SKKN Kinh nghiệm bồi dưỡng học sinh giỏi một số nội dung trong phần Tổ hợp - Xác suất ở Trường THPT...

SKKN Kinh nghiệm bồi dưỡng học sinh giỏi một số nội dung trong phần Tổ hợp Xác suất ở Trường THPT Triệu Sơn 2 1 MỤC LỤC Trang I Mở đầu 2 1 1 Lí do chọn đề tài 2 1 2 Mục đích nghiên cứu 2 1 3 Đối tượng nghiên cứu 2 1 4 Phương pháp nghiên cứu 2 II Nội dung sáng kiến kinh nghiệm 3 2 1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm 3 2 3 Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề 5 2 3 1 Hướng dẫn học sinh tìm hiểu kỹ đề bài, gợi ý cho các em theo định hướng phát hiện và giải quyết vấn đề 5 2 3 2 Thường[.]

MỤC LỤC

Trang

I Mở đầu 2

1.1 Lí do chọn đề tài 2

1.2 Mục đích nghiên cứu 2

1.3 Đối tượng nghiên cứu 2

1.4 Phương pháp nghiên cứu 2

II Nội dung sáng kiến kinh nghiệm 3

2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm 3

2.3 Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề 5

2.3.1 Hướng dẫn học sinh tìm hiểu kỹ đề bài, gợi ý cho các em theo định hướng phát hiện và giải quyết vấn đề 5

2.3.2 Thường xuyên hướng dẫn học sinh thực hiện Tương tự hóa, Khái quát hóa để tạo ra các bài toán mới 8

2.3.3 Rèn luyện cho học sinh thực hiện phân chia ra thành các trường hợp nhỏ để dễ thực hiện giải toán 11

2.3.4 Luôn linh hoạt trong giải toán, đôi khi có thể sử dụng phương pháp thủ công 13

2.3.5 Khuyến khích học sinh sáng tạo trong giải toán 15

2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường 17

III Kết luận, kiến nghị 18

3.1 Kết luận 18

3.2 Kiến nghị 18

Tài liệu tham khảo 19

I Mở đầu

1.1 Lí do chọn đề tài

Bồi dưỡng học sinh giỏi là một nhiệm vụ quan trọng trong việc nâng cao chất lượng giáo dục, bồi dưỡng nhân tài cho nhà trường nói riêng, cho địa phương nói chung Bồi dưỡng học sinh giỏi là một công việc khó khăn và lâu dài, đòi hỏi nhiều công sức của thầy và trò Trong những năm trước đây, kết quả thi học sinh giỏi của Trường THPT Triệu Sơn 2 rất thấp Tuy nhiên, những năm gần đây, với sự nỗ lực của thầy và trò kết quả các kỳ thi học sinh giỏi của nhà trường đã đạt được những thành công nhất định

Phần Tổ hợp - Xác xuất trong chương trình toán học phổ thông là phần khó đối với các em học sinh Các bài toán loại này mang tính tổng hợp và khái quát hóa cao Vì vậy nhiều học sinh học đến phần này thường ngại, sự say mê, sáng tạo giảm Những năm đầu dạy đội tuyển học sinh giỏi của trường, bản thân tôi gặp nhiều khó khăn trong việc hướng dẫn học sinh giải quyết các bài toán về phần này

Để giúp học sinh khắc phục tình trạng trên, giúp cho các em có sự say mê,

tư duy sáng tạo trong việc học phần Tổ hợp - Xác xuất Tôi đã đọc tài liệu, nghiên cứu, phân tích, cải tiến cách dạy, tìm tòi thêm các công thức khác, hướng dẫn các em tự tìm tòi, tự phát triển ra các công thức mới dựa trên các công thức

đã có, các bài tập để trang bị cho các em lượng kiến thức để các em vận dụng làm bài tập một cách khoa học hơn, sáng tạo hơn Tạo ra sự hứng thú trong học tập đồng thời giúp các em rèn luyện phương pháp giải bài tập không những loại bài tập này mà còn vận dụng cách tư duy đó cho các loại bài tập khác Trong khuôn khổ đề tài “Kinh nghiệm bồi dưỡng học sinh giỏi một số nội dung trong phần Tổ hợp - Xác suất ở Trường THPT Triệu Sơn 2” tôi chỉ nêu một

số phương pháp thường dùng để các em giải quyết bài toán một cách khoa học hơn, có cơ sở và có tính sáng tạo hơn Từ đó để các em củng cố kiến thức, rèn luyện khả năng nghiên cứu khoa học, đồng thời cũng trang bị thêm kiến thức nhằm chuẩn bị tốt cho kỳ thi Học sinh giỏi năm học 2017-2018

1.2 Mục đích nghiên cứu

Mục đích nghiên cứu của Sáng kiến kinh nghiệm là tìm ra các phương pháp dạy học phù hợp dành cho bồi dưỡng học sinh giỏi một số nội dung trong phần

Tổ hợp - Xác suất ở Trường THPT Triệu Sơn 2

1.3 Đối tượng nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu của Sáng kiến kinh nghiệm là các đội tuyển học sinh giỏi môn Toán Trường THPT Triệu Sơn 2

1.4 Phương pháp nghiên cứu

Nghiên cứu lí luận: Nghiên cứu các tài liệu về Tổ hợp, Xác xuất, Phương pháp dạy học môn Toán, có liên quan đến đề tài Sáng kiến kinh nghiệm

Quan sát: Quan sát thực trạng Dạy - Học của đội tuyển HSG môn Toán nói chung và phần Tổ hợp - Xác suất nói riêng ở Trường THPT Triệu Sơn 2

Thực nghiệm sư phạm: Tổ chức thực nghiệm sư phạm để xem xét tính khả thi và hiệu quả của việc vận dụng dạy học một số nội dung trong phần Tổ hợp - Xác suất vào đội tuyển học sinh giỏi Toán ở Trường THPT Triệu Sơn 2

II Nội dung sáng kiến kinh nghiệm

2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm

1 Quy tắc cộng

Giả sử một công việc có thể được thực hiện theo phương án A hoặc phương

án B Có n cách thực hiện phương án A và m cách thực hiện phương án B Khi

đó công việc có thể được thực hiện bởi n + m cách

2 Quy tắc nhân

Giả sử một công việc nào đó bao gồm hai công đoạn A và B Công đoạn A

có thể làm theo n cách Với mỗi cách thực hiện công đoạn A thì công đoạn B có thể thực hiện theo m cách Khi đó công việc có thể thực hiện theo nm cách

3 Hoán vị

Cho tập hợp A có n (n 1 ) phần tử Khi sắp xếp n phần tử theo một thứ tự,

ta được một hoán vị các phần tử của tập A (gọi tắt là một hoán vị của A).

Số các hoán vị của một tập hợp có n phần tử là P =n!=n(n-1)(n-2) 1n

4 Chỉnh hợp

Cho tập hợp A gồm n phần tử và số nguyên k với 1 k n Khi lấy ra k phần tử của A và sắp xếp chúng theo một thứ tự, ta được một chỉnh hợp chập k

của n phần tử của A (gọi tắt là một chỉnh hợp chập k của A)

Số các chỉnh hợp chập k của một tập hợp có n phần tử (1 k n) là:

k n

A =n(n-1)(n-2) (n-k+1)

5 Tổ hợp

Cho tập A có n phần tử và số nguyên k với 1 k n Mỗi tập con của A có

k phần tử được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử của A (gọi tắt là một tổ hợp chập k của A)

Số các tổ hợp chập k của một tập hợp có n phần tử (1 k n) là

k

n

A n(n-1)(n-2) (n-k+1)

Tính chất: Ckn Cn kn , k k k 1

n 1 n n

C  C C 

6 Công thức nhị thức Niu – tơn

Công thức nhị thức Niu – tơn (gọi tắt là nhị thức Niu – tơn)

 n 0 n 1 n 1 k n k k n n k n k k

k 0

a b C a C a b C a  b C b C a  b



(quy ước a0 b0 1)

7 Phép thử ngẫu nhiên và không gian mẫu

Phép thử ngẫu nhiên (gọi tắt là phép thử) là một thí nghiệm hay một hành

động mà:

-Kết quả của nó không đoán trước;

-Có thể xác định được tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra của phép thử đó

Phép thử thường được kí hiệu bởi chữ T

Tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra của phép thử được gọi là không

gian mẫu của phép thử và được kí hiệu bởi chữ  (đọc là ô-mê-ga)

8 Biến cố

Biến cố A liên quan đến phép thử T là biến cố mà việc xảy ra hay không

xảy ra của A tùy thuộc vào kết quả của T

Mỗi kết quả của phép thử T làm cho A xảy ra, được gọi là một kết quả thuận lợi cho A.

tập hợp các kết quả thuận lợi cho A được kí hiệu là A Khi đó người ta nói

biến cố A được mô tả bởi tập A

-Biến cố chắc chắn là biến cố luôn xảy ra khi thực hiện phép thử T Kí hiệu



Biến cố không thể là biến cố không bao giờ xảy ra khi phép thử được thực

hiện Kí hiệu 

9 Xác suất của biến cố

Giả sử phép thử T có không gian mẫu  là một tập hữu hạn và các kết quả của T là đồng khả năng Nếu A là một biến cố liên quan với phép thử T và A là tập hợp các kết quả thuận lợi cho A thì xác suất của A là một số, kí hiệu là P(A),





10 Biến cố hợp

Cho hai biến cố A và B Biến cố “A hoặc B xảy ra”, kí hiệu là AB, được gọi là hợp của hai biến cố A và B.

Nếu A và B lần lượt là tập hợp các kết quả thuận lợi cho A và B thì tập hợp các kết quả thuận lợi cho AB là A B

11 Biến cố xung khắc

Cho hai biến cố A và B Hai biến cố A và B được gọi là xung khắc nếu

biến cố này xảy ra thì biến cố kia không xảy ra

12 Quy tắc cộng xác suất

Nếu hai biến cố A và B xung khắc thì xác suất để A hoặc B xảy ra là P(AB)P(A)P(B)

13 biến cố đối

Cho A là một biến cố Khi đó biến cố “Không xảy ra A”, kí hiệu là , A được gọi là biến cố đối của A.

Xác suất của biến cố đối là A P(A) 1 P(A) 

14 Biến cố giao

Cho hai biến cố A và B Biến cố “Cả A và B cùng xảy ra” , kí hiệu là AB,

được gọi là giao của hai biến cố A và B

15 Biến cố độc lập

Hai biến cố A và B được gọi là độc lập với nhau nếu việc xảy ra hay không

xảy ra của biến cố này không làm ảnh hưởng tới xác suất xảy ra của biến cố kia

16 Quy tắc nhân xác suất

Nếu hai biến cố A và B độc lập với nhau thì P(AB) = P(A)P(B) [3]

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm

Khi dạy học phần Tổ hợp - Xác xuất đối với các đội tuyển học sinh giỏi môn Toán Trường THPT Triệu Sơn 2 các năm trước đây thường gặp nhiều khó khăn

Nhiều học sinh học đến phần này cảm thấy rắc rối và dẫn đến ngại Một số

em khi gặp các bài toán mà các em chưa tìm ra hướng giải các em sẽ bỏ cuộc ngay, không có tính kiên trì tìm tòi, ỷ lại, chờ thầy giáo, cô giáo chữa Những năm đầu dạy đội tuyển học sinh giỏi của trường, bản thân tôi gặp nhiều khó khăn trong việc hướng dẫn học sinh giải quyết các bài toán về phần này

2.3 Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề

Qua nhiều năm phụ trách đội tuyển học sinh giỏi môn Toán của trường THPT Triệu Sơn 2 Tôi đã nghiên cứu, tìm tòi và đưa ra được 5 giải pháp để khắc phục vấn đề đã nêu

2.3.1 Hướng dẫn học sinh tìm hiểu kỹ đề bài, gợi ý cho các em theo định hướng phát hiện và giải quyết vấn đề

Hướng dẫn học sinh tìm hiểu bài toán, tìm tòi lời giải bài toán, thực hiện lời giải mà và khai thác bài toán [2]

Trong quá trình học sinh suy nghĩ tìm ra hướng giải, giáo viên có thể đưa ra những gợi ý để học sinh phát hiện ra lời giải theo định hướng phát hiện và giải quyết vấn đề [1]

Ví dụ 1 Hướng dẫn học sinh giải bài toán sau

Bài toán 1: Có 10 bạn nam, 3 bạn nữ Có bao nhiêu cách xếp 13 bạn đó theo một hàng dọc mà không có nữ đứng kề nhau

Khi gặp bài toán này nhiều học sinh đã gặp khó khăn

Giáo viên có gợi ý cho học sinh với những gợi ý sau:

Đây thuộc vào loại bài toán gì? (Bài toán đếm số cách sắp xếp đối với người)

Nếu bỏ đi dữ kiện “không có nữ đứng kề nhau” thì giải như thế nào? (Đáp

số là 13!)

Có thể giải một số bài toán phụ dễ hơn như sau:

Bài toán 1.1: Có 3 bạn nam, 2 bạn nữ Có bao nhiêu cách xếp 5 bạn đó theo một hàng ngang mà không có nữ đứng kề nhau

Giáo viên có gợi ý cho học sinh với những gợi ý sau đối với Bài toán 1.1:

- Khi sắp xếp, nếu đổi chỗ 2 bạn nữ có được cách mới không? (có)

- Em có thể liệt kê ra một số phương án được không? (Nam1-Nữ1-Nam2-Nữ2-Nam3; Nữ1-Nam1-Nữ2-Nam2-Nam3; … có 72 cách như vậy)

Bài toán 1.2: Có 3 bạn nam, 2 bạn nữ Có bao nhiêu cách xếp 5 bạn đó theo một hàng ngang mà nữ đứng kề nhau

Giáo viên có gợi ý cho học sinh với những gợi ý sau đối với Bài toán 1.2:

- Khi sắp xếp, nếu đổi chỗ 2 bạn nữ có được cách mới không? (có)

- Em có thể liệt kê ra một số phương án được không?

- Đáp số Bài toán 1.2 là gì? (Đáp số 4! 2=48)

- Qua Bài toán 1.2 có gợi ý gì đến Bài toán 1.1 (Tính các cách bỏ qua điều

kiện không có nữ đứng kề nhau trừ các cách có điều kiện nữ đứng kề nhau)

- Đáp số Bài toán 1.1 là gì? (Đáp số 5!-48=72)

Giáo viên quay lại gợi ý cho học sinh đối với Bài toán 1:

Có thể áp dụng cách giải Bài toán 1.2 cho Bài toán 1 không? (có nhưng

khó hơn)

- Có thể học sinh đưa ra cách giải Bài toán 1 như sau:

Số cách sắp xếp 13 bạn (bỏ qua điều kiện không có nữ đứng kề nhau) là: 13!

Tính số cách sắp xếp không thỏa mãn điều kiện (nữ đứng kề nhau):

Trường hợp 1: Ba nữ đứng kề nhau 11! 3!= (coi 3 bạn nữ là 1 bạn và xếp  chung với 10 bạn nam, sau đó hoán vị 3 bạn nữ)

Trường hợp 2: Hai nữ đứng kề nhau : (12! 2!)  2

3

C Vậy các cách thỏa mãn điều kiện là

13! - 11! 3! - (12! 2!)   2

3

C Giáo viên phân tích cho học sinh thấy cách giải trên khá lằng nhằng, vả lại

là cách giải sai vì có một số trường hợp trùng nhau

Giáo viên hỏi học sinh có thể tìm cách giải khác không?

Giáo viên Hướng dẫn học sinh tìm cách giải khác:

Cách giải Bài toán 1.2

Xếp 10 HS nam trước có 10! Cách

Đưa 3 HS nữ vào 3 trong 11 vị trí mà 10 bạn nam tạo ra: 3

11

C Vậy số cách thực hiện là 10! 3 =3.592.512.000 cách

11

A

Ví dụ 2: Hướng dẫn học sinh giải bài toán sau

Bài toán 2 Tính S = C1n 2C2n 3C3n   (n 1)C n 1n nCnn * Có

(nN ) thể giải một số bài toán phụ dễ hơn như sau:

Bài toán 2.1: Tính AC0n C1n C2n C3n   Cn 1n Cnn

Với bài toán này học sinh dễ dàng tìm ra cách giải như sau:

Xét khai triển (1 x) n C0n C x1n C x2n 2   Cn 1nxn 1 C xnn n *

(nN )

2 C C C C   C  C

(0 k n, kN, nN ) học sinh

Lúc đó Học sinh thấy

1 n 1

2C2n 2Cn 2n

3C3n 3Cn 3n

(n 1)C n 1n (n 1)C 1n

nCnn nC0n

Cộng vế với vế ta được:SCn 1n 2Cn 2n 3Cn 3n   (n 1)C 1n nC0n

2Sn(C C C C   C  C )

2Sn.2 Hay SC1n 2C2n 3C3n   (n 1)C n 1n nCnn n.2n 1

Giáo viên cũng có thể hướng dẫn HS giải theo Cách 2 sau đây:

Cách 2: Áp dụng công thức: kCkn nCk 1n 1 *

(kn;k, nN )

Ta có:C1n nC0n 1

2C2n nC1n 1

3C3n nC2n 1

nCnn nCn 1n 1

n 1 n 1 n 1 n 1

Sn(C  C  C    C  ) Xét khai triển (1 x) n 1 C0n 1 C1n 1xC2n 1x2   Cn 1n 1xn 1 *

(nN )

n 1 n 1 n 1 n 1

2  C  C  C    C 

Sn.2  Giáo viên cũng có thể hướng dẫn HS dùng đạo hàm để giải

Cách 3 Xét khai triển (1 x) n C0n C x1n C x2n 2 C x3n 3  C xnn n

(1)

*

(nN )

Lấy đạo hàm theo x hai vế của (1) ta được:

n(1 x)  C 2xC 3x C   n.x C

Thay x = 1 ta có Sn.2n 1

Nhận xét:

Khi học sinh đã được học đạo hàm thì việc dùng đạo hàm để giải bài toán này sẽ nhanh hơn cách giải ở phần trước

2.3.2 Thường xuyên hướng dẫn học sinh thực hiện Tương tự hóa, Khái quát hóa để tạo ra các bài toán mới

Có nhiều bài toán, sau khi giải xong ta có thể thực hiện Tương tự hóa, Khái quát hóa để tạo ra các bài toán mới

Ví dụ 1: Hướng dẫn học sinh giải bài toán sau

Bài toán 1 Chứng minh:

(nN ) Đối với bài này học sinh Áp dụng công thức:

k k 1

n n 1

(k n;k, nN )

Để có:

;

n n 1

;

2.2C 2.nC 

n 1 n n 1 n 1

2 nC 2 nC 

Sn(C  2C  2 C    2  C  )

Xét khai triển (1 x) n 1 C0n 1 C1n 1xC2n 1x2   Cn 1n 1xn 1 *

(nN )

3  C  2C  2 C    2  C 

Sn.3 

C 2.2C 3.2 C 4.2 C   n.2  C n.3 

minh

Giáo viên làm cho học sinh hiểu rõ: Nếu ở ví dụ này ta thay x bởi một số tự nhiên khác thì chúng ta lại có một bài toán mới Từ đó giáo viên cho học sinh tổng quát thành bài toán:

Bài tâp tổng quát:

Chứng minh: C1n 2.aC2n 3.a C2 3n 4.a C3 4n   n.an 1Cnn n.(1 a) n 1

*

(a, nN )

Thông qua các ví dụ này giáo viên có thể làm cho học sinh thấy rõ, từ một bài tập nào đó chúng ta có thể suy nghĩ, phát triển, mở rộng ra được các bài tập mới và từ đó giúp cho học sinh tập làm quen với khả năng tư duy, sáng tạo trong học toán Giáo viên cũng yêu cầu học sinh về nhà tự tìm tòi ra các bài tập khác

từ các ví dụ này và tìm bài tập tổng quát

Ví dụ 2: Hướng dẫn học sinh giải bài toán sau

Bài toán 2 Cho n là số tự nhiên n 1 Chứng minh đẳng thức sau:

n 1



Đối với bài này Giáo viên hướng dẫn học sinh Áp dụng công thức

(kn;k, nN )







;

1





;











Cộng vế với vế ta được:

0 1 2 3 n 1 n 1 2 3 n 1

Xét khai triển (1 x) n 1 C0n 1 C1n 1x C2n 1x2   Cn 1n 1xn 1 * (1)

(nN )

n 1 n 1 n 1 n 1

(1 1)  C  C  C    C 



được điều phải chứng minh

Giáo viên gợi ý thêm nếu ở khai triển (1) của ví dụ này ta thay x = 2; x = 3 thì kết quả như thế nào? giáo viên yêu cầu học sinh phát biểu thành một bài toán Từ đó cho học sinh phát triển thành bài tập tổng quát với x = a *

(aN )

Ví dụ 3: Hướng dẫn học sinh suy nghĩ theo định hướng Tương tự hóa giải

bài toán sau

Bài toán 3 Chứng minh:

1 C2 1n 2 C2 2n 3 C2 3n   (n 1) C 2 n 1n n C2 nn n(n 1).2 n 2

(n2;nN)

Hướng dẫn học sinh suy nghĩ theo định hướng Tương tự hóa

Đặt: S 1 C 2 1n 2 C2 2n 3 C2 3n   (n 1) C 2 n 1n n C2 nn (1)

Sử dụng công thức:k C2 kn n(n 1)C k 2n 2 nCk 1n 1 (k2;kn;k, nN )

và C1n nC0n 1 ta có:

2 C n(n 1)C  nC 

3 C n(n 1)C  nC 

(n 1) C  n(n 1)C  nC 

n C n(n 1)C  nC 

Cộng vế với vế ta được:

Sn(n 1)(C  C  C    C  )n(C  C  C    C  ) Xét khai triển: (1 x) n 2 C0n 2 C1n 2 xC2n 2 x2   Cn 2n 2 xn 2 *

(nN )

và (1 x) n 1 C0n 1 C1n 1xC2n 1x2   Cn 1n 1xn 1 *

(nN )

Sn(n 1)2  n.2  n(n 1)2  chứng minh