SKKN Ứng dụng của đạo hàm trong việc viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số

SKKN Ứng dụng của đạo hàm trong việc viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số 1 PHẦN MỞ ĐẦU 1 1 Lý do chọn đề tài Trong chương trình toán ở trường TPTH, ý nghĩa hình học của đạo hàm là một phần của chương trình Đại số và giải tích 11 Ứng dụng của đạo hàm để viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại một điểm là một phần không thể thiếu trong việc giải các bài toán liên quan đến vấn để khảo sát hàm số ở chương trình lớp 12, ôn thi đại học Qua thực tế giảng dạy tôi nhận thấy, việc vi[.]

1 PHẦN MỞ ĐẦU 1.1 Lý do chọn đề tài:

Trong chương trình toán ở trường TPTH, ý nghĩa hình học của đạo hàm là một phần của chương trình Đại số và giải tích 11 Ứng dụng của đạo hàm để viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại một điểm là một phần không thể thiếu trong việc giải các bài toán liên quan đến vấn để khảo sát hàm số ở chương trình lớp 12, ôn thi đại học

Qua thực tế giảng dạy tôi nhận thấy, việc viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại một điểm trên đồ thị đã có công thức cụ thể, học sinh chỉ việc thuộc công thức là vận dụng được Nhưng bên cạnh đó còn một số bài toán viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị nhưng chưa biết tiếp điểm, ta phải đi tìm tiếp điểm thì học sinh còn gặp một số rắc rối Để đáp ứng tình hình đó tôi nghiên cứu đề tài: “Ứng dụng của đạo hàm trong việc viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số”.

1.2 Mục đích nghiên cứu:

Thực hiện đề tài này tôi muốn lấy đây làm phần tài liệu phục vụ trực tiếp cho quá trình giảng dạy của bản thân, đồng thời có thể làm tài liệu tham khảo cho các bạn đồng nghiệp Trong đề tài này tôi đưa ra phương pháp

“Ứng dụng của đạo hàm trong việc viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số” Để đưa ra phương pháp viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị cho

những bài toán cụ thể Qua đó cho học sinh thấy được sự sáng tạo và linh hoạt trong giải toán Từ đó đem đến cho học sinh sự say mê và yêu thích hơn trong học toán, do vậy sẽ đem lại kết quả cao hơn trong học tập

1.3 Đối tượng nghiên cứu:

- Về chương trình gồm các bài toán viết phương trình tiếp tuyến

Bài toán1: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại một điểm thuộc đồ thị

Bài toán2: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số khi biết hệ

số góc

Bài toán3: Viết phương trình tiếp tuyến đi qua một điểm cho trước Bài toán 4: Viết phương trình tiếp tuyến  của (C): y  f x( ), biết 

tạo với đường thẳng d: yax b một góc 

Bài toán 5: Viết phương trình tiếp tuyến  của (C): y  f x( ), biết  cắt hai trục toạ độ tại A và B sao cho tam giác OAB vuông cân hoặc có diện

tích S cho trước

Bài toán 6: Tìm những điểm trên đường thẳng d mà từ đó có thể vẽ

được 1, 2, 3, tiếp tuyến với đồ thị (C): y f(x)

Bài toán 7: Tìm những điểm mà từ đó có thể vẽ được 2 tiếp tuyến với

đồ thị (C): y f(x) và 2 tiếp tuyến đó vuông góc với nhau

- Chỉ ra cách giải của từng bài toán cụ thể

- Đưa một số ví dụ minh họa cụ thể cho từng bài toán

1.4 Phương pháp nghiên cứu:

1.4.1 Phương pháp tổng kết kinh nghiệm: Từ thực trạng những sai lầm mà học sinh thường hay mắc phải, tìm giải pháp rút ra kinh nghiệm

1.4.2 Phương pháp phân tích tổng hợp: Phân tích nguyên nhân, rút ra hướng khắc phục



2 NỘI DUNG 2.1 Cơ sở lý luận của vấn đề nghiên cứu

2.1.1 Tiếp tuyến của đường cong phẳng:

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường cong (C): y = f(x) và M0(x0;y0) thuộc (C), M(x;y) là điểm di chuyển trên (C) Đường thẳng M0M là một cát tuyến của (C)

Nhận xét: Khi xx0 thì M di chuyển trên (C) tới M0 và ngược lại Giả

sử M0M có vị trí giới hạn, kí hiệu là M0T thì M0T gọi là tiếp tuyến của (C) tại M0 Điểm M0được gọi là tiếp điểm

Sau đây ta không xét trường hợp tiếp tuyến song song hoặc trùng với Oy.

2.1.2 Định lí:

Định lí 1: Cho hàm số y = f(x) có đồ thị (C) Phương trình tiếp tuyến

tại M(x0;y0) thuộc (C) có dạng y = f’(x 0 ).(x - x 0 ) + y 0

Trong đó: f’(x0) là hệ số góc của tiếp tuyến và y0 = f(x0)

Định lí 2: Cho đồ thị (C)có phương trình: y = f(x) và đường thẳng (d)

có phương trình: y = kx +b

Đường thẳng (d) tiếp xúc với (C) khi và chỉ khi hệ phương trình

f (x) kx b

f '(x) k





có nghiệm và nghiệm của hệ phương trình trên là hoành độ tiếp điểm

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm.

Sở GD ĐT Thanh Hoá hàng năm có mở nhiều lớp tập huấn chuyên môn, bồi dưỡng và hướng dẫn phương pháp dạy học Nhờ đó mà giáo viên chúng tôi có điều kiện vận dụng vào thực tiễn giảng dạy Sự chỉ đạo sát sao

x y

y 0

y

M 0

M (C)

T

của Sở giáo dục, sự đôn đốc và tạo điều kiện của ban giám đốc nhà trường tổ

bộ môn cùng với sự nhiệt tình của các thầy cô giáo là động lực để đổi mới phương pháp dạy học có hiệu quả Phong trào thao giảng dự giờ rút kinh nghiệm diễn ra sôi nổi, đặc biệt là phong trào thi giáo viên giỏi cấp trường hàng năm cũng như thi giáo viên giỏi cấp tỉnh theo định kỳ Qua đó tôi cũng như các đồng nghiệp rút ra được nhiều điều bổ ích về chuyên môn Đời sống giáo viên ngày một được nâng cao, được Đảng, nhà nước quan tâm đãi ngộ, chế độ lương đảm bảo cho cuộc sống

Bên cạnh những thuận lợi nói trên thì công tác giảng dạy và học tập môn toán của học sinh trong trường còn vấp phải những khó khăn đáng kể Đầu vào kiến thức của các em học sinh quá yếu, tư tưởng xác định mục tiêu học tập của nhiều em học sinh và phụ huynh còn nhiều lệch lạc Tình hình đạo đức của học sinh có biểu hiện xuống cấp (ở một số học sinh) nhất là ở những học sinh học yếu

Với thực trạng như trên thì các em thường có tâm lý “sợ” phải học môn toán Khi chưa thực hiện theo các giải pháp mới, học sinh chưa có kỹ năng tốt để phân biệt và làm các bài toán viết phương trình tiếp tuyến đường cong, dẫn tới các giờ học uể oải, chất lượng không cao Vì thế kết quả kiểm tra đánh giá chưa được như mong muốn, tỉ lệ học sinh yếu kém còn cao, cụ thể là: Qua khảo sát chất lượng lớp 12E-Trung tâm GDTX-DN Hà Trung (năm học 2012-2013) như sau:

 Kết quả bài kiểm tra:

Lớp Sĩ số

Qua thực tế và kết quả khảo sát tôi nhận thấy rằng: Kết quả bài kiểm tra thì còn ở mức độ yếu kém cao, số lượng học sinh đạt điểm khá giỏi còn khá hạn chế

2.3 Nội dung của các vấn đề nghiên cứu.

2.3.1 Bài toán 1: Cho đồ thị hàm số y = f(x) có đồ thị (C) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại M x ; y0 0 0 thuộc đồ thị (C).

Cách giải:

+) Tính y’ = f’(x) và tính f’(x0)

+) Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại M x ; y0 0 0:

/

yf (x )(xx )y

Nhận xét: Bài toán có một phương trình tiếp tuyến.

Chú ý: Nếu bài toán cho biết một thành phần tọa độ của tiếp điểm thì

ta tìm một thành phần tọa độ nữa của tiếp điểm Từ đó suy ra tọa độ tiếp điểm

+) Biết x 0  y 0  f (x ) 0  Bài toán có một phương trình tiếp tuyến +) Biết y0  y0  f (x )0  x0  ?  Số nghiệm của phương trình y0= f(x0) là số phương trình tiếp tuyến của bài toán

Ví dụ 1: Cho hàm số y x 1 (C), viết phương trình tiếp tuyến với

x 2







đồ thị (C) tại M(3;2)

Lời giải:

Ta có y’= 1 2

(x 2)



 Nên y’(3) = -1

Phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tại M(3;2) là y = -1(x-3)+2 hay y=-x+5

Ví dụ 2: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C):y= 2x+ 1 2x 2 tại điểm có hoành độ x=2

Lời giải:

Vì x = 2 nên y = 7 Tọa độ tiếp điểm M(2;7)

Ta có y’= 2 +

2

2x

1 2x

y’(2) = 10

3 Phương trình tiếp tuyến tại M(2;7): y = y’(2)(x- 2) +7

10

3

Vậy tiếp tuyến cần tìm là: y 10x 1

Ví dụ 3: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C):y = 4 2

x 2x 1 tại điểm có tung độ y0 = 2

Lời giải: Vì y0 = 2 nên 4 2 =2

x 2x 1

2 0

0 2

0

x 3 (VN)





 



Có hai tiếp điểm M1(1;2) và M2(-1;2)

Ta có y’ = 4x3 4x

y’(1) = 8, y’(-1) = -8

Phương trình tiếp tuyến tại M1(1;2): y = y’(1)(x- 1) +2 hay

y = 8(x-1) + 2  y = 8x - 6

Phương trình tiếp tuyến tại M2(-1;2): y = y’(-1)(x+ 1) +2 hay

y = -8(x+1) + 2  y = -8x - 6

Vậy có hai tiếp tuyến cần tìm là: (1): y = 8x – 6 và (2): y = -8x – 6

2.3.2 Bài toán 2: Cho đồ thị (C): y = f(x) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết hệ số góc của tiếp tuyến là k.

Cách giải:

+) Tính y’ = f’(x)

+) Gọi tọa độ tiếp điểm là M x ; y0 0 0 Khi đó f’(x0) = k (*)

+) Giải phương trình (*), tìm x0 Từ đó suy ra tọa độ tiếp điểm y0 = f(x0) +) Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) có hệ số góc k: yk(xx )0 y0

Nhận xét: Số nghiệm của phương trình (*) là số tiếp tuyến có hệ số góc k Chú ý: +) Tiếp tuyến song song với đường thẳng y = ax + b có hệ số góc f’(x0) = a

+) Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y = ax + b có hệ số góc f’(x0) = 1

a



+) Tiếp tuyến tạo với chiều dương trục Ox một góc  có hệ số góc f’(x0) = tan

Ví dụ 4: Viết PTTT của đường cong (C) 1 3 2, biết hệ số góc

3

của tiếp tuyến là k = 3

Lời giải:

Ta có y’ = x2 2x

Gọi M x ; y0 0 0 là tọa độ tiếp điểm của tiếp tuyến cần tìm Khi đó y’(x0) =3

2

0

 



  



+) Với x0 = -1, ta có y0 = 4 Tọa độ tiếp điểm M(-1; ) Phương

3

3



trình tiếp tuyến tại M(-1; 4) là: y = 3(x+1) hay y = 3x +

3

3

3 +) Với x0 = 3, ta có y0 = 0 Tọa độ tiếp điểm N(3;0) Phương trình tiếp tuyến tại N(3;0) là y = 3(x-3) + 0 hay y = 3x - 9

Vậy có hai tiếp tuyến cần tìm có phương trình là: y = 3x + và y = 5

3 3x – 9

Ví dụ 5: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C): y = x 1,biết tiếp

x 1



 tuyến song song với (d):y= –2x

Lời giải:

Ta có y’ =

 2

2

x 1



 Gọi M x ; y0 0 0 là tọa độ tiếp điểm của tiếp tuyến cần tìm

Vì tiếp tuyến song song với (d):y= –2x nên y’(x0) = -2

0 2

0 0

2

x 1







+) Với x0 0, ta có y0 = -1 Tọa độ tiếp điểm M(0;-1) Phương trình tiếp tuyến tại M(0;-1) là: y = -2(x - 0) - 1 hay y = -2x - 1

+) Với x0 2, ta có y0 = 3 Tọa độ tiếp điểm N(2;3) Phương trình tiếp tuyến tại N(2;3) là: y = -2(x - 2) + 3 hay y = -2x + 7

Vậy có hai tiếp tuyến cần tìm có phương trình là: y = -2x - 1 và

y = -2x + 7

Ví dụ 6: Cho hàm số 1 3 2 có đồ thị (C) Viết

3

phương trình tiếp tuyến với (C) tạo với chiều dương Ox góc 450

Lời giải:

Ta có y’ = x2 -4x+1

Gọi M x ; y0 0 0 là tọa độ tiếp điểm của tiếp tuyến cần tìm

Vì tiếp tuyến tạo với chiều dương Ox góc 450 nên y’(x0) = tan450

0 2

0







+) Với x0=0, ta có y0 = -4 Tọa độ tiếp điểm M(0;-4) Phương trình tiếp tuyến tại M(0;-4) là: y = tan450(x-0)-4 hay y = x – 4

+) Với x0=4, ta có y0 = 32 Tọa độ tiếp điểm N(4; ) Phương

3

3



trình tiếp tuyến tại N(4; 32) là: y = tan450(x-4)-( ) hay y = x +

3

3

3 Vậy có hai tiếp tuyến cần tìm có phương trình là: y = x – 4 và y = x + 20

3

2.3.3 Bài toán 3: Cho đồ thị (C): y = f(x) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết tiếp tuyến đi qua điểm Ax ; yA A.

Cách giải:

+) Tính y’=f’(x)

+) Gọi đường thẳng (d) đi qua Ax ; yA A có hệ số góc k, phương trình có dạng: y = k(x-xA) + yA

+) Đường thẳng (d) tiếp xúc với (C) khi và chỉ khi hệ phương trình:

f (x) k(x x )A y (1)A có nghiệm

k f '(x) (2)



 



+) Thay (2) và (1) tìm x =? Thay vào (2) tìm k =?

+) Kết luận

Ví dụ 7: Cho hàm số y 2x 1 có đồ thị (C), viết phương trình tiếp

x 1





 tuyến với đồ thị (C) biết tiếp tuyến qua A(-1;3)

Lời giải:

Ta có

1

y '

x 1



 Gọi (d) là đường thẳng đi qua A(-1;3) có hệ số góc k, (d) có phương trình:

y= k(x+1) +3

Đường thẳng (d) tiếp xúc với (C) khi và chỉ khi hệ phương trình :

có nghiệm

2

2x 1

k(x+1) +3 (1)

x 1 1

k (2) (x+1)



 







Thay (2) vào (1) ta được: 2x 1 1 2 (x+1) +3

x 1 (x+1)

 



(x 1)(2x 1) 4x 3 0

 



   

2 2

(x+1) +3(x+1) , (víi x -1) x

(lo¹i)

Với x = -3, thay vào (2) ta được k= 1

4 Vậy phương trình tiếp tuyến đi qua A(-1;3) :

2.3.4 Bài toán 4: Viết phương trình tiếp tuyến  của (C):

, biết  tạo với đường thẳng d: một góc .



Cách giải:

 Gọi M(x ;y )0 0 là tiếp điểm Tiếp tuyến có hệ số góc k f (x )  0

  tạo với d một góc     Giải phương trình tìm



k a

ka tan

được x0

 Phương trình tiếp tuyến  tại M: y y– 0  f x( ).( – )0 x x0

Ví dụ 8: Cho hàm số yx3 (1 2 )m x2  (2 m x m)  2 (1)

(m là tham số) Tìm tham số m để đồ thị của hàm số (1) có tiếp tuyến tạo với

đường thẳng d:x  y 7 0 góc , biết cos  1

26



Lời giải:

Gọi k là hệ số góc của tiếp tuyến tiếp tuyến có VTPT  nr1( ; 1)k  Đường thẳng d có VTPT nr2 (1;1)

Ta có





2

1 2



r r

r r

YCBT thoả mãn  ít nhất một trong hai phương trình sau có nghiệm:

 







 



y y

3 2 2 3









2

2

3

2 2

3







/ 1 / 2

0 0







  



2

2







1; 1

3; 1 4

 

1 2

Ví dụ 9: Cho hàm số y f x( )1mx3 (m1)x2(4 3 ) m x1 , (Cm)

3 Tìm các giá trị m sao cho trên đồ thị (Cm) tồn tại một điểm duy nhất có hoành độ âm mà tiếp tuyến tại đó vuông góc với đường thẳng (d):

x 2y 3 0

Lời giải: (d) có hệ số góc  tiếp tuyến có hệ số góc k=2 Gọi x 12

là hoành độ tiếp điểm thì:        (1)

2 2

YCBT  (1) cĩ đúng một nghiệm âm.

+ Nếu m=0 thì (1) 2x    2 x 1 (loại)

+ Nếu m0thì dễ thấy phương trình (1) cĩ 2 nghiệm là



x hay x=

m

2 3 1

Do đĩ để (1) cĩ một nghiệm âm thì  m   m hoặc m

m

3 Vậy m0hay m2

3

2.3.5 Bài tốn 5: Viết phương trình tiếp tuyến  của (C): , biết  cắt hai trục toạ độ tại A và B sao cho tam giác OAB



y f x( )

vuơng cân hoặc cĩ diện tích S cho trước.

Cách giải:

 Gọi M x y( ; )0 0 là tiếp điểm Tiếp tuyến cĩ hệ số gĩc k  f x( )0

 OAB vuơng cân   tạo với Ox một gĩc 450 và O   (a)

 S  OAB  S OA OB 2S (b)

 Giải (a) hoặc (b) tìm được Từ đĩ viết phương trình tiếp tuyến .x0

Ví dụ 10: Cho hàm số   (1) Viết phương trình tiếp tuyến



x y x

2

của đồ thị hàm số (1), biết tiếp tuyến đĩ cắt trục hồnh, trục tung lần lượt tại hai điểm phân biệt A, B và tam giác OAB cân tại gốc tọa độ O

Lời giải:

Gọi ( ; )x y0 0 là toạ độ của tiếp điểm     



y x

x

0

1

OAB cân tại O nên tiếp tuyến  song song với đường thẳng y x (vì tiếp tuyến cĩ hệ số gĩc âm) Nghĩa là:      



y x

x

0

1





+ Với x0  1; y0 1  : y      1 (x 1) y x (loại)

+ Với x0  2;y0 0  : y   0 (x 2)   y x 2 (nhận)

Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y  x 2.

Ví dụ 11: Cho hàm số 



x y

x

2 2 Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến này cắt các trục

Ox, Oy lần lượt tại A và B sao cho AB OA 2

Lời giải:

Gọi M x y( ; ) ( ),0 0  C x0 2 PTTT tại M:







x

x x

0 0

2

0 0

2

2

Tam giác vuông OAB có AB OA 2 nên OAB vuông cân tại O

Do đó d vuông góc với một trong hai đường phân giác d y1: x d; 2:y x

và không đi qua O

+ Nếu dd2 thì    vô nghiệm



x0 2

Vậy PTTT cần tìm là: y  x 8

2.3.6 Bài toán 6: Tìm những điểm trên đường thẳng d mà từ đó

có thể vẽ được 1, 2, 3, tiếp tuyến với đồ thị (C): yf(x)

Cách giải:

Giả sử d ax by c:   0 M x( M;y M)d

 Phương trình đường thẳng  qua M có hệ số góc k:

y k x( –x ) y

  tiếp xúc với (C) khi hệ sau có nghiệm:

f x k x x y

f x k

 Thế k từ (2) vào (1) ta được: f( )x ( –x x M) (f x M)y M (3)

 Số tiếp tuyến của (C) vẽ từ M = Số nghiệm x của (3)

Ví dụ 12: Cho hàm số   (C) Tìm trên đường thẳng



x y x

3 1

các điểm từ đó kẻ được duy nhất một tiếp tuyến tới (C).

d y: 2x 1

Lời giải:

Gọi M m m( ;2  1) d PT đường thẳng  qua M có dạng:

y k x m( ) 2m 1

PT hoành độ giao điểm của  và (C):     



x

x

3

1

 kx2 (m1)k2m x  mk(2m4)0 (*)

 tiếp xuc với (C)  (*) có nghiệm kép



 







k

0



  



k

0

Qua M m m( ;2  1) d kẻ được đúng 1 tiếp tuyến đến (C)

 g k( ) 0 có đúng 1 nghiệm k  0 









1

4





  

     

  



 



1 ( 1; 1)

Ví dụ 13: Cho hàm số y   x3 3x2 2 (C)

Tìm trên đường thẳng (d): y = 2 các điểm mà từ đó kẻ được 3 tiếp tuyến phân biệt với đồ thị (C)

Lời giải: Gọi M m( ;2) ( ) d

PT đường thẳng  đi qua điểm M có dạng : y k x m(  ) 2

 là tiếp tuyến của (C)  hệ PT sau có nghiệm

      (*)





x x k

3 2

2 3 2 ( ) 2 (1)

Thay (2) và (1) ta được: