SKKN Ứng dụng tích phân giải các bài toán thực tế giúp học sinh trường Trung học Phổ thông Ngô Lê Tâ...

SKKN Ứng dụng tích phân giải các bài toán thực tế giúp học sinh trường Trung học Phổ thông Ngô Lê Tân hứng thú hơn khi học môn Toán 1 A MỞ ĐẦU I Lý do chọn đề tài Trong Chương trình giáo dục THPT hiện nay, Tích phân góp phần quan trọng trong môn Giải tích Toán học, là một trong những cơ sở để nghiên cứu Giải tích hiện đại Tuy nhiên, trong chương trình sách giáo khoa lớp 12 hiện nay chỉ thiên về những bài tính toán khô khan, học sinh chỉ biết tính toán một cách máy móc mà không thấy được những ứn[.]

A MỞ ĐẦU

I Lý do chọn đề tài :

Trong Chương trình giáo dục THPT hiện nay, Tích phân góp phần quan trọng trong môn Giải tích Toán học, là một trong những cơ sở để nghiên cứu Giải tích hiện đại Tuy nhiên, trong chương trình sách giáo khoa lớp 12 hiện nay chỉ thiên về những bài tính toán khô khan, học sinh chỉ biết tính toán một cách máy móc mà không thấy được những ứng dụng thực tế của nó

Yêu cầu của giáo dục hiện nay đòi hỏi phải đổi mới phương pháp dạy học môn Toán theo hướng phát huy tính tích cực, chủ động sáng tạo của học sinh, liên hệ được môn Toán với các bài toán thực tế Vì vậy người giáo viên phải gây được hứng thú học tập cho các em bằng cách thiết kế bài giảng khoa học, hợp lý, phải gắn liền với ứng dụng, liên hệ thực tế,

và liên hệ với các môn học khác Thông qua kiến thức mà người giáo viên đã tinh lọc, qua ứng dụng, thực hành các em sẽ lĩnh hội những tri thức toán học một cách dễ dàng, các em sẽ thấy mối quan hệ không thể tách rời giữa lý thuyết với thực tế Khi chúng ta chỉ ra được tầm quan trọng của môn toán trong các ứng dụng thực tế một cách thường xuyên, khoa học thì chất lượng dạy học môn toán sẽ ngày một nâng cao

Trong đề thi môn Toán THPT Quốc gia những năm gần đây, Bộ Giáo dục và Đào tạo

có xu hướng đưa vào các bài toán thực thế Vì vậy những bài toán ứng dụng thực tế của tích phân đang là chủ đề nóng và rất cần thiết cho những học sinh đang chuẩn bị cho kì thi THPT Quốc gia

Chính vì những lý do nêu trên mà tôi đã chọn đề tài sáng kiến kinh nghiệm “Ứng dụng tích phân giải các bài toán thực tế giúp học sinh trường THPT Ngô Lê Tân hứng thú hơn khi học môn Toán”.

II Mục đích nghiên cứu của đề tài.

- Góp phần đổi mới phương pháp dạy học môn Toán nói chung và môn Giải tích 12 nói riêng theo hướng tinh giản kiến thức, phát huy tính tích cực, chủ động và sáng tạo của học sinh, tăng cường ứng dụng thực tế, liên môn, giúp học sinh có phương pháp học tập thích ứng với xu hướng hiện nay

- Góp phần gây hứng thú học tập môn Toán cho học sinh, và cũng giúp các em thấy được tầm quan trọng của môn Toán đối với tất cả các lĩnh vực khác của cuộc sống

III Đối tượng nghiên cứu :

- Tìm hiểu khái niệm tích phân trong Giải tích 12

- Một số bài toán liên quan trong các đề thi THPTQG

- Đề tài này áp dụng rộng rãi cho các em học sinh THPT, học sinh lớp 12 ôn thi THPTQG, các em học sinh giỏi và tất cả giáo viên dạy Toán ở trường THPT tham khảo

IV Phương pháp nghiên cứu :

1 Nghiên cứu tài liệu :

- Đọc các tài liệu sách, báo, tạp chí giáo dục có liên quan đến nội dung đề tài

- Đọc SGK, sách giáo viên, các loại sách tham khảo

2 Nghiên cứu thực tế :

- Dự giờ, trao đổi ý kiến với đồng nghiệp về nội dung : Ứng dụng tích phân

- Tổng kết rút kinh nghiệm trong quá trình dạy học

- Tổ chức và tiến hành thực nghiệm sư phạm (Soạn giáo án đã thông qua các tiết dạy)

để kiểm tra tính khả thi của đề tài

B NỘI DUNG

I CƠ SỞ LÝ LUẬN

1 Vị trí của môn Toán trong nhà trường :

Môn Toán cũng như những môn học khác cung cấp những tri thức khoa học, những nhận thức về thế giới xung quanh nhằm phát triển năng lực nhận thức, hoạt động tư duy và bồi dưỡng tình cảm đạo đức tốt đẹp của con người

Môn Toán ở trường THPT là một môn độc lập, chiếm phần lớn thời gian trong chương trình học của học sinh

Môn Toán có tầm quan trọng to lớn Nó là bộ môn khoa học nghiên cứu có hệ thống, phù hợp với hoạt động nhận thức tự nhiên của con người

Môn Toán có khả năng giáo dục rất lớn trong việc rèn luyện phương pháp suy nghĩ, phương pháp suy luận lôgíc, thao tác tư duy cần thiết để con người phát triển toàn diện, hình thành nhân cách tốt đẹp cho con người lao động trong thời đại mới

2 Đặc điểm tâm sinh lý của học sinh THPT.

Ở lứa tuổi THPT cơ thể của các em đang trong thời kỳ phát triển hay nói cụ thể là các hệ cơ quan gần như hoàn thiện, vì thế sức dẻo dai của cơ thể rất cao nên các em rất hiếu động, thích hoạt động để chứng tỏ mình

Học sinh THPT nghe giảng rất dễ hiểu nhưng cũng sẽ quên ngay khi các em không tập trung cao độ Vì vậy người giáo viên phải tạo ra hứng thú trong học tập và phải thường xuyên được luyện tập

Hiếu động, ham hiểu biết cái mới, thích tự mình tìm tòi, sáng tạo nên trong dạy học giáo viên phải chắt lọc từng đơn vị kiến thức để củng cố khắc sâu cho học sinh

3 Nhu cầu về đổi mới phương pháp dạy học :

Học sinh THPT có trí thông minh, khá nhạy bén, sắc sảo, có óc tưởng tượng phong phú Đó là tiền đề tốt cho việc phát triển tư duy toán học nhưng rất dễ bị phân tán, rối trí nếu

bị áp đặt, căng thẳng, quá tải Chính vì thế nội dung chương trình, phương pháp giảng dạy, hình thức chuyển tải, nghệ thuật truyền đạt của người giáo viên phải phù hợp với tâm sinh

lý lứa tuổi là điều không thể xem nhẹ Đặc biệt đối với học sinh lớp 12, các em đã có định hướng nghề nghiệp tương lai, sẽ rất khó khăn khi có một bộ phận học sinh không học Đại học khối A, B, D mà theo các hướng rẽ khác Do vậy giờ học sẽ trở nên nặng nề, không duy trì được khả năng chú ý của các em nếu người giáo viên chỉ cho các em nghe và làm theo

những gì đã có trong sách giáo khoa

Muốn giờ học có hiệu quả thì đòi hỏi người giáo viên phải đổi mới phương pháp dạy

học tức là kiểu dạy học “Lấy học sinh làm trung tâm” hướng tập trung vào học sinh, trên cơ

sở hoạt động của các em Muốn các em học được thì trước hết giáo viên phải nắm chắc nội dung của mỗi bài và lựa chọn, vận dụng các phương pháp sao cho phù hợp, phải chỉ ra được ứng dụng của môn Toán đối với tất cả các lĩnh vực của cuộc sống

Hiển nhiên, một người giáo viên muốn dạy giỏi phải trải qua quá trình tự rèn luyện, phấn đấu không ngừng mới có được Tuy nhiên, việc đúc kết kinh nghiệm của bản thân mỗi người qua từng tiết dạy, những ngày tháng miệt mài cũng không kém quan trọng, nó vừa giúp cho mình càng có kinh nghiệm vững vàng hơn, vừa giúp cho những thế hệ giáo viên sau này

có cơ sở để học tập, nâng cao tay nghề, góp phần vào sự nghiệp giáo dục của nước nhà

II CƠ SỞ THỰC TIỄN:

Ở trường THPT Ngô Lê Tân, phần lớn học sinh chỉ giải được các bài toán tích phân như: tính tích phân, tính diện tích hình phẳng, thể tích Do đó, khi gặp các bài bài toán ứng dụng thực tế của tích phân các em thường lúng túng và không biết cách làm, số lượng học sinh giải được các bài toán thực tế là chưa nhiều

Nguồn tài liệu chủ yếu được thu thập từ các đề thi thử THPT Quốc gia của các trường trên cả nước; chưa có tài liệu đúc kết, phân loại và nêu rõ phương pháp giải các bài toán thực tế sát thực với mức độ đề thi THPT Quốc gia nên nhiều giáo viên chưa có hứng thú trong giảng dạy, nghiên cứu, phân loại các bài tập dạng này để phục vụ cho công tác giảng dạy và kiểm tra đánh giá

Nhắc đến Tích phân, học sinh thường nghĩ ngay đến bài toán khô khan, khó hiểu, làm bài tập theo nhiệm vụ, chưa thật sự hứng thú với mảng kiến thức này Do đó, khi dạy đối tượng học sinh đại trà như hiện nay, người giáo viên phải thật cô đọng lý thuyết, sắp xếp lại

bố cục bài dạy, định hướng phương pháp, tăng cường các ví dụ và bài tập từ đơn giản đến nâng cao theo dạng chuyên đề và phù hợp với từng đối tượng học sinh Ngoài ra, người giáo viên cũng phải tăng cường các bài toán thực tế để tất cả các đối tượng học sinh đều thấy được tầm quan trọng và ứng dụng rộng rãi của Tích phân vào các lĩnh vực đời sống từ đó tạo hứng thú học tập hơn cho các em

III NỘI DUNG LÝ THUYẾT :

1 Nguyên hàm

a Khái niệm nguyên hàm

• Cho hàm số xác định trên K Hàm số được gọi là nguyên hàm của trên

K nếu

• Nếu là một nguyên hàm của trên K thì họ tất cả các nguyên hàm của trên K là

• Mọi hàm số liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K

b Tính chất

Cho các hằng số

.

.

c Nguyên hàm của một số hàm thường gặp

Cho a b c, , , , ¡ là hằng số

▪ 0dx c

▪ dx x c







1

x

▪  2   

1

dx

c x

x

▪  dx  2 xc

x

▪ cosxdx sinx c

▪ sinxdx  cosx c













1

1

1

ax b

a



 1 dx 1ln|ax b| c, a 0

▪ cosax b dx  1sinax b  c, a 0

a

▪ sinax b dx   1cosax b  c, a 0

a

▪

 

   ,

F x  f x  x K

 

      ¡

 

f x

 ,

C k ¡

k f x dx. k f x dx. , k 0

▪  2  

1

tan cos x dx x c

1

cot sin x dx x c

▪    0   1

ln

x

a

▪  x  x

▪ 1dx ln| |x c

x

▪  1  log | |  0   1





ln

x

a

▪ e ax b dx1e ax b c, a 0

a

2 Tích phân

a Khái niệm tích phân

• Cho hàm số liên tục trên K và Nếu là một nguyên hàm của trên

K thì giá trị F(b) – F(a) gọi là tích phân của hàm từ a đến b, kí hiệu

• Đối với biến số, ta có thể chọn bất kì một chữ khác thay cho , tức là

b Tính chất của tích phân

Cho hàm số liên tục trên và ,

3 Ứng dụng tích phân tính diện tích hình phẳng.

a Diện tích hình phẳng (H) giới hạn bởi một đường

cong (C) và trục hoành

.

Diện tích được tính theo công thức

b Diện tích hình phẳng (H) giới hạn bởi 2 đường cong

 

 

f x

      

b

a

x

 

     

       

 : 0 ( )  

x a x b a b

 









( )

b

a

S f x dx

 

 

   

1

2

( )

:

H

x a

x b a b

 















Diện tích được tính theo công thức

  ( )

b

a

4 Ứng dụng tích phân tính thể tích khối tròn xoay

a Cho hàm y f x  liên tục trên đoạn a b; 

Gọi (H) là hình thang cong giới hạn bởi các

đường sau:

 

: 0 :

y H

x b a b







 





Thể tích khối tròn xoay được sinh ra do hình

(H) xoay quanh trục Ox

 

2

b

a

b Cho 2 hàm số và cùng liên tục trên đoạn và thỏa điều kiện

Gọi (H) là hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:

Thể tích khối tròn xoay được sinh ra do hình phẳng

(H) quay quanh trục Ox:

IV CÁC BÀI TOÁN THỰC TẾ

• Giả sử vật M chuyển động trên quãng đường có độ dài là s trong khoảng thời gian t Khi

đó, vật M chuyển động với vận tốc trung bình là

 

f x g x     x a b

 

: : :

H

x a

x b a b













   

b

a

V f x g x dx

s v t



(H)

x

y

(C):y=f(x)

y=f(x)

y=g(x) y

x

DẠNG 1: BÀI TOÁN VỀ CHUYỂN ĐỘNG

• Tuy nhiên, chúng ta gặp rất nhiều trường hợp vật chuyển động không đều, vận tốc thay đổi liên tục tùy theo vị trí và thời gian Ví dụ xe chạy trên đường gặp nhiều chướng ngại vật thì giảm tốc, chạy trên đường thông thoáng thì tăng tốc Vì vậy ta cần phương pháp tính đúng vận tốc của xe tại mỗi thời điểm

1 Giả sử v(t) là vận tốc của vật M tại thời điểm t, và s(t) là quãng đường vật đi

được sau khoảng thời gian t tính từ lúc bắt đầu chuyển động Ta có mối liên hệ

giữa s(t) và v(t)

Đạo hàm của quãng đường là vận tốc

Nguyên hàm của vận tốc là quãng đường

Từ đây ta cũng có quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian là:

2 Nếu gọi a(t) là gia tốc của vật M thì ta có mối liên hệ giữa v(t) và a(t)

Đạo hàm của vận tốc chính là gia tốc

Nguyên hàm của gia tốc chính là vận tốc

• Qua đó có thể giải thích cho học sinh các công thức thường sử dụng trong các bài toán chuyển động của bộ môn Vật lý

v t a t dta t v , trong đó v0 là vận tốc ban đầu của vật (hay vận tốc của vật tại thời điểm t 0)

2

at

s t v t dt a t v dt  v t s , trong đó s0 là quãng đường ban đầu của vật (hay quãng đường tại thời điểm t 0)

Hướng dẫn giải:

Lúc bắt đầu đạp phanh, tức là tại thời điểm , ô tô có vận tốc v0 20m s/  Suy ra

v t   t    t

   

s t v t

s t v t dt

;

t  a b

b

a

v t dts b s a



   

v t a t

v t a t dt

0

t

Bài toán 1: Một ô tô đang chạy với vận tốc 20(m s/ ) thì người người đạp

phanh (còn gọi là “thắng”) Sau khi đạp phanh, ô tô chuyển động chậm

dần đều với vận tốc v t  40t20(m s/ ) trong đó t là khoảng thời gian tính

bằng giây kể từ lúc bằng đầu đạp phanh Hỏi từ lúc đạp phanh đến khi dừng

hẳn, ô tô còn di chuyển bao nhiêu mét?

(SGK 12 NC)

Khi ô tô dừng lại tại thời điểm thì vận tốc Suy ra

Quãng đường đi được từ lúc đạp phanh đến khi dừng lại là tích phân của hàm khi thời gian t từ 0s đến 0,5s là

Hướng dẫn giải:

Ta có quãng đường của vật tại thời điểm là

    3 2

2

Tại thời điểm t30svật đi được quãng đường là   3 2

2

Hướng dẫn giải:

Ta có vận tốc của vật tại thời điểm là

  3  

1



Mà v 0  6 3ln(0 1)     c 6 c 6 v t 3lnt 1 6

Tại thời điểm t10s

vận tốc của vật là v 10 3ln11 6 13  m s/ 

1

 

v t

2 0 0

t

t

Bài toán 3: Một vật chuyển động với vận tốc v t  m s/  có gia tốc

  3  2

/ 1





t Vận tốc ban đầu của vật là 6 m s/  Hỏi vận tốc của vật sau

10 giây (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)

(SBT 12 NC)

Bài toán 2: Một vật chuyển động với vận tốc thay đổi theo thời gian được tính bởi công thức v t  3t 2, thời gian tính theo đơn vị giây, quãng đường vật đi

được tính theo đơn vị m Biết tại thời điểm t  2s thì vật đi được quãng đường là

10m Hỏi tại thời điểm t 30s thì vật đi được quãng đường là bao nhiêu?

Hướng dẫn giải:

Vận tại thời điểm giây là

Gia tốc tại thời điểm giây là

.

Suy ra gia tốc tại thời điểm t 2s giây là   2

2 6 ( / )

Hướng dẫn giải :

Ta có vận tốc của vật tại thời điểm t là

Vậy quãng đường vật đó đi được sau 2 giây là :

Hướng dẫn giải:

Đến lúc phanh vận tốc của xe là : đó cũng là vận tốc khởi điểm cho quãng đường

t

      2

v t  s t  t  t t

      ' 6 6

a t  v t  t

1 2

t





 0 30 20

2

0

10

t





1

2t  10

Bài toán 4: Một người chạy xe máy chuyển động thẳng theo phương trình

  3 32 4 ,

S t  t t  t trong đó t tính bằng giây  s , S tính bằng mét  m Gia tốc của

xe máy lúc t 2s bằng bao nhiêu?

Bài toán 5: Một vật di chuyển với gia tốc     2  2

a t t m s Khi t 0 thì vận tốc của vật là 30m s/ Tính quãng đường vật đó di chuyển sau 2 giây (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)

Bài toán 6: Một ô tô xuất phát với vận tốc v t1  2t 10m s/  sau khi đi được

một khoảng thời gian t1 thì bất ngờ gặp chướng ngại vật nên tài xế phanh gấp với

vận tốc v t2 20 4 t m s /  và đi thêm một khoảng thời gian t2 nữa thì dừng lại

Biết tổng thời gian từ lúc xuất phát đến lúc dừng lại là 4s Hỏi xe đã đi được quãng đường bao nhiêu mét?

đạp phanh ; sau khi đi thêm một khoảng với thời gian thì vận tốc là 0 nên ta có

.

Theo đề bài ra ta lập hệ được 1

2

3

1





 



Tổng quãng đường đi được là: 3  1 

Hướng dẫn giải:

Ta có quãng đường của vật tại thời điểm t là :

Vật xuất phát từ A tương ứng với thời gian nên

Vật cách A 20m ta có : Nhận

Vậy sau 4s thì vật cách A 20m và vận tốc tại thời điểm đó là :v 4 9 (m s/ )

Hướng dẫn giải:

Thời điểm vật dừng lại khi vận tốc bằng 0:

Ô tô di chuyển được 40 mét nên ta có

5

5 2

5



a

a

a

2

t

1 2 4

t  t

  1 2  2

S t   t dt  t t c

0

S t  t t

20

5

t

t t

t





     

5

a

v t       t a t

Bài toán 7: Một vật xuất phát từ A chuyển động thẳng và nhanh dần đều với

vận tốc v t  1 2t m s /  Tính vận tốc tại thời điểm mà vật đó cách A 20m ?

(Giả thiết thời điểm vật xuất phát từ A tương ứng với t 0)

Bài toán 8: Một ô tô đang chạy đều với vận tốc a (m / s) thì người đạp phanh,

từ thời điểm đó , ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc v(t) = -5t + a (m

/ s), trong đó t là thời gian tính bằng giây, kể từ lúc đạp phanh Hỏi từ lúc đạp

phanh đến lúc dừng hẳn ô tô di chuyển được 40m thì vận tốc ban đầu a bằng

bao nhiêu?

C KẾT LUẬN

Hướng dẫn giải

Đường thẳng đi qua gốc tọa độ O(0;0) và điểm A(15;90) nên suy ra

Vận tốc của máy bay tại thời điểm t là

Tại thời điểm bắt đầu tăng tốc thì xem như và vận tốc lúc đó là

Vậy vận tốc máy bay đạt được khi bắt đầu phóng khỏi mặt đất là

(m/s)

 

a t mt n

 

6

v t a t dt tdt t C

0

Bài toán 9: Một máy bay đang chuyển động thẳng đều trên mặt đất với vận tốc

3 /

v m s thì bắt đầu tăng tốc với độ biến thiên vận tốc là hàm số a t  có đồ thị

hàm số là đường thẳng như hình bên dưới Sau 15s tăng tốc thì máy bay đạt đến

vận tốc đủ lớn để phóng khỏi mặt đất Hãy tính vận tốc khi máy bay bắt đầu rời

khỏi mặt đất

t(s) a

15 90

O