SKKN Rèn luyện kỹ năng tính nguyên hàm và tích phân bằng phương pháp vi phân

SKKN Rèn luyện kỹ năng tính nguyên hàm và tích phân bằng phương pháp vi phân 0 MỤC LỤC Trang A Phần mở đầu 1 1 Lý do chọn đề tài 1 2 Phạm vi nghiên cứu 2 3 Đối tượng nghiên cứu 2 4 Mục tiêu nghiên cứu 2 B Phần nội dung 2 1 Cơ sở lý luận của SKKN 2 2 Thực trạng của vấn đề nghiên cứu trước khi áp dụng SKKN 2 3 Các giải pháp đã sử dụng đối với hoạt động giáo dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường 3 4 Nội dung cụ thể 4 C Kết luận và kiến nghị 18 1 Kết luận 18 2 Đề xuất và kiến nghị 19 Tài liệu[.]

MỤC LỤC

Trang

A Phần mở đầu 1

1 Lý do chọn đề tài 1

2 Phạm vi nghiên cứu 2

3 Đối tượng nghiên cứu 2

4 Mục tiêu nghiên cứu 2

B Phần nội dung 2

1 Cơ sở lý luận của SKKN 2

2 Thực trạng của vấn đề nghiên cứu trước khi áp dụng SKKN 2 3 Các giải pháp đã sử dụng đối với hoạt động giáo dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường 3 4 Nội dung cụ thể 4

C Kết luận và kiến nghị 18

1 Kết luận 18

2 Đề xuất và kiến nghị 19

Tài liệu tham khảo 20

A PHẦN MỞ ĐẦU.

1 Lý do chọn đề tài:

Phép tính vi phân, tích phân là một phần quan trọng của Giải tích nói riêng và của Toán học nói chung, không những là một đối tượng nghiên cứu trọng tâm của Giải tích mà còn hỗ trợ đắc lực trong nghiên cứu lý thuyết về phương trình, lý thuyết

về hàm số Ngoài ra, phép tính vi phân còn được sử dụng nhiều trong các ngành khoa học khác như Vật lý, Thiên văn học, Nó như là một giải pháp hữu hiệu của các mô hình toán học cụ thể Học sinh lớp 12 khi ôn thi THPT Quốc gia thường gặp khó khăn khi giải các bài tập chương Nguyên hàm và tích phân Những người mới học và làm quen với tích phân thường chưa hiểu rõ tư tưởng cũng như phương pháp tiếp cận lý thuyết, đặc biệt là khâu vận dụng lý thuyết vào việc giải các bài toán cụ thể

Trong thực tế, khi học đến chương nguyên hàm và tích phân, đa số học sinh tính tích phân một cách hết sức máy móc đó là: tìm một nguyên hàm của hàm số cần tính tích phân rồi dùng định nghĩa của tích phân hoặc phương pháp đổi biến số, phương pháp tính tích phân từng phần mà rất ít học sinh để ý đến nguyên hàm của hàm số tìm được có phải là nguyên hàm của hàm số đó trên đoạn lấy tích phân hay không? Phép đặt biến mới trong phương pháp đổi biến số có nghĩa không? Vì thế trong quá trình tính tích phân học sinh thường mắc những sai lầm dẫn đến lời giải sai Việc nhận ra mối liên hệ giữa "đạo hàm, vi phân, nguyên hàm" là cơ sở quan trọng của việc tính tích phân Quá trình giảng dạy và hướng dẫn học sinh giải toán tích phân ở trường THPT Nguyễn Hoàng, tôi đặt câu hỏi: “Làm thế nào để giúp học sinh chủ động giải toán tích phân, học sinh tin tưởng là giải được bài toán tích phân

có trong sách giáo khoa, các bài toán tích phân trong đề thi đại học?”

Qua giảng dạy tôi rút ra kinh nghiệm:

Thứ nhất: Để giải toán tích phân tốt học sinh phải nắm được các vi phân “cơ bản” từ đơn giản đến phức tạp

Thứ hai: Học sinh phải nắm được bảng các nguyên hàm cơ bản thường gặp và các tính chất của nguyên hàm

Thứ ba: Học sinh phải nắm được các tích phân “cơ bản” và các cách tính các tích phân này

Thứ tư: Học sinh phải biết mỗi tích phân “cơ bản” có những cách tính nào phổ biến nhất, mối cách tính đó có thuận lợi, khó khăn gì? Từ đó học sinh tự chọn cách giải phù hợp nhất cho bài toán đang giải

Với hy vọng giúp học sinh nắm vững kiến thức về nguyên hàm – tích phân, từ

đó giúp học sinh tính tích phân dễ dàng hơn, đạt được kết quả cao khi giải toán nguyên hàm – tích phân nói riêng, cũng như đạt kết quả cao trong quá trình học tập môn Toán nói chung Nên tôi chọn đề tài “Rèn luyện kỹ năng tính nguyên hàm và tích phân bằng phương pháp vi phân.”

2 Phạm vi nghiên cứu.

Mối quan hệ giữa Nguyên hàm, tích phân và vi phân, một số dạng toán về nguyên hàm, tích phân– Giải tích 12

3 Đối tượng nghiên cứu

Học sinh lớp 12A2 và 12A6 – Trường THPT Nguyễn Hoàng

4 Mục tiêu nghiên cứu.

Nhằm giúp học sinh khắc phục được những yếu điểm nêu trên từ đó đạt được kết quả cao khi giải bài toán tích phân nói riêng và đạt kết quả cao trong quá trình học tập nói chung

Ý nghĩa rất quan trọng mà đề tài đặt ra là: Tìm được một phương pháp tối ưu nhất để trong quỹ thời gian cho phép hoàn thành được một hệ thống chương trình quy định và nâng cao thêm về mặt kiến thức, kỹ năng, kỹ xảo trong việc giải các bài toán Nguyên hàm và Tích phân Từ đó phát huy, khơi dậy, sử dụng hiệu quả kiến thức vốn có của học sinh, gây hứng thú học tập cho các em

B PHẦN NỘI DUNG

1 Thực trạng của vấn đề nghiên cứu trước khi áp dụng SKKN.

Do đặc điểm học sinh lớp 12 phải tham dự kỳ thi Trung học phổ thông quốc gia với mục đích xét tuyển vào Đại học, Cao đẳng và tốt nghiệp THPT nên phần lớn học sinh có ý thức trong học tập và mong muốn trang bị những kiến thức cần thiết cho các em tự tin bước vào các kỳ thi Nhằm giúp các em giải tốt các dạng bài tập về Nguyên hàm và tích phân trong chương trình lớp 12

Qua quá trình giảng dạy nhiều năm tôi thấy học sinh thường lúng túng trước một bài toán tích phân, không định được hướng giải quyết phải thử nhiều cách giải, công thức thì nhiều có thể nhầm lẫn, vì thế tôi đã hệ thống một số công thức cơ bản của phép tính vi phân yêu cầu học sinh phải nắm vững và từ đó mở rộng một số công thức khác không cần phải thuộc công thức và đưa một số dạng tích phân cơ bản TrườngTHPT Nguyễn Hoàng có học sinh điểm tuyển đầu vào khá thấp so với các trường trong tỉnh nhưng chất lượng lại không đều, số lượng học sinh yếu hằng năm còn chiếm tỉ lệ trên dưới 8% Với đề tài “Rèn luyện kỹ năng tính nguyên hàm và

tích phân bằng phương pháp vi phân” sẽ giúp học sinh không bị lúng túng trước

một bài toán tìm nguyên hàm và tích phân trong chương trình

3 Các giải pháp đã thực hiện.

I.1 Hệ thống các bài tập, giải pháp phải thể hiện rõ ý tưởng tích cực hoá hoạt động của học sinh.

Quá trình dạy học nhằm tích cực hoá hoạt động học tập của học sinh, dựa trên nguyên tắc phát huy tính tích cực , tự giác, sáng tạo của học sinh Thực chất đó là quá trình tổ chức, hướng dẫn học sinh tìm hiểu, phát hiện và giải quyết vấn đề trên

cơ sở tự giác và được tạo khả năng và điều kiện chủ động trong học tập Tác giả Nguyễn Bá Kim đã chỉ rõ bốn yêu cầu:

- Xác lập vị trí chủ thể của người học, đảm bảo tính tự giác tích cực, sáng tạo của hoạt động học tập

- Dạy học phải dựa trên sự nghiên cứu tác động của những quan niệm và kiến thức sẵn có của người học, nhằm khai thác những mặt thuận lợi, hạn chế những mặt khó khăn, nghiên cứu những chướng ngại hoặc những sai lầm có thể có của kiến thức đó trong quá trình học tập của học sinh

- Dạy học không chỉ là nhằm mục đích là dạy nhứng tri thức,kiến thức , kỹ năng bộ môn mà quan trọng hơn cả là dạy việc học, cách học cho học sinh

- Quá trình dạy học bao gồm cả việc dạy học cách tự học thông qua việc để học sinh tự hoạt động nhằm đáp ứng các nhu cầu của bản thân và của xã hội Nói cách khác, tích cực hoá hoạt động học tập của học sinh là quá trình làm cho người học trở thành chủ thể tích cực trong hoạt động học tập của chính họ

I.2 Hệ thống các biện pháp mang tính khả thi, phù hợp với điều kiện thực tiễn của nhà trường THPT.

Tính khả thi là yếu tố quan trọng nhằm đáp ứng với điều kiện thực tiễn và yêu cầu của dạy học

I.3 Hệ thống các biện pháp phải phù hợp với đặc điểm nhận thức của học sinh

tức là phải đảm bảo tính vừa sức của học sinh.

“Sức” của học sinh, tức là trình độ năng lực của học sinh, nó không phải là cái bất biến mà thay đổi trong quá trình học tập Việc dạy cho học sinh một mặt phải đảm

bảo tính vừa sức để có thể chiếm lĩnh được tri thức, kỹ năng, kỹ xảo nhưng mặt khác

lại đòi hỏi không ngừng nâng cao yêu cầu để phát triển năng lực học sinh Vì vậy, tính

vừa sức ở những thời điểm khác nhau có nghĩa là sự không ngừng nâng cao yêu cầu học tập

I.4 Trong quá trình th ực hiện các biện pháp cần đảm bảo sự thống nhất giữa vai trò ch ủ đạo của thầy với tính tự giác của trò.

Trong quá trình dạy học, thầy và trò cùng hoạt động, nhưng các hoạt động này

có chức năng khác nhau Hoạt động của thầy là thiết kế, điều khiển Hoạt động của trò là học tập tự giác và tích cực Vì vậy, đảm bảo sự thống nhất giữa hoạt động điều khiển của thầy và hoạt động học tập của trò chính là sự thống nhất giữa vai trò chủ đạo của thầy và tính tự giác, tích cực, chủ động, sáng tạo học tập của trò

II NỘI DUNG CỤ THỂ.

II.1 Nhắc lại khái niệm vi phân của hàm số.

Vi phân của hàm số y = f (x) được kí hiệu là dy và cho bởi công thức :

dy = df(x) = y 'dx = f '(x)dx

Ví dụ:

a d(x - 2x + 2) = (x - 2x + 2)'dx = (2x-2)dx2 2

b d(sinx +2cosx) = ( sinx +2cosx)'dx + ( cos -2sinx)dx

☺Chú ý: Từ công thức vi phân trên ta dễ dàng thu được một số kết quả sau:

a d(2x) =2dx dx = d(2x)

2 1

b d(3x) = 3dx => dx = d(3x)

3 1

c x.dx = d 2  = d(x a) = - d( a - x )

2

x

2



2

d x dx = d2 = d(x ) = d( x a ) = - d(a - x )













3

3

x

3

3



3

b

ax

dx

1

b ax

b ax d



 ) (

a

1

b

x

dx

x

f sin( ax+ b) dx = sin (ax + b) d (ax + b) = - d( cos (ax + b) )

a

1

a

1

cos 2x

2

sin

g cos( ax+ b) dx = cos (ax + b) d (ax + b) = d( sin (ax + b) )

a

1

a

1

cos2xdx = d (sin2x + k)



2 1

h eaxb dx = e d(ax+b) = d(e ) e = d(e )

a

1 axb

a

1 axb

2

) (

cos 2 ax b

dx

1

) ( cos

) (

2 ax b

b ax d





a

1 tan(axb)

x

dx

2

1

) (

sin 2 ax b

dx

1

) ( sin

) (

2 ax b

b ax d





a

1 cot(axb)

x

dx

2

1

II.2 Khái niệm về nguyên hàm và tích phân.

+ Cho hàm số f(x) liên tục trên một khoảng (a; b).Hàm F(x) được gọi là

nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng (a; b) nếu F(x) = f(x) và được viết là

Từ đó ta có : = F(x)

 f ( dx x)  f ( dx x)

Nhận xét :

Với C là một hằng số nào đó thì ta luôn có (F(x) + C)' = F'(x) nên ta viết

= F(x) + C khi đó F(x) + C được gọi là một họ nguyên hàm của hàm số

 f ( dx x)

F(x).Với một giá trị cụ thể của C thì ta được một nguyên hàm của hàm số đã cho + Cho hàm số y = f(x) liên tục trên  a b; nếu F (x) là một nguyên hàm của f(x) thì:

f(x)dx F(x) |b a F(b) F(a)

b

a









Định nghĩa trên không phụ thuộc vào kí hiệu biến số dưới dấu tích phân

II.3 Các công thức tìm nguyên hàm.

● Công thức 1: dxxC

☻Chú ý: Mở rộng với hàm số hợp u = u(x) ,ta được du uC

● Công thức 2: + C

1

1



x dx n x

n n

☻Chú ý:

+ Với hàm số hợp u = u(x) , Ta được + C

1

1



u du n u

n n

+ Với n =

-2

u

du C

x x

dx x

dx











2 2

Ví dụ:

a I =x2dx x33 C

b I = x  xdxx dx xdx x x2 C

5 4

4

5 2

2

x x dx x xdx dx

x

x











2 3 1 3 1 2 3

1

2 2

3 2

) 3

1

3

1

) 3 1 ( ) 3 1

C

 2011

) 3 1

x

C x

I x

x d x



























2

1 )

1 2 (

) 1 2 ( 2

1 ) 1 2

(

2

2 2

● Công thức 3: x C

x

dx





☻Chú ý:

+ Với hàm số hợp u = u(x), ta được u C

u

+ I =

1

ln 2

ln

1

dx

x k C

ax b C

dx









Ví dụ:

x

dx dx x dx

x dx x x















4

1 1

3 3

du u



2

2

d x x









x2 3

ln 2x 1

● Công thức 4: sinxdx cosx+C

☻Chú ý:

+ Với hàm số hợp u = u(x) Ta được sinudu cosu+C

+ sin(ax+b)dx=1 sin(ax+b)d(ax+b)=- cos(ax+b)+C1

a

a

2

Ví dụ:

a.I = s inx+ 1 dx =

2x-1

x x

d x

x





=

5

2

x

b I=



Công thức 5: cosxdx sin +Cx

☻Chú ý:

+ Với hàm số hợp u = u(x),ta được cosudu sinu C

+ I = cos(ax+b)dx = 1sin(ax+b)+C cos2xdx=1sin 2

Ví dụ:

a I = osx-sinx+4x-1 osxdx- sinxdx+ 4- 5 =

b I = cos2x+sinx-xdxcos2xdx+ s inxdx- 4- 5 s inx+cosx+4x-5ln x+1

c xdx  dx   c dx x

● Công thức 6: 2 t nx+ C

os

dx

a

c x 



Chú ý:

+ Với hàm số hợp u = u(x) Ta được 2 tan

os

du

u C



+ I = 2 1 (ax+b)2 1tan(ax+b)+C



1 tan 2

dx

x C



Ví dụ:

dx





dx

2

du

c u

● Công thức 7: 2 otx+C

sin

dx

c

x  



☻Chú ý:

+ Mở rộng với hàm số hợp u = u(x),ta được 2 cot

sin

du

u C

u   



+ I = 2 1 (ax+b)2 1cot(ax+b)+C

1 cot 2

dx

x C



Ví dụ:

a I =

6

x

cot(1 3 )

du u



2

2

du u

x d

 

 

● Công thức 8: x x

e dxe C



Chú ý:

+ Mở rộng vói hàm số hợp u = u(x),Ta được u u

e due C



+ ax+b 1 ax+b 1 ax+b

(ax+b)=

a

a

1 2 1 2

x k x k











Ví dụ:

x

 

+ 4.2 1 2 1 1

x

x   e   x xC

= 4 3 2 1

sin(1 3 )

x

e    x C

● Công thức 9:

ln

x

a



☻Chú ý:

+ Mở rộng với hàm số hợp u = u(x) , ta được x u

a dua C



+ a kx m dx 1 a kx m d kx( m) 1a kx m C

Ví dụ:

a I =

a du

x x dx x dx x dx x d x  x d x   I  C

b

x



II.4 Các biểu thức vi phân quan trọng.

xdx d x  d x a   d ax

2 2 1 3 1 3 1 3

x dx d x  d x a   d ax

4 cosxdx = d( sinx) = d ( sinx a) = - d ( a-sinx)

os

dx

sin

dx

2

dx

8 e dx x d e( )x d e( xa)  d a e(  x)

9 dx d(ln )x d(lnx a) d a( ln )x

- Các vi phân khác

) cos

1 ( cos

sin

x d dx x

x





) (

2

a x

x









) (

2

x a

x











)]

[ln(

a x

dx









…

)

1 ( )

1 1

(

x x d dx





Ví dụ 1: Tìm nguyên hàm cúa các hàm số sau:

a I = 1 2 b I = c I =

1

x

dx x



2 10

x x dx

2 3

1

x dx

x 



Hướng dẫn giải:

a.Sử dụng các công thức vi phân :

2

(ln )

x

du

u





Ta có

2

du

d u u C u

b.Sử dụng các công thức vi phân :

2

1

1

n n

x

u

u du d

n







Ta có

2 11

2

x

c.Sử dụng các công thức vi phân :

3

2

x

du

d u u





Ta có

Ví dụ 1.1 Tính các tích phân sau:

2

1

2x 1

x 1

x x







1

x







1 2 1

x









Hướng dẫn giải:

1 1

1





2 2

1 1





c

1 1

2

1 1

31





Ví dụ 2: Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:

a 2 b c

dx I

x





Hướng dẫn giải:

a.Sử dụng các công thức vi phân:

2

1

1

n n

x

u

u du d

n







Ta có

2 3

4

x

b.Sử dụng các công thức vi phân:

(ax+b)=- ( ax)

a du

( )

2 u

a

d u







( ) 2

2

du

d u u



c.Sử dụng các công thức vi phân: 1

n

a u

1

n

a u

du d

n







3

2 6

3

(5 2 )

3

x

x

C





Ví dụ 3: Tìm nguyên hàm và tính tích phân của các hàm số sau:

3

2

5

x

x





dx I





ln x

x



3

1

1 ln x

x

e

x





3

2 1

ln

x





x

Hướng dẫn giải:

a Sử dụng các công thức vi phân :

4

1

1

n

x

d

 





4

4

x d

x



3 2 1

(3 2 )

x dx

x





c.Sử dụng công thức vi phân dx d ln x ta được

9

4

x

3

3

3 2 1 1

e

e

3

1 ln



x

x



Ví dụ 4: Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:

(4 2 )

dx I

x





os x x

c

Hướng dẫn giải:

a.Tacó:

2010 2010



b.Sử dụng các công thức vi phân: osudu=d(sinu)dx

2 x

c

d x







Ta có: 11 os x 2 os x 2 os x ( ) 2 sin

c.Sử dụng các công thức vi phân: osudu=d(sinu)

sinxdx=-d(cosx)

c







Ta có:

3

2 12

osx s inxdx=- (cosx) (

c x

Ví dụ 5: Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:

s inx cos

x

15 sin cos

0

cos (1 sin )

x

x









Hướng dẫn giải:

a.Sử dụng các công thức vi phân: sin ( osu)

osxdx=d(sinx)

udu d c c

 







Ta có :

4 5

sin

s inx osxdx= (sinx) (s inx)

5

u

 

  

 

b.Ta có:

-4



c Sử dụng các công thức vi phân: 1

n

osxdx=d(sinx)

u

1

n

c

u

du d

n









Khi đó ta được

5

u 5

sin

5

u

 

  

 

d Sử dụng công thức vi phân cosx dx = d(1 + sinx) ta có:

2 2

2

1 sin

d

I

x x











Ví dụ 6: Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:

a.I16t anxdx b.I17  sin 4xcos4xdx c 18

s inxdx 1+3cosx

I 

Hướng dẫn giải:

a.Sử dụng các công thức : s inxdx=-d(cosx)du

ln







Ta có 16 t anxdx= sinxdx ( osx) ln osx

d c

b.Ta có: 17 sin 4 os4xdx=1 sin 4 os4xd(4x)=1 sin 4 (sin 4 )

=

3

3 2

.

c.Ta có 18 s inxdx ( osx) 1 (3cos 1) 1ln 1 3cos



Ví dụ 7: Tìn nguyên hàm của các hàm số sau:

(2 5sin )

xdx I

x





osxdx 4sinx-3

c

Hướng dẫn giải:

a.Sử dụng công thức vi phân:

2

osxdx=d(sinx)

c

d







C



b Sử dụng công thức vi phân osxdx=d(sinx)du

2 u

c

d u







Ta được: 20

c.Sử dụng các công thức nguyên hàm cơ bản:

2

2

d c

u









Ta có:

21

c

=

21

Ví dụ 8: Tìm nguyên hàm và tính tích phân của các hàm số sau:

os

c x

tan os

x

c x

os 2

x





cot x

2

2

4

x sin

e

x





0 cos

dx I

x





Hướng dẫn giải:

a.Sử dụng các công thức os2 (t anx)

u udu=

2

dx d

c x

C





