SKKN Hướng dẫn học sinh lớp 12 trường THPT Yên Định 3 giải nhanh bài toán trắc nghiệm cực trị của hàm số SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA TRƯỜNG THPT YÊN ĐỊNH 3 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM HƯỚNG DẪN HỌC SINH LỚP 12 TRƯỜNG THPT YÊN ĐỊNH 3 GIẢI NHANH BÀI TOÁN TRẮC NGHIỆM CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ Người thực hiện Phạm Thị Trang Chức vụ Giáo viên SKKN thuộc môn Toán THANH HÓA NĂM 2017 SangKienKinhNghiem net MỤC LỤC Nội dung Trang 1 Mở đầu 1 1 1 Lí do chọn đề tài 1 1 2 Mục đích nghiên cứu 1 1 3 Đối tượng nghiên c[.]
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA
TRƯỜNG THPT YÊN ĐỊNH 3
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
HƯỚNG DẪN HỌC SINH LỚP 12 TRƯỜNG THPT YÊN ĐỊNH 3 GIẢI NHANH BÀI TOÁN TRẮC NGHIỆM CỰC
TRỊ CỦA HÀM SỐ
Người thực hiện : Phạm Thị Trang Chức vụ: Giáo viên
SKKN thuộc môn : Toán
THANH HÓA NĂM 2017
Trang 2MỤC LỤC
2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm 3
2.1.2 Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị 3
2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 4
2.3 Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề 4
2.3.1 Dạng 1: Xác định điểm cực trị của hàm số, điểm cực trị của đồ
2.3.2 Dạng 2: Tìm điều kiện để hàm số có điểm cực trị và điểm cực
2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo
dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường 18
2.4.2 Đối với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường 19
Trang 31 MỞ ĐẦU 1.1 Lí do chọn đề tài:
Kì thi THPT quốc gia 2017 có một số điểm mới so với những năm học trước đó là thí sinh phải làm 4 bài thi tối thiểu, trong đó có 3 bài thi bắt buộc là Toán, Ngữ văn, Ngoại ngữ và bài thi tự chọn là KHTN (gồm các môn Vật lí, Hoá học, Sinh học) hoặc bài thi KHXH (gồm các môn Lịch sử, Địa lí, Giáo dục công dân) Trong đó, môn toán chuyển từ hình thức thi tự luận sang hình thức thi trắc nghiệm Thời gian làm bài của môn toán là 90 phút với 50 câu hỏi trắc nghiệm, tức là trung bình mỗi câu làm trong 1,8 phút Với hình thức thi và thời gian thi như vậy là một áp lực không hề nhỏ đối với các thí sinh, đòi hỏi các thí sinh phải chuẩn bị cho bản thân lượng kiến thức, kĩ năng nhất định và chiến thuật làm bài phù hợp mới có thể có được kết quả cao
học sinh vẫn làm theo phương pháp thông thường lâu nay thì mất rất nhiều thời gian, kể cả những học sinh khá giỏi Thực tế giảng dạy cho thấy kĩ năng tính toán của các em học sinh trường THPT Yên Định 3 còn hạn chế, thiếu kinh nghiệm trong quá trình làm bài trắc nghiệm nên thường dẫn tới những sai sót khi làm bài Để giúp các em có một số kinh nghiệm và kỹ năng làm bài trắc nghiệm môn toán trong kỳ thi THPT quốc gia sắp tới đạt hiệu quả hơn, tôi đã tìm hiểu
và nghiên cứu “Một số kinh nghiệm làm bài thi trắc nghiệm môn toán trong kỳ thi THPT quốc gia” (Dành cho ban cơ bản).
Môn Toán học trong trường phổ thông là một môn học khó, học sinh thường không học tốt môn này Nếu thi theo hình thức trắc nghiệm thì học sinh gặp nhiều khó khăn về nội dung kiến thức và thời gian làm bài Để giải quyết được trọn một đề 50 câu trong thời gian 90 phút nếu giải theo quy trình tự luận thì rất mất thời gian và có thể học sinh không làm hết được các câu hỏi
Với mong muốn cho học sinh trường THPT Yên Định 3 làm quen và nhanh
với dạng toán trắc nghiệm tôi đã chọn nghiên cứu đề tài “Hướng dẫn học sinh lớp 12 trường THPT Yên Định 3 giải nhanh bài toán trắc nghiệm cực trị của hàm số’’
1.2 Mục đích nghiên cứu:
Giúp học sinh lớp 12 trường THPT Yên Định 3 có thêm được các kiến thức
và kĩ năng cơ bản trong việc giải các bài toán liên quan tới cực trị của hàm số
Đề xuất một số cách giải nhanh bài toán trắc nghiệm cực trị của hàm số để giúp học sinh hình thành được tư duy giải các bài toán trắc nghiệm, từ đó giải bài toán trắc nghiệm cũng dễ dàng hơn Giúp nâng cao chất lượng dạy học phần cực trị của hàm số và giúp học sinh trường THPT Yên Định 3 yêu thích môn Toán hơn
Nâng cao chất lượng dạy học bộ môn
1.3 Đối tượng nghiên cứu:
Đề tài đi vào nghiên cứu cách giải nhanh một số bài toán trắc nghiệm phần
cực trị của hàm số (Giải tích 12 cơ bản).
Đối tượng áp dụng: Học sinh lớp 12 trường THPT Yên Định 3, Thanh Hóa
1.4 Phương pháp nghiên cứu:
Trang 4Trong đề tài này tôi sử dụng phương pháp nghiên cứu xây dựng cơ sở lý thuyết Thông qua các kiến thức trong sách giáo khoa, tôi đưa ra một số chú ý và nhận xét quan trọng để học sinh từ đó giải nhanh bài toán trắc nghiệm
Phương pháp điều tra khảo sát thực tế, thu thập thông tin : Tham khảo ý kiến của giáo viên và thăm dò ý kiến học sinh
Phương pháp thống kê, xử lí số liệu : Thống kê và xử lí số liệu kết quả học tập của học sinh trước và sau khi áp dụng sáng kiến
Trang 52 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm:
Học sinh phải nắm được:
- Về kiến thức:
+ Khái niệm điểm cực đại (điểm cực tiểu) được gọi chung là điểm cực trị của hàm số, giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) được gọi chung là cực trị của hàm số, điểm cực đại (điểm cực tiểu) được gọi chung là điểm cực trị của đồ thị hàm số + Điều kiện cần và đủ để hàm số đạt cực trị
- Về kĩ năng:
+ Học sinh biết vận dụng kiến thức đã học để tìm điểm cực trị của hàm số, cực trị của hàm số, điểm cực trị của đồ thị hàm số
+ Vận dụng kiến thức đã học để giải nhanh các bài toán cực trị của hàm số
2.1.1 Khái niệm cực đại, cực tiểu:
Định nghĩa:
Cho hàm số y f x xác định và liên tục trên khoảng (a ; b) (có thể a là ;
b là ) và điểm x0 a b;
a) Nếu tồn tại h sao cho f x f x 0 với mọi xx oh x; ohvà xx othì hàm số f x đạt cực đại tại x o
b) Nếu tồn tại h sao cho f x f x 0 với mọi xx o h x; ohvà xx othì hàm số f x đạt cực tiểu tại x o
Chú ý:
- Nếu f x đạt cực đại (cực tiểu) tại thì được gọi là điểm cực đại x o x o
(điểm cực tiểu) của hàm số ; f x o được gọi là giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) của hàm số, kí hiệu f CD f CT , còn điểm M x o;f x o được gọi là
điểm cực đại (điểm cực tiểu) của đồ thị hàm số.
- Các điểm cực đại (điểm cực tiểu) được gọi chung là điểm cực trị Giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) còn được gọi là cực đại (cực tiểu) và gọi chung
là cực trị của hàm số.
2.1.2 Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị:
Định lí 1:
Giả sử hàm số f đạt cực trị tại điểm x0 Khi đó, nếu f có đạo hàm tại x0 thì
'
0
o
f x
2.1.3 Điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị:
Định lí 2:
Giả sử hàm số y f x liên tục trên khoảng K x oh x; o h và có đạo hàm trên K hoặc trên K / x o , với h > 0
a) Nếu f x 0 trên khoảng (x0 h x; 0 )và f (x) < 0 trên ( ;x x0 0h) thì x 0 là một điểm cực đại của hàm số f(x)
b) Nếu f (x) < 0 trên khoảng (x0 h x; 0 )và f (x) > 0 trên ( ;x x0 0h) thì x 0 là một điểm cực tiểu của f(x).
Định lí 3:
Trang 6Giả sử hàm số y f x có đạo hàm cấp 2 trong khoảng x oh x; oh vơi h
> 0 Khi đó:
a) Nếu f x o 0, f x0 0 thì x0 là điểm cực tiểu;
b) Nếu f x o 0, f x0 0 thì x0 là điểm cực đại;
2.1.4 Quy tắc tìm cực trị:
Quy tắc 1:
Bước 1: Tìm tập xác định
Bước 2: Tính f x Tìm các điểm mà tại đó f x bằng 0 hoặc không xác định
Bước 3: Xét dấu f x và lập bảng biến thiên
Bước 4: Từ bảng biến thiên suy ra cực trị của hàm số.
Quy tắc 2:
Bước 1: Tìm tập xác định
Bước 2: Tính f x Giải phương trình ' = 0 và kí hiệu là xi (i = 1,2,3,, n)
f x
Bước 3: Tính f '' x ,f '' x i
Bước 4: Dựa vào dấu của f '' x i suy ra tính chất cực trị của xi
2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm:
+ Các năm trước khi chưa thi theo hình thức trắc nghiệm thì học sinh máy móc áp dụng theo giáo viên, nhưng bắt đầu từ năm 2017 Bộ giáo dục và đào tạo
tổ chức thi theo hình thức trắc nghiệm Với hình thức thi này nếu học sinh vẫn máy móc áp dụng lần lượt các bước thì vẫn có thể ra đáp số nhưng mất rất nhiều thời gian và không có thời gian cho các câu khác
+ Kỹ năng tư duy phân tích giả thiết của các em học sinh còn hạn chế
+ Phần lớn học sinh lớp 12 trường THPT Yên Định 3 kỹ năng tính toán và suy luận chưa cao nên sẽ gặp khó khăn trong bài toán trắc nghiệm
2.3 Các sáng kiến kinh nghiệm hoặc các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề.
Theo kinh nghiệm giảng dạy của bản thân tôi sẽ chia làm các dạng để học sinh có thể hiểu rõ và nắm vững hơn về từng dạng, vận dụng được cho các bài tập khác
2.3.1 Dạng 1: Xác định điểm cực trị của hàm số, điểm cực trị của đồ thị hàm số và cực trị của hàm số.
Phương pháp chung:
Để giúp học sinh làm tốt và làm nhanh bài toán liên quan đến cực trị trước hết giáo viên cần giúp học sinh nắm vững được kiến thức liên quan đến cực trị, cách tìm cực trị và cách phân biệt điểm cực trị của hàm số, điểm cực trị của đồ thị hàm số và cực trị của hàm số Ngoài ra, đôi khi trong một số bài toán giáo viên hướng dẫn học sinh một số cách loại đáp án sai tìm nhanh ra đáp án đúng
để không mất thời gian quá nhiều
Bài tập 1: Hàm số yx4 x3 có điểm cực trị là:
A 0; 3
4
x x B x0 C 3
4
x D 3; 27
4 256
Giải
Trang 7Ta có: 3 2 2
0
4
x
x
Ta thấy y’ không đổi dấu qua x = 0 do vậy x = 0 không phải là một điểm cực trị của hàm số Và y’ đổi dấu khi đi qua 3 do vậy là một điểm cực trị của
4
4
x
hàm số Ta chọn đáp án C
Nhận xét:
- Nhiều học sinh không nắm vững lí thuyết sẽ chọn ngay đáp án A vì cứ nghĩ nghiệm của phương trình y’ = 0 là điểm cực trị của hàm số.
- Ngoài ra học sinh cũng hay mắc phải sai lầm đó là chọn đáp án D điểm cực trị của đồ thị hàm số.
Qua đó ta rút ra nhận xét:
- Nếu x = x 0 là điểm cực trị của hàm số y = f(x) thì f’(x 0 ) = 0 hoặc f’(x 0 ) không xác định, nhưng nếu f’(x 0 ) = 0 thì chưa hẳn x = x 0 là điểm cực trị của hàm số.
- Trong các bài toán trắc nghiệm thường có các câu hỏi đánh lừa học sinh bởi các cụm từ “điểm cực trị của hàm số và điểm cực trị của đồ thị hàm số” Vì
vậy học sinh cần nắm vững lí thuyết để phân biệt được các khái niệm.
Bài tập 2: Hàm số nào sau đây không có cực trị
A 3
yx x x
C 2
3
x y
x
2017 1
n
yx x nN
Giải
Cách giải thông thường:
Với A: Ta thấy đây là hàm bậc ba có y’ = 3x2 – 3 , phương trình y’ = 0 luôn có hai nghiệm phân biệt nên hàm số có hai điểm cực trị (loại)
Với B: Đây là hàm bậc bốn có y’ = 4x3 – 12x2 + 3, phương trình bậc ba luôn có
ít nhất một nghiệm nên hàm số có ít nhất một điểm cực trị (loại)
Với C: Đây là hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất nên hàm số không có cực
trị Do đó ta chọn đáp án C
Nhận xét: Với một bài toán yêu cầu tìm hàm số không có cực trị nếu ta xét từng
đáp án thì mất rất nhiều thời gian Đôi khi ta phải nhớ được một số kết quả đã biết Ví dụ như trong bài tập 2 này nhìn vào bốn đáp án ta có thể chọn ngay đáp
án C Giáo viên có thể nhấn mạnh lại kiến thức cho học sinh ghi nhớ đó là:
“Hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất không có cực trị”
Bài tập 3: Cho hàm số 4 2 Mệnh đề nào sau đây đúng?
y x x
A Hàm số có một điểm cực đại và hai điểm cực tiểu
B Hàm số có hai điểm cực đại và một điểm cực tiểu
C Hàm số có một điểm cực đại và không có điểm cực tiểu
D Hàm số có một điểm cực đại và một điểm cực tiểu
Giải
Cách giải thông thường:
Trang 8Ta có: 3 ;
1
1
x
x
2
y
y
Vậy hàm số có hai điểm cực đại và một điểm cực tiểu Ta chọn đáp án B
Nhận xét: Đối với hàm bậc bốn trùng phương có dạng 4 2 thì
0
yax bx c a
ta có
- Nếu ab > 0 thì hàm số có 1điểm cực trị x = 0
- Nếu ab <0 thì hàm số có ba điểm cực trị là 0; Khi đó:
2
b
x x
a
+) a < 0 thì x = 0 là điểm cực tiểu, là hai điểm cực đại của hàm số
2
b x
a
+) a > 0 thì x = 0 là điểm cực đại, là hai điểm cực tiểu của hàm số
2
b x
a
Đôi khi chúng ta nhớ “mẹo” đó là a < 0 đồ thị hàm số có dạng chữ M nên hàm
số có hai điểm cực đại và một điểm cực tiểu; a > 0 đồ thị hàm số có dạng chữ W
nên hàm số có hai điểm cực tiểu và một điểm cực đại.
Dựa vào nhận xét trên ta có thể giải quyết bài toán trên như sau:
Ta có: a = -1 < 0, b = 2 , a.b < 0 nên hàm số có hai điểm cực đại và một cực
tiểu Ta chọn đáp án B.
Ghi nhớ nhận xét trên giúp học sinh giải nhanh bài toán.
Bài tập 4: Cho hàm số y f x( ) liên tục và xác định trên ¡ \ 2 và có bảng biến thiên sau:
y
’
- 0 + + 0
-y
1
-15
Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng:
A Hàm số đạt cực đại tại x = 0 và đạt cực tiểu tại x = 4
B Hàm số có đúng một điểm cực trị
C Hàm số có giá trị cực tiểu bằng 1
D Hàm số có giá trị lớn nhất bằng 1 và giá trị nhỏ nhất bằng - 15
Giải
Ta thấy y’ đổi dấu từ âm sang dương khi đi qua x = 0, do vậy x = 0 là một cực tiểu của hàm số, tương tự suy ra x = 4 là điểm cực đại của hàm số.Từ đây loại được A và B D sai vì đây là giá trị cực trị chứ không phải là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số Vậy ta chọn đáp án C
Nhận xét: Giá trị cực trị của hàm số chưa hẳn là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất
của hàm số đó.
Trang 9Bài tập 5: Cho hàm số y f x( ) có đạo hàm 2 Phát biểu nào
f x x x
sau đây là đúng
A Hàm số có một điểm cực đại B Hàm số có hai điểm cực trị
C Hàm số có đúng một điểm cực trị D Hàm số không có điểm cực trị
Giải
2
x
f x x x
x
Đến đây nhiều học sinh kết luận hàm số có hai điểm cực trị và chọn ngay đáp án
B Tuy nhiên đó là kết luận sai lầm, bởi khi đi qua x = 1 thì f’(x) không đổi dấu, bởi vì 2 với mọi x Do vậy hàm số chỉ có đúng 1 điểm cực trị x = 3
1 x 0
Vậy ta chọn đáp án C
Nhận xét: Trong đa thức, đa thức chỉ đổi dấu khi qua nghiệm đơn và nghiệm
bội lẻ, còn nghiệm bội chẵn không khiến đa thức đổi dấu
Qua nhận xét này ta có thể chọn ngay đáp án C
Bài tập 6: Cho hàm số y x Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau
A Hàm số có một điểm cực đại
B Hàm số không có cực trị
C Hàm số đã cho có đạo hàm không xác định tại x = 0 nên không đạt cực trị tại x = 0
D Hàm số đã cho có đạo hàm không xác định tại x = 0 nhưng đạt cực trị tại x = 0
Giải
Ta có: Hàm số có đạo hàm không xác định tại x = 0 và ta thấy đáp án
2
y
x
C và D ngược nhau, nên ta loại trừ ngay được đáp án A và B
Ta thấy y’ đổi dấu từ âm sang dương khi đi qua x = 0 , vậy theo định nghĩa x = 0
là một điểm cực trị của hàm số Ta chọn đáp án D
Nhận xét:
- Với hàm liên tục thì hàm số sẽ đạt cực trị tại điểm làm cho y’ = 0 hoặc không xác định
- Nếu hàm số đạt cực trị tại x = x 0 thì x = x 0 sẽ làm cho y’ bằng 0 hoặc
không xác định.
2.3.2 Dạng 2: Tìm điều kiện để hàm số có điểm cực trị và điểm cực trị thỏa mãn điều kiện cho trước
Phương pháp chung:
Với kinh nghiệm giảng dạy của bản thân tôi rút ra được một số nhận xét sau đây:
*) Đối với hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất y ax b c 0;ad bc 0:
cx d
Không có cực trị
*) Đối với hàm đa thức bậc ba 3 2
y f x ax bx cxd a
y ax bx c b ac
- Để hàm số có hai điểm cực trị thì phương trình y’=0 có hai nghiệm phân biệt 2
b ac
Trang 10- Để hàm số không có điểm cực trị thì phương trình y’=0 vô nghiệm hoặc có nghiệm kép 2
b ac
Qua đây ta rút ra được kết quả: Đồ thị hàm đa thức bậc ba hoặc là có hai điểm
cực trị hoặc là không có điểm cực trị nào.
Bài tập 1: Với giá trị nào của m thì hàm số 3 2 2 đạt cực đại
yx m x m x
tại x = 1
A m 1 m 3 B m 1
Giải
Ta có :
2 2
2
y x m x m
y x m
Điều kiện để hàm số đạt cực đại tại x = 1 là .
3
y
m y
Vậy chọn đáp án C
Nhận xét: Nhiều học sinh mắc sai lầm trong bài tập này đó là chỉ thay x =1 vào
phương trình y’ = 0 suy ra giá trị m cần tìm là m = 1 và m = -3 Khi đó học sinh
sẽ chọn đáp án A và không suy nghĩ gì đến đáp án C
Qua đây ta có:
- Để hàm số đạt cực đại tại x 0 thì
0
0
0 0
y x
y x
- Để hàm số đạt cực tiểu tại x 0 thì
0
0
0 0
y x
y x
Bài tập 2: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số 3 2
y x mx x
đạt cực tiểu tại x = - 2
Giải:
Ta có
2
y x mx
y x m
Để hàm số đạt cực tiểu tại x = -2 thì 2 0 9 Vậy ta chọn đáp án D
y
m y
Bài tập 3: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số
có hai điểm cực trị
yx mx m
Giải:
Vận dụng nhận xét trên ta có để hàm số có hai điểm cực trị thì
Ta chọn đáp án D