SKKN Ứng dụng kiến thức hàm số mũ và lôgarit để giải một số bài toán thực tế nhằm tạo hứng thú học t...

SKKN Ứng dụng kiến thức hàm số mũ và lôgarit để giải một số bài toán thực tế nhằm tạo hứng thú học toán cho học sinh trường THPT Tĩnh Gia 3 MỤC LỤC NỘI DUNG TRANG I Mở đầu 1 1 1 Lý do chọn đề tài 1 1 2 Mục đích nghiên cứu 1 1 3 Đối tượng nghiên cứu 2 1 4 Phương pháp nghiên cứu 2 II Nội dung nghiên cứu 2 2 1 Cơ sở lý luận 3 2 1 1 Kiến thức cơ bản về lũy thừa và hàm số mũ 3 2 1 2 Kiến thức cơ bản về hàm số lôgarit 4 2 1 3 Sự tăng trưởng (hay suy giảm) mũ 5 2 2 Thực trạng của đề tài 6 2 3 Các biện[.]

MỤC LỤC

2.1.1.Kiến thức cơ bản về lũy thừa và hàm số mũ 3

2.3.2.Các bài tập liên quan đến môn vật lý,sinh học và địa lý 12

I.MỞ ĐẦU.

1.1.Lý do chọn đề tài

Như chúng ta đã biết năm 2017 kỳ thi trung học phổ thông quốc gia, môn toán sẽ thi theo hình thức trắc nghiệm.Trong số 50 câu trắc nghiệm sẽ có các bài toán áp dụng kiến thức toán học để giải các bài toán thực tế hoặc các bài toán liên quan đến các môn học khác.Một thực tế đáng buồn là nhiều học sinh vẫn còn rất lúng túng thậm chí không biết cách giải khi gặp các câu hỏi liên quan đến các bài toán vận dụng toán học vào thực tế và vào giải các bài toán liên quan đến môn học khác

Để đáp ứng với sự phát triển của kinh tế tri thức và sự phát triển của khoa học thì ngay từ bây giờ khi ngồi trên ghế nhà trường phải dạy cho học sinh tri thức để tạo ra những con người lao động, tự chủ, năng động sáng tạo và có năng lực để đáp ứng được những yêu cầu phát triển của đất nước và cũng là nguồn lực thúc đẩy cho mục tiêu kinh tế - xã hội, xây dựng và bảo vệ Tổ quốc Chính vì thế dạy học toán ở trường trung học phổ thông phải luôn gắn bó mật thiết với thực tiễn đời sống

Tuy nhiên trong thực tiễn dạy học ở trường trung học phổ thông nhìn chung mới chỉ tập chung rèn luyện cho học sinh vận dụng trí thức học toán ở

kỹ năng vận dụng tư duy tri thức trong nội bộ môn toán là chủ yếu còn kĩ năng vận dụng tri thức trong toán học vào nhiều môn khác vào đời sống thực tiễn chưa được chú ý đúng mức và thường xuyên

Những bài toán có nội dung liên hệ trực tiếp với đời sống lao động sản xuất còn được trình bày một cách hạn chế trong chương trình toán phổ thông nói chung cũng như trong chương trình toán 12 nói riêng

Như vậy, trong giảng dạy toán nếu muốn tăng cường rèn luyện khả năng

và ý thức ứng dụng, toán học cho học sinh nhất thiết phải chú ý mở rộng phạm vi ứng dụng, trong đó ứng dụng vào thực tiễn cần được đặc biệt chú ý thường xuyên, qua đó góp phần tăng cường thực hành gắn với thực tiễn làm cho toán học không trừu tượng khô khan và nhàm chán Học sinh biết vận dụng kiến thức đã học để giải quyết trực tiếp một số vấn đề trong cuộc sống

và ngược lại Qua đó càng làm thêm sự nổi bật nguyên lý: “Học đi đôi với hành, giáo dục kết hợp với lao động sản xuất, lý luận gắn với thực tiễn, giáo dục nhà trường kết hợp với giáo dục gia đình và giáo dục xã hội” Chính vì vậy tôi xin được trao đổi với quý đồng nghiệp đề tài: “Ứng dụng kiến thức về hàm số mũ và lôgarit để giải một số bài toán thực tế nhằm tạo hứng thú học toán cho học sinh ở trường THPT Tĩnh Gia 3’’.Với mục đích giúp học sinh lớp 12 nắm vững cách vận dụng kiến thức về hàm số mũ và lôgarit để giải các bài toán thực tế, các bài toán liên môn Đặc biệt có thể giúp học sinh lớp 12 chuẩn bị ôn luyện tốt kiến thức cho kỳ thi trung học phổ thông quốc gia

1 2.Mục đích nghiên cứu

Mục đích nghiên cứu của đề tài là làm sáng tỏ cơ sở lý luận và thực tiễn tăng

cường vận dụng kiến thức về hàm số mũ và lôgarit để giải các bài toán có nội dung thực tiễn

- Phân tích và xây dựng phương án dạy học có nhiều nội dung toán học thể hiện về mối liên hệ giữa toán học với các môn học khác và thực tiễn, các bài toán thực tiễn đã được đưa vào giảng dạy ở trung học phổ thông Qua đó thấy được ý nghĩa: “Học đi đôi với hành”

- Biết vận dụng toán vào giải các bài tập thực tế và các bài tập môn học khác

- Góp phần nâng cao tính thực tế, chất lượng dạy học môn toán ở trường THPT

- Giúp học sinh ôn luyện tốt kiến thức chuẩn bị cho kỳ thi trung học phổ thông quốc gia

1. 3 Đối tượng nghiên cứu

Với mục đích nghiên cứu đã nêu ở trên, đối tượng nghiên cứu của đề tài là:

- Nghiên cứu về tính thực tiễn, tính ứng dụng của hàm số mũ và lôgarit

- Toán học liên hệ với thực tiễn đựơc thể hiện như thế nào trong một số nội dung của chương trình toán lớp 12

- Tìm hiểu thực tiễn dạy học môn toán 12 và vấn đề tăng cường vận dụng các bài toán có nội dung thực tiễn hoặc các bài tập môn học khác vào giảng dạy

1.4 Phương pháp nghiên cứu.

Sử dụng các phương pháp nghiên cứu chuyên ngành lí luận và phương pháp giảng dạy môn toán đã học được tập trung vào các phương pháp sau:

- Phương pháp nghiên cứu lý luận

- Phương pháp điều tra quan sát thực tiễn,thu thập thông tin

- Thực nghiệm sư phạm

II.NỘI DUNG NGHIÊN CỨU

2.1.Cơ sở lý luận

Theo nghị quyết số 29-NQ/TW , ngày 4 tháng 11 năm 2013-nghị quyết hội nghị trung ương 8 khóa XI về đổi mới căn bản,toàn diện giáo dục và đào tạo nêu rõ: nhiệm vụ trung tâm trong trường học là hoạt động dạy của thầy và hoạt động

học của trò, xuất phát từ mục tiêu đào tạo “Nâng cao dân trí, đào tạo nhân lực,

bồi dưỡng nhân tài” Trong các văn kiện trình Đại hội XII,Đảng ta nhấn mạnh

sự quan tâm đặc biệt và làm rõ hơn lập trường,quan điểm,tính nhất quán về sự cần thiết phải đổi mới căn bản,toàn diện giáo dục,đào tạo,phát triển nguồn nhân lực

Hiện nay giáo dục Việt Nam đang tập trung đổi mới, hướng tới một nền giáo dục tiến bộ, hiện đại ngang tầm với các nước trong khu vực và toàn thế giới Ta

đã biết Unesco đã đề ra 4 trụ cột của giáo dục trong thế kỉ 21 là: “ học để biết, học để làm, học để cùng chung sống, học để khẳng định mình” (Learning to

know, Learning to do, Learning to live together and learning to be*) Chính vì thế vai trò của các bài toán có nội dung liên quan đến môn học khác hoặc nội dung thực tế trong dạy học toán là không thể không đề cập đến

Vai trò của toán học ngày càng quan trọng và tăng lên không ngừng thể hiện ở sự tiến bộ trong nhiều lĩnh vực khác nhau của khoa học, công nghệ, sản xuất và đời sống xã hội, đặc biệt là với máy tính điện tử, toán học thúc đẩy mạnh mẽ các quá trình tự động hoá trong sản xuất, mở rộng nhanh phạm

vi ứng dụng và trở thành công cụ thiết yếu của mọi khoa học Toán học có vai trò quan trọng như vậy không phải là do ngẫu nhiên mà chính là sự liên

hệ mật thiết với môn học khác và liên hệ thường xuyên với thực tiễn, lấy thực tiễn làm động lực phát triển và là mục tiêu phục vụ cuối cùng Toán học có nguồn gốc từ thực tiễn lao động sản xuất của con người và ngược lại toán học

là công cụ đắc lực giúp con người chinh phục và khám phá thế giới tự nhiên, một số ngành khoa học luôn cần toán học phát triển trước và toán học là công cụ để lĩnh vực đó phát triển

Do vậy, tôi mạnh dạn đưa ra sáng kiến kinh nghiệm này với mục đính giúp cho học sinh lớp 12 vận dụng kiến thức về hàm số mũ và lôgarit để giải một số bài toán thực tế nhằm tạo hứng thú học toán cho học sinh.Giúp học sinh chuẩn

bị tốt kiến thức cho kỳ thi trung học phổ thông quốc gia

Để vận dụng tốt phương trình tham số của đường thẳng ta cần nắm vững kiến thức trình bày ở chương II trong sách giáo khoa giải tích 12 cơ bản nhà xuất bản giáo dục Việt Nam năm 2009 như sau:

2.1 1.Kiến thức cơ bản về lũy thừa và hàm số mũ

+Các định nghĩa:

n thua so

a  1 2 3 a.a a (n Z , n 1, a R)    

 a 1  a ;  a

 a 0  1 ;  a 0

a

  (n Z , n 1, a R \ 0 )      

m

n m n

a  a a  0; m ¢, n ¢

+Các tính chất: Cho a,b là các số thực dương,m,n là các số thực thùy ý:

; ;

m n m n

n

a a a



 (a ) m n  (a ) n m a m.n

;

n n n

n

( )

b  b

* Theo: http://www.unesco.org/new/en/education/networks/global-networks/aspnet/about-us/strategy/the-four-pillars-of-learning/

Hàm số mũ: Dạng: y  a x ; ( a > 0 , a 1 )

 Tập xác định: D  R

 Tập giá trị : T  R  ( vì a x  0   x R ở đây R   (0;  ) )

 Tính đơn điệu:

* a > 1 : y  a x đồng biến trên ¡

* 0 < a < 1 : y  a x nghịch biến trên ¡

 Đồ thị hàm số mũ:

2.1.2 Kiến thức cơ bản về hàm số lôgarit

Định nghĩa Với a > 0 , a 1 và N > 0 :  M

a log N  M  a  N Điều kiện có nghĩa: loga N có nghĩa khi và chỉ khi 0  a 1và N >0

Các tính chất:

+ log 1 a  0(0   a 1) ; log a 1(0 a    a 1) ; M

a

log a  M(0    a 1, M)

+a log N a  N(0   a 1, N  0)

+log (N.M) a  log N log M(0 a  a   a 1, M, N  0) ; log ( a M ) log M log N a a

+log N a    log N(0 a   a 1; N    0, R) Đặc biệt: 2

log N  2 log N Công thức đổi cơ số

 log N a  log b log N(0 a b  a, b  1; N  0)

b

a

log N log N (0 a, b 1; N 0)

log b

 Hệ quả

0<a<1

x

1

0

a>1

y=ax

y

x

1

0

 a

b

1 log b (0 a, b 1)

log a

a

1 log N log N(0 a 1; N 0; k 0)

k

Hàm số lôgarít Dạng y  log x a ( a > 0 , a 1 )

 Tập xác định: D R  (với R  (0;  ))

 Tập giá trị T R 

 Tính đơn điệu:

* a > 1 : y  log x a đồng biến trên R

* 0 < a < 1 : y  log x a nghịch biến trên R

 Đồ thị của hàm số lôgarit:

+  x ' x ;

a = a lna  u ' u

a = a lna.u' +  x ' x ;

e = e  u ' u

e = e u' +  a  ;

u.lna

+  ' 1 ; , (Trong đó u = u(x) có đạo hàm theo x)

u

2.1 3.Sự tăng trưởng (hay suy giảm) mũ

- Sự tăng trưởng(hay suy giảm) mũ được đặc trưng bởi một hàm số mà đạo hàm của nó tại mỗi điểm đều tỉ lệ với giá trị của hàm số tại điểm đó với hệ số tỉ lệ không đổi,tức là hàm số y = f(x) thỏa mãn điều kiện: f x'( ) kf x( ) (1)

(xét trên một khoảng nào đó) trong đó k là một hằng số khác 0 nào đó.Số k gọi

là tỉ lệ tăng trưởng khi k > 0 và được gọi là tỉ lệ suy giảm khi k <0

Người ta đã chứng minh được rằng: Hàm số y = f(x) thỏa mãn điều kiện (1) khi

và chỉ khi nó có dạng yCe kx (với C là hằng số tùy ý) (2)

0<a<1

y=logax

y

O

a>1

y=logax

1

y

x

O

Ví dụ trong thực tế,nhiều hiện tượng tự nhiên, xã hội có tính chất tăng trưởng( hay suy giảm) mũ như : vấn đề lãi kép liên tục,vấn đề tăng trưởng dân số,vấn đề sinh sôi của vi trùng,vấn đề phân hủy của phóng xạ

2.2.Thực trạng của đề tài

- Trong sách giáo khoa Toán 12 hiện nay các bài tập về vận dụng kiến thức về hàm số mũ và lôgarit để giải các bài toán thực tế,các bài toán liên quan đến vật lý,sinh học,địa lý,hóa học có số lượng rất hạn chế Hầu hết học sinh đều gặp khó khăn khi giải các bài toán dạng này

- “Ứng dụng kiến thức về hàm số mũ và lôgarit để giải một số bài toán thực

tế nhằm tạo hứng thú học toán cho học sinh ở trường THPT Tĩnh Gia 3’’cho

ta phương pháp giải các bài toán liên quan đến thực tế một cách dễ hiểu hơn đối với các đối tượng học sinh có học lực trung bình trở lên

- “Ứng dụng kiến thức về hàm số mũ và lôgarit để giải một số bài toán thực tế nhằm tạo hứng thú học toán cho học sinh ở trường THPT Tĩnh Gia 3’’kích thích sự sáng tạo tính ham học hỏi,ham khám phá của học sinh

- “Ứng dụng kiến thức về hàm số mũ và lôgarit để giải một số bài toán thực tế nhằm tạo hứng thú học toán cho học sinh ở trường THPT Tĩnh Gia 3’’ giúp học sinh yêu thích học tập môn toán hơn, thấy được “vẻ đẹp’’ và tính thực tiễn của toán học

- “Ứng dụng kiến thức về hàm số mũ và lôgarit để giải một số bài toán thực tế nhằm tạo hứng thú học toán cho học sinh ở trường THPT Tĩnh Gia 3’’

có thể giúp học sinh phát huy tối đa sự tự học,tự bồi dưỡng tri thức – một con đường tiết kiệm , kinh tế nhất để học tập tốt

2.3.Các biện pháp giải quyết vấn đề.

2.3.1.Bài toán lãi suất ngân hàng.

2.3.1.1.Bài toán1 : Tính lãi đơn

Một người gửi số tiền M vào ngân hàng theo thể thức lãi đơn với lãi suất r%

trên một kỳ hạn,gọi Tn là tổng số tiền cả vốn lẫn lãi người đó có được sau n kỳ hạn.Hãy tính Tn

Cách giải: Số tiền người đó thu được cả vốn lẫn lãi sau 1 kỳ hạn là: M+M.r

Số tiền người đó thu được cả vốn lẫn lãi sau 2 kỳ hạn là: M+Mr +Mr =M(1+2r)

Cứ như thế ta tính được số tiền thu được cả vốn lẫn lãi sau n kỳ hạn là:

Tn=M(1+n.r) ( I)

Ví dụ 1 Ông A gửi 100.000.000 đồng vào ngân hàng theo thể thức lãi đơn với

lãi suất 0,6% trên một tháng.Tính cả vốn lẫn lãi ông A có được sau 7 tháng,biết rằng lãi suất ngân hàng không thay đổi trong thời gian ông A gửi tiền

Giải

Ta có số tiền ông A thu được cả vốn lẫn lãi sau 7 tháng là:

100000000(1+7.0,006) = 104200000 đồng

2.3.1.2.Bài toán 2 : Tính lãi kép.

Ta đã biết lãi kép là số tiền lãi không chỉ tính trên số tiền vốn mà còn tính trên

số tiền lãi do tiền vốn đó sinh ra thay đổi theo định kỳ

Dạng 1: Lãi kép, gửi một lần: Một người gửi số tiền M vào ngân hàng

theo thể thức lãi kép với lãi suất r% trên một kỳ hạn,gọi Tn là tổng số tiền cả vốn lẫn lãi người đó có được sau n kỳ hạn.Hãy tính Tn

Cách giải: Số tiền người đó thu được cả vốn lẫn lãi sau 1 kỳ hạn là: M(1+r)

Số tiền người đó thu được cả vốn lẫn lãi sau 2 kỳ hạn là:M(1+r)(1+r) = M(1+r)2

Cứ như thế ta tính được số tiền thu được cả vốn lẫn lãi sau n kỳ hạn là:

Tn =M(1+r)n-1 + M(1+r)n-1.r = M(1+r)n

Vậy : T n =M(1+r) n (II)

Trong đó: M là tiền vốn ban đầu,r là lãi suất(%) trên một kỳ hạn, n là số kỳ hạn,

Tn là tiền vốn lẫn lãi sau n kỳ hạn

Từ công thức (II):T n =M(1+r) n ta tính được các đại lượng khác như sau:

(II a ) và (II b ) ; (II c )

ln ln(1 )

n T M n

r



T r M

(1 )

n n

T M

r





Ví dụ 2 Ông B gửi 100000000 đồng vào ngân hàng theo thể thức lãi kép với lãi

suất 0,6% trên một tháng.Tính cả vốn lẫn lãi ông B có được sau 7 tháng,biết rằng lãi suất ngân hàng không thay đổi trong thời gian ông B gửi tiền

Giải

Ta có số tiền ông B thu được cả vốn lẫn lãi sau 7 tháng là:

100000000(1+.0,006)7 = 104276360,6 đồng

Nhận xét So với thể thức lãi đơn cho ở Ví dụ 1 thì thể thức gửi tiết kiệm lãi

kép ở Ví dụ 2 người gửi có lợi hơn

Ví dụ 3 Ông C gửi 100000000 đồng vào ngân hàng theo thể thức lãi kép với lãi

suất 0,63% trên một tháng.Hỏi để được 120000000đ thì ông C phải gửi tiết kiệm trong bao lâu,biết rằng lãi suất ngân hàng không thay đổi trong thời gian ông C gửi tiền

Giải

Áp dụng công thức (II a ) ta có số tháng phải gửi là: (tháng)

120000000 ln

100000000 29, 03 ln(1 0, 63%)



Vậy ông C cần phải gửi 29 tháng

Ví dụ 4 Ông D gửi 100000000 đồng vào ngân hàng theo thể thức lãi kép trong

thời gian 8 tháng thì nhận được cả vốn lẫn lãi là 105739137 đồng.Hãy tìm lãi suất hàng tháng,biết rằng lãi suất ngân hàng không thay đổi trong thời gian ông

D gửi tiền

Giải

Áp dụng công thức (IIb ) ta có lãi suất hàng tháng là: 8 105739137

1 0, 7% 100000000

Dạng 2: Lãi kép, gửi định kỳ:

Trường hợp 1: Tiền được gửi vào cuối mỗi tháng Ta có bài toán: Một người

cứ vào cuối mỗi tháng lại gửi số tiền là M vào ngân hàng theo thể thức lãi kép

với lãi suất r % trên một tháng.Tính tổng số tiền Tn cả vốn lẫn lãi mà người đó

có được ở thời điểm cuối tháng thứ n

Cách giải:

Cuối tháng thứ nhất và cũng là lúc người đó bắt đầu gửi tiền :T1 = M

Cuối tháng thứ hai người đó có số tiền là:

[(1 ) 1]

 

Cuối tháng thứ ba người đó có số tiền là:

Cứ như thế cuối tháng thứ n,người đó có số tiền là: T n M[(1 r)n 1]

r

Vậy: T n M[(1 r)n 1] (III) Trong đó M là tiền vốn ban đầu,r là lãi suất(%)

r

hàng tháng, n là số tháng, Tn là tiền vốn lẫn lãi sau n tháng

Từ công thức (III) ta cũng tính được các đại lượng khác như sau:

(IIIa); và (IIIb)

.

[(1 ) 1]

n

n

T r

M

r



.

ln(1 )

n

T r M n

r







Trường hợp 2: Tiền được gửi vào đầu mỗi tháng.

Giải như trường hợp 1 với chú ý là cuối tháng thứ nhất người đó có số tiền là

T M r

T có số tiền có được vào tháng thứ n là: T n M[(1 r)n 1](1 r) (IV)

r

Trong đó M là tiền vốn ban đầu,r là lãi suất(%) hàng tháng, n là số tháng, Tn là tiền vốn lẫn lãi sau n tháng

(1 )[(1 ) 1]

n n

T r M



.

( 1) ln(1 )

n

T r

M r n

r







Ví dụ 5(Trích đề thi thử THPT quốc gia,trường THPT Yên Hòa – Hà Nội)

Bác Bình cần sửa lại căn nhà với chi phí 1 tỉ đồng.Đặt kế hoạch sau 5 năm phải

có đủ số tiền trên thì mỗi năm bác Bình cần gửi vào ngân hàng một khoản tiền tiết kiệm như nhau gần nhất bằng giá trị nào sau đây,biết rằng lãi suất của ngân hàng là 7% /năm và lãi hàng năm được nhập vào vốn

A 162 triệu đồng B 162,5 triệu đồng

C 162,2 triệu đồng D 162,3 triệu đồng.

Giải

Áp dụng công thức (IV): T n M[(1 r)n 1](1 r) suy ra:

r

(1 )[(1 ) 1]

n n

T r M



   n5,T5 1000000000,r0, 07

162514667, 7 (1 0, 07)[(1 0, 07) 1] (1 0, 07)[(1 0, 07) 1]

T

Do đó ta chọn đáp án B

Ví dụ 6(Trích đề thi thử THPT quốc gia,trường THPT Tiên Du 1 – Bắc Ninh).

Một sinh viên X trong thời gian học 4 năm đại học đã vay ngân hàng mỗi năm

10 triệu đồng với lãi suất bằng 3%/năm(thủ tục vay một lần vào thời điểm đầu năm học).Khi ra trường X thất nghiệp chưa trả được tiền cho ngân hàng nhưng phải chịu lãi suất 8%/ năm Sau 1 năm thất nghiệp sinh viên X cũng tìm được việc làm và bắt đầu trả nợ dần.Tính tổng số tiền sinh viên X nợ ngân hàng trong

4 năm đại học và 1 năm thất nghiệp?

A.46.538.667 đồng B 43.091.538 đồng

C 48.621.980 đồng D 45.188.656 đồng

Giải

Nhận xét: Bài toán này khi tính tiền nợ 4 năm mà sinh viên X nợ ngân hàng

cũng tương tự như bài toán lãi kép gửi định kỳ nhưng ở đây ta hiểu là sinh viên

nợ ngân hàng trái với gửi tiết kiệm định kỳ.Ta có các bước giải như sau:

Bước 1: Tính số tiền sinh viên X nợ ngân hàng trong 4 năm đại học.