SKKN Một số kinh nghiệm giải bài toán hình học không gian bằng phương pháp tọa độ trong không gian

SKKN Một số kinh nghiệm giải bài toán hình học không gian bằng phương pháp tọa độ trong không gian 1 I ĐẶT VẤN ĐỀ 1 Lí do chọn đề tài Trong chương trình toán THPT, thời lượng dành cho phần hình học không gian chiếm khá nhiều (chương 2 và chương 3 hình học 11,chương 1 và chương 2 hình học 12) Chúng ta đều biết muốn dạy và học tốt được nội dung này đòi hỏi sự công phu của cả thầy và trò Nhưng đối với đa số học sinh thì hình học luôn là một bộ môn khó học,các em ngại học hình đặc biệt là hình học k[.]

I ĐẶT VẤN ĐỀ

1 Lí do chọn đề tài:

Trong chương trình toán THPT, thời lượng dành cho phần hình học không gian chiếm khá nhiều (chương 2 và chương 3 hình học 11,chương 1 và chương 2 hình học 12).Chúng ta đều biết muốn dạy và học tốt được nội dung này đòi hỏi

sự công phu của cả thầy và trò Nhưng đối với đa số học sinh thì hình học luôn

là một bộ môn khó học,các em ngại học hình đặc biệt là hình học không gian.Các em gặp khó khăn từ khâu vẽ hình,cách nhìn hình đến việc vận dụng linh hoạt các tính chất của hình học không gian vào giải toán.Chúng ta có ba phương pháp giải bài toán hình không gian:

1) Phương pháp véc tơ 2) Phương pháp hình học tổng hợp 3) Phương pháp tọa độ trong không gian

Ta có thể thấy phương pháp véc tơ không được sử dụng phổ biến, phương pháp hình học tổng hợp gặp rất nhiều khó khăn nhất là đối với những bài toán định lượng.Trong khi đó phương pháp tọa độ lại có những ưu điểm vượt trội.Sử dụng phương pháp tọa độ sau khi xác định được tọa độ của một số điểm cần thiết học sinh có thể “thoát li” khỏi hình vẽ Bài toán hình học khi đó được “đại số hóa ”

vì thế trở nên dễ dàng hơn đối với học sinh

Trong thực tế giảng dạy tôi nhận thấy rằng nếu một bài toán giải được bằng hai cách: phương pháp hình học tổng hợp và phương pháp tọa độ không gian thì học sinh thường lựa chọn phương pháp tọa độ để giải toán nhưng việc sử dụng phương pháp tọa độ vào giải toán hình không gian lại không được giới thiệu một cách chính thức trong chương trình phổ thông

Mặt khác chúng ta đều biết trong cấu trúc đề thi đại học luôn có một điểm dành cho phần hình học không gian

Xuất phát từ những lí do đó mà tôi chọn đề tài: “ Một số kinh nghiệm giải

bài toán hình học không gian bằng phương pháp tọa độ trong không gian ”.

Thông qua đó hy vọng rằng phương pháp tọa độ trong không gian sẽ đem lại cho các bạn sự thoải mái, sáng tạo và lí thú

2 Mục đích viết đề tài:

*) Với người dạy: Thông qua đề tài này tôi muốn giúp các em học sinh có thể thay đổi cách nhìn về bài toán hình học không gian, để nó không còn là “nỗi sợ hãi” của các em nữa mà thậm chí còn là lựa chọn thích thú của các em trong các

kỳ thi

*) Với người học : Khơi dậy và tạo nên niềm yêu thích cho các em đối với

bộ môn Toán nói chung và phần hình học không gian nói riêng.Từ đó nâng cao chất lượng học và đặc biệt hơn là nâng cao kết quả thi đại học của các em

II NỘI DUNG

A Cơ sở lí luận của vấn đề:

Thực tế giảng dạy hình học không gian tại lớp 11B6 trường THPT Lam Kinh tôi đã gặp rất nhiều khó khăn, ở đây đối tượng học sinh chủ yếu là trung bình,các em gần như bất lực trước “ hình không gian”

Bên cạnh đó cũng là hình không gian nhưng là “hình học tọa độ trong không gian” tại lớp 12A2 và 12A4 mà tôi giảng dạy thì học sinh không chỉ hứng thú

mà còn học rất nhanh, rất tốt

Vậy lí do là gì? Làm sao để khắc phục?

Chúng ta biết rằng, phương pháp tọa độ chiếm một vị trí quan trọng Cùng với những phương pháp khác,phương pháp tọa độ là một trong những phương pháp hiệu quả để giải bài toán hình học.Vậy giải pháp tối ưu ở đây là: “đưa phương pháp tọa độ vào giải toán hình học không gian”

Các bước để giải bài toán bằng phương pháp toạ độ trong không gian: Bước1: Chọn hệ trục tọa độ thích hợp từ đó suy ra tọa độ các điểm cần thiết Bước 2: Thiết lập biểu thức giải tích cho các giá trị cần xác định, thông thường

bao gồm:

1) Độ dài đoạn thẳng: AB=   2  2 2

B A B

A B

2) Khoảng cách từ điểm A(x 0 ;y 0 ;z 0 ) đến (P) : ax+ by +cz +d = 0 là:

d(A,(P))=

2 2 2

0 0 0

c b a

d cz by ax











3) Khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và CD: d(AB,CD)=  

AB CD

AC CD AB

,

,

4) Góc giữa hai đường thẳng AB và CD: cos(AB,CD)=

CD AB

CD AB.

5) Góc giữa đường thẳng AB và (P) có véctơ pháp tuyến n

sin(AB,(P))= AB n.

AB n

uuu r r uuu r r

6) Góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) lần lượt có véctơ pháp tuyến là , n1 n2

cos((P),(Q))= cos( n1,n2) =

2 1

2 1

n n

n n

7) Thể tích khối tứ diện ABCD: V= AB, ACAD [3], [4]

6 1

B Thực trạng của đề tài:

1 Về kiến thức : Nhiều tính chất, định lí của hình học không gian chỉ dừng lại

ở việc nêu mà không chứng minh khiến học sinh nhớ còn khó chưa nói đến vận dụng vào giải toán

2 Về kĩ năng : Khả năng vẽ hình, nhìn hình không gian của nhiều học sinh

còn yếu, nhất là đối với các bài toán về góc, khoảng cách,các bài toán định lượng

3 Về tư duy : Các em phải tư duy, nghiên cứu và xử lí các yếu tố của một

hình không gian ngay trên hình biểu diễn của nó

4 Về thái độ: Một bộ phận không nhỏ học sinh ngại học hình không gian,

thậm chí các em còn xác định bỏ đi phần hình không gian khi ôn thi đại học

C Nội dung, giải pháp thực hiện:

Đề tài chỉ xin giới thiệu ba dạng hình tận dụng được đầy đủ thế mạnh của phương pháp tọa độ trong không gian vào việc giải các bài toán hình học không gian

Ở mỗi dạng tôi trình bày được:

- Một số cách chọn hệ trục tọa độ

- Các ví dụ cơ bản dễ chọn hệ trục tọa độ ,không trùng lặp câu hỏi giúp học sinh củng cố được nhiều kiến thức

- Bài tập tương tự cho học sinh tự giải

- Những nhận xét quan trọng giúp học sinh trở nên linh hoạt trong việc lựa chọn phương pháp giải

Dạng 1: Hình chóp

Ta chỉ xét 2 trường hợp dễ chọn hệ trục tọa độ:

1, Hình chóp đều.

Cách chọn: - Gốc tọa độ O trùng với tâm của đáy

- Trục Oz trùng với đường cao của hình chóp

2, Hình chóp có SA vuông góc với đáy

Cách chọn : +) Gốc tọa độ O A

+) S Oz 

VD1: Cho hình chóp S.ABCD , đáy ABCD là hình vuông cạch a, tâm O SO 

(ABCD) M, N lần lượt là trung điểm của SA và BC Biết rằng góc giữa MN và

(ABCD) bằng 60°

1, Tính MN và SO

2, Tính góc giữa MN và (SBD)

Lời giải:

C1 Phương pháp hình học tổng hợp

1) Tính MN và SO:

Gọi H là trung điểm của AO MH// SO

MH (ABCD)

HN là hình chiếu của MN trên (ABCD)



(MN,(ABCD))=(MN,HN)= 600



Xét tam giác ANO có HN l à trung tuyến

và AO= , NO= ,AN=

2

2

a

2

a

2

5

a

S

z

x A

y

B C

D

O

z

x

B C

A y

D

C B

A

O

S M

N

E I H K J

HN2 =



8

5a

*) Tính MN: MN =

2

5

600

a Cos

HN



*) Tính SO: HM = HN tan600 = SO= 2HM =

4

30

a



2

30

a

2) Tính góc giữa MN và (SBD)

*) Xác định góc (MN,(SBD))

Gọi I= BD HN Do HN// SO nên (SBD) (MHN)= IJ ( J SB)  

MN JI= K, gọi E là trung điểm của BO EN BD và EN SO  

EN (SBD) EK là hình chiếu của MN trên (SBD)

(MN,(SBD)) =(MN,EK)= (do tam giác NKE vuông tại E)

NKE

*) Tính góc (MN,(SBD))

Ta c ó : HONE là hình bình hành ( do NO//HE v à NO=HE)

I là trung điểm của HN K là trung điểm của MN KN=

2 2

5 2

MN 

4

2 4

NKE

5

1



KN EN

Vậy (MN,(SBD))= thỏa mãn 

5

1 sin 

C2 Phương pháp tọa độ

Chọn hệ trục tọa độ Oxyz S Oz, A Ox, B Oy  

Khi đó: A( 0;0) , B(0; ;0) ,C(- 0;0) ,

2

2

a

2

2

a

2

2

a

D(0;- 0), N( ; ;0)

2

2

a

4

2

a



4

2

a

Giả sử S(0,0,m) M( ;0; )

4

2

a

2

m

 MN

2

2

a

4

2

a

2

m

S z

M D

O N

1, Gọi là vectơ pháp tuyến của (ABCD) n

 n = (0;0;1)

Theo giả thiết ta có: (MN,(ABCD))= 600

n MN

MN n.

 2

3

2 2

4 10 2 4

m a

m







2

30

a

S(0;0; ) SO = |m| = và MN =



2

30

a



2

30

a

2

10

a

Vậy MN = và SO =

2

10

a

2

30

a

2, Ta có: (SBD) có vectơ pháp tuyến = (1;0;0), n1 MN= ( ; ; )

2

2

a



4

2

a

4

30

a

Sin(MN,(SBD)) = =



1

1

n MN

MN n

5

1

10 2 

a a

Vậy =(MN,(SBD)) thỏa mãn sin = 

5 1

Nhận xét : thông qua hai cách giải trên chúng ta thấy rằng:

- Theo phương pháp hình học thông thường thì để tính MN phải lấy thêm rất nhiều điểm phụ và việc xác định góc giữa MN và mf(SBD) cũng rất khó mà chỉ một bộ phận học sinh khá giỏi mới có thể làm được.

- Theo phương pháp toạ độ thì học sinh chỉ cần chọn hệ trục tọa độ hợp lí

và xác định toạ độ của các điểm liên quan thì việc tính độ dài đoạn thẳng

và tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng trở nên đơn giản hơn nhiều.

VD2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a ,SA 

(ABCD) Số đo góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (SBD) bằng 1200

1, Tính độ dài đoạn SA

2, Tính diện tích tam giác SBD

3, Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a [2]

Lời giải:

C1, Phương pháp hình học tổng hợp.

Phân tích: Việc xác định góc

giữa 2 mặt phẳng (BSC) và

(DSB) trên phương diện định

hình là rất khó khăn.Vì thế

cách giải này không khả thi

Ta nên định hướng cho học

sinh giải theo phương pháp

toạ độ

C2, Phương pháp tọa độ :

_ Chọn hệ trục tọa độ Oxyz với O A, B Ox, D Oy, S Oz   

Khi đó : A(0;0;0), B(a;0;0), D(0;a;0), C(a;a;0)

1, Giả sử S(0,0,m);

Gọi n1, n2 lần lượt là vectơ pháp tuyến của (SBC) và (SDC)

a a m n m a

SC n

m a SB n

; 0

;

;

;

; 0

;

1 1



















 a m n  m a

SD n

m a SB n

;

; 0

;

; 0

; 0

;

2 2









































a m

a m a

m

a n

n

n n

2 2 2

2 1

2 1 0

2

1 120

cos

 m=a hay S(0;0;a)

Vậy SA = a

2,Ta có: SBa; 0 ; a, SD0 ;a; a  SSBD=  = (đvdt)











SD SB,

2

1

2

3

2

a

3, Ta có: SA0 ; 0 ; a , SC a;a; a

 VSABC=   (đvtt)

6

, 6

SC SB

z S

A

B x

y D

C

Nhận xét: Một lần nữa ta thấy được ý nghĩa thực tiễn của việc “Đại số hoá

hình học” Trước một bài toán tưởng chừng như không thể giải được bằng

phương pháp hình học thông thường thì lại rất dễ dàng giải được bằng phương

pháp toạ độ.Các em học sinh hãy yên tâm và đừng sợ hình không gian nữa nhé.

Bài tập tương tự: < Bạn đọc tự giải>:

Cho hình vuông ABCD cạnh a Từ trung điểm H của AB dựng SH (ABCD) 

sao cho góc giữa hai mặt phẳng (SAD)và (ABCD) có số đo bằng 600

1, Tính SH và khoảng cách từ H đến mp(SCD)

2, Gọi K là trung điểm của AD Chứng minh CK SD.

3, Tính số đo góc giữa hai măt phẳng (ASD) và (CSD)

Hướng dẫn:

Chọn hệ trục tọa độ Oxyz trong đó:

O H, S Oz, A Ox Oy là trung    trực của AB

Khi đó : A( ;0;0), B(- ;0;0), C(- ;a;0) , D( ;a;0)

2

a

2

a

2

a

2

a

Dạng 2 : Tam diện vuông

_Chọn hệ trục tọa độ ngay trên góc tam diện

z

O y

x VD1: Trong không gian các điểm A,B,C theo thứ tự thuộc các tia Ox,Oy,Oz

vuông góc với nhau từng đôi một sao cho OA=a , OB= a 2 , OC= c Gọi D là

đỉnh thứ 4 của hình chử nhật AOBD và M là trung điểm của BC (P) qua A và

M và cắt mp(OCD) theo đường thẳng vuông góc với AM (P) OC =E.

1, Chứng minh OC= 3OE

2, Tính khoảng cách từ C đến (P)

Lời giải

C1, Phương pháp hình học tổng hợp

Phân tích:

- Giả thiết cho độ dài các cạnh không có mối quan hệ đặc biệt

- Vị trí của điểm E trên OC không có tính đặc biệt

- Gọi EF là giao tuyến của (P) và (OCD) thì vị trí tương đối giữa EF và OD khó xác định dẫn đến việc tính độ dài OE khó khăn

Với những phân tích trên tôi định hướng học sinh giải bằng phương pháp toạ độ

C2 Sử dụng phương pháp tọa độ:

_ Chọn hệ trục tọa độ Oxyz gắn liền với góc tam diện khi đó:

O(0;0;0) , A(a;0;0) , B(0;a 2;0) , C(0;0;c) , D(a; a 2; 0) , M(0; ;0)

2

2

a

1 Chứng minh OC= 3OE

Giả sử (P) (OCD) = EF (E OC) EF AM (1)   

Ta có: AM = (-a; ; ) ; = (a; ;0)

2

2

a

2

c

= -a2+a2 = 0 AM OD (2)

* Vì EF và AM đồng phẳng nên từ (1) và (2) ta có EF//OD

(P) : Qua A và song song với giá của các vectơ và

z C

A

x

D

B

y

O

M

F E

(P): Qua A và có vectơ pháp tuyến

Phương trình (P):

* (P) OC=E  toạ độ điểm E là nghiệm của hệ:























0 2 6 2

2

0

0

ac az cy

cx

y

x























3

0 0

c z y

x



3

c 

3

c

Vậy OC=3OE (đpcm)

2, Tính khoảng cách từ C đến (P)

Ta có phương trình (P): 2cxcy 2  6az 2ac 0

khoảng cách từ C đến (P) bằng : d(C,(P))=



2 2

2 2

4 36

2 4

2 6

a c

ac a

c c

ac ac











Nhận xét :

Sau khi xác định được tọa độ các điểm thì việc tính độ dài đoạn OE và khoảng

cách từ C đến mp(P) trở nên dễ dàng hơn nhiều

Bài tập tương tự : < bạn đọc tự giải >

Cho tam giác ABC có AB=b , AC=c , BC chức trong mp(P) Gọi O là hình

chiếu của A trên (P) Khi OBC vuông tại O và OA=a.

1, Tính khoảng cách từ O tới mp(ABC)

2, Tính góc giữa (P) và (ABC)

Hướng dẫn:

_ Chọn hệ trục tọa độ Oxyz

A Oz, B Ox, C Oy  

Ta có :

A(0;0;a) ; B( 2 2 0;0) ; C( 0; ; 0)

a

a

c 

z

x

y

C

B

A

c

b a

O

Dạng 3: Hình hộp chữ nhật

Với hình hộp chữ nhật ABCD.A1B1C1D1 thì việc chọn hệ trục tọa độ khá đơn

giản, ta có thể chọn :

Hướng 1: Chọn đỉnh A làm gốc tọa độ

Hướng 2: Chọn tâm của đáy làm gốc tọa độ

VD1: Cho hình lập phương ABCD.A1B1C1D1 cạnh a

1, Tính góc và khoảng cách giữa A1B và AC1

2, Tính thể tích khối tứ diện AB1D1C

Lời giải:

C1: Phương pháp hình học tổng hợp:

Phân tích: Việc xác định góc,xác định khoảng

cách giữa A1B và AC1 trên phương diện

định hình là rất khó, chưa nói đến việc tính

toán.Vậy nên với bài toán này phương án tối

ưu là phương pháp toạ độ

C2: Phương pháp toạ độ

Chọn hệ trục tọa độ Oxyz

A O, A 1 Oz, B Ox, D Oy 

Khi đó :

A(0;0;0), B(a;0;0), C(a;a;0), D(0;a;0), A1(0;0;a), B1(a;0;a), C1(a;a;a), D1(0;a;a)

1, Ta có : A1B= (‒a;0;a), AC1 = (a;a;a)

*) Tính góc: Gọi là góc giữa 2 đường thẳng A 1B và AC1 ta được:

2 0

cos

1 1

1

AC B A

AC B A

*) Tính khoảng cách: ta lại có AA1 0 ; 0 ;a

1

�1

�1

A

D

B x z

d(A1B,AC1)=



3

,

6 4

,

A B AC

uuur uuuuu r uuur uuur uuuu r

2, Tính thể tích tứ diện AB1D1C

Ta có: AB1 a; 0 ;a ; AD1 0 ;a;a ; AC a ; a; 0

thể tích tứ diện AB1D1C là: V=

6

2 6

, 6

1 1

a a

a AC AD

Bài tập tương tự:<Học sinh tự làm>

Cho hình hộp đứng ABCD.A1B1C1D1 có AB=AD=a, AA1= ,góc BAD bằng

2

3

a

600.Gọi M,N lần lượt là trung điểm của cạnh A1D1 và A1B1.Chứng minh AC1

vuông góc với mặt phẳng (BDMN) và tính thể tích khối đa diện AA1BDMN

Nhận xét chung:

Khách quan mà đánh giá ưu điểm và nhược điểm của mỗi phương pháp để ta có lựa chọn hợp lí khi giải toán:

Phương pháp hình học tổng hợp

*) Ưu điểm:

Giải nhanh,ngắn gọn hơn,và giúp phát triển tư duy rất tốt cho học sinh

*) Nhược điểm:

Khó hơn đặc biệt đối với những bài toán tính góc và khoảng cách

Phương pháp tọa độ:

*) Ưu điểm:

Chủ yếu là các thao tác đại số phù hợp với nhiều đối tượng học sinh

*) Nhược điểm:

Không phải bài nào cũng giải được bằng phương pháp toạ độ

CÁC BÀI TẬP CỦNG CỐ:<Học sinh có thể làm theo hai cách để tự rút ra những kỹ năng,kinh nghiệm của bản thân>

Bài 1: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a,SA=2a và

vuông góc với đáy

a) Tính khoảng cách từ A đến (SBC)

b) Tính khoảng cách giữa SC và BD

c) Tính thể tích khối chóp SABCD

Bài 2:Cho tứ diện ABCD có AD vuông góc với (ABC),AC=AD=4,AB=3,BC=5.

Tính khoảng cách từ A đến (BCD)

Bài 3: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A1B1C1D1 có AB=a, AD=2a, AA1=a

a) Tính khoảng cách giữa AD1 và B1C

b) Gọi M chia AD theo tỉ số bằng 3.Tính khoảng cách từ M đến (AB1C)

c) Tính thể tích tứ diện AB1D1C

D Hiệu quả :

Thông qua đề tài này tôi đã đạt được những kết quả sau:

- Giúp học sinh biết phân tích và lựa chọn phương pháp hợp lí khi giải bài toán hình học không gian

- Dẫn dắt được nhiều học sinh từ việc không giải được bài toán hình không gian ở lớp 11 đến việc giải thành thạo bài toán hình không gian bằng phương pháp tọa độ ở lớp 12,cụ thể:

Trước khi học phương pháp tọa độ trong không gian:

Lớp Sĩ số Giải tốt(%) Giải được(%) Bỏ qua(%)

11B6 47 5 hs(10,6%) 17 hs( 36,2%) 25hs(53,2%)

12A2 45 1 hs( 2,4%) 18hs( 42,8%) 23 hs(54,8%)

12A8 45 4 hs( 8,9%) 21 hs(46,7%) 20 hs(44,4%) Sau khi học phương pháp toạ độ trong không gian:

Do tính hiệu quả,tính thiết thực cao của đề tài nên trong năm học 2017-2018 tôi tiếp tục áp dụng cho lớp 11B6 mà tôi đang giảng dạy

Lớp Sĩ số Giải tốt(%) Giải được(%) Bỏ qua(%)