TÀI

Đề tài có mục đích đưa ra các cấu trúc dữ liệu phù hợp để biểu diễn các yếu tố hình học, xây dựng các công thức (Thuật toán) giải các bài toán hình học

cơ bản Ngoài ra trong phần phụ lục của đề tài còn đưa ra một số bài toán hình học thường gặp và thuật toán giải để bạn đọc tham khảo

3 ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU CỦA ĐỀ TÀI

Các cấu trúc dữ liệu để biểu diễn các đối tượng hình học, các thuật toán giải các bài toán hình học cơ bản, một số bài toán hình học thường gặp và thuật toán giải chúng

3 PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU CỦA ĐỀ TÀI

- Xây dựng cơ sở lý thuyết

- Điều tra khảo sát thực tế, đối sánh

PHẦN 2 NỘI DUNG

I – BIỂU DIỄN CÁC ĐỐI TƯỢNG CƠ BẢN CỦA HÌNH HỌC

I.1 Biểu diễn điểm, đoạn thẳng và đường thẳng

Như chúng ta đã biết, các khái niệm: điểm, đoạn thẳng, đường thẳng là những đối tường cơ bản nhất trong hình học nói chung Để biểu diễn các đối tượng nói trên trong tin học có nhiều cách khác nhau, tuy nhiên ta có thể sử dụng cách biểu diễn bằng các cấu trúc dữ liệu như sau:

Type

// Điểm

Point = record

x,y : longint

// Đường thẳng, đoạn thẳng

Line = Record

p1, p2 : Point

//Đa giác, tập hợp điểm

Polygon = Array[1 MAXN] of Point

Để thuận lợi thì khi biểu diễn đa giác ta cũng có thể thêm hai đỉnh ở đầu

và cuối: đỉnh 0 bằng đỉnh n và đỉnh n + 1 bằng đỉnh 1

Điều cần lưu ý ở đây là ta có thể dùng hai biến đơn x, y để biểu diễn một điểm, nhưng nếu như vậy khi càn biểu diễn một tập hợp nhiều điểm ta phải dùng hai mảng hoặc một mảng hai chiều, điều này sẽ không lợi khi phải sắp xếp các điểm này theo một thứ tự nào đó

I.2 Kiểu dữ liệu số

Trong các bài toán hình học, phần lớn các đối tượng đều được thể hiện trên hệ trục tọa độ Descartes, việc biểu diễn các thành phần tọa độ có thể sử dụng cả kiểu số thực và kiểu số nguyên của ngôn ngữ lập trình Một số kiểu dữ liệu của Pascal hay sử dụng

+ Kiểu số nguyên:

Tên kiểu Phạm vi Dung lượng

Shortint -128 → 127 1 byte

Integer -32768 → 32767 2 byte

LongInt -2147483648 → 2147483647 4 byte

+ Kiểu số thực:

Tên kiểu Phạm vi Dung lượng

Single 1.5×10-45 → 3.4×10+38 4 byte

Double 5.0×10-324 → 1.7×10+308 8 byte

Extended 3.4×10-4932 → 1.1×10+4932 10 byte

Trong khi sử dụng kiểu dữ liệu kiểu số thực, mặc dù chỉ khi ta dùng Double hoặc Extended ta mới phải khai báo biên dịch ở chế độ {$N+}, nhưng ta nên lúc nào cũng làm như vậy Vì khi đó máy tính sẽ dùng bộ đồng xử lý toán học, các phép toán với số thực sẽ thực hiện nhanh chẳng kém gì so với số nguyên (thậm chí còn nhanh hơn nếu ta dùng kiểu số thực Double)

II THUẬT TOÁN GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH HỌC CƠ BẢN

II.1 Tính toán hoặc so sánh độ dài của đoạn thẳng, chu vi, diện tích các hình

Đối với đoạn thẳng, việc tính toán hay so sánh độ dài của đoạn thẳng này với đoạn thẳng khác dựa trên tọa độ sẽ không thể thực hiện được một cách chính xác nếu như trong công thức có xuất hiện dấu căn Thay vào đó ta phải viết biến đổi công thức toán học thành một dạng khác sao cho không còn xuất hiện dấu căn thức

- Để so sánh độ dài của hai đoạn thẳng, đoạn thẳng thứ nhất nối giữa hai

điểm M1(x1; y1) , M2(x2;y2) và đoạn thẳng thứ hai nối giữa hai điểm M3(x3; y3),

M4(x4;y4)

Function EQA (x,y : doan) : boolean;

EQA := true;

if sqr(x.hc – x.hd) + sqr(x.tc – x.td) = sqr(y.hc – y.hd) + sqr(y.tc – y.td)

{ x.hc là hoành độ điểm cuối đoạn x, x.hd là hoành độ điểm đầu

End;

Ở đây chúng ta cần lưu ý là ta đã so sánh bình phương độ dài hai đoạn thẳng, điều này giúp giảm chi phí tính toán đồng thời không phải so sánh 2 số thực nếu tọa độ nguyên

- Điều kiện 3 điểm A(XA,YA), B(XB,YB), C(XC,YC) thẳng hàng: (XA-XB)*(YA-YC) = (XA-XC)(YA-YB)

II.2 Vị trí tương đối giữa ba điểm liên tiếp A, B, C:

Có 3 khả năng xảy ra:

(B.x - A.x)(C.y - B.y) - (B.y - A.y)(C.x-B.x)

B x A x C x B x

k

B y A y C y B y

0 0 0

k







 Nếu k = 0 thì ba điểm A, B, C thẳng hàng, k <0 thì rẽ phải tại B, k > 0 thì

ta có rẽ trái tại B

Khi lập trình ta có thể dùng hàm như sau:

Function CCW (A,B,C : point) : integer;

Begin

If (B.x - A.x)*(C.y - B.y) - (B.y - A.y)*(C.x-B.x)= 0 then exit(0);

If (B.x - A.x)*(C.y - B.y) - (B.y - A.y)*(C.x-B.x)< 0 then exit(1)

Else exit(-1);

End;

II.3 Phương trình đường thẳng

Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt P1, P2 có dạng:

f(x,y) = (x- P 1 x)*(P 2 y – P 1 y) - (y – P 1 y)*(P 2 x – P 1 x) = 0.

Viết dưới dạng tổng quát : f(x,y) = Ax + By + C = 0 như sau:

f(x,y)=(P 2 y – P 1 y) x +(P 1 x – P 2 x) y +((P 2 x – P 1 x)*P 1 y - (P 2 y – P 1 y)*

P 1 x)=0 ฀ f(x,y)=(P 2 y – P 1 y) x +(P 1 x – P 2 x) y +P 2 x*P 1 y - P 2 y * P 1 x=0.

Ở đây chúng ta không nên sử dụng phương trình đường thẳng dạng y=ax+b vì nếu p1p 2 vuông góc với trục ox thì sẽ bị sai

Để tính giá trị của hàm f(x,y) đi qua hai điểm p1; p2 tại một điểm p3 ta có thể sử dụng đoạn chương trình:

Function fx (p1,p2,p3 : point) : real;

Begin

exit(p3.x*(p2.y – p1.y) + p3.y*(p1.x – p2.x) + ( p2.x*p1.y-p1.x*p2.y));

End;

II.4 Vị trí tương đối giữa điểm và đường thẳng

Cho 3 điểm P1, P2, M, Vị trí tương đối giữa M và so với vector p p1, 2, xác

uuuuuur

định như sau:

VT := (p2.x-p1.x)(M.y-p1.y)-(p2.y-p1.y)(M.x-p1.x);

- Nếu VT>0 thì M bên trái véctơ p p1 , 2

uuuuuu r

- Nếu VT<0 thì M bên phải véctơ p p1 , 2

uuuuuu r

- Nếu VT=0 thì M nằm trên đường thẳng chứa véctơ p p1 , 2

uuuuuu r

Function PoInLn (p1,p2,M : point) : integer;

Var temp : longint;

Begin

Temp:=(p2.x-p1.x)*(M.y-p1.y)-(p2.y-p1.y)*(M.x-p1.x);

If Temp = 0 then exit(0);

If Temp > 0 then exit(1) Else exit(-1);

End; { hàm = 1 thì M bên trái p p1 , 2, hàm = -1 thì M bên phải}

uuuuuu r

II.5 Xác định điểm M có thuộc đoạn thẳng P 1 P 2

M thỏa 2 điều kiện sau:

- M nằm trên đường thẳng p1p2

- Tọa độ M thỏa : (M.x>=min(p1.x,p2.x)) and (M.x<=max(p1.x,p2.x)) and (M.y>=min(p1.y,p2.y)) and (M.y<=max(p1.y,p2.y)))

Function PoInLi (p1,p2,M : point) : boolean;

Var temp : longint;

Begin

Temp:=PoInln(p1, p2,M);

Exit((Temp=0) and (M.x>=min(p1.x,p2.x)) and

(M.x<=max(p1.x,p2.x))

and (M.y>=min(p1.y,p2.y)) and (M.y<=max(p1.y,p2.y))) ;

End;

II.6 Xác định điểm M có thuộc tia AB

Điểm M thuộc tia AB nếu M thuộc đường thẳng AB và uuuuAMr k AB.uuur với k

≥0:

f(M.x,M.y)=0, (M.x-A.x)( B.x-A.x)>=0 và (M.y-A.y)( B.y-A.y)>=0

Function PinRay (p1,p2,M : point) : boolean;

Var temp : longint;

Begin

Temp:=PoInln(p1, p2,M);

Exit((Temp=0) and ((M.x-A.x)*( B.x-A.x)>=0) and

((M.y-A.y)*( B.y-A.y)>=0));

End;

II.7 Xác định vị trí tương đối giữa 2 điểm M 1 ,M 2 so với đường thẳng

p 1 p 2

Function Po2PoLi (p1,p2,M1,M2 : point) : boolean;

Var temp1, Temp2 : longint;

Begin

Temp1:= PoInLi (p1,p2,M1 : point);

Temp2:= PoInLi (p1,p2,M2 : point) ;

Exit(Temp1 *Temp2 >= 0);

II.8 Vị trí tương đối của 2 đường thẳng

Cho 4 điểm A, B, C, D Vị trí tương đối giữa 2 đường thẳng qua 2 điểm

AB và qua 2 điểm CD được xác định như sau:

- Tính hệ số A1, B1, C1 của đường thẳng AB

- Tính hệ số A2, B2, C2 của đường thẳng CD

2 2

a b d

a b

2 2

x

c b d

c b







1 1

2 2

x

a c d

a c



- Nếu D<>0 thì cắt nhau

- Ngược lại

- Nếu (dx=0) and (dy=0) thì trùng nhau - Ngược lại song song

Function Pos2Li(var I:Point;A,B,C,D: Point): integer;

Var a1, b1, c1, a2, b2, c2:real; d, dx, dy: real;

Begin

Extract(A,B,a1, b1, c1); // tìm các hệ số a1, b1, c1.

Extract(C,D,a2, b2, c2); // tìm các hệ số a2, b2, c2.

d:=a1*b2- a2*b1;

dx:= c2*b1- c1*b2;

dy:= a1*c2- a2*c1;

If (d = 0) then

If (dx= 0) and (dy= 0) then exit(0) // trùng nhau

Else exit(-1) // song song Else // d<>0

Begin I.x:=dx/d; I.y:=dy/d; exit(1);

End;

End;

II.8 Xác định 2 đoạn thẳng có giao nhau hay không

Hai đoạn thẳng giao nhau nếu thỏa điều kiện:

- Hai đường thẳng qua 2 điểm đó phải cắt nhau tại một điểm I

- Và I thuộc 2 đoạn thẳng

Cần lưu ý điều kiện thứ hai, có nhiều học sinh hay bỏ sót điều kiện này

Function Intersect1(A,B,C,D: Point; var I:Point): boolean;

Begin

Exit((Pos2Li(I,A,B,C,D)=1) and PoInLi(I,A,B) and PoInLi(I,C,D);

End;

III MỘT SỐ BÀI TOÁN CƠ BẢN VỀ ĐA GIÁC

1 Một số định nghĩa

Một đường gấp khúc trên mặt phẳng gồm 1 dãy liên tiếp các đoạn thẳng [A1,A2], [A2,A3],…, [Ak-1,Ak], mỗi đoạn thẳng được gọi là cạnh, các đầu mút của các đoạn thẳng gọi là đỉnh

1.2 Đa giác

Một đa giác là một đường gấp khúc khép kín tức điểm Ak trùng với điểm

A1

1.3 Đa giác tự cắt

Một đa giác được gọi là tự cắt nếu có hai cạnh không liên tiếp có điểm chung

1.4 Đa giác lồi

Một đa giác lồi được gọi là lồi nếu đa giác luôn nằm cùng một phía đối với đường thẳng đi qua một cạnh bất kỳ Đa giác lồi là đa giác không tự cắt

Với một tập hữu hạn M các điểm trên mặt phẳng(có ít nhất 3 điểm không thẳng hàng) ta luôn tìm được một tập con H của M sao cho H là tập các đỉnh của đa giác lồi P mà mọi điểm của M đều thuộc đa giác này.

2 Một số bài toán cơ sở:

// Công thức diện tích kiểu tích phân.

1

1

2

n

S   x x y  y

Function Area(P:polygon;n:longint):int64;

Var i:longint; S:real;

Begin

S:=0;

For i:=1 to n do S:= S+(P[i+1].x-P[i].x)*(P[i+1].y+P[i].y)/2;

Exit(abs(S));

End;

Ở đây cần chú ý là P[n+1] trùng với điểm P[1] Mặt khác cách tính này học sinh lớp 11 chưa được biết vì vậy khi đưa ra công thức ta có thể không cần chứng minh để khỏi sa vào dài dòng, quá sức học sinh

Kiểm tra dựa theo định nghĩa:

Function Convex (P:polygon;n:longint):boolean;

Var i,j,l,k:longint;

For i:=1 to n do

Begin

l:=i+1; if l=n+1 then l:=1; // đỉnh kế với i k:=i+2; if l=n+1 then k:=1; // đỉnh xét cùng phía

for j:=1 to n do // vét tất cả các đỉnh //

if (j<>i) and (j<>k) and

(j<>l) and (not Pos2PoLi(P[i],P[l],P[k],P[j]))

then exit(false);

End;

exit(true);

End;

+ Đối với đa giác lồi

Điểm thuộc đa giác nếu điểm nằm trên các cạnh hoặc thuộc miền đa giác

Ta thấy nếu xét các cạnh của đa giác theo 1 chiều nào đó thì điểm M thuộc

đa giác nếu nằm cùng 1 bên (trái hoặc phải) với mọi vector cạnh cuả đa giác

Function Inside (P:polygon;n:longint;M:point):boolean;

Var i:longint; VT, VT1:integer;

If PoInLi(P[1], P[2],M) then exit(true);

VT:=PosPoVec(P[1],P[2],M);

For i:=2 to n do

Begin

If PoInLi(P[i], P[i+1],M) then exit(true);

VT1:=PosPoVec(P[i],P[i+1],M);

If (VT* VT1)<0 then exit(false);

end;

exit(true);

End;

+ Đối với đa giác bất kỳ:

- Vẽ trục song với trục tung với tọa độ x=max{các hoành độ}+1

- Vẽ đoạn thẳng song song với trục hoành và cắt trục vẽ bên trên Ta nhận xét nếu số giao điểm với đa giác là số lẻ thì điểm thuộc đa giác Còn ngược lại điểm nằm ngoài đa giác

- Các trường hợp cắt sau ta chỉ tính cắt tại 1 giao điểm:

Function Inside (P:polygon;n:longint;M:point):boolean;

Var I,count:longint; I,N point; xmax:real;

Begin

P[n+2]:=P[2]; // phần tử cầm canh Ta có sẵn P[0]:=P[n], P[n+1]:=P[1]

Count:=0; // đếm số giao điểm

xmax:=findxmax(P); // tìm hoành độ lớn nhất của đa giác

N.x:=xmax+1; // điểm N

N.y:=M.y;

For i:=1 to n do

Begin

If PoInLi(P[i],P[i+1],M) then exit(true); // M thuộc cạnh

If not PoInLi(M,N,P[i]) then

Begin

(Intersect(M,N,P[i],P[i+1],I))

then inc(count) // trường hợp 3

Else if not PoInLi(M,N, P[i+2]) and (not Pos2PoLi(M,N,P[i],P[i+2]))

then inc(count); // trường hợp 1

End;

Else if PoInLi(M,N, P[i+1]) and (not Pos2PoLi(M,N,P[i-1],P[i+2]))

Then inc(count) // trường hợp 2

End;

If (count mod 2 <> 0) then exit(true);

Exit(false);

End;

Bài toán: Cho tập M gồm N điểm phân biệt.Tìm tập con H của M sao cho H

là tập các đỉnh của đa giác lồi chứa tất cả các điểm của M trong miền đa giác đó .

Đây là một giải thuật rất “con người” Bắt đầu bằng việc chọn một điểm chắc chắn thuộc bao, dùng một tia quét ngược chiều kim đồng hồ cho đến khi gặp một điểm khác, ta được thêm một đỉnh thuộc bao, lại tiếp tục với điểm vừa tìm được…Quá trình kết thúc khi gặp lại đỉnh đầu tiên

Có nhiều cách chọn điểm đầu tiên, một trong cách đó là ta chọn điểm có hoành độ nhỏ nhất trong các điểm có tung độ nhỏ nhất

Một điều đáng chú ý ở đây là việc quét một tia ngược theo chiều kim đồng

hồ để tìm điểm đầu tiên chạm phải thực chất là ta tìm điểm mà tia nối từ điểm gốc tới nó tạo với trục hoành một góc bé nhất (điều này khá dễ hiểu) Vì vậy chúng ta cũng cần phải biết cách tính góc khi cho điểm gốc và điểm cần xét đã Nhưng chỉ với việc sắp xếp (tìm góc nhỏ nhất) thôi mà phải làm phức tạp đến vậy thì thật là uổng công Ta có thể đưa ra một thứ tự hoàn toàn giống với việc tính góc cụ thể mà chương trình thì đơn giản hơn nhiều:

function Angle(p1, p: Point): Real;

var

dx, dy, ax, ay, t: Real;

begin {p là điểm gốc}