TIỂU LUẬN HỌC PHẦN CÔNG NGHỆ MẠNG TRUYỀN TẢI QUANG Đề tài TÌM HIỂU VỀ CÁC LỚP KHÁCH HÀNG TRONG MẠNG TRUYỀN THÔNG QUANG

CHƯƠNG 1: XÁC SUẤT 1.1 Trị trung bình thống kê của các biến ngẫu nhiên Trị trung bình đóng vai trò quan trọng trong việc biểu thị kết quả của thực nghiệm và định nghĩa các biến ngẫu nhiê

HỌC VIỆN CÔNG NGHỆ BƯU CHÍNH VIỄN THÔNG

KHOA VIỄN THÔNG I

TIỂU LUẬN HỌC PHẦN CÔNG NGHỆ MẠNG TRUYỀN TẢI QUANG

Đề tài:

TÌM HIỂU VỀ CÁC LỚP KHÁCH HÀNG TRONG MẠNG

TRUYỀN THÔNG QUANG

Giảng viên: TS Cao Hồng Sơn Nhóm sinh viên:

Nguyễn Khắc Anh – B18DCVT017 Nguyễn Xuân Minh – B18DCVT294 Phạm Thanh Tùng – B18DCVT390

HÀ NỘI – 2021

MỤC LỤC

MỤC LỤC 1

THUẬT NGỮ VIẾT TẮT 2

DANH MỤC HÌNH ẢNH 3

LỜI NÓI ĐẦU 4

CHƯƠNG 1: XÁC SUẤT 5

1.1 Trị trung bình thống kê của các biến ngẫu nhiên 5

1.2 Một số bố xác suất thường gặp 5

CHƯƠNG 2: CÁC LỚP KHÁCH HÀNG CỦA LỚP QUANG 5

2.1 Mạng truyền tải quang 5

2.2 Thủ tục tạo khung chung 5

KẾT LUẬN 5

TÀI LIỆU THAM KHẢO 5

THUẬT NGỮ VIẾT TẮT

DANH MỤC HÌNH ẢNH

LỜI NÓI ĐẦU

CHƯƠNG 1: XÁC SUẤT 1.1 Trị trung bình thống kê của các biến ngẫu nhiên

Trị trung bình đóng vai trò quan trọng trong việc biểu thị kết quả của thực nghiệm và định nghĩa các biến ngẫu nhiên trong quá trình thực nghiệm Chúng ta đặc biệt quan tâm tới các mô men cấp một và cấp hai của một biến ngẫu nhiên đơn

và các mô men chung, cũng như sự tương quan và hàm hợp biến giữa bất kỳ một cặp biến ngẫu nhiên trong một tập hợp các biến ngẫu nhiên Hàm đặc tính của một biến ngẫu nhiên và hàm đặc tính hợp của một tập các biến ngẫu nhiên cho phép ta khảo sát một cách thuận tiện các quá trình ngẫu nhiên tương ứng Phần này sẽ đề cập đến những định nghĩa về các giá trị trung bình thống kê quan trọng đó

Trước hết chúng ta xét biến ngẫu nhiên X được mô tả bởi một hàm mật độ xác xuất p(x) Trị trung bình hay kỳ vọng toán học của X được định nghĩa như sau:

E(X)=m x=∫

−∞

∞

xp(x)dx (1.1- 1)

ở đây E(.) ký hiệu của kỳ vọng toán học (trung bình thống kê), nó cũng là mô men cấp đầu tiên của biến ngẫu nhiên X Một cách tổng quát, mô men cấp n được định

nghĩa như sau:

E( X n)=∫

−∞

∞

x n p(x)dx (1.1- 2)

Bây giờ chúng ta định nghĩa một biến ngẫu nhiên Y=g(X), trong đó g(X) là một hàm nào đó cũng biến ngẫu nhiên X Kỳ vọng của Y là:

E(X)=E[g(X)]=∫

−∞

∞

g(x) p(x)dx (1.1- 3)

Đặc biệt nếu Y=(X-m x ) n ở đây m x là giá trị trị trung bình của X, thì:

E(X)=E[(X −m x)n]=∫

−∞

∞

(x−m x)n p(x)dx (1.1- 4)

Giá trị này được gọi là mô men trung tâm cấp n của biến ngẫu nhiên X Khi

n=2 thì mô men trung tâm được gọi là độ lệch trung bình bình phương hay sai phương của biến ngẫu nhiên và được ký hiệu σ x 2:

σ x2 =∫

−∞

∞

(x−m x)2p(x)dx (1.1- 5)

Chú ý rằng kỳ vọng toán học của một hằng số chính là hằng số đó, ta thu được:

σ x2=E[X2]−[E(X)]2

=E(X2)−m x2 (1.1- 6)

Trong trường hợp hai biến ngẫu nhiên X 1 và X 2 với hàm mật độ phân bố xác

suất đồng thời là p(x 1 , x 2 ), mô men hợp được định nghĩa là:

E(X1k X2n)=∫

−∞

∞

∫

−∞

∞

x1k x2n p(x1,x2)d x1x2 (1.1- 7)

và mô men trung tâm hợp:

E[ (X1−m1)k(X2−m2)n]

¿∫

−∞

∞

∫

−∞

∞

(x1−m1)k (x2−m2)n p(x1, x2)d x1x2

(1.1- 8)

ở đây m i =E(X i ) Đặc biệt quan trọng là mô men hợp và mô men trung tâm hợp ứng

với k=n=1 Các mô men hợp này được gọi là hàm tương quan và hàm hiệp biến giữ hai biến ngẫu nhiên X 1 và X 2

Trong trường hợp biến ngẫu nhiên nhiều chiều chúng ta có thể địn nghĩa các

mô men hợp các cấp Tuy nhiên những mô men được ứng dụng nhiều trong thực tế

là hàm tương quan và hàm hiệp biến giữa các cặp biến ngẫu nhiên Cụ thể hơn, giả

sử X i (i = 1, 2, , n) là các biến ngẫu nhiên với hàm mật độ xác suất đồng thời p(x 1 ,

x 2 , , x n ) và p(x i , x j ) là hàm mật độ phân bố xác suất đồng thời của hai biến ngẫu

nhiên X i và X j thì hàm tương quan giữa X i và X j được xác định bằng mô men hợp:

E(X i X j)=∫

−∞

∞

∫

−∞

∞

x i x j p(x i ,x j)d x1x2 (1.1- 9)

và hàm hiệp biến của X i và X j là:

μ ij =E¿

¿∫

−∞

∞

∫

−∞

∞

¿¿¿

¿∫

−∞

∞

∫

−∞

∞

x i x j p(x i , x j)d x i x j −m i m j = E(X i X j)−m i m j

(1.1- 10)

Ma trận n × n với các thành phần µ ij được gọi là ma trận hiệp biến của các biến

ngẫu nhiên X i , i=1, 2, , n Hai biến ngẫu nhiên được gọi là không tương quan với

nhau nếu và chỉ nếu E(X i X j ) = E(X i )E(X j ) = m i m j Trong trường hợp đó hàm hiệp

biến µ ij =0 Khi X i , X j độc lập thống kê với nhau thì chúng không tương quan, nhưng

ngược lại chúng không tương quan thì không nhất thiết chúng sẽ độc lập thống kê với nhau

Hai biến ngẫu nhiên được gọi là trực giao nếu và chỉ nếu E(X i X j ) = 0 Điều này

xảy ra khi X i , X j là không tương quan với nhau và ít nhất một biến có trị trung bình

bằng không

Hàm đặc tính của biến ngẫu nhiên X được định nghĩa là:

E(e jvX)=Ψ ( jv)=∫

−∞

∞

e jvX p(x)dx (1.1- 11)

Biến số v là thực và j 2 = -1 Chúng ta chú ý rằng ψ( jv¿ có thể coi là biến đổi

Fourier của hàm mật độ phân bố xác suất p(x) (mặc dù khác dấu của phần mũ,

chúng ta vẫn quy ước gọi là biến đổi Fourier) Biến đổi Fourier ngược là:

p(x)= 1

2π∫

−∞

∞

Ψ ( jv)e jvX dv (1.1- 12)

Sử dụng hàm đặc tính cho phép ta xác định nhưng mô men của biến ngẫu nhiên Từ công thức (1.1-11) ta lấy đạo hàm theo v:

dΨ ( jv)

dv = j∫

−∞

∞

e jvX p(x)dx (1.1- 13)

Tính đạo hàm tại v=0 chúng ta thu được mô men cấp một là:

E(X)=m x =− j dΨ(jv)

dv ∨v=0 (1.1- 14)

Mô men bậc n của biến ngẫu nhiên có thể được xác định như sau:

E( X n )=m x =(− j) n d n Ψ(jv)

d v n ∨v=0 (1.1- 15)

Như vậy có thể tích những mô men của biến ngẫu nhiên xuất phát từ hàm đặc tính Mặt khác giả sử hàm đặc tính có thể triển khai thành chuỗi Taylor tại v=0 là:

Ψ ( jv)=∑

n=0

∞

[d n Ψ(jv)

d v n ]v=0

v n

n! (1.1- 16) Kết hợp (1.1-15) và (1.1-16) ta có thể biểu diễn hàm đặc tính qua các mô men

của nó như sau:

Ψ ( jv)=∑

n=0

∞

Hàm đặc tính cho phép chúng ta xác định dễ dàng hàm mật độ xác suất của

tống các biến ngẫu nhiên độc lập thống kê Ví dụ, giả sử X i, i=1, 2, , n là các biến ngẫu nhiên độc lập thống kê và:

Y=∑

i=1

n

X i (1.1- 18)

Để xác định hàm mật độ xác suất của Y, chúng ta sẽ tìm hàm đặc tính của nó và sau đó tính toàn biến đổi Fourier ngược, như vậy:

Ψ Y(jv)=E(e jvY)=E[exp(jv∑

i =1

n

X i) ]=E¿

¿∫

−∞

∞

⋯∫

−∞

∞

i=1

n

e jv X i)p(x1, x2,…, x n)d x1d x2…d x n

(1.1- 19)

Vì các biến ngẫu nhiên là độc lập thống kê với nhau nên p(x 1 , x 2 , , x n ) = p(x 1 )p(x 2 ) p(x n ) do đó tích phân bậc n trong (1.1-19) trở thành tích của các tích

phân và có thể viết đơn giản thành:

Ψ Y ( jv)=∏

i=1

n

Nếu thêm điều kiện các biến ngẫu nhiên X i có phân bố đồng nhất thì các hàm

Ψ X i ( jv) là đồng nhất và ta có:

Ψ Y(jv)=[Ψ X(jv)]n

(1.1- 21)

Cuối cùng hàm mật độ phân bố xác suất của Y được xác định từ biến đổi

Fourier ngược của Ψ Y(jv) theo (1.1-13)

Do hàm đặc tính của tổng n biến ngẫu nhiên độc lập thống kê bằng tích các

hàm đặc tính của các biến X i (i=1, 2, , n) nên hàm mật độ phân bố xác suất của Y là tích chập cấp n của các hàm mật độ phân bố xác suất của các biến X i Việc tính tích chập này thường phức tạp hơn là phương pháp sử dụng hàm đặc tính ở trên

Chúng ta cũng hay gặp các biến ngẫu nhiên n chiều và tương tự ta có biến đổi

Fourier n chiều của hàm mật độ phân bố xác suất đồng thời Cụ thể nếu X i (i=1, 2, ,

n) là các biến ngẫu nhiên với hàm mật độ phân bố xác suất đồng thời p(x 1 , x 2 , , x n )

thì hàm đặc tính n chiều được định nghĩa như sau:

Ψ Y(j v1, jv2,…, jv n)=E[exp(j∑

i=1

n

v i X i) ]

¿∫

−∞

∞

⋯∫

−∞

∞

exp(j∑

i=1

n

v i x i)p(x1x2… x n)d x1d x2…d x n

(1.1- 22)

Thường chúng ta hay chú ý tới hàm đặc tính hai chiều:

Ψ Y(j v1, jv2)=∫

−∞

∞

∫

−∞

∞

e j (v1x1+v2x2 )p(x1, x2)d x1d x2 (1.1- 23)

Chúng ta nhận xét rằng đạo hàm riêng của Ψ(j v1, jv2) theo v1 và v2 có thể sử dụng để tìm ra mô men đồng thời:

E(X1X2)=−∂

2Ψ(j v1jv2)

∂ v1∂ v2 ∨v1=v2=0 (1.1- 24)

Những mô men cấp cap hơn có thể suy ra tương tự

1.2 Một số phân bố xác suất thường gặp

Trong phần này chúng ta sẽ xem xét các biến ngẫu nhiên hay gặp trong thực tế

và các hàm phân bố xác suất, hàm mật độ phân bố xác suất vavf các mô men của chúng Đầu tiên là phân bố nhị thức, phân bố này là phân bố của một biến ngẫu nhiên rời rạc và sau đó chúng ta xét phân bố xác suất của một số biến ngẫu nhiên liên tục

Phân bố nhị thức: Cho X là một biến ngẫu nhiên rời rạc chỉ nhận hai giá trị

X=0 hoặc X=1 với xác suất tương ứng là p và 1-p Hàm mật độ phân bố xác suất

của X được biểu diễn trên hình 1.1 Bây giờ giả thiết rằng

Y=∑

i=1

n

ở đây X i , i=1, 2, , n là các biến ngẫu nhiên độc lập thống kê và phân bố đồng nhất

với hàm mật độ xác suất

Vấn đề đặt ra là xác định hàm phân bố xác suất của Y Trước hết chúng ta có nhận xét rằng Y là một tập hợp các số nguyên từ 0 tới n vì nó là tổng của n số, mà

mỗi số là 0 hoặc 1 Xác suất mà Y=0 là xác suất tất cả các biến X i =0 Vì các biến X i

là độc lập thống kê nên ta có:

P(Y =0)=(1− p)n 1.2- 2

Xác suất để Y=1 là xác suất có một biến X i =1 và các biến X i khác đều bằng 0.

Như vậy sẽ có n trường hợp khác nhau và:

P(Y =1)=np(1− p)n−1 1.2- 3

Hình 1 1: Hàm phân bố xác suất biến ngẫu nhiên X

Một cách tổng quát, xác suất Y=k là xác suất để k biến X i =1 và n-k biến còn lại

bằng 0 Ký hiệu:

k)= n!

k !(n−k)!

1.2- 4

Từ các điều kiện trên ta có:

P(Y =k)=(n

k)p k(1−p)n−k 1.2- 5 Trong đó (n

k) là hệ số nhị thức Như vậy hàm phân bố xác suất của Y có thể được xác định như sau:

p(y)=∑

k=0

n

P(Y =k)δ( y−k)=∑

k=0

n

k)p k(1− p)n−k δ ( y−k) 1.2- 6

Hàm phân bố xác suất của Y là:

F(y)=P (Y ≤ y)=∑

k=0

[y]

k)p k(1− p)n−k 1.2- 7

ở dây [y] là số nguyên m lớn nhất mà m ≤ y Hàm phân bố xác suát trong (1.2-7) đặc

trung cho một biến ngẫu nhiên có phân bố nhị thức

Hai mô men đầu tiên của Y là:

E(Y)=np

E(Y2)=np(1− p)+n2p2 1.2- 8

δ2=np(1− p)

Và hàm đặc tính là:

Ψ ( jv)=(1−p+ p e jv)n 1.2- 9

Phân bố đều: Hàm mật độ phân bố xác suất và phân bố xác suất của biến ngẫu

nhiên X, phân bố đều được thể hiện trên hình 1.2 Hai mô men đầu tiên của X là:

E(X)=1

2(a+b)

E(X2)= 13(a2+b2+ab)

δ2 = 112(a−b)2

1.2- 10

và hàm đặc tính là:

Ψ ( jv)= e jv (b−a) jvb −e jva 1.2- 11

Phân bố Gaussian (phân bố chuẩn): Hàm mật độ phân bố xác suất của một

biến ngẫu nhiên phân bố gaussian là:

p(x)= 1

√2 π σ e

− (x−mx) 2/ 2σ2

1.2- 12

0

1/(b-a)

b a

p(x)

x

(a)

0

F(x) 1

(b) Hình 1 2: Hàm phân bố và mật độ xác suất của một biến ngẫu nhiên phân bố đều

trong đó m x là trị trung bình và σ 2 là sai phương của biến ngẫu nhiên Hàm phân bố

xác suất là:

F(x)=∫

−∞

x

p(u)du=¿ 1

√2π σ e

− (x−mx) 2

2σ2

du¿

¿12 2

√π ∫

−∞

¿¿

¿

1.2- 13

ở đây erf(x) là ký hiệu của hàm lỗi và được định nghĩa như sau:

erf (x)= 2

√π∫

0

x

e −t2

Hàm phân bố xác suất cũng có thể biểu diễn ở dạng hàm bù lỗi như sau:

F(x)=1−1

2erfc ⁡(x−m x

√2σ ) 1.2- 15

trong đó:

erfc(x)= 2

√π∫

0

x

e −t2

dt=1−erf ⁡(x) 1.2- 16

Chú ý rằng erf(-x) = -erf(x), erfc(-x) = 2-erfc(x), erf(0) = erfc(∞) = 0 và erfc(0)

= erf(∞) = 1 Với x>mx thì hàm bù lỗi là vùng bên dưới ngưỡng của hầm mật độ

phân bố xác suất Gaussian Với x lớn, hàm bù lỗi erfc(x) có thể được biểu diễn gần

đúng bằng chuỗi như sau:

erfc(x)= e −x

2

x√π(1− 1

2 x2 + 1.3

2 2x4 −1.3.5

2 3x6 +…) 1.2- 17

trong đó sai số của phép xấp xỉ nhỏ hơn số hạng cuối cùng

Hàm thường được dùng cho vùng dưới ngưỡng của hàm mật độ phân bố xác suất Gaussian được ký hiệu Q(x) và được định nghĩa như sau:

0

1

(a)

x

m x

p(x)

x

F(x)

1/2

(b) Hình 1 3: Hàm phân bố và mật độ xác suất của một biến ngẫu nhiên phân bố Gaussian

Q(x)= 1

√2π∫

x

∞

e −t2

/2dt , x≥ 0 1.2- 18

So sánh (1.2-16) và (1.2-18) ta có:

Q(x)=1

2erfc( x

√2) 1.2- 19

Hàm đặc tính của biến ngẫu nhiên Gaussian với trị trung bình m x và phương sai

σ 2 là:

Ψ(jv)=∫

−∞

∞

e jvx

√2π σ e

− (x−m x) 2

/2σ2

]dx=e jv m x −( 12)v2

σ2

1.2- 20

Các mô men trung tâm của biến ngẫu nhiên Gaussian là:

E¿

1.2- 21

và mô men có thể được biểu diễn qua mô men trung tâm như sau:

E(X)k=∑

i=0

k

(k

i)m i x u k−i 1.2- 22

Tổng của n biến ngẫu nhiên Gaussian độc lập thống kê cũng là một biến nhiên Gaussian và điều này có thể được giải thích như sau Đặt:

Y=∑

i=1

n

Với X i, i=1, 2, , n là những biến ngẫu nhiên Gaussian độc lập thống kê với trị trung

bình m i và sai phương σ i 2 Sử dụng (1.1-11) ta tìm được hàm đặc tính của Y là:

Ψ Y(jv)=∏

i=1

n

Ψ X i(jv)

i=1

n

e jvm i −(12)v2

σ i2

=e jv m y −( 12)v2

σ y

1.2- 24

trong đó:

m y=∑

i=1

n

m i

σ2y=∑

i=1

n

σ i2

1.2- 25

Vậy Y cũng là phân bố Gaussian với trị trung bìn bình bằng không Loại thứ

hai được gọi là phân bố Khi bình phương không trung tâm khi X có trị trung bình

khác không

Trước hết chúng ta xét phân bố Khi bình phương trung tâm với X có phân bố

Gaussian bới trị trung bình bằng 0 và độ lệch trung bình bình phương là σ 2 Từ Y=X2 chúng ta sẽ thu được hàm mật độ phân bố xác suất Y như sau:

p Y(y)=[ 1

√2 πyσ e

− y /2σ2

], y ≥ 0 1.2- 26

hàm phân bố xác suất của y là:

F Y(y)=∫

0

Y

p Y(u)du=¿ 1

√2 π σ∫

0

Y

1

√u e

−u/2σ2

du¿ 1.2- 27

Hàm này không biểu diễn được dưới dạng ẩn, tuy nhiên hàm đặc tính có thể biểu diễn dưới dạng ẩn:

Ψ(jv)= 1

Tổng quát hóa, giả thiết biến ngẫu nhiên Y được định nghĩa như sau:

Y =∑

i=1

n

X i2

1.2- 29

trong đó X i, i=1, 2, , n là những biến ngẫu nhiên Gaussian độc lập thống kê và

phân bố đồng nhất với trị trung bình 0 và sai phương σ 2 Tương tự như trên ta tìm được hàm đặc tính của Y là:

Ψ Y(jv)= 1

Biến đổi Fourier ngược của hàm đặc tính cho ta hàm mật độ phân bố xác suất:

p Y(y)= 1

σ n2n/ 2 Γ(1

2n) y n/ 2−i e − y /2σ

2

, y ≥ 0 1.2- 31

CHƯƠNG 2: CÁC LỚP KHÁCH HÀNG CỦA LỚP QUANG

2.1 Mạng truyền tải quang

2.2 Thủ tục tạo khung chung

KẾT LUẬN TÀI LIỆU THAM KHẢO