SKKN Hướng dẫn học sinh lớp 9 trường THCS Đông Hương tìm tòi phương pháp giải toán thông qua cách nh...

SKKN Hướng dẫn học sinh lớp 9 trường THCS Đông Hương tìm tòi phương pháp giải toán thông qua cách nhìn sáng tạo Hướng dẫn học sinh lớp 9 trường THCS Đông Hương tìm tòi phương pháp giải toán thông qua cách nhìn sáng tạo 1 A ĐẶT VẤN ĐỀ I/ LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Trong chương trình môn đại số cấp THCS có những bài toán , dạng toán mà đối với học sinh luôn mới mẻ và khó quá , khi các em gặp dạng này gần như mất phương hướng giải và có cảm giác “ngợp” Song nó cũng rất đơn giản nếu ta như ta có cách nhìn th[.]

A- ĐẶT VẤN ĐỀ

I/ LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI:

Trong chương trình môn đại số cấp THCS có những bài toán , dạng toán

mà đối với học sinh luôn mới mẻ và khó quá , khi các em gặp dạng này gần như mất phương hướng giải và có cảm giác “ngợp” Song nó cũng rất đơn giản nếu

ta như ta có cách nhìn thích hợp - khai thác các vai trò của các “chữ “ có mặt trong bài toán đó, lúc đó ta sẽ tìm ra được những lời giải hết sức thú vị và phong phú, và ta mới hiểu được sự đang dạng của mỗi bài toán Hoặc có thể chúng ta chú ý đến những trường hợp đặc biệt của một vấn đề nào đó trong chương trình học , nó cũng có thể giúp ta khai thác được cách giải hợp lý cũng như đó là đường lối làm bài toán hết sức thú vị

Chẳng hạn, giải và biện luận phương trình: -2x3+(3-2m)x2+2mx+m2-1= 0 (x là ẩn) Nếu ta xem x là ẩn thì phương trình trên là phương trình bậc 3 đầy đủ , cách giải hết sức khó khăn với cấp học THCS Song ta nhìn vào các chức có tham gia vào phương trình và các chức này có vai trò như nhau thì vấn đề giải hết sức đơn giản.(Phần này sẽ được trình bầy kĩ hơn ở phần sau)

Thực ra lời giải bài toán có phong phú hay không là do cách nhìn bài toán của chúng ta, có những nhà toán học thường nói có cái nhìn, góc nhìn “chết người” và cũng có cái nhìn “nẩy lữa” Song cũng có những quan điểm khác nhau, có nhiều khi ta phải xuất phát từ những trường hợp “ hẩm hưu, bất hạnh” ,

ví dụ như: tìm nghiệm duy nhất của một hệ phương trình nào đó thì giã sử có nghiệm là (x,y,z) là duy nhất thì bộ nghiệm (-x,-y,-z) cũng là nghiệm, nên có x=-x,y=-y,z=-z hay x=y=z=0

Trong chương trình cấp học THCS để đưa đến một cách giải hay , thì theo bản thân tôi đều do bản thân có cách nhìn thích hợp, và quan niệm về các chữ có mặt trong bài toán đều có vai trò như nhau Đây là vấn đề hết sức chú ý cho học sinh khi giải bài toán và theo tôi thiết nghĩ đó cũng có thể coi là một

phương pháp Chính vì vậy tôi chọn đề tài Hướng dẫn học sinh lớp 9 trường THCS Đông Hương tìm tòi phương pháp giải toán thông qua cách nhìn sáng tạo

để giải quyết những vướng mắc của học sinh, đồng thời tạo cho các em có một cách nhìn toàn diện và khai thác triệt để những vấn đề được coi là đặc biệt

II/ NHIỆM VỤ CỦA ĐỀ TÀI:

Căn cứ vào những yêu cầu trên thì bản thân phải có những qui trình giải một cách tổng quát, hoặc phải đưa ra được những ví dụ điểm hình để minh chứng vấn đề mà bản thân đặt ra Thực ra chúng ta phải cho học sinh nắm được trong một biểu thức (phương trình) có chứa chữ thì vai trò của các chữ hay ẩn là như nhau, tuỳ theo cách nghỉ của từng người, từng dạng bài toán, và đây là vấn

đề xem là then chốt - cũng có thể phải sử dụng vài tính chẵn lẻ của hàm số

Hướng dẫn học sinh lớp 9 trường THCS Đông Hương tìm tòi phương pháp giải toán

thông qua cách nhìn sáng tạo

2

Giúp học sinh củng cố, khắc sâu kiến thức cơ bản, qua các bài tập rèn luyện cho học sinh tính tư duy tính độc lập, tính sáng tạo và linh hoạt, tự mình tìm tòi ra kiến thức mới, những phương pháp mới những thủ thuật đặc trưng để giải toán từ đó giúp các em có hứng thú học tập, ham mê với môn học và phát huy năng lực của các em khi giải toán

Đào sâu hơn nội dung về phân tích đa thức thành nhân tử, nhằm giúp học sinh nắm được các phương pháp phân tích, rèn kỹ năng áp dụng vào giải toán loại có liên quan đến có liên

quan đến những trường hợp riêng, đặc biệt trong quá trình học, nhằm phát triển năng lực tư duy, sáng tạo của học sinh

Qua bài tập áp dụng rèn cho các em cách nhìn, góc nhìn và có thể quan niện “thoáng” về các biến trong một biểu thức, phương trình, hệ phương trình… nhằm phát huy trí tuệ của học sinh, kỹ năng vận dụng những kiến thức đã học và những kiến thức tiếp theo, tư duy lôgic toán học từ đó nâng cao chất lượng giáo dục để sau khi tốt nghiệp trung học cơ sở các em có một hành trang vững vàng mọi mặt để bước tiếp con đường dẫn đến tương lai tươi sáng của các em góp phần làm cho xã hội ngày càng phát triển đáp ứng được nhu cầu công nghiệp hóa, hiện đại hóa của thế giới

III/ PHẠM VI CỦA ĐỀ TÀI:

Do điều kiện về thời gian nghiên cứu , cho nên đề tài này đề cập đến đối tượng học sinh khá giỏi ở khối 9

IV/ PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU:

Chủ yếu sử dụng phương pháp tổng kết kinh nghiệm

B- NỘI DUNG

I/ CƠ SỞ LÝ LUẬN:

Trong quá trình học tập về giải và biện luận phương trình bậc nhát một

ẩn ở môn đại số lớp 8 (Hoặc giải và biện luận hệ phương trình ở đại số 9 ) Chúng ta có thể tóm tắt cách giải và biện luận phương trình bậc nhất một ẩn như sau:

Ta cho phương trình ax=b (1)

- Nếu a 0 thì phương trình (1) có nghiệm duy nhất: x=

a b

- Nếu a = 0 và b 0 thì phương trình (1) vô nghiệm

- Nếu a = 0 và b = 0 thì phương trình (1) trở thành 0x = 0 và có vô số nghiệm

Ở trường hợp thứ ba này ta coi nó là trường hợp “hẩm hưu và bất hạnh” nhất ví nó ít gặp và rất ít quan tâm Những cũng chính trường hợp “ hẩm hưu và bất hạnh” này nếu ta suy rộng ra một chút , nhìn sâu hơn một chút thì sự hẩm hưu” đó, “bất hạnh” đó trở nên một kết quả tuyết vời và hết sức thú vị đến bất ngờ Thực vậy khi a=0 và b=0 thì giá trị của x muốn lấy bao nhiêu cũng được , hay nói cách khác đẳng thức (1) xẩy ra với mọi giá trị

x R.

Vâng ! quả vậy chúng ta đi theo trường hợp này, nếu ta thay a và b bằng hai biểu thức chứa chữ ( hay chứa ẩn ) còn x ta coi như một biến số tham gia và đẳng thức (1) thì ta sẽ thu được dạng mới là: m.A(x,y) +B(x,y) =

0 (2) Cúng như đẳng thức trên ta thấy (2) sảy ra với mọi m khi và chỉ khi











0 )

,

(

0 )

,

(

y

x

B

y

x

A

Đây chính là cơ sở khoa học khi ta giải bài toán tìm điểm cố định khi một đường thẳng nào đó đi qua và cũng là bài toán giải phương trình “đặc biệt” nào đó

Cũng như vấn đè đặt ra, việc xem như a,b là chữ thay bằng biểu thức chứa ẩn , còn x coi như một biến số Đây cũng chính là việc quan niệm vai trò của các chữ , các ẩn là bình đẳng , mà ta có thể coi đây là vấn đề tế nhị và tinh tế

II/ THỰC TRẠNG:

kết quả khảo sát học tập của học sinh trường THCS Đông Hương khi thực hiện sáng kiến kinh nghiệm:

Hướng dẫn học sinh lớp 9 trường THCS Đông Hương tìm tòi phương pháp giải toán

thông qua cách nhìn sáng tạo

4

KẾT QUẢ XẾP LOẠI

Khối lớp học sinh Tổng số

III/ NHỮNG BÀI TOÁN CỤ THỂ ĐỂ MINH HOẠ:

Bài toán 1: Tìm tất cả giá trị của a và b để hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất:

























4

2 2 2 2

z y x

b z xyz

a z xyz

Nếu như trong việc giải và biện luận hệ phương trình thì ta có thể sử dụng tính chẳn lẻ của hàm số Cụ thể trong bài này, không ít học sinh lúng túng và không tìm ra hướng giải quyết Song đây không phải là bài toán giả và biện luận hệ bình thường mà để giải bài toán này ta phải suy luận chặt chẽ, và sử dụng ngay tính chẳn lẽ của hàm số Trước hết ta cần tìm a , b để hệ có nghiệm day nhất

a, Điều kiện cần: Nếu (x0,y0,z0) là nghiệm của hệ thì (-x0,-y0,-z0) cũng là nghiệm của hệ Và hệ có nghiệm day nhất nên ta có: x0=-x0; y0=-y0; z0=-z0

Thay vào hệ ta có

vậy z0=2 hoặc z0=-2 do đó (a,b)=(2,2) hoặc (a,b)=(-2,-2)

















4

0

0 0

z

b z

a z

b, Thử điều kiện đủ:

- Nếu a=2, b=2: ta có hệ

























(*) 4

(*) 2

(*) 2

2 2 2 2

z y x

z xyz

z xyz

Hệ có nghiệm (0,0,2)

Từ (*) và (**) suy ra: xy(z2-z)=0 Nếu x=0 thì từ (**) và (***) suy ra z=z và y=0 Đây là nghiệm đã biết Nếu y=0 ta cũng suy ra được nghiệm đó bằng cách lập luận tương tự

Bây giờ nếu z2-z=0 z=0 hoặc z=1 Nhưng z=0 thì mâu thuẩn với (*) và (**)

Nếu z=1 ta có a=b=2 không có nghiệm duy nhất.











 3

1

2 2

y x

xy



- Nếu a=b=-2 ta có hệ:

hệ có nghiệm (0,0,-2)





























4 2 2

2 2 2 2

z y x

z xyz

z xyz

Vậy lập luận tương tự ta suy ra hệ có nghiệm duy nhất (0,0,-2) khi a=b=-2

Bài toán 2: Giải phương trình:

-2x3+(3-2m)x2+2mx+m2-1 = 0 (1)

Nếu ta xem x là ẩn thì đây là phương trình bậc 3 đầy đủ, cách giải rất khó khăn đối với bậc học Vậy ta nhìn vào vai trò của các chữ x, m trong phương trình và quan niệm nó có vai trò như nhau , khi đó gọi m là ẩn ta có :

m2- 2(x2- x) m -2x3-1 = 0 (2) giải phương trình nay ta có:

= (x 2-1)2 khi đó m1,2= x2-x (x 2-1)

Nếu m = 1-x  x 1 m

Nếu m 2x2x 1  2x2x 1 m 0    9  8m

- Nếu >0  vây phương trình có nghiệm

8 9





 m

4

8 9 1

2 , 1

m



- Nếu phương trình có hai nghiệm kép x0 =

8

9

0  



4 1

8

9







Hai phương trình (1), (2) có nghiệm chung: 1-x=2x2-x-1 hay x2=1 nên x= suy ra m=0 hoặc m=2

1



Vậy: phương trình có hai nghiệm nếu m=0 hoặc m=2; phương

8 9





m

trình có 3 nghiệm khi m  m0 ,  2

Nếu phương trình có 2 nghiệm

8

9





m

Nếu phương trình có 1 nghiệm

8 9





m

Bài toán 3: Giải và biện luận phương trình:

(x2a)2 6x2  4x 2a 0 (1)

Ta triển khai như sau: x4 2ax2a2  6x2  4x 2a  0 dây không phải là phương trình trùng phương , mà phương bậc 4, quả là cách giải hết sức khó khăn Tương tự bài toán trên ta quan niệm ẩn của phương trình là a và

x là tham số tham gia và phương trình như vậy ta viết phương trình (1) dưới dạng sau: a2 2 (x2 1 )ax4  6x2  4x  0 (2)

Hướng dẫn học sinh lớp 9 trường THCS Đông Hương tìm tòi phương pháp giải toán

thông qua cách nhìn sáng tạo

6

 '  ( 2x 1 ) 2 2 1 ( 2 1 ) và đưa đến giải hai phương trình

2 ,

bậc hai: x2  2xa 2  0 (3) và x2 2xa  0 (4)

Điều kiện để (3) có nghiệm là 3 a 0  x1,2   1  3 a

Điều kiện để (4) có nghiệm là 1 a 0  x3,4  1  1 a

Kết quả: Nếu a<-3 (1) vô nghiệm

Nếu a=-3 (1) có một nghiệm x=-1

Nếu -3<a<-1 (1) có hai nghiệm x1,2   1  3 a

Nếu a=-1 (1) có ba nghiệm x1,2   1  2 và x3=1

Nếu a>-1 (1) có bốn nghiệm x1,2   1  3 a ;

a

x3,4  1  1 

Bài toán 4: Chứng minh rằng các đường thẳng sau luôn đi qua một điểm cố định khi a thay đổi: (a 1 )y (a 1 )xa 5  0(1)

Giả sử có điểm cố định M(x0,y0) thoả mãn yêu cầu của đề bài toán thì đẳng thức (a 1 )y0  (a 1 )x0a 5  0 (2) sẽ thoả mãn mọi giá trị của a Nếu coi a là ẩn của phương trình đó, ta cố gắng đưa về dạng

phương trình này muốn có vô số nghiệm khi và chỉ

0 ) , ( ) ,

(x0 y0 B x0 y0 

aA

khi A(x0,y0)  0 ;B(x0,y0)  0 Đó chính là hệ phương trình cho phép tìm được điểm cố định , như vậy có tìm được điểm cố định hay không là ta phải nhờ vào việc hệ phương trình có nghiệm hay không









 0 ) , (

0 ) , (

0 0

0 0

y x B

y x A

Quả là thú vị khi tìm điểm cố định của mộ đường thẳng lại liên quan đến nghiệm của hệ phương trình Trở lại bài toán ta biến đổi:

(2) ay0 y0ax0x0 a 5  0 a(y0x0  1 )  ( 5 y0 x0)  0

Như vậy ta giải hệ phương trình sau:





















0 5

0 1

0 0

0 0

x y

x y























5

1

0 0

0 0

x y

x y













2

3

0

0

y x

thị luôn đi qua là M(3,2)

Với cách làm trên thì ta xây dựng được phương pháp tìm điểm cố định

mà đồ thị hàm số đi qua

Cũng như việc quan niệm trên về các chữ có mặt trong phương trình ,

ta làm bài toán sau:

Bài toán 5: Phân tích đa thức thành nhân tử:

P 4x4 x2y2 2x2yx2  2xy 2x 1

Nếu ta để như thế này rất khó hình dung được, vì các số hạng không có như tử chung Ta dựa vào cách “nhìn” linh hoạt xem như bậc 2 đối với

biến y nên ta nghỉ ngay đến phương pháp phân tích thành nhân tử dựa vào

hằng đẳng thức Thật vậy:

4 ) 1 ( ) 1 ( 2 4

) 1 2 ( 2

y x

Nhận thấy khi đó ba hạng tử đầu là hằng đẳng thức , vậy ta có thể làm

như

4 ) 1 (

4 ) 1 ( ) 1 ( 2

dùng hằng đẳng: P  4x4 (xyx 1 )2  ( 2x2xyx 1 )( 2x2xyx 1 )

Đến đây ta xem như phân tích đã xong, những còn vấn đề hai nhân tử

đó khi phân tích thì như thế nào ? Song việc hai tam thức bậc hai trên có

phải là bất khả qui trên trường số R hay chứa ? Việc đó trong đề tài này ta

chưa đề cập tới , hẹn dịp khác

Bài toán 6: Chứng minh rằng hệ phương trình















93 1994

1993

93

xy

y

x k k

không có nghiệm ( k nguyên dương )

Riêng bài này ta dùng vào tính chẵn lẽ mà biện luận Thực vậy ta có

199393 là một số lẽ, do vậy xy cũng lẻ , hay x và y lẽ , cho nên xk,yk là số

lẻ Vì vậy

xk+yk là số chẵn trong khi đó 931994 là số lẻ Mâu thuẩn Vậy hệ phương

trình đã cho không có nghiệm

Bài toán 7: Chứng minh rằng các đường parabol sau luôn đi qua

điểm cố định khi m thay đổi: yx2  2 (m 1 )xm 5

Ta biến đổi x2  2mx 2xm 5 y 0 m( 2x 1 ) x2  2x 5 y 0 ta







































4 23 2 1 0

5 2

0 1 2

2

y

x y

x x x

mà parabol đi qua là )

4

23 , 2

1 ( 

Bài toán 8: Tìm tham số a để hệ phương trình sau có nghiệm duy

nhất





















ay y y x

ax x x y

2 3 2

2 3 2

4 4

Giả sử (x,y) là nghiệm của hệ phương trình, khi đó (y,x) cũng là nghiệm

của hệ phương trình đó Do vậy để hệ có nghiệm duy nhất thì x=y Từ đó

say ra

nên ta có x=0, hoặc x2-5x+a = 0

0 ) 5 ( 0

3  x ax  x x  xa 

x

Nếu x=0 thì x=y=o Muốn cho hệ có nghiệm duy nhất thì phương trình

x2-5x+a = 0 (*) hoặc vô nghiệm hoặc chỉ có nghiệm bằng 0

Hướng dẫn học sinh lớp 9 trường THCS Đông Hương tìm tòi phương pháp giải toán

thông qua cách nhìn sáng tạo

8

Ta có   25  4a<0 phương trình (*) vô nghiệm

4

25



 a

Với x=0 thì a=0 thì phương trình (*) có dạng x2-5x=0 có nghiệm x=0; x=5 Vậy hệ có nghiệm duy nhất khi a>

4 25

Bài toán 9: Giải phương trình với ẩn là x:

(a-x)3+(b-x)3 = (a+b-2x)3

ở bài toán này , yêu cầu chúng ta phải có cách nhìn tinh tế và sâu sắc Nếu chúng ta chỉ nghỉ rằng phải khai triển thì chắc có lẻ rất rối rấm và khó tìm lời giải Song nếu ta có nhận xét như sau, ở vế phải có dạng

(a+b-2x) có liên quan gì đến vế trái hay không ? mà sự liên quan đó như thế nào ? Thật vậy ta có (a-x) +(b-x) = (a+b-2x) , đây là mấu chốt của việc giải phương trình này Do đó phương trình đã cho viết thành:

( ) ( ) ( ) ( ) 3 ( ) ( ) 3 ( ) ( ) )

( )

(ax 3 bx 3  ax  bx 3  ax 3 bx 3 ax 2 bx  bx 2 ax

2

;

; 0

) 2 )(

)(

(

3a x b x a b x x1 a x2 b x3 ab



















Bài toán 10: Cho x2 y2  1 Tìm giá trị lớn nhất , nhỏ nhất của

S = x+y

Đây là bài tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất có điều kiện, vậy miền giá trị của S chính là những giá trị của S thoả mãn hệ phương trình sau có nghiệm

2

1 1

2 ) (

2 2

2 2













xy xy

y x y x y x S

y x

nghiệm của phương trình: = 0 có nghiệm

2

1

2



SX S X

hay

2 2

2









Vậy S Max= 2 ; SMin= 2 Khi đó ta tìm được x và y

Bài toán 11: Giải phương trình

(x2a)2  6x2 4x 2a  0 (9)

Đây là phương bậc bốn đối với biến x, mặt khác chúng còn có thêm một biến a: (9)  x4  ( 2a 6 )x2  4xa2  2a 0 (9’)

Nếu sử dụng phương pháp giải phương trình bậc bốn bằng cách phân tích

ra thừa số thì hết sức khó khăn

Song chúng chú ý đến nếu chúng ta nhìn theo quan điểm đây là phương trình bậc hai đối với biến a thì việc giải phương trình bậc hai lại trong “tầm tay”

Như vậy ta viết phương trình (9) a2  2 (x2 1 )ax4  6x2 4x  0 (9’’)

Lỳc này phương trỡnh (9’’) chớnh là phương trỡnh bậc hai với ẩn là a Với cỏch nhỡn này ta tỡm được x theo x và cú nghiệm là:

) 1 2 ( 1 1

4 4 1 4

6 1

2

2 2

,

1  x   x  x  x  x  x  x   x  x  x   x

a

Như vậy ta lại giải phương trỡnh bậc hai đối với x:

ta tỡm được nghiệm của phương

(**) 0 2

(*) 0 2

2  xa  x  xa 

trỡnh (9)

Điều kiện để (*) cú nghiệm là 3 a 0 và cỏc nghiệm của phương trỡnh (*) là: x1,2   1  3 a

Điều kiện để (**) cú nghiệm là 1 a 0 và cỏc nghiệm của phương trỡnh (**) là: x3,4  1  1 a

Tổng kết:

Như

vậy với một số vớa dụ ta giải được phương trỡnh bậc bốn nhờ biết biến đổi sỏng tạo vế trỏi của phương trỡnh dễ dần tới việc giải cỏc phương trỡnh tớch và phương trỡnh quen thuộc

x4  10x3 2 (a 11 )x2  2 ( 5a 6 )x 2aa2  0 (10)

a Giải phương trỡnh khi a  2

b Giải và biện luận theo tham số a Đõy là phương trỡnh bậc 2 đối với x và cú tham số a tham dự vào phương trỡnh

Trước hết ta xem xột cõu a: ở đõy ta chỉ việc thay a 2 vào phương trỡnh

(10)  x4 10x3  26x2  8x  0  x(x 4 )(x2 6x 2 )  0 khi

























0 20 6

0 4 0

2 x x x x

đú ta cú nghiệm của phương trỡnh như sau: x1  0 ;x2  4 ;x3  3  7 ;x4  3  7

như vậy phương trỡnh (10) cú 4 nghiệm khi a 2

Cõu b: Để giải và biện luận phương trỡnh này, chỳng ta chưa cú đường lối

cụ thể với phương trỡnh bậc bốn Nhưng nhờ cú cỏch nhỡn sỏng tạo và vai trũ của cỏc chữ trong phương trỡnh là như nhau nờn ta cú thể coi phương trỡnh (10) dưới phương trỡnh ẩn là a và ta cú: a2  2 ( 1  5xx2)a (x4 10x3 22x2  12x)  0 (10’)

a -3 -1

Phương trình (*) Vô mghiệm 2 nghiệm 2 nghiệm

Phương trình (**) Vô nghiệm Vô nghiệm 2 nghiệm

Phương trình (9) Vô nghiệm 2 nghiệm 4 nghiệm

Hướng dẫn học sinh lớp 9 trường THCS Đụng Hương tỡm tũi phương phỏp giải toỏn

thụng qua cỏch nhỡn sỏng tạo

10

Xem (10’) là phương trỡnh bậc hai của a ta cú:

2 2

2 3

4 2 2

) 1 ( 1 2 )

12 22

10 (

) 5 1

(

Suy ra phương trỡnh (10’) phõn tớch được thành:

Khi này ta giải và

0 ) 2 4 )(

6 (ax2 x ax2 x 

























(**) 0 2 4

(*) 0 6

2 2

a x x

a x x

biện luận cỏc phương trỡnh (*)và v (**) theo tham số a.t

Túm lại thụng qua sơ đồ sau:

a -9 -6

Phương trình (*) Vô mghiệm 2 nghiệm 2 nghiệm

Phương trình (**) Vô nghiệm Vô nghiệm 2 nghiệm

Phương trình (10) Vô nghiệm 2 nghiệm 4 nghiệm

(b  d  0 ) Phương trình phản thương loại 1 Phương trình phản thương loại 2

Đặt t Đặt

x

x

x1 

) 0 ( 0

2 3

4 bx cx dxe a

ax

(*) 0

2

4 cx e

ax ax4 bx3 cx2 bxa 0 ax4 bx3 cx2 bxa 0

Phương trình

(**)

Phương trình (*) Vô nghiệm Vô nghiệm

2 nghiệm âm Vô nghiệm

Nghiệm kép âm Vô nghiệm

1 nghiệm dương 2 nghiệm

2 nghiệm dương 4 nghiệm

2 cặp nghiệm đối

(**) 0

2 cte

2

2    c

x x b x x

x x b x x a

0

2 btc