Slide bài giảng quy hoạch tuyến tính Full Đại học Tôn Đức Thắng

Slide 1 06012014 1 QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH Hoặc TỐI ƯU HÓA PHÂN PHỐI CHƯƠNG TRÌNH BÀI TOÁN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH CH1 BÀI TOÁN ĐỐI NGẪU CH2 BÀI TOÁN VẬN TẢI CH3 THỜI LƯỢNG 30 tiết QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH 2 Chương 1 BÀI TOÁN QHTT TÀI LIỆU THAM KHẢO QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH TS VÕ VĂN TUẤN DŨNG, NXB THỐNG KÊ, NĂM 2007 QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH ĐH KINH TẾ TpHCM TS BÙI PHÚC TRUNG, TS NGUYỄN THỊ NGỌC THANH ThS LÊ KHÁNH LUẬN, ThS PHẠM TRÍ CAO QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH 3 Chương 1 BÀI TOÁN QHTT CHƯƠNG 1 BÀI TOÁN QUY HOẠCH T.

Trang 1

QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH

Hoặc TỐI ƯU HÓA

PHÂN PHỐI CHƯƠNG TRÌNH

BÀI TOÁN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH

Chương 1 BÀI TOÁN QHTT

TÀI LIỆU THAM KHẢO

TS VÕ VĂN TUẤN DŨNG, NXB THỐNG KÊ, NĂM 2007

ĐH KINH TẾ TpHCM

- TS BÙI PHÚC TRUNG, TS NGUYỄN THỊ NGỌC THANH

- ThS LÊ KHÁNH LUẬN, ThS PHẠM TRÍ CAO

QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH 3

CHƯƠNG 1 BÀI TOÁN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH

LẬP MÔ HÌNH BÀI TOÁN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH

BÀI TOÁN DẠNG CHUẨN & PHƯƠNG PHÁP ĐƠN HÌNH

§5

$1 LẬP MÔ HÌNH BÀI TOÁN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH

Quy hoạch tuyến tính là gì :

Quy hoạch tuyến tính (linear programming problem) là lĩnh vực toán

học nghiên cứu các bài toán tối ưu trên hữu hạn biến mà hàm mục

tiêu và các ràng buộc đều là hàm số Các phương trình hay bất

phương trình đều là tuyến tính

 Năm 1947 Dantzig công bố phương pháp đơn hình

để giải các bài toán lập kế hoạch cho không quân Mỹ

 Năm 1975, Kantorovic và Koopmans được nhận giải thưởng Nobel về khoa học kinh tế nhờ những thành công trong những công trình nghiên cứu và ứng dụng quy hoạch tuyến tính vào lĩnh vực kinh tế

Trang 2

I- Bài toán lập kế hoạch kinh doanh:

Ví dụ 1.1: Một doanh nghiệp sản xuất 3 loại sản phẩm từ

hai loại nguyên liệu với số lượng hiện có tương ứng là

40;60(kg) Định mức tiêu hao các loại nguyên liệu (kg/đv)

và lợi nhuận (ngànđ/đv) khi sản xuất ra một đơn vị sản phẩm

Lượng sản phẩm S1 tối đa có thể tiêu thụ là 200 đơn vị

Các sản phẩm S2, S3 có số lượng tiêu thụ không hạn chế

Hãy lập mô hình bài toán xác định kế hoạch sản xuất sao cho tổng lợi nhuận thu được là nhiều nhất

Ví dụ 1.2:

Một xí nghiệp có ba loại nguyên liệu A(đường),

B(sữa), C (hương trái cây) Xí nghiệp dùng các loại

nguyên liệu này sản xuất 4 loại sản phẩm kẹo mút :

K1(mum mum dâu), K2(mum mum bạc hà),

K3(mum mum mật ong), K4(mum mum dứa) Trữ

lượng tối đa các nguyên liệu, tiền lời khi bán các sản

phẩm kẹo và định mức tiêu hao nguyên liệu để sản

xuất ra các loại sản phẩm được cho trong bảng sau :

LOẠI NGUYÊN LiỆU

ĐỊNH MỨC TIÊU HAO

DỰ TRỮ

Hãy lập kế hoạch sản xuất các loại sản phẩm sao cho : thỏa yêu cần về hạn chế nguyên liệu, đồng thời lợi nhuận thu được là lớn nhất

Ví dụ 1.3 :

Để nuôi một loại gia súc, một đội nhân công dùng 3

loại thức ăn T1, T2, T3 Trong 3 loại thức ăn này có

chứa 3 loại chất dinh dưỡng A(DHA), B( A+),

B(canxi @) Số đơn vị chất dinh dưỡng (g) có trong

1 đơn vị thức ăn (kg) như sau :

Chất DD Số đơn vị chất dd có trong 1kg thức ăn

Để gia súc phát triển tốt và thông minh thì nhu cầu tối thiểu về các chất dinh dưỡng A, B, C trong khẩu phần thức ăn hằng ngày của gia súc lần lượt là : 17, 14, 14(g) Giá thức ăn T1, T2, T3 lần lượt là 50, 40, 70(ngàn đ/kg)

Trang 3

Ví dụ 1.4:

Một xí nghiệp xử lý giấy, có ba phân xưởng I, II, III

cùng xử lý ba loại giấy A, B, C Do ba phân xưởng có

nhiều sự khác nhau, nên nếu cùng đầu tư 10 triệu

đồng vào mỗi phân xưởng thì năng suất cuối kỳ của

các phân xưởng được cho trong bảng sau :

Loại giấy Năng suất của các phân xưởng(tạ)

Theo yêu cầu lao động thì cuối kỳ Xí nghiệp phải

xử lý ít nhất 2 tấn giấy loại A, 2.5 tấn giấy loại B, 3 tấn giấy loại C Hỏi cần đầu tư vào mỗi phân xưởng bao nhiêu tiền để xí nghiệp thỏa: hoàn thành công việc và giá tiền đầu tư là nhỏ nhất

Ví dụ 1.5:

Một xí nghiệp may mặc cần sản xuất 2000 chiếc

quần và ít nhất là 1000 cái áo Mỗi tấm vải có 6 cách

I.2- Bài toán vận tải

Ví dụ 1.6:

Một công ty cần chuyên chở giao hàng từ 4 kho I, II, III, IV đến khách hàng A, B, C theo hợp đồng Chi phí vận chuyển (triệu đồng) và khối lượng (tấn) phải giao nhận được cho chi tiết trong bảng Tìm cách vận chuyển sao cho chi phí tiết kiệm nhất

Nơi đến – khối lượng

Nơi đi – khối lượng

17

Gọi x ij (i = A, B, C; j = 1, 2, 3, 4) là khối lượng vận

chuyển từ các kho đến nơi nhận khách hàng

BTT Phần bài tập sinh viên tự làm 1/ Một gia đình cần ít nhất 1800 đơn vị prôtêin và 1500 đơn vị lipit trong thức ăn mỗi ngày Một kilôgam thịt bò chứa 600 đơn vị prôtêin và 600 đơn vị lipit, một kilôgam thịt heo chứa 600 đơn vị prôtêin và 300 đơn vị lipit, một kilôgam thịt gà chứa 600 đơn vị prôtêin và 600 đơn vị lipit Giá một kilôgam thịt bò là 81 ngàn đồng, giá một kilôgam thịt heo là 74 ngàn đồng, giá một kilôgam thịt gà

là 90 ngàn đồng

Hỏi một gia đình nên mua bao nhiêu kilôgam thịt mỗi loại để: bảo đảm tốt khẩu phần ăn trong một ngày và tổng

số tiền phải mua là nhỏ nhất?

Trang 4

2/ Một xí nghiệp dự định sản xuất ba loại sản phẩm A, B và

C Các sản phẩm này được chế tạo từ ba loại nguyên liệu I, II

và III Số lượng các nguyên liệu I, II và III mà xí nghiệp có lần lượt là 30, 50, 40 Số lượng các nguyên liệu cần để sản xuất một đơn vị sản phẩm A, B, C được cho ở bảng sau đây

Xí nghiệp muốn lên một kế hoạch sản xuất để thu được tổng số lãi nhiều nhất (với giả thiết các sản phẩm lm ra đều bán hết), nếu biết rằng lãi 5 triệu đồng cho một đơn vị sản phẩm loại A, lãi 3.5 triệu đồng cho một đơn vị sản phẩm loại B, lãi 2 triệu đồng cho một đơn vị sản phẩm loại C Lập mô hình bài toán Quy hoạch tuyến tính

1

n

j j j

2 1

3 1

j n

Bài toán quy hoạch tuyến tính tổng quát có dạng:

QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH Chương 1 BÀI TOÁN QHTT 21

1 2 3

(6)

j j j

Đây là bài toán Quy hoạch tuyến tính dạng tổng quát

$2 BÀI TOÁN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH TỔNG QU ÁT



    được gọi là hàm mục tiêu

(1), (2), (3) được gọi là các ràng buộc đại số

(4), (5), (6) được gọi là các ràng buộc điều kiện

Phương án x làm cho hàm mục tiêu đạt giá trị lớn nhất (nếu là bài toán max) hoặc giá trị nhỏ nhất (nếu

là bài toán min) được gọi là phương án tối ưu

Trang 5

x x  x    x

Ví dụ 1 :

 Một tổ hợp lồi của hai điểm được gọi là đoạn

III.2/ Định nghĩa 2 (Định nghĩa tập lồi):

Nói cách khác, tập L là tập lồi, nếu đoạn thẳng

nối hai điểm trong L nằm gọn trong L

TẬP LỒI QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH 27

, đoạn thẳng, đường thẳng, tia, toàn bộ 2, nửa mặt phẳng, đa giác lồi, tam giác, hình tròn, hình elip đều là các tập lồi

phẳng, đa diện lồi là các tập lồi

KẾT LUẬN

TẬP LỒI

III.3/ Định nghĩa 3 (Định nghĩa điểm cực biên)

của G nếu trong G không một đoạn thẳng nào

nhận x0 là điểm trong

Nhận xét

D,E C

B A

ĐiỂM CỰC BIÊN

Trang 6

IV Tập phương án và phương án tối ưu:

Tập hợp các phương án của bài toán Quy

hoạch tuyến tính là một tập lồi

Tập hợp các phương án tối ưu của bài toán

Quy hoạch tuyến tính là một tập lồi

Tập phương án cực biên là tập hữu hạn

IV Tập phương án và phương án tối ưu:

Các trường hợp phương án tối ưu (nghiệm):

- Không có (vô nghiệm)

- Có duy nhất

- Có vô số, là tổ hợp lồi của 2 PA tối ưu tìm được

Nếu bài toán QHTT có phương án tối ưu thì sẽ có ít nhất một phương án cực biên là phương án tối ưu

Trang 7

Miền xác định OABC

Trang 8

$4 BÀI TOÁN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH CHÍNH TẮC

• Khác biệt so với dạng tổng quát:

 Hệ ràng buộc đại số chỉ chứa ràng buộc phương trình

 Ràng buộc về dấu đòi hỏi các biến không âm

Mọi bài toán Quy hoạch tuyến tính đều có thể đưa về

Trang 9

MA TRẬN

Hay có thể viết lại

0

f x c x

Ax b x

III- Hệ vectơ liên kết:

Ta có 0 7 1

, , 0

3 3

   là một phương án của bài

toán (vì thỏa hệ phương trình), và

x là phương án cực biên của tập phương án thì hệ véctơ liên kết với nó độc lập tuyến tính

Ngược lại, nếu 0

x là một phương án có hệ véctơ liên kết với nó độc lập tuyến tính thì 0

x là một phương án cực biên

Trang 10

Là một phương án cực biên của bài toán, vì hệ

véctơ liên kết với nó là 1 1

Nếu bài toán QHTT dạng chính tắc có phương án tối

ưu thì nó sẽ có ít nhất một phương án cực biên là

phương án tối ưu

IV.3/ Định lí 3:

Điều kiện cần và đủ để bài toán QHTT chính tắc có phương án tối ưu là tập phương án khác rỗng và hàm mục tiêu bị chặn dưới nếu f  min hoặc bị chặn trên nếu f  max

Ví dụ 4.6: Giải bài toán sau

BTT Phần bài tập sinh viên tự làm 1/ Giải bài toán

Trang 11

V Dấu hiệu tối ưu và không tối ưu:

 Hệ cơ sở vectơ liên kết là {A 1 , A 2 , … , A m }

Cho bài toán chính tắc n ẩn:

phương án cực biên bài toán

 Mỗi vectơ cột A j được biểu diễn qua hệ cơ sở vectơ liên kết {A 1 , A 2 , … , A m }

 Kí hiệu vectơ Z j = (zij), i = 1, …, m; là tọa độ vectơ cột A j trong hệ cơ sở trên

 Gọi B là ma trận tạo bởi hệ cơ sở vectơ liên kết {A 1 , A 2 , … , A m }

 A j = B.Z j  Z j = B -1 A j

Gọi Cc c1 ; ; ; 2 c m là vectơ hệ số hàm mục tiêu

tương ứng hệ cơ sở vectơ liên kết Đặt:

1

m j

gọi là ước lượng của ẩn x j , j 1;n

Định lí:

phương án tối ưu của bài toán

 Có ước lượng của x*  j 0,j {1; ; }n thì

Trang 12

Chứng minh x0,1, 2,3, 0 là phương án cực biên

và là phương án tối ưu của bài toán

Với phương án cực biên x=(2,4,0,0) Xét xem x có phải

là phương án tối ưu hay không ?

BTT Phần bài tập sinh viên tự làm

1/ Hỏi 0;235 39 199; ;

92 92 92

   có phải là phương án tối

ưu của bài toán Quy hoạch tuyến tính

2/ Cho bài toán Quy hoạch tuyến tính mà ta gọi là bài

a/Chứng minh x0; 4; 2 là phương án cực biên,

nhưng không phải là phương án tối ưu của bài toán (P)

b/Hãy xây dựng một phương án cực biên mới tốt hơn

phương án x ở câu a).

  4 1 5 2 7 3 min

f x  x  x  x 

I Dạng chuẩn:

$5 BÀI TOÁN CHUẨN & PHƯƠNG PHÁP ĐƠN HÌNH

Bài toán QHTT chuẩn có dạng:

Trang 13

• Khác biệt so với dạng chính tắc:

 Mỗi ràng buộc phương trình đại số phải chứa 1

ẩn cơ bản (là ẩn có hệ số 1 và xuất hiện đúng 1

lần trong hệ ràng buộc)  hệ ràng buộc m

phương trình phải chứa m ẩn cơ bản khác nhau

 Tất cả hệ số tự do của hệ ràng buộc không

 Mỗi phương trình ràng được cộng thêm vào một ẩn

cơ bản giả  thêm (m – k) ẩn cơ bản giả khác

nhau vào (m – k) phương trình ràng buộc chưa có

ẩn cơ bản

 Hệ số các ẩn cơ bản giả trong hàm mục tiêu là +M

khi f  min và –M khi f  max, với M >0

II Thuật toán đơn hình bài toán chuẩn:

Cho bài toán QHTT chuẩn:

Phương án xuất phát (ban đầu) có ẩn cơ bản nhận giá trị hệ

số tự do của phương trình ràng buộc chứa nó



Ví dụ 5.4: Cho bài toán QHTT sau

Hãy lập bảng đơn hình xuất phát cho bài toán trên

Trang 14

Ví dụ 5.5: Cho bài toán QHTT sau

Hãy lập bảng đơn hình xuất phát cho bài toán trên

Xét dấu hiệu có tối ưu hay không B2

Nếu không

B3

Áp dụng định lý xét dấu hiệu tối ưu đã học ở bài

toán chính tắc

Ví dụ 5.6: Xét lại bài toán bảng đơn hình ở ví dụ 5.4

Ví dụ 5.7: Xét lại bài toán bảng đơn hình ở ví dụ 5.5

Ẩn

cơ sở

3

Tìm một PACB mới tốt hơn

1

$5 BÀI TOÁN DẠNG CHUẨN & PHƯƠNG PHÁP ĐƠN HÌNH

Đổi ẩn cơ bản: đưa ẩn cơ bản mới x vvào thay ẩn

 Xác định ẩn cơ bản mới x v đưa vào:

Tìm một PACB mới tốt hơn

1

Đổi ẩn cơ bản: đưa ẩn cơ bản mới x vvào thay ẩn

Trang 15

B3 Tìm một PACB mới tốt hơn Cải tiến phương án

2 Lập bảng đơn hình cho phương án cực biên mới

theo các nguyên tắc sau:

 Cột ẩn cơ bản: ẩn cơ bản x r được thay ra bằng ẩn

cơ bản mới x v đưa vào: x v  x r

phép đổi sơ cấp trên dòng ma trận bảng đơn hình cũ

thành vectơ đơn vị với số hạng phần tử tâm xoay

A v) biến đổi theo quy tắc hình chữ nhật:

BƯỚC 1

SƠ ĐỒ THUẬT TOÁN

Xét dấu hiệu tối

ưu Text

Thuật toán giống như thuật toán dạng chính tắc f→min

Chỉ thay đổi

Xét dấu hiệu tối ưu

B2

   j j n thì x là phương án tối ưu.

Nếu  j 0 mà ứng với j này, x ij   0, i 1,m thì bài

toán không có phương án tối ưu

Ví dụ 5.11: Giải bài toán

Trang 16

Thuật toán kết thúc Phương án tối ưu là (1,1, 0, 2, 0, 0)

BTT Phần bài tập sinh viên tự làm 1/Giải bài toán Quy hoạch tuyến tính

BTT Phần bài tập sinh viên tự làm

1/Giải bài toán Quy hoạch tuyến tính

V Thuật toán đơn hình cho bài toán chính tắc (tham khảo)

A - Ý tưởng của thuật toán

Giả sử bài toán chính tắc

(*) trong đó A không có ma trận đơn vị

QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH Chương 1 BÀI TOÁN QHTT 96

$6 PHƯƠNG PHÁP ĐƠN HÌNH MỞ RỘNG

Trang 17

Ta thêm các ẩn x n1 ,x n2 , ,x n m mà ta sẽ gọi là

ẩn giả (giả sử bài toán còn thiếu m véctơ đơn

vị) Khi đó bài toán có dạng như sau:

Khi giải bài toán (M) bằng phương pháp đơn

M Ở dòng cuối của bảng đơn hình ta chia

làm hai dòng

 Dòng trên ghi các hệ số đứng trước M

 Dòng cuối ghi các hệ số tự do

Giải : Bài toán thuộc dạng chính tắc nhưng không có

sẳn ma trận đơn vị nên ta cộng ẩn giả x x4, 5 vào ràng

buộc thứ nhất và thứ hai ta được :

Đây là bài toán chính tắc có sẳn ma trận đơn vị nên

ta dùng thuật toán đơn hình để giải :

M -8

1 -1

0 -1 1/4

Trang 18

A2 A1

6 -8

2 5/2

0

1

0 -7 25/4 -1 3/4 -1

Giải : Ta đưa bài toán về dạng chính tắc như sau :

Bài toán chưa có sẳn ma trận đơn vị nên ta thêm ẩn

giả x x5, 6 vào ràng buộc hai và ba Bài toán đưa về

dạng chính tắc có sẳn ma trận đơn vị như sau :

6 3 1 0 M M

Cơ sở H.số

j c

Ph án

1

A4 A5 A1

2

0

0 1/2

24 0 -11 0 0 0 -3

0 0 9 2 0 0 3

A4 A5 A3

Giải : Dạng chính tắc của bài toán là

Trang 19

1 -7 -2 6 0 0 -M -M

-

Co So CJ Ph.An A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 -

A7 -M 10 1 3 1 1 -1 0 1 0

A8 -M 15 2 5 1 4 0 -1 0 1

-

(M) -3 -8 -2 -5 1 1 0 0

-1 7 2 -6 0 0 0 0

-

A7 -M 1 -1/5 0 2/5 -7/5 -1 3/5 1 -3/5 A2 -7 3 2/5 1 1/5 4/5 0 -1/5 0 1/5 -

(M) 1/5 0 -2/5 7/5 1 -3/5 0 8/5 -19/5 0 3/5 -58/5 0 7/5 0 -7/5 -

BẢNG ĐƠN HÌNH QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH Chương 1 BÀI TOÁN QHTT 109

$6 PHƯƠNG PHÁP ĐƠN HÌNH MỞ RỘNG A6 0 5/3 -1/3 0 2/3 -7/3 -5/3 1 5/3 -1

A2 -7 10/3 1/3 1 1/3 1/3 -1/3 0 1/3 0

-

(M) 0 0 0 0 0 0 1 1

-10/3 0 -1/3 -25/3 7/3 0 -7/3 0

-

A6 0 25 2 7 3 0 -4 1 4 -1

A4 6 10 1 3 1 1 -1 0 1 0

-

(M) 0 0 0 0 0 0 1 1

5 25 8 0 -6 0 -6 0

-Vậy bài toán không có phương án tối ưu QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH Chương 1 BÀI TOÁN QHTT 110

Ci Xi Yi X1 X2 X3 X4 X5 X6

0 X4 6 1 -5 1 1 0 0

0 X5 7 2 2 -2 0 1 0

0 X6 5 -1 2 1 0 0 1

F(x) 0 -2 -3 -1 0 0 0

0 X4 37/2 -3/2 0 7/2 1 0 5/2

3 X2 5/2 -1/2 1 1/2 0 0 ½ F(x) 15/2 -7/2 0 1/2 0 0 3/2

0 X4 39/2 0 0 2 1 1/2 2

2 X1 2/3 1 0 -1 0 1/3 -1/3

3 X2 17/6 0 1 0 0 1/6 1/3

F(x) 59/6 0 0 -3 0 7/6 1/3

1 X3 39/4 0 0 1 1/2 1/4 1

2 X1 125/12 1 0 0 1/2 7/12 2/3

3 X2 17/6 0 1 0 0 1/6 1/3 F(x) 469/12 0 0 0 3/2 23/12 10/3

Trang 20

CHƯƠNG 2 : BÀI TOÁN ĐỐI NGẪU

Nhu cầu & ý nghĩa

CHƯƠNG 2: BÀI TOÁN ĐỐI NGẪU

Nhu cầu & ý nghĩa

§ 1

I/ Bài toán 1:

Xét bài toán lập kế hoạch sản suất Một xí nghiệp hiện có số lượng gỗ (B1) và axít (B2) tương ứng là 5000m2, 90 tấn (các yếu tố sản xuất khác có số lượng lớn không hạn chế)

Xí nghiệp có thể sản xuất ra 3 loại giấy A1, A2, A3 Mức tiêu hao nguyên liệu để sản xuất ra 1 tấn giấy thành phẩm và giá bán như sau :

QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH 2 Chương 2: BÀI TOÁN ĐỐI NGẪU

II/ Bài toán 2:

Nếu có công ty muốn mua lại toàn bộ nguyên liệu trên Bên mua có thể lên kế hoạch mua giá từng nguyên liệu trên với giá như thế nào để mua được rẻ nhất nhưng bên bán vẫn đạt lãi cao nhất như sản xuất bán thành phẩm Lập mô hình bài toán thỏa yêu cầu trên

Bài toán gốc G Bài toán đối ngẫu Đ

Trang 21

I/Hệ số - Ma trận

 Số lượng ẩn bài này là số lượng ràng buộc

đại số bài kia và ngược lại

 Hàm mục tiêu của bài toán gốc →min

ngẫu →max (min)

 Vectơ hệ số hàm mục tiêu của bài toán gốc

Vectơ hệ số tự do của ràng buộc đại số trong bài toán đối ngẫu

 Ma trận hệ số của bài toán gốc lấy chuyển

vị thành ma trận hệ số của bài toán đối ngẫu

II/ Quy tắc về dấu của các ràng buộc

Dấu của ràng buộc đại số trong bài toán gốc

quy định dấu của ràng buộc biến tương ứng

của bài toán đối ngẫu

quy định dấu của ràng buộc đại số tương

ứng của bài toán đối ngẫu

Quy tắc về dấu được cho trong bảng sau

 Bài toán max  min

 Bài toán min  max

Định dạng
Số trang	43
Dung lượng	6,29 MB