Tối ưu hóa là lựa chọn các phương án tốt nhất từ tập hợp các phương án

Tối ưu hóa là Lựa chọn các phương án tốt nhất từ tập hợp các phương án 1 PHẦN I CÁC PHƯƠNG PHÁP TỐI ƯU HOÁ Tối ưu hóa là lựa chọn các phương án tốt nhất từ tập hợp các phương án Lý thuyết tối ưu hóa bao gồm lý thuyết điều khiển, lý thuyết tối ưu lồi, lý thuyết ra quyết định, lý thuyết trò chơi, lập trình tuyến tính, phân tích mạng, hệ thống xếp hàng, v v Lý thuyết tối ưu hóa là một thuật ngữ hiện đại hơn cho hoạt động nghiên cứu Hình 1 Hoạt động nghiên cứu (cũng được gọi là khoa học quyết định,.

PHẦN I CÁC PHƯƠNG PHÁP TỐI ƯU HOÁ

Tối ưu hóa là lựa chọn các phương án tốt nhất từ tập hợp các phương án: Lý thuyết tối ưu hóa bao gồm: lý thuyết điều khiển, lý thuyết tối ưu lồi, lý thuyết ra quyết định, lý thuyết trò chơi, lập trình tuyến tính, phân tích mạng, hệ thống xếp hàng, v.v…

- Lý thuyết tối ưu hóa là một thuật ngữ hiện đại hơn cho hoạt động nghiên cứu

Hình 1

Hoạt động nghiên cứu (cũng được gọi là khoa học quyết định, hoặc khoa học quản lý) là một khoa học toán học liên ngành, tập trung vào việc sử dụng hiệu quả công nghệ của các tổ chức

Nghiên cứu hoạt động có nguồn gốc từ những nỗ lực của các nhà hoạch định quân sự trong Thế chiến II

Trong những thập niên sau chiến tranh, các kỹ thuật bắt đầu được áp dụng rộng rãi trong kinh doanh, công nghiệp và xã hội George Dantzig đề xuất phương pháp đơn hình (Simplex Algorithm) để đưa ra quyết định tốt hơn trong các lĩnh vực như hậu cần và lập lịch trình đào tạo

Phạm vi áp dụng lý thuyết tối ưu

Dạng tổng quát của bài toán tối ưu

Trong đó:

x là chỉ số của các biến ra quyết định (x1, x2, … , xn)

g(x) chỉ các vectơ ràng buộc

x và x chỉ số phạm vi của biến ra quyết định

Hàm mục tiêu: có thể là chi phí Minimum, lợi nhuận thì Maximum và các ràng về vật

lý, hình học và vật liệu v.v…

Các phương pháp tối ưu

• Phương pháp chính xác

 Quy hoạch toán học (Mathematical Programming)

 Quy hoạch tuyến tính (Linear Programming)

 Quy hoạch phi tuyến, Quy hoạch động (Dynamic Programming)

• Heuristic

Quy hoạch tuyến tính

Biểu diễn hàm mục tiêu và các ràng buộc như sau:

Hình 2 Minimum tối ưu

Quy hoạch phi tuyến

Biểu diễn hàm mục tiêu và các ràng buộc như sau:

CHƯƠNG 1 QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH (LINEAR PROGRAMMING)

Quy hoạch tuyến tính là một kỹ thuật toán học nhằm xác định giá trị của các biến x1,

1.1 Phương pháp đồ họa

Trong trường hợp ta phải tìm cực trị một hàm số và chỉ có một điều kiện dưới dạng phương trình, thì ta đã biết phương pháp giải Lagrange giới thiệu trong giáo trình toán cao cấp, tương đối đơn giản Khi chúng ta có nhiều ràng buộc dưới dạng bất phương trình, ta sẽ sử dụng phương pháp quy hoạch tuyến tính Trong trường hợp chỉ

có hai biến (có thể có nhiều ràng buộc), phương pháp giải tiện lợi và hiệu quả nhất sẽ

là phương pháp đồ thị Để giới thiệu cách đặt vấn đề dẫn đến bài toán quy hoạch tuyến tính và củng như phương pháp giải bằng đồ thị trong trường hợp bài toán 2 biến ta

Ví dụ 1.1

Một nhà sản xuất gỗ sản xuất hai loại bàn : bàn tròn (x1) và bàn chữ nhật (x2) Mỗi bàn tròn cần 2,5 giờ để lắp ghép, 3 giờ để đánh bóng và 1 giờ để vào thùng Một bàn chữ nhật cần 1 giờ để lắp ghép, 3 giờ để đánh bóng và 2 giờ để vào thùng Trong một tuần,

do giới hạn về mặt điều động nhân sự, xưởng chỉ có thể bố trí 20 giờ để lắp ghép, 30 giờ để đánh bóng và 16 giờ để vào thùng Lợi nhuận cho mỗi bàn tròn là 3000$ và 4000$ cho mỗi bàn chữ nhật Tìm phương án sản xuất tối ưu để mang về cho nhà sản xuất lợi nhuận cao nhất

Bước 1 Chúng ta sẽ thể hiện các dữ liệu của bài toán dưới dạng phương trình hoặc

Ràng buộc về thời gian ghép thô : 2,5x1 + x2 20

Ràng buộc về thời gian đánh bóng : 3x1 + 3x2 30

Ràng buộc về thời gian đóng thùng : x1 + 2x2 16

Về ý nghĩa vật lý ta phải có : x1,x20

Ba bất đẳng thức ở trên biểu thị những ràng buộc về kỹ thuật, xác định bởi trình độ công nghệ và nhân lực mà ta có thể sử dụng

Bước 2: Giải 3 bất phương trình trên bằng đồ thị, ta sẽ nhận được một miền nghiệm

có thể chấp nhận OABCD Đây là miền chứa tất cả các điểm thỏa mãn 3 bất phương trình trên và điều kiện x1,x20

Bước 3: Để xác định lời giải tối ưu trong miền nghiệm có thể này, ta sẽ vẽ đường

thẳng biểu diễn hàm mục tiêu F Với các giá trị khác nhau của thông số F cho phép ta tịnh tiến đường biểu diễn này về hướng miền nghiệm (đó là một họ đường thẳng song song với nhau) Điểm đầu tiên mà đường thẳng này chạm vào miền nghiệm chính là lời giải của bài toán Giá trị hàm mục tiêu F sẽ cực đại ở điểm nầy Trong trường hợp nầy ta thấy đó là điểm C (4,6), và giá trị hàm Fmax tương ứng ở điểm nầy là 36000 $

Ví dụ 1.2 Maximum Z= 40x1+50x2

Ràng buộc

x1+2x240 4x1+3x2120

x1, x20

4 x1 + 3 x2  120

x1+ 2 x2  40

Phần diện tích giới hạn

|50

|20

|30

|30

|40

x1

x2

Z = 50(24) + 50(8) = 1,360

Hình 1.3

| 20

| 30

| 40

x10, x20

Trường hợp 3: Nghiệm tối ưu không biên

1.2 Phương pháp đơn hình (Simplex Method)

Phương pháp đơn hình là phương pháp cơ bản nhất khi giải các bài toán quy hoạch tuyến tính Phương pháp này do G.B Dantzig đề xuất năm 1948 Tìm đỉnh tối ưu của

đa diện giác nghiệm cho phép bằng phương pháp lần lượt thử các đỉnh của đa nghiệm

Để việc thử không phải mò mẫm, người ta đưa ra thuật toán đi từ nghiệm xấu đến nghiệm tốt hơn tức đi dần đến nghiệm tối ưu

1.2.1 Giải bài toán tối ưu theo phương pháp đơn hình

x1 ≥ 0; x2 ≥ 0; x3 ≥ 0; x4 ≥ 0; x5 ≥ 0; x6 ≥ 0; x7 ≥ 0;

Bước 2: Chuyển hàm mục tiêu về dạng sau

-f(X)-990x1 - 900x2 = 5280

Bước 3: Lập bảng gồm m+1 hàng và n+m+2 cột

- Cột đầu tiên ghi theo thứ tự tên các biến đệm, cột cuối là –z;

- Các cột còn lại thì hàng 1 ghi tên các biến x 1 , x 2 , và cột cuối cùng là giới hạn của ràng buộc b i

- Các hàng thứ 2, 3, 4… là ghi các hệ số của các phương trình ràng buộc, hàng cuối cùng là ghi giới hạn ràng buộc bên phải

Bước 4: Xác định phần tử xoay như sau

- Trên hàng Z (cuối cùng) chọn cột có giá trị tuyệt đối lớn nhất, không kể cột đầu tiên và cột cuối cùng, cột tương ứng phần tử đó được gọi là cột xoay p

- Trên cột xoay p ta chọn các hàng có số dương và lập tỷ số giữa b i và số dương của hàng tương ứng với cột xoay đó Sau đó so sánh các tỷ số này, tỷ số nào nhỏ nhất thì phần tử đó sẽ là phần tử xoay

- Nếu trên hàng xoay không có số dương thì phương án đó là phương án tối ưu

Trong ví dụ trên, hàng cuối cùng (hàng Z) cột 1 ta có trị tuyệt đối lớn nhất là

-990, được chọn làm hàm cột xoay, vì cột xoay có 3 số đều dương, Ta xét các tỷ số sau:

b1/A[1,1] = 85/0.4= 21.25;

b2/A[2,1] = 25/3= 8.33;

b3/A[3,1] = 25/3= 23.33

Ta thấy b2/A[2,1] là tỷ số nhỏ nhất, đây chính là phần tử xoay

Bước 5: Lập bảng mới

Thay tên biến đệm ờ hàng xoay s bằng xP

Tạo hàng chính bằng cách chia hàng xoay s ở bảng cũ cho phần tử xoay asp Các phần tử của những hàng khác được xác định theo công thức sau

Phần tử mới = phần tử hàng cũ - aipx phần tử hàng chính

A[i,j]=A[i,j]-A[i,p].A[s,j] (1.3) Trong ví dụ này

Ta thấy giá trị âm lớn nhất ở hàng 4 là -1230, do đó cột xoay ở đây là cột 2, p =2, để tìm hàng xoay ta lập các tỷ số sau:

Bưới 6: Khi hàng cuối cùng của bảng có các giá trị đều lớn hơn≥0 thì ta dừng lại Cột cuối cùng của bảng này cho ta giá trị các biến của phương án tối ưu và giá trị hàm Maximum

Trong ví dụ: Ta thấy hàng 4 các giá trị đều dương, ta kết thúc quá trình tính toán, Nghiệm tối ưu tìm được ở đây là

x1*=10.4762 ; x2*=6.4285; x3*=0.4524

và giá trị hàm mục tiêu f(X)*=-21437.14

1.2.2 Chuyển bài toán cực tiểu thành bài toán cực đại

Khi cần cực đại hàm mục tiêu ta nhân 2 vế của hàm mục tiêu cho -1, ta sẽ được bài toán cực đại hàm mục tiêu Z=(-Z’)

Để chuyển đổi bài toán cực tiểu Minimum thành bài toán cực đại ta làm như sau :

Maximum Z=(-Z’)=-300y1-200y2

hoặc Z+300y1+200y2=0

Các ràng buộc

3y1 + y2≤ 2

y1 + y2 1 hoặc 3y1 + y2-y3 = 2

y1 + y2 – y4 =1

y1 , y2, y3, y4 ≥ 0 với y3, y4 là biến đệm

Giải tương tự như các ví dụ trên ta được như sau :

1.2.3 Bài toán đối ngẫu

Trong phương pháp quy hoạch tuyến tính, tất cả các bài toán cực đại (cực tiểu) đều có thể liên kết với một bài toán cực tiểu (cực đại) tương ứng Ta gọi đó là bài toán đối ngẫu tương ứng với bài toán ban đầu

Cho bài toán ban đầu có dạng cực đại với hàm mục tiêu :

Max F = g1x1 + g2x2 + g3x3Với các ràng buộc :

0,, 2 31

3 3 33 2 32 1 31

2 3 23 2 22 1 21

1 3 13 2 12 1 11

b x a x a x a

b x a x a x a

b x a x a x a

Bài toán đối ngẫu tương ứng sẽ là:

Min G = b1z1 + b2z2 + b3z3 Với các ràng buộc :

0,, 2 31

3 3 33 2 23 1 13

2 3 32 2 22 1 12

1 3 31 2 21 1 11

g z a z a z a

g z a z a z a

g z a z a z a

Nguyên tắc biến đổi để xác định bài toán đối ngẫu từ một bài toán ban đầu

- Các hệ số ma trận hàng trong ma trận của bài toán ban đầu trở thành hệ số ma trận cột trong bài toán đối ngẫu

- Hệ số trong hàm mục tiêu của bài toán ban đầu trở thành các hằng số ở vế hai các bất đẳng thức biểu thị các ràng buộc ở bài toán đối ngẫu

- Các hằng số ở vế hai trong các bất đẳng thức biểu thị các ràng buộc ở bài toán ban đầu trở thành hệ số của hàm mục tiêu trong bài toán đối ngẫu

- Các biến quyết định trong bài toán ban đầu (xj) được thay bởi các quyết định (zj) trong bài toán đối ngẫu

Ví dụ 8

Tìm bài toán đối ngẫu của:

Max F = 5x1 + 3x2Với các ràng buộc:

6x1 + 2x2 ≤ 36 5x1 + 5x2 ≤ 40 2x1 + 4x2 ≤ 28 với x1, x2 ≥ 0

Giải:

Min G = 36z1 + 4z2 + 28z3

Và các ràng buộc:

6z1 + 5z2 + 2z3 ≥ 5 2z1 + 3z2 + 2z3 ≥ 3 với z1, z2, z3 ≥ 0

Ví dụ 9

Tìm bài toán đối ngẫu của :

Min F = 20z1 + 30z2 + 16z3

25z1 + 3z2 + z3 3

z1 + 3z2 + 2z3 4 với z1, z2, z3  0

Giải :

Hàm mục tiêu của bài toán đối ngẫu:

Max G = 3x1 + 4x2 Với các ràng buộc

2.5x1 + x2  20 3x1 + 3x2  30

x1 + 2x2  16 với x1,x20

Chú ý : Đối ngẫu của bài toán đối ngẫu sẽ tìm thấy lại bài toán ban đầu

Định lý đối ngẫu: Lời giải tối ưu của hàm mục tiêu ở bài toán đối ngẫu và bài toán ban đầu là giống nhau, nếu lời giải tối ưu đó tồn tại

Nếu lời giải tối ưu tồn tại thì :

- Một biến quyết định trong bài toán ban đầu có giá trị khác 0, thì biến bù tương ứng trong bài toán đối ngẫu sẽ có giá trị bằng 0

- Một biến bù trong bài toán ban đầu có giá trị khác 0, biến quyết định tương ứng trong bài toán đối ngẫu sẽ có giá trị là 0

1 Lời giải của bài toán đối ngẫu đã tìm được z1= 9 , z2 = 3 và G= 30 Theo định lý ở trên ta sẽ có Fmax = 30

2 Để xác định các biến quyết định cho bài toán ban đầu, ta sẽ biến đổi các bất đẳng thức biểu diễn các ràng buộc thành các phương trình bằng cách thêm vào các biến bù

ở bài toán ban đầu, và trừ đi các biến bù trong bài toán đối ngẫu (để phân biệt biến bù trong bài toán đối ngẫu ta sử dụng dạng s1 và t1)

2x1 + x2 + x3 + s1 = 2

x1 + x2 + 3x3 + s2 = 4 2z1 + z2 - t1 = 14

z1 + z2 -t2 = 12

Thay z1 = 9 và z2= 3 trong các phương trình ta sẽ xác định được t1= 7, t2 = 0, t3 = 0 Bởi vì biến bù t2 , t3 = 0, định lý trên cho biết là hai biến quyết định tương ứng ở bài toán ban đầu x2 ,x3  0.Và t10, biến quyết định tương ứng ở bài toán ban đầu phải bằng 0, có nghĩa là x1= 0

Định lý thứ 2 cho biết z1, z2 0 do đó hai biến bù tương ứng trong bài toán ban đầu s1,

s2 bằng 0 Thay các yếu tố s1, s2 = x1= 0 vào các phương trình ta có :

x2 + x3 = 0

x2 + 3x3 = 0 Lời giải của hệ thống phương trình này cho ta x2 = 1, x3 = 1

Vậy lời giải tối ưu cho bài toán nầy sẽ là x1= 0 , x2 =1 và x3 =1 và ta có tìm lại giá trị cực đại của hàm mục tiêu :

Fmax = 14 x 0 + 12 x 1 + 18 x 1 = 30

Nhận xét

- Vừa rồi ta đã thấy là giá trị cực trị của các hàm mục tiêu trong bài toán ban đầu và bài toán đối ngẫu là như nhau, và chúng ta cũng có thể tìm ra giá trị của các biến quyết định trong bài toán ban đầu khi ta đã xác định được giá trị các biến quyết định trong bài toán đối ngẫu

- Chúng ta có thể thay bài toán cực tiểu một hàm mục tiêu nào đó thành bài toán cực đại trong bài toán đối ngẫu, ta thấy là giải bài toán cực đại dễ dàng hơn khi sử dụng phương pháp đơn hình

- Trong trường hợp bài toán ban đầu nhiều ẩn số nhưng chỉ có 2 ràng buộc, ta có thể giải bài toán đối ngẫu tương ứng bằng phương pháp đồ thị, bởi vì trong bài toán nầy ta chỉ có 2 biến

1.2.4 Áp dụng MATLAB giải bài toán tối ưu bằng phương pháp đơn hình

Giải bài toán ví dụ 1.5 bằng MATLAB

‘các phần tử A[1,1], A[3,1] và A[4,1] phải bằng 0’

Giải bài toán tối ưu ví dụ 1.5 bằng công cục tối ưu có sẵn trong Optimization

Toolbox của MATLAB

Và các ràng buộc :

2x1+4x2+10x3 24 5x1+1x2+5x3 8

x1,x2,x3 0 Đáp số : x1 = 0, x2 = 4, x3 = 0.8 và Fmin = 128

1.12 Từ bài toán ban đầu đã cho, tìm bài toán đối ngẫu tương ứng và giải bằng

phương pháp đồ thị :

Min F = 36x1+30x2+40x3

Và các ràng buộc :

2x1+5x2+8x3 40 6x1+2x2+3x3 50

x1,x2,x3 0 Đáp số : x1 = 5.42, x2 = 5.83, x3 = 0 và Fmin = 370

1.13 Từ bài toán ban đầu đã cho, tìm bài toán đối ngẫu tương ứng và giải bằng

phương pháp đồ thị :

Max F = 15x1+20x2+24x3

Và các ràng buộc :

3x1+1x2+3x3 120 1x1+5x2+2x3 60

x1,x2,x3 0 Đáp số : x1 = 20, x2 = 0, x3 = 20 và Fmax = 780

1.14 Từ bài toán ban đầu đã cho, tìm bài toán đối ngẫu tương ứng và giải bằng

phương pháp đồ thị :

Max F = 36x1+28x2+32x3

Và các ràng buộc :

3x1+2x2+2x3 4

x1,x2,x3 0 Đáp số : x1 = 1, x2 = 0.5, x3 = 0 và Fmax = 50

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1 GS.TS Lê Xuân Huỳnh (2006), Tính toán kết cấu theo lý thuyết tối ưu, Nhà xuất Bản Khoa học và kỹ thuật, Hà Nội

2 GS.TS Hà Văn Khối (2011), Bài giảng cao học Quy hoạch nguồn nước, trường Đại học thủy lợi Hà Nội

3 PGS.TS Nguyễn Thống (2010), Bài giảng cao học Phân tích hệ thống, trường Đại học Bách khoa thành phố HCM

4 Joong Hoon Kim (2011), Application of Optimization in WRE and Introducing Harmony Search, Environmental and Architectural Engineering, Korea University

5 P Venkataraman (2002), “Applied Optimization with MATLAB programming”, John Wiley & Sons, New York

CHƯƠNG 2 QUY HOẠCH PHI TUYẾN (NONLINEAR PROGRAMMING)

2.1 Giới thiệu về lời giải bài toán phi tuyến

* Trong QHPT hàm mục tiêu có thể đạt giá trị tối ưu tại trong hoặc trên biên của miền

D và có thể tồn tại một giá trị tối ưu địa phương

Hình 2.1: Đồ thị biểu diễn hàm phi tuyến đơn trị và đa trị

B, C - Max cục bộ (địa phương)

D - Min cục bộ (địa phương)

A - Max toàn thể (tối ưu tuyệt đối)

E - Min toàn thể (tối ưu tuyết đối)

(Điể m t ối ưu toàn cụ c )

Hình 2.2: Đồ thị biểu diễn hàm

phi tuyến đơn trị và đa trị trong

mặt phẳng và không gian

(Điể m t ối ưu toàn cụ c )

(Điể m t ối ưu toàn cụ c )

Điểm tối ưu địa phương

Các khái niệm về tính lồi và tính lõm được sử dụng để xác định tối ưu địa phương hay cực địa phương Trong trường hợp một biến, hàm f(x) được gọi là lồi trên một vùng nếu với mọi xa và xb, xaxb thỏa mãn như sau:

(2.3) Hàm đó là lồi thực sự khi biểu thức trên thỏa mãn với dấu

Ngược lại một hàm là lõm trên một vùng nếu với mọi xa và xb, xaxb, thỏa mãn điều kiện sau:

(2.4) Hàm nhiều biến f(x) tại điểm x cũng là một khái niệm quan trọng Với một hàm liên tục và đạo hàm liên tục, có một vector của đạo hàm bậc nhất được gọi là vector Gradient

T

n x

f x

f x

f x

f x

1 2 3 4 5 1

2 3

4

x Ðu?ng x + 0  d

x 1

x 2

x 0

Hình 2.4 Hàm này là lõm thực sự khi quan hệ trên thỏa mãn với dấu dương

Trong đó là vector của toán tử Gradient Về mặt hình học, vector Gradient tại một điểm cho trước biểu thị hướng mà theo đó tốc độ gia tăng lớn nhất trong giá trị đạo hàm sẽ diễn ra.Với f(x) có đạo hàm liên tục bậc 2 tồn tại một ma trận đạo hàm được gọi là ma trận Hessian

(2.6)

Hessian là một ma trận đối xứng

Ví dụ 2.1 Xét hàm bậc hai sau (Edgar và Himmelblau, 1988)

2 1 2 2 2

4 )

Xác định Gradient và Hessian của hàm này tại điểm x=(1,1)

Lời giải: Gradient theo phương trình (2.5) là

2 n

F 2

i x n F 2

2 n F 2

1 n F 2

.

n j x F 2

i x j x F 2

2 j x F 2

1 j x F 2

.

n 2 F 2

i x 2 F 2

2 2 F 2

1 2 F 2

n 1 F 2

i x 1 F 2

2 1 F 2 2 1

F 2

) ( )

2 1 1

2 2 1 2

2 8 2

2 , 2 8 ,

) (

x x

x x x

x x x x

f x

f x

f x

2 8

) ( )

f

Trong khi đó Hessian là không đổi với mọi điểm

Hình 2.5 Đường đồng mức hàm số ví dụ 2.1

Các phương trình (2.3) và (2.4) không tiện lợi để sử dụng trong kiểm tra tính

lồi lõm của một hàm Để thay thế, kiểm tra dấu của đạo hàm bậc hai của nó, 2

2

) (

dx

x f d

Thì là hàm lồi Tính lồi lõm của hàm nhiều biến f(x) cũng có thể được xác định khi sử dụng

ma trận Hessian Xác định dương, xác định âm, xác định, không xác định được sử

Hình 2.6c Đạo hàm bậc nhất của hàm lõm Hình 2.6d Đạo hàm bậc nhất của hàm lồi

Hình 2.6e Đạo hàm bậc hai của hàm lõm Hình 2.6f Đạo hàm bậc hai của hàm lồi

H xác định dương: xTHx>0 với mọi x ≠0

H xác định âm: xTHx<0 với mọi x ≠0

H không xác định: xTHx<0 với một số x;

>0 với một số khác

H bán xác định dương: xTHx0 với mọi x

H bán xác định âm: xTHx0 với mọi x

Các quy tắc cơ bản cho tính lồi lõm của một hàm nhiều biến f(x) có đạo hàm bậc hai liên tục là:

Hình 2-7a Miền lồi Hình 2-7b Miền không lồi

Ví dụ 2.3a Phân loại miền được xác định bởi tập hợp các ràng buộc sau:

++

+ Lời giải phải diễn tả tính lồi của hai hàm sử dụng ma trận Hessian

Cả g1(x) và g2(x) đều lõm dẫn đến một miền lồi

Ví dụ 2.3b Cho kết cấu giàn đối xứng tỉnh định như hình vẽ, được thiết kế sao cho

trọng lượng là tối thiểu với sự thay đổi theo chiều cao h1 và h2 của, Bởi vì dàn tĩnh định, nên lực trên các phần tử phụ thuộc diện tích mặt cắt ngang, ứng suất cho phép là

0

Hình 2.8

,1

2 1

h

h h

) (

1

2 / 1 2 2 2

h

L h

P h

L h

h N

1 2

1 2 2 2 1 5

F A

1

2 2 2 1

2

h

L h

h h h

P V

o



0 1

1

2

2 1

2 2

h P

1 2

h

V

o

Kết quả các giá trị tối ưu theo chiều cao là

, 3



2

5 4 2

Đạo hàm bậc 2 của hàm mục tiêu bài toán

1 2

2 1 2 2

2 2 3 1

/ 2 /

2

/ 2 )

)(

/ 2 ( 2

h h

h

h h L

h h P

H

o

Ước lượng các giá trị tối ưu của biến thiết kế là

2/11

3.2

*

L

P H

o



Ma trận H* là ma trận xác định dương, nhận được điều kiện đủ cho tối ưu thiết kế

2.2 Tối ưu hóa không ràng buộc

2.2.1 Phương pháp mặt cắt vàng

Mặt cắt vàng dựa trên việc tách một đoạn thẳng thành hai đoạn, với tỷ lệ của đoạn thẳng đó trên đoạn thẳng con lớn hơn bằng tỷ lệ của đoạn thẳng con lớn hơn (∆L) trên đoạn thẳng con nhỏ hơn (∆S) (hình 2-9) Đặt độ dài đoạn thẳng tổng cộng là ∆L + ∆S

=1, trong đó ∆L là khoảng con lớn hơn và ∆S là khoảng con nhỏ hơn Thì1 /    L L/ S hay 1 / (1     S) (1 S) / S, suy ra 2

( S)     3 S 1 0, Hàm bậc hai này có hai nghiệm là 2,618 và 0,382 trong đó chỉ có 0,382 là có ý nghĩa Điều này thể hiện rằng hai đoạn là  L F L  (1 0,382)  0,618 và  s F S  0,382 Mục tiêu của thuật toán mặt cắt vàng là để áp dụng các phần LvàScho một khoảng riêng bất kỳ

để tính các khoảng cách thích hợp

Thuật toán mặt cắt vàng cho cực tiểu hóa một hàm, f x( ), có thể được phát biểu như sau:

Bước 0: k=0, Chọn các giá trị a0 và b0 có miền chứa giá trị nhỏ nhất của f (x)

Bước 1: Xác định các điểm bên trongx k1a k0.382(b k a k) và

2k k 0.382( k k) k 0.618( k k)

x b  b a a  b a (2.7)

Bước 2: Xác định f x( 1k) và f x( 2k)