SKKN Dạy học sinh vận dụng kiến thức hàm số để giải bài toán liên hệ giữa hàm số y = ax + b và y = a...

SKKN Dạy học sinh vận dụng kiến thức hàm số để giải bài toán liên hệ giữa hàm số y = ax b và y = ax2 1 PHẦN I MỞ ĐẦU I LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI Trong quá trình giảng dạy nói chung và việc bồi dưỡng kiến thức cho học sinh thi vào lớp 10 nói riêng thì việc định hướng, liên kết, mở rộng và lật ngược bài toán là một vấn đề rất quan trọng, nó không chỉ giúp cho học sinh nắm bắt kiến thức của một dạng toán vững vàng, kĩ càng mà còn nâng cao tính khái quát hoá, đặc biệt hoá một bài toán để từ đó phát triển tư[.]

PHẦN I MỞ ĐẦU:

I LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI

Trong quá trình giảng dạy nói chung và việc bồi dưỡng kiến thức cho học sinh thi vào lớp 10 nói riêng thì việc định hướng, liên kết, mở rộng và lật ngược bài toán là một vấn đề rất quan trọng, nó không chỉ giúp cho học sinh nắm bắt kiến thức của một dạng toán vững vàng, kĩ càng mà còn nâng cao tính khái quát hoá, đặc biệt hoá một bài toán để từ đó phát triển tư duy, nâng cao tính sáng tạo cho các em học sinh Hơn nữa, việc liên kết, mở rộng và lật ngược các bài toán khác nhau, tìm mối liên hệ chung giữa chúng sẽ giúp cho học sinh hứng thú và phát triển năng lực tự học một cách khoa học khi học Toán

Trong khi vận dụng kiến thức vào giải toán, đa số các học sinh THCS mới chỉ biết vận dụng trực tiếp lí thuyết, hay các bài toán có sẵn cách giải Khi gặp các bài toán yêu cầu phải có kiến thức tổng hợp và vận dụng linh hoạt lí thuyết

để đưa ra cách giải thì học sinh thường gặp phải khó khăn

Một trong những bài toán như thế, vận dụng trong các kì thi đặc biệt là thi vào lớp 10 THPT là bài toán về mối liên hệ giữa hàm số y = ax + b và y = ax2

nhưng sách giáo khoa lại không cung cấp phương pháp giải cụ thể Nhìn chung,

ở phần này đa số những học sinh có khả năng tư duy tưởng tượng chưa tốt sẽ khá vất vả khi giải toán, không định hướng được cách giải hoặc trình bày không chặt chẽ, rõ ràng dẫn đến điểm kém Khi tìm hiểu việc học và giải toán của các

em học sinh THCS và theo dõi các đề thi vào lớp 10 THPT các năm gần đây, tôi nhận thấy loại toán về mối liên hệ giữa hàm số y = ax + b và y = ax2 vẫn thường được đề cập tới Vì vậy đây là bài toán mà học sinh cần phải nắm vững để chuẩn

bị tốt cho các kì thi, đặc biệt là thi vào lớp 10 THPT

Qua nhiều năm giảng dạy và bồi dưỡng học sinh thi vào lớp 10 tôi được tiếp xúc với rất nhiều đối tượng học sinh và thấy rằng đa số học sinh không biết tổng hợp kiến thức lí thuyết để làm bài mà thậm chí có những bài chỉ khác nhau bởi lời văn nhưng nội dung lại hoàn giống với bài toán cũ Đặc biệt là các bài toán đảo và bài toán tổng quát học sinh thường không có kỹ năng nhận ra Chính vì vậy, để giúp học sinh dễ dàng nhận ra các bài toán cũ, bài toán đảo, bài toán tổng quát…đồng thời góp phần vào việc đổi mới phương pháp dạy học theo hướng tích cực và bồi dưỡng năng lực học Toán cho học sinh, rèn luyện khả năng sáng tạo trong học Toán cho học sinh cũng như muốn góp phần vào công tác bồi dưỡng học sinh thi vào 10 trường THCS Quảng Tâm nói riêng và học sinh toàn Thành phố nói chung Tôi xin được trình bày đề tài: “Dạy học sinh vận dụng kiến thức hàm số để giải bài toán liên hệ giữa hàm số y = ax + b và

y = ax 2 ”

II MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU

- Cung cấp kiến thức và phương pháp tự học cho học sinh khi học bộ môn Toán

- Hình thành tính tích cực, tự giác, chủ động của học sinh Khơi dậy tính sáng

tạo và giải toán của học sinh

- Phát triển năng lực tự học, biết liên kết và mở rộng các bài toán từ đó giúp các

em hình thành phương pháp giải

- Giúp học sinh hứng thú hơn trong học tập đặc biệt là bồi dưỡng cho học sinh

thi vào 10

III ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU

Tại sao khi học sinh học xong kiến thức cơ bản của sách giáo khoa các em lại

không thể áp dụng được kiến thức đã học vào giải Toán về hàm số

Phương pháp hình thành tính tích cực, tự giác, chủ động và năng lực tự tổng hợp

kiến thức của học sinh

IV PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU:

Tôi đã dùng phương pháp thu thập thông tin kết quả thi vào 10 THPT của các

năm, thống kê số điểm và tỉ lệ điểm của các năm để tìm ra nguyên nhân và đưa

ra giải pháp

PHẦN II NỘI DUNG

I CƠ SỞ LÍ LUẬN CỦA VẤN ĐỀ:

Đặc điểm của lứa tuổi THCS là muốn tự mình khám phá, tìm hiểu trong quá

trình nhận thức Các em có khả năng điều chỉnh hoạt động học tập, sẵn sàng

tham gia các hoạt động học tập khác nhau nhưng cần phải có sự hướng dẫn, điều

hành một cách khoa học và nghệ thuật của thầy cô giáo Hình thành tính tích

cực, tự giác, chủ động và đồng thời phát triển năng lực tự học của học sinh là

một quá trình lâu dài, kiên nhẫn và phải có phương pháp Tính tích cực, tự giác,

chủ động và năng lực tự học của học sinh được thể hiện ở một số mặt sau đây:

-Biết tìm ra phương pháp nghiên cứu giải quyết vấn đề, khắc phục các tư tưởng

dập khuôn, máy móc

- Có kĩ năng phát hiện những kiến thức liên quan với nhau, nhìn nhận một vấn

đề ở nhiều khía cạnh

- Phải có óc hoài nghi, luôn đặt ra các câu hỏi tại sao? Do đâu? Như thế nào?

Liệu có trường hợp nào nữa không? Các trường hợp khác thì kết luận trên có

đúng nữa không? Và phải biết tổng hợp các bài toán liên quan

- Tính chủ động của học sinh còn thể hiện ở chỗ biết nhìn nhận vấn đề và giải

- Có khả năng khai thác một vấn đề mới từ những vấn đề đã biết.

Trong chương trình môn Toán ở các lớp THCS, kiến thức về hàm số là một

phần học quan trọng, một trong những phần mà các đề thi học kì cũng như tuyển

sinh vào lớp 10 thường ra Đó cũng là những tiền đề cơ bản để học sinh tiếp tục

học lên ở THPT Đa số học sinh mới chỉ giải được những bài tập đơn giản và

riêng rẽ

Cụ thể như:

Phần hàm số y = ax + b là vẽ đồ thị, lập phương trình đường thẳng, xét vị

trí tương đối giữa hai đường thẳng

Phần hàm số y = ax2 là vẽ đồ thị hàm số, xác định hệ số a, xác định điểm

thuộc đồ thị hàm số

Đối với bài toán liên hệ giữa hàm số y = ax + b và y = ax2 được học sinh THCS

coi là dạng toán khó, chứa đựng kiến thức tổng hợp, đồng thời hàm chứa nhiều

dạng bài tập hay Trong các kì thi vào lớp 10 THPT kiến thức về hàm số luôn

đóng một vai trò quan trọng về điểm số Song, học sinh lại hay mất điểm về

phần này vì dễ nhầm lẫn không phân dạng được các bài toán để giải

Tuy nhiên, các tài liệu viết về vấn đề này chỉ nêu ra cách giải chung chưa phân

dạng và phương pháp giải cụ thể chưa tìm ra mối liên hệ chung giữa các dạng

bài tập gây nhiều khó khăn trong việc giải toán đối với học sinh

Vì vậy việc nghiên cứu “Dạy học sinh vận dụng kiến thức hàm số để giải bài

toán liên hệ giữa hàm số y = ax + b và y = ax2 ” là rất thiết thực, nhằm giúp học

sinh nắm vững nội dung và xác định được phương pháp giải toán, góp phần

nâng cao chất lượng môn Toán, đặc biệt là chất lượng tuyển sinh vào lớp 10 ở

các trường THCS

II THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ:

Qua nhiều năm giảng dạy, bồi dưỡng học sinh thi vào lớp 10 cũng như

tham khảo học hỏi các đồng nghiệp trong và ngoài nhà trường tôi nhận ra rằng:

- Học sinh học yếu môn Toán là do kiến thức còn hổng, lại lười học, lười suy

nghĩ, lười tư duy trong quá trình học tập

- Học sinh làm bài tập dập khuôn, máy móc để từ đó làm mất đi tính tích cực,

độc lập, sáng tạo của bản thân

- Các em ít được củng cố, khắc sâu kiến thức, rèn luyện kĩ năng để làm nền tảng

tiếp thu kiến thức mới, do đó năng lực cá nhân không được phát huy hết

- Không ít học sinh thực sự chăm học nhưng chưa có phương pháp học tập phù

hợp, chưa tích cực chủ động chiếm lĩnh kiến thức nên hiệu quả học tập chưa

cao

- Nhiều học sinh hài lòng với lời giải của mình, mà không tìm lời giải khác,

không khai thác phát triển bài toán, sáng tạo bài toán nên không phát huy hết

tính tích cực, độc lập, sáng tạo của bản thân

- Một số giáo viên chưa thực sự quan tâm đến việc khai thác, phát triển, sáng tạo

bài toán trong các các giờ luyện tập, tự chọn

- Việc chuyên sâu một vấn đề nào đó, liên hệ được các bài toán với nhau, phát triển một bài toán sẽ giúp cho học sinh khắc sâu được kiến thức, quan trọng hơn

là nâng cao được tư duy cho các em làm cho các em có hứng thú hơn khi học Toán

Đứng trước thực trạng trên, đòi hỏi phải có các giải pháp trong phương pháp dạy

và học sao cho phù hợp và có hiệu quả

Và trong quá trình giảng dạy Toán 9, đứng trước những bài toán liên hệ giữa hàm số y = ax + b và y = ax2 đa số học sinh còn nhiều lung túng mắc phải những sai lầm Qua kinh nghiệm trong các năm trực tiếp làm công tác giảng dạy tôi nhận thấy học sinh mắc sai lầm là do các nguyên nhân sau đây:

Một là: Kiến thức về hàm số của học sinh còn hạn chế nên tiếp thu bài chậm, lúng túng từ đó không nắm chắc các kiến thức, kĩ năng cơ bản

Hai là: Đa số học sinh chưa có định hướng chung về phương pháp giải, vận dụng các khái niệm, tính chất để hình thành cách giải các bài toán

Ba là: Học sinh không phân loại được dạng toán nên khi làm toán thường bị lệch

đề bài

Bốn là: Đọc đề không kĩ, khả năng phân tích đề, tổng hợp đề còn yếu, lượng thông tin cần thiết để giải toán còn hạn chế

Năm là: Chưa có thói quen định hướng cách giải một cách khoa học trước khi giải toán

Sáu là: Trình bày cẩu thả không theo một phương pháp cụ thể nào

Từ những nguyên nhân trên và các số liệu thống kê khảo sát qua các năm giảng dạy cho học sinh tôi theo dõi và thu được kết quả cụ thể:

Kết quả khảo sát khi chưa áp dụng đề tài tại lớp 9 ôn thi vào lớp 10 THPT sau khi học về mối liên hệ giữa hàm số y = ax + b và y = ax2 năm học 2012 – 2013:

Điểm kiểm tra

Trước thực trạng đã được nêu trên tôi mạnh dạn dạy học sinh, vận dụng kiến thức hàm số để giải bài toán liên hệ giữa hàm số y = ax + b và y = ax2 cho học sinh lớp 9 ôn thi vào lớp 10 THPT

III GIẢI PHÁP VÀ TỔ CHỨC THỰC HIỆN:

1 Một số kiến thức cần nắm vững và những lưu ý:

Đối với bài toỏn liờn hệ giữa hàm số y = ax + b và y = ax2 học sinh cần nắm

vững kiến thức về hàm số, phương trỡnh bậc hai, ỏp dụng định lớ Viột

Biết lập phương trỡnh đường thẳng

Quan hệ giữa (d): y = ax + b và (P): y = a’x2 (a’ ≠0)

+ Tỡm tọa độ giao điểm của (d) và (P)

Bước 1: Tỡm hoành độ giao điểm là nghiệm của phương trỡnh:

a ’ x 2 = ax + b  a ’ x 2 - ax – b = 0 (1)

Bước 2: Lấy nghiệm đú thay vào 1 trong hai cụng thức y = ax +b hoặc y = ax2

để tỡm tung độ giao điểm

Chỳ ý: Số nghiệm của phương trỡnh (1) là số giao điểm của (d) và (P)

+ Tỡm điều kiện để (d) và (P) cắt; tiếp xúc; không cắt nhau:

Từ phương trình (1) ta có: a'x2 axb 0    ( a)2  4a'.b

a) (d) và (P) cắt nhau phương trỡnh (1) cú hai nghiệm phõn biệt ⟺    0

b) (d) và (P) tiếp xỳc với nhau phương trỡnh (1) cú nghiệm kộp⟺    0

c) (d) và (P) khụng giao nhau ⟺ phương trỡnh (1) vụ nghiệm    0

+ Chứng minh (d) và (P) cắt; tiếp xỳc; khụng cắt nhau với mọi giỏ trị của tham

số:

Phương phỏp: Ta phải chứng tỏ được phương trỡnh a'x2 = ax + b cú:

với mọi giỏ trị của tham số bằng cỏch biến đổi biểu thức về dạng:

0



=  (AB) 2 m với m 0 thỡ đường thẳng luụn cắt parabol

= 0 với mọi giỏ trị của tham số bằng cỏch biến đổi biểu thức về dạng:

=  2 thỡ đường thẳng luụn cắt parabol

) (AB

<0 với mọi giỏ trị của tham số bằng cỏch biến đổi biểu thức về dạng:

= -  (AB) 2 m với m 0 thỡ đường thẳng khụng cắt parabol

2 Phõn dạng cỏc bài toỏn và phương phỏp giải

Dạng 1: Bài toỏn xỏc định toạ độ giao điểm.

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng (d): y = f(x) và parabol (P):

y = g(x).Tỡm tọa độ giao điểm của chỳng

Trước yờu cầu của bài toỏn đa số học sinh thường nghĩ tới việc vẽ đồ thị hai hàm

số đó cho, sau đú xỏc định tọa độ giao điểm Với cỏch giải trờn, học sinh sẽ gặp

khú khăn khi vẽ đồ thị hàm số, dẫn đến vẽ khụng chớnh xỏc và xỏc định giao

điểm sai

Khi đú giỏo viờn hướng dẫn học sinh xỏc định tọa độ giao điểm của hai hàm số

bằng phộp tớnh

a Phương phỏp giải

Hoành độ giao điểm của đường thẳng (d): y = f(x) và parabol (P): y = g(x) (nếu

cú) là nghiệm của phương trỡnh: f(x) = g(x) (*)

Giải phương trình (*) ta tìm được hoành độ giao điểm, thay vào phương trình đường thẳng (d): y = f(x) hoặc parabol (P): y = g(x) ta tìm được tung độ và từ đó suy ra tọa độ giao điểm

Với phương pháp này ta còn giải quyết được bài toán tìm hoành độ giao điểm khi ta giải xong phương trình (*)

Ở đây giáo viên cần giải thích để học sinh hiểu tọa độ giao điểm là cần xác định hoành độ và tung độ

b Ví dụ

Ví dụ 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai hàm số: (d) y = x + 1 và (P):

y = 2x2 Tìm tọa độ giao điểm của chúng

Giải:

Hoành độ giao điểm của đường thẳng (d) y = x + 1 và parabol (P): y = 2x2 là nghiệm của phương trình: 2x2 = x + 1

2x2 - x – 1 = 0 (*)

Giải phương trình (*) ta được x =1 hoặc x= 1

2



Thay x = 1 thay vào y = x + 1 ta có y = 2 suy ra A (1; 2)

Thay x = 1 thay vào y = x + 1 ta có y = suy ra B( ; )

2

2

1 2

2

Vậy hai đồ thị hàm số cắt nhau tại hai điểm A(1; 2) và B( 1; )

2

2

Nếu đề bài chỉ yêu cầu tìm hoành độ giao điểm giải phương trình (*) ta được

x =1 hoặc x= 1

2



Như vậy với bài toán trên mấu chốt của vấn đề là ta xác định được phương trình hoành độ giao điểm

Ví dụ 2: Chứng tỏ rằng Parabol (P) y = - 4x2 luôn tiếp xúc với đường thẳng (d) :

y = 4mx + m2 khi m thay đổi

Giải:

Ta có hoành độ giao điểm giữa Parabol (P) = - 4x2 với đường thẳng (d) : y = 4mx + m2 là nghiệm của phương trình:

- 4x2 = 4mx + m2

 4x2 + 4mx + m2 = 0

= b 2 - 4ac = (4m)2 - 4.4.m2

= 16m2 - 16m2

= 0  m

Phương trình có nghiệm kép Do đó Parabol (P) luôn tiếp xúc với đường thẳng (d) y = 4mx + m2 khi m thay đổi

Ví dụ 3: Cho parabol y = và đường thẳng y = mx + n

4

x

1) Xác định các hệ số m, n để đường thẳng đi qua điểm A(- 1; -2) và tiếp xúc với parabol

2) Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng và parabol với các giá trị của m, n tìm được trong câu 1

Giải:

1) Đường thẳng y = mx + n

đi qua điểm đi qua điểm A(- 1; -2) nên: f(x) = x2 suy ra n = m - 2

Phương trình đường thẳng có dạng y = mx + (m-2) Điều kiện để đường thẳng tiếp xúc với parabol là phương trình: = mx + (m-2) (1)có nghiệm kép

4

2

x

Biến đổi (1) ta được x2 - 4mx - 4(m-2) = 0 (2) Điều kiện để (1) (cũng có nghĩa

là (2)) có nghiệm kép là: ' = 4m 2 + 4m - 8 = 0  m2 + m - 2 = 0  (m+2)(m-1) = 0  m = - 2 hoặc m = 1 Vậy các hệ số m, n cần tìm là m = - 2, n = - 4 2) Với m = -2, phương trình đường thẳng là y = -2x - 4 Phương trình (2) trở thành x2 + 8x + 16 = 0, nghiệm kép là x = - 4 Tọa độ của tiếp điểm là (-4; 4) Với m = 1, phương trình đường thẳng là y = x - 1 Phương trình (2) trở thành x2

- 4x +4 = 0, nghiệm kép x = 2.Tọa độ của tiếp điểm là (2; 1)

Ví dụ 4: Cho Parabol (P) y = x2 cắt đường thẳng (D): y = 2(m+1)x - m2 - 9

Tim m để:

a) (D) cắt (P) tại hai điểm phân biệt

b) (D) tiếp xúc với (P)

c) (D) không cắt (P)

Giải:

Hoành độ giao điểm giữa Parabol (P) y = x2 với đường thẳng (D) y = 2(m+1)x - m2 - 9 là nghiệm của phương trình:

x2 = 2(m+1)x - m2 - 9

 x 2 - 2(m+1)x + m2 + 9 = 0 (1)

' = b' 2 - ac

= [(m + 1)]2 – (m2 + 9) = m2 + 2m +1 – m2 – 9 = 2m – 8

a) (D) cắt (P) tại hai điểm phân biệt  phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt

 ' > 0

 2m – 8 > 0

 2m > 8

 m > 4 Vậy với m > 4 thì (D) cắt (P) tại hai điểm phân biệt

b) (D) tiếp xúc với (P)  phương trình (1) có nghiệm kép

 ' = 0

 2m – 8 = 0

 2m = 8

 m = 4 Vậy với m = 4 thì D tiếp xúc với (P)

c) (D) không cắt (P)  phương trình (1) vô nghiệm

 ' < 0

 2m – 8 < 0

 2m < 8

 m < 4 Vậy với m < 4 thì (D) không cắt (P)

c Bài tập vận dụng

Bài 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho các hàm số: y = x2 và y = - x + 2 Tìm tọa độ giao điểm của đồ thị hai hàm số trên

Bài 2: Cho hàm số y = x2 có đồ thị là (P) và đường thẳng (d): y = x + 2

a) Vẽ ( P ) và ( d ) trên cùng một hệ toạ độ Oxy

b) Bằng phép tính hãy tìm toạ độ giao điểm của ( P ) và ( d )

Dạng 2: Bài toán tìm điều kiện

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng (d): y = f(x) và parabol (P):

y = g(x) Tìm điều kiện để :

a (d) và (P) không có điểm chung

b (d) tiếp xúc (P)

c (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt

Muốn tìm được giao điểm của đường thẳng (d): y = f(x) và parabol (P): y = g(x)

ta cần biết được hoành độ điểm chung, trên cơ sở đó ta sẽ xây dựng được phương pháp giải:

a Phương pháp giải

Hoành độ giao điểm của (d) và (P) là nghiệm của phương trình: f(x) = g(x) (I)

- Nếu đường thẳng (d) và parabol (P) không có điểm chung thì phương trình (I)

vô nghiệm tương đương với   0

- Nếu đường thẳng (d) tiếp xúc với parabol (P) thì phương trình (I) có nghiệm kép tương đương với   0

- Nếu đường thẳng (d) cắt parabol (P) thì phương trình (I) có hai nghiệm phân biệt tương đương với   0

b Ví dụ

Ví dụ 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng (d): y = 2x + m (m là

tham số) và parabol (P): y = - x1 2

2

Tìm điều kiện của m để:

a (d) và (P) không có điểm chung.

b (d) tiếp xúc với (P)

c (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt

Giải:

Hoành độ giao điểm của (d) và (P) là nghiệm của phương trình:

- x1 2 = 2x + m

2

 x2 + 4x + 2m = 0 (1)

a (d) và (P) không có điểm chung khi và chỉ khi phương trình (1) vô nghiệm tức là:

  < 0 4 – 2m < 0  m > 2

Vậy với m > 2 thì đường thẳng (d) và parabol (P) không có điểm chung

b (d) và (P) tiếp xúc khi và chi khi phương trình (1) có nghiệm kép tức là:

  = 0  4 – 2m = 0  m = 2

Vậy với m = 2 thì đường thẳng (d) và parabol (P) tiếp xúc nhau

c (d) và (P) cắt nhau tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt tức là:

  > 0 4 – 2m > 0 m < 2

Vậy với m < 2 thì đường thẳng (d) và parabol (P) cắt nhau tại hai điểm phân biệt

Ví dụ 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng (d): y = 2mx - 4 (m là

tham số) và parabol (P): y = x2

Tìm điều kiện của m để:

a (D) và (P) không có điểm chung

b (D) tiếp xúc (P)

c (D) cắt (P) tại hai điểm phân biệt

Giải:

Hoành độ giao điểm của (d) và (P) là nghiệm của phương trình:

x2 = 2mx - 4

 x2 - 2mx + 4 = 0 (2)

a (d) và (P) không có điểm chung khi và chỉ khi phương trình (2) vô nghiệm tức là:

  < 0 m2 – 4 < 0 - 2 < m < 2

Vậy với - 2 < m < 2 thì đường thẳng (d) và parabol (P) không có điểm chung

b (d) và (P) tiếp xúc khi và chỉ khi phương trình (2) có nghiệm kép tức là:

  = 0 m2 – 4 = 0m = 2 hoặc m = -2

Vậy với m = 2 hoặc m = -2 thì đường thẳng (d) và parabol (P) tiếp xúc nhau

c (d) và (P) cắt nhau tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt tức là: > 0 m   2 – 4 > 0m > 2 hoặc m < - 2

Vậy với m > 2 hoặc m < - 2 thì đường thẳng (d) và parabol (P) cắt nhau tại hai điểm phân biệt

Ví dụ 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng (d): y = 2ax + 1 và

Parabol (P): y = - 2x2 Tìm a để đường thẳng (d) cắt Parabol (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ thỏa mãn điều kiện: x12 + x2 + 4(x1 + x2) = 0

Trong bài toán trên ta thấy xuất hiện biểu thức đối xứng vẫn sử dụng cách giải trên và vận dụng định lí Viét ta sẽ giải quyết bài toán một cách dễ dàng

Giải:

Hoành độ giao điểm của (d) và (P) là nghiệm của phương trình:

- 2x2 = 2ax + 1

 2x2 + 2ax + 1 = 0 (*)

(d) và (P) cắt nhau tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt tức là: > 0 a   2 – 2 > 0 a > 2 hoặc a < - 2

Với điều kiện trên phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2

Áp dụng định lí Viét ta có : 1 2

1 2

1 x 2

x











Theo đề bài: x12 + x22 + 4(x1 + x2) = 0

(x1 + x2)2 – 2x1x2 +4(x1 + x2) = 0 (2)

Thay (1) vào (2) ta có: a2 – 4a – 1 = 0a = 2 + 5 hoặc a = 2- 5

Đối chiếu điều kiện a = 2 + thỏa mãn yêu cầu bài toán.5

c Bài tập vận dụng

Bài 1 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho parabol (P): y = x2 và đường thẳng (d):

y = 2x + m (m là tham số)

Tìm điều kiện của m để:

a (d) và (P) không có điểm chung

b (d) tiếp xúc (P)

c (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt

Bài 2 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho parabol (P): y = x2 và đường thẳng (d):

y = (2- m)x+m2 +1 (m là tham số)

Tìm điều kiện của m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho 2 2

5

x x 

Bài 3 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho parabol (P): y = 1x2 và đường thẳng

4



(d): y = kx- k - 2

Tìm điều kiện của m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho

đạt giá trị nhỏ nhất

A B A B

x x x x

Bài 4 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng (d) : y = mx – 3 (m là tham số) và parabol (P) : y = x2

Tìm m để đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ lần lượt là x1, x2thỏa mãn điều kiện : x1x2 = 2

Dạng 3: Bài toán chứng minh

a Phương pháp giải: