CÁC BÀI TOÁN VỀ VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG Dạng 1 Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm và có vectơ chỉ phương Phương pháp giải Phương trình tham số của đường thẳng là Phương trình chính tắc của đường thẳng là Ví dụ 1 Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm và có vectơ chỉ phương Ví dụ 2 Phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua điểm và có vectơ chỉ phương Dạng 2 Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm Phương pháp giải Xác định vectơ chỉ phương của là Viết phương trình đườ.
Trang 1CÁC BÀI TOÁN VỀ VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
Dạng 1: Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm M x y z o; ;o o và có vectơ chỉ phương uru u u1 ; ; 2 3
Phương pháp giải:
Phương trình tham số của đường thẳng là:
1 2 3
o o o
x x u t
y y u t
z z u t
Phương trình chính tắc của đường thẳng là:
0
.
x x y y z z
phương ur3; 2;7
chỉ phương ar 3;4; 1
Dạng 2: Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A B,
Phương pháp giải:
Xác định vectơ chỉ phương của là uuur uuur AB
Viết phương trình đường thẳng qua điểm A và có VTCP là uuurAB
Ví dụ 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho A 2;3; 1 , B 1;2;4 , phương trình
đường thẳng d đi qua hai điểmA B, là:
Ví dụ 4: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho A 3; 2;0 , B 1;1;4 , C 5;3;2 ,
viết phương trình đường thẳng AM vớiM là trung điểm của đoạn thẳng BC.
Dạng 3: Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm M và song song với đường
thẳngd
Phương pháp giải:
Xác định vectơ chỉ phương của đường thẳng là uuur uur u d
Viết phương trình đường thẳng qua điểm M và có VTCP là uV
uur
Chú ý: Các trường hợp đặc biệt.
o Nếu đường thẳng song song với trụcOx thì có VTCP là uuur r i 1; 0; 0
o Nếu đường thẳng song song với trụcOy thì có VTCP là uuur r j 0; 1; 0
Trang 2o Nếu đường thẳng song song với trụcOz thì có VTCP là uuur r k 0; 0; 1
đi qua điểm M 4; 2; 2 và song song với đường thẳng
d
đi qua điểm H 3; 2; 1 và song song với trục Oy.
Dạng 4: Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm M và vuông góc với mặt
phẳng
Phương pháp giải:
Xác định vectơ chỉ phương của đường thẳng là uuur uur n
Viết phương trình đường thẳng qua điểm M và có VTCP là uV
uur
Chú ý: Các trường hợp đặc biệt.
o Nếu vuông góc với mặt phẳng Oxy thì có VTCP là uuur r k 0;0;1
o Nếu vuông góc với mặt phẳng Oxz thì có VTCP là uuur r j 0;1;0
o Nếu vuông góc với mặt phẳng Oyz thì có VTCP là uuur r i 1;0;0
qua điểm A 2;4;3và vuông góc với mặt phẳng : 2x3y 6z 19 0
đi qua điểm M 5; 1;3 và vuông góc với mặt phẳng Oxy.
Dạng 5: Viết phương trình đường thẳng d là giao tuyến hai mặt phẳng P và Q Cách giải: B1: tìm u d n Q;n P
uur uuur uuur
B2: Lấy A thuộc P và Q ,
a Đi qua hai điểm A(1;-3;1) và B(-4;1;2) Dạng 2
b (d) là giao tuyến của hai mặt phẳng ( ) : 2P x y z 4 0 , ( ) :Q x y 2z 2 0
là giao tuyến của 2 mặt phẳng ( P) và ( Q) có phương trình:
( ) :P x 3ky z 2 0;( ) :Q kx y z 1 0
Tìm k để đường thẳng dk vuông góc với mặt phẳng ( R) : x – y – 2z + 5 = 0.
Trang 3Dạng 6: Viết phương trỡnh đường thẳng d’ đi qua A x y z A; ;A A , vuụng gúc với d và nằm trong mặt phẳng P
Cho đường thẳng ( d ) : và mặt phẳng ( P ) :Ax + By + Cz + D = 0
Cỏch giải: Tỡm u d u n d; P
uur uur uuur
Viết ptdt qua A và nhận uuurd
làm vecto chỉ phương
d:
x y z
và mặt phẳng (P): 2x + y - 2z + 9 = 0.
a.Tìm toạ độ điểm I thuộc d sao cho khoảng cách từ I đến mặt phẳng (P) bằng 2
b.Tìm toạ độ giao điểm A của đờng thẳng d và mặt phẳng (P) Viết phơng trình tham số của đờng thẳng nằm trong mặt phẳng (P),
biết đi qua A và vuông góc với d
Dạng 7: Viết phương trỡnh hỡnh chiếu vuụng gúc của đường thẳng lờn mặt phẳng Cho đường thẳng ( d ) : và mặt phẳng ( P ) :Ax + By + Cz + D = 0
Cỏch giải: Để viết phương trỡnh hỡnh chiếu vuụng gúc của đường thẳng ( d ) lờn mặt phẳng ( P) ta thực hiện theo cỏc bước sau:
Bước 1: Đường thẳng ( d) đi qua điểm và cú vecto chỉ phương Mặt phẳng
( P ) cú vecto phỏp tuyến
Bước 2: Xột vị trí tương đối của (d ) và ( P ) Bằng cỏch tính
-TH1: Nếu ; thi ( d ) song song ( P) Trong trường hợp này ta giải như sau:
d M
d’ H
a) Ta tỡm tọa độ H là hỡnh chiếu vuụng gúc của M trờn mặt phẳng ( P ) b) Đường thẳng ( d’) đi qua H và song song với ( d) ; đú chính là đường thẳng cần tỡm
-TH2:Nếu ; thi ( d ) cắt ( P) Trong trường hợp này ta giải như sau :
a)Tỡm tọa độ giao điểm N của ( d ) và ( P) ;
b)Tỡm tọa độ H là hỡnh chiếu vuụng gúc của M trờn ( P )
Trang 4c) Đường thẳng đi qua hai điểm N và H là đường thẳng cần tìm
d
M
H N d’
Chú ý: Có thể đi tìm mặt phẳng Q chứa đường thẳng d và vuông góc với mặt phẳng P , khi đó hình chiếu của d lên P là giao tuyến của hai mặt phẳng P và
Q
x y z
lên mặt phẳng (P): 2x + y - 2z + 9 = 0.
Dạng 8: Cho điểm A x y z A; A; A và hai đường thẳng d v d1 à 2 Viết phương trình đường thẳng d đi qua A và cắt cả d d1 ; 2
Cách giải:
- Viết phương trình mặt phẳng P chứa d và d1
- Viết phương trình mặt phẳng Q chứa d và d2
Khi đó giao tuyến của P và Q là đường thẳng d (sử dụng Dạng 5)
Cách xác định mặt phẳng P : n P u AM d1 ;
uuur uur uuuur
, với Md1
Cách xác định mặt phẳng Q : n Q u d2 ;AN
uuur uur uuur
, với N d 2
1 2 3
y t
z t
Và (d 2 ) là giao tuyến của hai mặt phẳng : 2x y z 1 0, :x 2z 3 0
Viết phương trình đường thẳng đi qua A(1;-1;1) cắt cả hai đường thẳng (d 1 ) và (d 2 )
Dạng 9: Cho điểm A x y z A; ;A A và hai đường thẳng d v d1 à 2 Viết phương trình đường thẳng d đi qua A, cắt d1và song song với d2
Cách giải: Như bài Dạng 8
Dạng 10: Cho điểm A x y z A; A; A và hai đường thẳng d v d1 à 2 Viết phương trình đường thẳng d đi qua A, cắt d1và vuông góc với d2
Cách giải:
Trang 5- Viết phương trỡnh mặt phẳng P chứa d và d1
- Viết phương trỡnh mặt phẳng Q chứa d và vuụng gúc với d2
Khi đú giao tuyến của P và Q là đường thẳng d (sử dụng Dạng 5)
Cỏch xỏc định mặt phẳng P : n P u AM d1 ;
uuur uur uuuur
, với Md1
Cỏch xỏc định mặt phẳng Q : nuuur uur Q u d2 (vtpt Q là vtcp d2)
1 3 2
z t
Và (d 2 ) là giao tuyến của hai mặt phẳng :x y z 2 0, :x 1 0
Viết phương trỡnh đường thẳng đi qua A(0;1;1) vuụng gúc với đường thẳng (d 1 ) và cắt (d 2 )
3) và hai đờng thẳng
d 1 :
x y z
x y z
a.Tìm toạ độ điểm A’ đối xứng với điểm A qua đờng thẳng
d 1
b.Viết phơng trình đờng thẳng đi qua A vuông góc với d 1
và cắt d 2
Dạng 11: Cho 3 đường thẳng d d d1 ; ; 2 3 Viết phương trỡnh đường thẳng d song song với d1, cắt d d2 ; 3
Cỏch giải:
- Viết phương trỡnh mặt phẳng P chứa d2 và song song với d1
- Viết phương trỡnh mặt phẳng Q chứa d3và song song với d1
Khi đú giao tuyến của P và Q là đường thẳng d (sử dụng Dạng 5)
Cỏch xỏc định mặt phẳng P : n P u u1 ; 2
uuur ur uur
, với Md2
Cỏch xỏc định mặt phẳng Q : n P u u1 ; 3
uuur ur uur
,với N d 3
x y z
,(d 2 ):
3 1 5
x t
y t
z t
Và (d 3 ) là giao tuyến của hai mặt phẳng : 2x y 4z 3 0, : 2x y z 1 0
Viết phương trỡnh song song với (d 1 ) cắt cả hai đường thẳng (d 2 ) và (d 3 )
Trang 6Dạng 12: Cho điểm A x y z A; ;A A , đường thẳng d1, mặt phẳng Viết phương trình đường thẳng d đi qua A, cắt d1 và song song với P
Cách giải:
- Viết phương trình mặt phẳng P xác định bởi A và d1
- Viết phương trình mặt phẳng Q qua A và song song Khi đó giao tuyến của P và Q là đường thẳng d (sử dụng Dạng 5)
Dạng 13: Cho hai đường thẳng d d1 ; 2chéo nhau Viết phương trình đường vuông góc chung của d d1 ; 2
Cách giải:
- d là đường vuông góc chung nên d có vtcp u u u1 ; 2
r ur uur
- Viết phương trình mặt phẳng P đi qua M1 d1nhận nuuur P u ur ur; 1
- Viết phương trình mặt phẳng Q đi qua M2 d2nhận n Q u u; 2
uuur r uur
Khi đó giao tuyến của P và Q là đường thẳng d (sử dụng Dạng 5)