SKKN Kinh nghiệm sử dụng tích phân giải một số bài tập vật lí trung học phổ thông và ôn luyện học si...

SKKN Kinh nghiệm sử dụng tích phân giải một số bài tập vật lí trung học phổ thông và ôn luyện học sinh giỏi tại trường THPT Yên Định 2 MỤC LỤC 1 PHẦN MỞ ĐẦU 1 1 1 Lý do chọn đề tài 1 1 2 Mục đích nghiên cứu 1 1 3 Đối tượng nghiên cứu 2 1 4 Phương pháp nghiên cứu 2 2 PHẦN NỘI DUNG 3 2 1 Cơ sở lí luận của đề tài 3 2 2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 4 2 3 Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề 4 2 3 1 Giải pháp 1 dùng tích phân giải một số bài tập phần cơ học lớp 1[.]

MỤC LỤC

1 PHẦN MỞ ĐẦU .1

1.1 Lý do chọn đề tài 1

1.2 Mục đích nghiên cứu 1

1.3 Đối tượng nghiên cứu 2

1.4 Phương pháp nghiên cứu 2

2 PHẦN NỘI DUNG .3

2.1 Cơ sở lí luận của đề tài .3

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm .4

2.3 Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề .4

2.3.1 Giải pháp 1: dùng tích phân giải một số bài tập phần cơ học lớp 10 .5

2.3.2 Giải pháp 2: dùng tích phân giải một số bài tập phần nhiệt học lớp 10 8

2.3.3 Giải pháp 3: dùng tích phân giải một số bài tập phần điện, từ lớp 11 10

2.3.3 Giải pháp 4: dùng tích phân giải một số bài tập phần cơ, điện lớp 12 .14

2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường 18

3 PHẦN KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ 19

3.1 Kết luận .19

3.2 Kiến nghị .20

TÀI LIỆU THAM KHẢO.

1 PHẦN MỞ ĐẦU.

1.1 Lý do chọn đề tài.

Vật lý là môn khoa học thực nghiệm trong đó các định luật, công thức vật

lý được xây dựng trên biểu thức toán học phù hợp với kết quả thực nghiệm Để xác định các đại lượng vật lý, giải thích sự thay đổi các đại lượng vật lý, giải thích các hiện tượng vật lý nhất thiết phải dùng các công thức toán học như các hàm số sơ cấp, phép tính đạo hàm, vi phân, tích phân …Các kiến thức toán học này đòi hỏi sự tư duy và khả năng ghi nhớ để có thể hiểu và nắm vững kiến thức Hơn nữa, trong giai đoạn hiện nay khi hình thức thi trắc nghiệm được áp dụng trong các kỳ thi trung học phổ thông quốc gia đòi hỏi phương pháp giải nhanh và tối ưu là rất cấp thiết để các em có thể đạt được kết quả cao

Khi nghiên cứu, giảng dạy, giải các bài tập vật lý tôi thấy được ứng dụng của toán học rất nhiều Trong các đề tài sáng kiến kinh nghiệm đã có rất nhiều tác giả khai thác mảng ứng dụng toán học trong dạy học vật lý Vi phân và tích phân là những công cụ toán học rất quan trọng được sử dụng trong vật lí Trong quá trình giảng dạy ôn luyện thi trung học phổ thông quốc gia và bồi dưỡng học sinh giỏi đặt ra một số bài toán vật lý có nhiều cách làm, trong đó có cách làm dùng tích phân hoặc phải dùng tích phân mới giải được Tôi nhận thấy dùng phương pháp tích phân giải bài vật lý cho kết quả nhanh và nâng cao khả năng

tư duy cho học sinh, các em có hứng thú học tập môn vật lý hơn Khi học sinh hiểu được nội dung bài học, các em có sự say mê lĩnh hội kiến thức mới từ đó phát huy tối đa tính tích cực, chủ động, sáng tạo trong việc học tập

Xuất phát từ tình hình thực tế tôi đang giảng dạy hiện nay, đa số học sinh khi giải bài tập thì nhiều học sinh còn gặp khó khăn, nhất là khâu áp dụng các kiến thức toán học cơ bản cho bài tập vật lí, các em chưa hình dung các kiến thức toán được áp dụng như thế nào Điều này không chỉ các em học sinh khá

mà ngay cả học sinh trong đội tuyển của trường Ngoài ra, một số bài tập có nhiều cách giải nếu dùng tích phân kết hợp với máy tính casio cho kết quả nhanh hơn nhiều so với giải bằng phương pháp thông thường

Đó cũng chính là lý do tôi chọn nghiên cứu đề tài “Kinh nghiệm sử dụng tích phân giải một số bài tập vật lí trung học phổ thông và ôn luyện học sinh giỏi tại trường THPT Yên Định 2 ” nhằm giúp học sinh hiểu sâu về các kiến

thức vật lý, áp dụng kiến thức toán học vào giải bài tập vật lí được tốt hơn

1.2 Mục đích nghiên cứu.

Khi giảng dạy bộ môn vật lý tại trường trung học phổ thông Yên Định 2, tôi nhận thấy hầu hết các em học sinh đều rất lúng túng khi làm các bài tập có áp dụng các công thức toán học Từ đó mục đích của tôi khi thực hiện đề tài này là:

Cung cấp cho học sinh cách giải một số loại bài tập vật lý có sử dụng công cụ toán học là tích phân

Giúp giải nhanh một số bài tập vật lý thi trắc nghiệm có sử dụng tích phân trong máy tính cầm tay casio

Trên cơ sở vận dụng tích phân nhằm bồi dưỡng học sinh giỏi trung học phổ thông và thi trung học phổ thông quốc gia

Phát triển khả năng tư duy cho học sinh khi sử dụng các kiến thức toán học nhằm tiếp cận kiến thức vật lý chương trình đại học (vật lý đại cương) và ngày càng yêu thích môn học vật lý

Rèn luyện cho các em học sinh các kỹ năng giải bài tập vật lý, vận dụng các kiến thức vật lý để giải một số bài tập ứng dụng trong đời sống phần cơ, nhiệt, điện nhằm phát huy tính tích cực sáng tạo của học sinh về môn vật lý có tầm quan trọng trong kĩ thuật và đời sống

Giúp học sinh củng cố được kiến thức, phát triển năng lực tư duy, tạo ra không khí hứng thú và lôi cuốn học sinh tham gia môn học, nâng cao chất lượng học tập bộ môn vật lý nhằm đạt được kết quả cao trong kỳ thi trung học phổ thông quốc gia và thi học sinh giỏi

1.3 Đối tượng nghiên cứu.

Các kiến thức về vi phân và tích phân chương trình phổ thông

Các kiến thức vật lý có sử dụng đến phép tổng tích phân như : quãng đường s, vận tốc v, thời gian t, từ thông , lực F, mô men lực M, điện lượng q, công A, công suất trung bình P, nhiệt lượng Q…

Một số kỹ năng sử dụng máy tính cầm tay casio khi tính tích phân

1.4 Phương pháp nghiên cứu.

Giáo viên nghiên cứu, sưu tầm và biên soạn tài liệu về các dạng bài tập trong chương trình vật lý phổ thông có sử dụng tích phân để giải Trong tài liệu

đó giáo viên hướng dẫn cụ thể cho học sinh từng phương pháp, cách giải với các

ví dụ cụ thể để các em có thể hiểu và vận dụng

Phương pháp phân tích, so sánh, tổng hợp, thực nhiệm sư phạm

Phương pháp nghiên cứu xây dựng cơ sở lý thuyết, đọc sách giáo khoa, sách giáo viên phổ thông, các sách đại học và các tài liệu tham khảo khác

Phương pháp điều tra khảo sát thực tế, thu thập thông tin, xử lý số liệu:

- Xác định đối tượng học sinh áp dụng đề tài

- Trình bày kiến thức cơ sở sách giáo khoa và cách vận dụng tích phân

- Đưa ra các bài tập áp dụng trong từng dạng để học sinh luyện tập

- Kiểm tra sự tiếp thu của học sinh bằng các đề kiểm tra

- Đánh giá, điều chỉnh phương pháp cho phù hợp từng đối tượng học sinh

- Chọn lớp 12B1 khóa 2013-2016 làm lớp thực nghiệm, lớp 12A1 khóa 2012-2015 làm lớp đối chứng

2 PHẦN NỘI DUNG.

2.1 Cơ sở lí luận của đề tài.

* Định nghĩa tích phân xác định

Giả sử hàm số y f x  xác định và bị chặn trên đoạn  a b; Chia đoạn thành n phần tùy ý bởi các điểm chia : Trên mỗi đoạn

lấy bất kì điểm Khi đó

1

n

k



Nếu tồn tại   không phụ thuộc cách chia đoạn và cách chọn

max 0

1

lim

k

n

k k k

và kí hiệu là: Khi đó hàm số được gọi là khả tích trên

a

f x dx

đoạn  a b;  a b; gọi là khoảng lấy tích phân, a là cận dưới, b là cận trên, x là biến số lấy tích phân, f x là hàm số dưới dấu tích phân, f x dx  gọi là biểu thức dưới dấu tích phân [4]

* Khái niệm vi phân:

Cho hàm số y = f(x) Số gia Khi rất nhỏ thì được kí hiệu là dx, x x

: gọi là vi phân của biến số x

dx

: gọi là vi phân của hàm số y

,

dy  y dx

Trường hợp hàm số hợp: y = f(u) với u = g(x)

Vi phân của hàm số y là : , , ,

dy y du  y u dx

* Áp dụng tích phân trong vật lý:

Loại 1: Các đại lượng vật lý có sử dụng phép tính đạo hàm:

Để xác định vận tốc tức thời, gia tốc tức thời của chuyển động ta sử dụng kiến thức về đạo hàm như : dx ,; Ngược lại, nếu biết

dt

dt

vận tốc tức thời v(t), gia tốc tức thời a(t) và các điều kiện ban đầu Để xác định

vị trí và quãng đường đi sau thời gian t ta sử dụng phép tính ngược lại của đạo hàm là phép lấy tích phân

Loại 2: Các đại lượng vật lý có sử dụng phép tính tổng:

Các đại lượng vật lý có sử dụng phép tính tổng như: tính công của một lực thực hiện, tính điện trường tổng hợp, từ trường tổng hợp, điện trở, từ thông, điện

lượng chuyển qua tiết diện của dây dẫn, tìm mô men quán tính của vật rắn, tìm công của dòng điện xoay chiều, nhiệt lượng tỏa ra trên một điện trở, công suất trung bình của dòng điện xoay chiều

Dấu tích phân có nghĩa là phép lấy tổng Sau đó, đi tìm hàm dưới dấu b

a



tích phân cũng như xác định cận trên, cận dưới của tích phân sao cho chính xác

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm.

Hiện nay, tại trường trung học phổ thông Yên Định 2, có nhiều em học sinh rất lúng túng khi làm các bài tập áp dụng các công thức toán học và hay nhầm lẫn Trong đó, khó khăn lớn nhất của các em là việc xác định bài toán thuộc dạng nào để ra đưa phương pháp giải phù hợp cho việc giải bài toán đó

Trong quá trình giảng dạy và bồi dưỡng học sinh giỏi bộ môn vật lý về phần cơ học, điện học, nhiệt học, tôi thấy đa số học sinh chưa biết vận dụng kiến thức vi phân và tích phân đã học ở môn toán để giải các bài tập vật lý

Một số học sinh khi giải bài tập chỉ biết bấm máy tính casio nhưng chưa hiểu kiến thức vật lý có liên quan đến công thức toán học mà các em bấm máy

Một số học sinh tuy rất thành thạo tính toán nhưng không hiểu bản chất hiện tượng vật lý nên mò mẫm hoặc bắt chước máy móc các bài tập đã biết nhưng không cùng thể loại vì vậy không thể thiết lập được biểu thức toán học dưới dấu tích phân cho các dạng bài tập khác nhau

Các bài tập vật lý có sử dụng tích phân trong chương trình trung học phổ thông còn rất ít, chủ yếu viết về tính mô men quán tính chương vật lý chất rắn lớp 12 nâng cao trong khi các bài tập vật lý có sử dụng tích phân trong chương trình đại học lại quá khó để học sinh có thể hiểu được (tích phân đường, tích phân mặt, tích phân 2 lớp, 3 lớp…)

Bài toán có sử dụng tích phân là một dạng rất mới đối với kinh nghiệm của học sinh, đặc biệt là học sinh lớp 10 và 11 do các em chưa được học môn toán về tích phân Mặt khác, hiện nay các tài liệu tham khảo đang còn rất ít và chưa đa dạng Từ đó, đối với giáo viên cũng gặp không ít những khó khăn trong việc truyền thụ kiến thức cho học sinh

Có thể nói, đối với các bài tập vật lý phổ thông sử dụng công cụ toán học tích phân hiện nay được khai thác rất ít Trong đề tài này tôi đã đi sâu, tìm hiểu,

mở rộng các dạng bài toán sử dụng phương pháp này

2.3 Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề.

Một số bài toán vật lý ta cần phải biến đổi để có thể phân ly biến số:

f x dx g y dy

Sau đó lấy tích phân cả 2 vế với cận phù hợp theo các điều kiện ban đầu:

f x dx g y dy

Một số bài toán vật lý sau khi biến đổi dẫn đến việc tính tổng :

S = f(x1) x 1 + f(x2) x 2 + f(x3) x 3 +… = 





n i

i

i x x f

1

).

(

= S 1 + S 2 + S 3 + … = 





n i i

S

1 Nếu x rất nhỏ ta kí hiệu là dx: gọi là vi phân của biến x

Nếu S rất nhỏ ta kí hiệu là dS: gọi là vi phân đại lượng S

Như vậy: S i = f(xi) x i hay viết dạng vi phân dS = f(x).dx

Từ định nghĩa tích phân ta có:  

a a

dx x f dS

Ta chia nhỏ thành các vi phân, sau đó dùng tích phân để cộng lại

Trong các bài toán có dùng tích phân, thường ta gặp đại lượng vật lý này phụ thuộc vào đại lượng vật lý khác

Cách giải quyết là chia nhỏ tìm đại lượng vi phân rồi sau đó lấy tích phân trên đoạn ta xét

Trong đề tài nghiên cứu này, đây tôi chia thành 4 giải pháp dùng tích phân giải một số bài tập ở một số phần trong chương trình vật lý phổ thông:

+ Phần cơ học lớp 10 + Phần nhiệt học lớp 10

+ Phần điện, điện từ lớp 11

+ Phần cơ, điện lớp 12

2.3.1 Giải pháp 1: dùng tích phân giải một số bài tập phần cơ học lớp 10.

Dạng 1: Tính quãng đường và tốc độ trung bình:

Khi tốc độ của vật thay đổi theo thời gian, ta chia nhỏ thời gian thành các khoảng vi phân dt Trong khoảng thời gian nhỏ này tốc độ của vật coi như không đổi nên quãng đường vi phân tương ứng là : dS  v dt

Vậy: quãng đường tổng cộng: 2 và tốc độ trung bình :

1

t

t

t



Nếu vật chuyển động thẳng nhanh dần đều theo chiều dương Mốc thời gian t = 0 khi v = v0 thì v = v0 + a.t 2 2

0

0

S  v at dt  v t at v t at

Dạng 2: Tính quãng đường hoặc thời gian:

Ta tìm mối liên hệ giữa dx và dt: v dx

dt

Dạng 3: Tính vận tốc hoặc thời gian:

Ta tìm mối liên hệ giữa dv và dt: a dv F

Dạng 4: Tính quãng đường hoặc vận tốc:

Ta tìm mối liên hệ giữa dv và dx: a dv dv dx vdv F

Fdxmvdv

Dạng 5: Tính công của lực đàn hồi khi vật đi từ vị trí x 1 đến vị trí x 2 :

Vì lực đàn hồi thay đổi theo độ biến dạng x, nên ta chia nhỏ độ biến dạng toàn phần thành n đoạn biến dạng vô cùng nhỏ vi phân dx sao cho tương ứng với độ biến dạng này lực đàn hồi F được coi là không đổi

Công nguyên tố (vi phân): dA = F.dx = -kx.dx

Suy ra:

2

1

2

1 2 t1 t2 1

x

x

x

x

Nhận xét: Công của lực đàn hồi bằng độ giảm thế năng giữa 2 vị trí

Ví dụ 1: Vật khối lượng m ném lên từ mặt đất theo phương thẳng đứng với vận

tốc ban đầu v0 Lực cản không khí: 2(v là vận tốc tức thời, mg > kv2)

c

F kv

a) Tính độ cao lớn nhất vật đạt được

b) Tính thời gian từ lúc ném đến khi vật đạt độ cao lớn nhất

Phân tích và hướng dẫn giải

Trong giai đoạn vật ném lên thì vật chuyển động thẳng không đổi chiều nên độ cao của vật chính là tọa độ x Chọn trục tọa độ phương thẳng đứng, gốc tọa độ O trùng với vị trí ban đầu của vật, chiều dương hướng lên

a) Đề cho v0, yêu cầu tính h = x nên ta áp dụng công thức liên hệ dv và dx:



ax

0

2

m

h

dx



ax ln(1 ) 2

m

kv m

h

b) Đề cho v0, yêu cầu tính t nên ta áp dụng công thức liên hệ dv và dt:

 



Thời gian:

0

0

2 0

t

v

mdv dt



t



Ví dụ 2: Một vật khối lượng m chuyển động không vận tốc đầu trên mặt phẳng

ngang do tác dụng của lực kéo không đổi có phương ngang Hệ số ma sát F

r

giữa vật và mặt phẳng ngang thay đổi theo vận tốc:   a bv (a, b là hằng số)

a) Xác định thời gian để vật đạt vận tốc v

b) Tính quãng đường vật đạt được vận tốc v

Phân tích và hướng dẫn giải

Chọn chiều dương là chiều chuyển động F ms  N  (abv mg)

a) Đề yêu cầu tính t theo v nên ta áp dụng công thức liên hệ dv và dt:

hl





dt

 





b) Đề yêu cầu tính s theo v nên ta áp dụng công thức liên hệ dx và dv:

hl

0 0

mvdv dx





Ví dụ 3: Một vật nhỏ m đang nằm yên trên một mặt phẳng

ngang nhẵn Lúc t = 0 vật đó chịu tác dụng của một lực phụ

thuộc thời gian theo quy luật F = at; a là hằng số Lực hợp

với mặt phẳng ngang một góc α không đổi Xác định:

a) Vận tốc vật khi bắt đầu rời mặt ngang

b) Quãng đường vật đi được cho đến khi bắt đầu rời mặt ngang [7]



F

ur

y

x O

Phân tích và hướng dẫn giải

a) Phương trình định luật II Niu-tơn trên các trục Ox và Oy:

Phương Oy: atsin  N mg  0

Khi vật dời mặt ngang thì 0

sin

mg

  

x

dv

dt

   (a cos )tdt dv x

2

2

x

v t

Vận tốc vật khi bắt đầu dời mặt ngang: 2 2

2

cos

x







b) Để tính quãng đường ta áp dụng công thức liên hệ giữa dx và dt:

( cos ) 2

x

a

( cos ) 2

a



Quãng đường vật đi được cho đến khi bắt đầu rời mặt ngang:

2 3 3

2 3

cos cos )







sin

mg t



Ví dụ 4: Một dây AB có chiều dài , được treo thẳng đứng vào mộtl

điểm cố định A Khối lượng m của dây phân bố đều trên chiều dài

và tạo ra lực căng

a) Tính tốc độ truyền sóng ngang trên dây ở điểm M

b) Tính thời gian để chấn động từ đầu trên A đến B [2]

Phân tích và hướng dẫn giải

Lực căng dây tại M bằng trọng lượng của đoạn dây MA : F x mg

l



Tốc độ truyền sóng trên dây:v F l. g x.

m

Tốc độ truyền sóng: v dx g x. dt 1 dx

Thời gian sóng truyền từ A đến B là:

g

l y

dy g t

t

2 1

0





Ví dụ 5: Một vật nhỏ trượt xuống một mặt phẳng nghiêng góc α với mặt phẳng

ngang Ban đầu vật ở gốc tọa độ của trục Ox dọc theo hướng trượt của vật Hệ

số ma sát trượt giữa mặt phẳng nghiêng với vật tại tọa độ x là µ = kx, với k là hằng số Tìm vị trí vật dừng lại và tốc độ cực đại trong quá trình vật trượt [5]

Phân tích và hướng dẫn giải

Theo phương Oy : N = mgcosα

Theo phương Ox : mg.sinα – µN = ma

dx

dt



A

B

M

x

x v

Vật dừng : v = 0

x k





Đặt 1 2 ( sin 1 2 os ) vmax khi ymax

2v  y g x  k 2 x c 

Lấy đạo hàm ,

0

y   x tan

k



 v max gsin tan

k



Ví dụ 6 : Từ độ cao h = 30 m so với mặt đất, một vật được ném theo phương

ngang với tốc độ ban đầu v0 = 15 m/s Bỏ qua mọi ma sát Đơn vị: Độ dài (m); tốc độ (m/s) Hãy tính:

a) Tầm xa của vật

b) Tốc độ trung bình của vật trong khoảng thời gian 2s đầu tiên [1]

Phân tích và hướng dẫn giải

a) Tốc độ của vật: 2 2 2 2 2

0

x y

Tầm xa của vật được tính theo công thức: 0

2 37,1028( )

h

g

Thời gian từ khi ném vật đến khi vật chạm đất là: 2

h

g

Tại thời điểm t = 2 s, vật chưa chạm đất

Quãng đường vật đi được trong thời gian 2s đầu tiên là 2 2 2 2

0 0

S v g t dt

b) Tốc độ trung bình :

2

2 2 2 0

v g t dt S



2.3.2 Giải pháp 2: dùng tích phân giải một số bài tập phần nhiệt học lớp 10

*Nguyên lý I nhiệt động lực học:   U A Q

.

U  nRT dU  nR dT

*Phương trình trạng thái chất khí: nRT

V

Xét sự thay đổi thể tích nhỏ vi phân dV Lúc này có thể coi như áp suất không thay đổi là p Với quy ước dấu theo nguyên lý I nhiệt động lực học

Ta có công nguyên tố chất khí thực hiện: dA pdV

*Biểu thức tổng quát tính công chất khí: b

a

V

V

A  pdV

- Xét quá trình đẳng tích: V const  dV=0  A = 0

- Xét quá trình đẳng áp: p = const  ( )

b

a

V

b a V

A p dV  p V V

- Xét quá trình đẳng nhiệt: p V a a  pV  nRT

dV

n

p V

V



n n

a a

A  pdV  p V V dV

Ví dụ 1: Cho n mol khí lí tưởng đơn nguyên tử có nhiệt dung C thay đổi theo

hệ thức: C = aT ( a là hằng số, T là nhiệt độ tuyệt đối)

a) Tính nhiệt lượng truyền cho khí làm nó tăng nhiệt độ từ T1 đến T2 b) Thiết lập sự phụ thuộc của thể tích khí V theo nhiệt độ T

Phân tích và hướng dẫn giải

a) Ta có nhiệt dung: dQ

dT

2

1

0

T Q

T

2 1

1

2

Q a T T

b) Chất khí đơn nguyên tử nên: 3 3

.

U  nRT dU  nR dT

Phương trình trạng thái chất khí: nRT

V

Công chất khí thực hiện: nRT

V

Dạng vi phân nguyên lý I: dU dA dQ  3 .

2

nRT

V

2

2

aT nR T nR V C

Ví dụ 2: Có 1 g khí lý tưởng Heli thực hiện một chu trình

như hình vẽ Cho P0 = 105Pa; T0 = 300K

a) Tìm thể tích của khí ở trạng thái 4

b) Tính công mà khí thực hiện trong từng giai đoạn của

chu trình [5]

Phân tích và hướng dẫn giải

a) Quá trình 1 – 4 là quá trình đẳng tích nên V1 = V4

 = 4g/mol; R = 8,31 J/(mol.K); T1 = 300K và P1 = 2.105 Pa:

Xét ở trạng thái 1: 1 1 1

m





3 3 1

1

1 8,31.300

RT m

P

b) V2 = 2V1 = 6,24.10 – 3 m3; V3 = 2V2 = 12,48.10 – 3 m3

Công mà khí thực hiện trong từng giai đoạn của chu trình:

Quá trình đẳng áp 1-2:      2

Quá trình đẳng nhiệt 2-3:  3  2

23 2 2

2

V

P

T

3 4

2T 0

P0