Sáng kiến kinh nghiệm Dạy “thể tích khối đa diện“ ở Trung học Phổ thông

Sáng kiến kinh nghiệm Dạy “thể tích khối đa diện“ ở Trung học Phổ thông SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO LÀO CAI TRƯỜNG THPT SỐ 1 VĂN BÀN S¸ngS¸ng kiÕnkiÕn kinhkinh nghiÖmnghiÖm Tªn ®Ò tµi MéT Sè KINH NGHIÖM D¹Y “THÓ TÝCH KhèI §A DIÖN“ ë TRUNG HäC PHæ TH¤NG m«n to¸n tªn t¸c gi¶ nguyÔn m¹nh hµ gi¸o viªn m«n to¸n chøc vô phã tæ TR¦ëNG chuyªn m«n N¨m häc 2013 – 2014 PHẦN I NHỮNG VẤN ĐỀ CHUNG SangKienKinhNghiem net 1 Lý do chọn đề tài Nhu cầu về hoà nhập với xu thế mới của giáo dục “ Lấy người học làm trung t[.]

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO LÀO CAI

TRƯỜNG THPT SỐ 1 VĂN BÀN

Sáng kiến kinh nghiệm

Tên đề tài :

MộT Số KINH NGHIệM DạY “THể TíCH KhốI ĐA DIệN“

ở TRUNG HọC PHổ THÔNG

môn: toán tên tác giả: nguyễn mạnh hà giáo viên môn: toán

chức vụ: phó tổ TRƯởNG chuyên môn

Năm học: 2013 – 2014

PHẦN I: NHỮNG VẤN ĐỀ CHUNG

1 Lý do chọn đề tài

- Nhu cầu về hoà nhập với xu thế mới của giáo dục: “ Lấy người học làm trung tâm, người học giữ vai trò chủ động, tích cực trong quá trình học tập “

- Những thay đổi của đối tượng được giáo dục:

+ Nhờ vào quá trình đổi mới giáo dục ở THCS nên học sinh đã có vốn kiến thức nhất định

+ Đa số học sinh còn yếu trong việc xác định quy trình giải toán, hệ thống hoá và nhớ các công thức Đa số học sinh gặp khó khăn trong việc lĩnh hội các kiến thức về hình học không gian

+ Việc sử dụng máy tính cầm tay vào giải toán ở đa số học sinh còn yếu

2 Quan điểm chỉ đạo

- Giáo dục THPT phải củng cố, phát triển những nội dung đã học ở THCS, hoàn thành nội dung giáo dục phổ thông

- Phương pháp giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo của học sinh, phù hợp với đặc điểm từng lớp học, môn học bồi dưỡng phương pháp tự học, rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn, tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho học sinh

3 Mục tiêu của đề tài

a Mục tiêu tổng quát

- Củng cố và phát triển những kết quả mà học sinh đã có ở THCS, nâng cao chất lượng môn Toán ở trường THPT số 1 Văn Bàn

b Mục tiêu cụ thể

- Đưa ra một số kinh nghiệm truyền đạt các kiến thức cho học sinh với yêu cầu cơ bản là: chủ yếu tập trung vào việc thực hành giải toán và để ý việc dùng máy tính cầm tay

- Góp phần nâng cao chất lượng giảng dạy và học tập môn Toán của các lớp

mà bản thân tôi phụ trách giảng dạy

4 Đối tượng nghiên cứu

- Tài liệu chuẩn kiến thức kỹ năng do Bộ Giáo dục và Đào tạo phát hành

- Thực tế các giờ dạy của bản thân, dự giờ thăm lớp các đồng nghiệp

5 Phạm vi nghiên cứu: Trong trường THPT số 1 Văn Bàn và trao đổi với

các giáo viên trường bạn

6 Phương pháp nghiên cứu

- Tổng hợp, phân tích, đánh giá, dự đoán

- Thống kê, hệ thống hóa

PHẦN II: NỘI DUNG

1 Thực trạng dạy học môn Toán ở trường THPT số 1 Văn Bàn

a Cơ sở lý thuyết

* Về phương pháp dạy học

- Thầy là người tổ chức, kích thích, hướng dẫn, giảng giải, giúp đỡ

- Trò chủ động, hưng phấn, tự giác suy nghĩ, lao động nhiều hơn, thực hành nhiều hơn Từ đó có nhu cầu học tập mạnh mẽ, năng động, sáng tạo

* Về cách thể hiện các kiến thức phần “Thể tích khối đa diện” của sách giáo

khoa:

- Giảm tối đa tính hàn lâm trong việc trình bày các kiến thức

- Trong chừng mực cho phép, giảm nhẹ yêu cầu đối với tính chặt chẽ, chính xác toán học

- Tránh áp đặt kiến thức cho học sinh

- Tránh cho học sinh có cảm giác nặng nề, nhàm chán trong các tiết học

- Giúp học sinh nắm bắt, hiểu, củng cố các kiến thức thông qua việc tìm hiểu các ứng dụng của những kiến thức đó trong khoa học, cũng như trong thực tiễn cuộc sống

- Thông qua việc tiếp thu kiến thức, giúp học sinh phát triển tư duy, hình thành thẩm mỹ toán học

- Hỗ trợ tích cực cho giáo viên trong việc đổi mới phương pháp giảng dạy

b Cơ sở thực tiễn

- Thuận lợi:

+ Bản thân được trang bị đầy đủ kiến thức về bộ môn, được sự quan tâm, giúp đỡ của đồng nghiệp

+ Học sinh: Đa số học sinh nỗ lực trong quá trình học tập; tiếp nhận nhanh phương pháp giảng dạy mới

- Khó khăn:

+ Giáo viên: Còn lúng túng trong cách truyền đạt kiến thức cho học sinh yếu + Học sinh: Một phần nhỏ chưa có ý thức chuẩn bị bài tập ở nhà; Còn lạm dụng sách tham khảo hay sử dụng sách tham khảo chưa đúng cách

2 Một vài kinh nghiệm dạy "Thể tích khối đa diện" ở Trung học phổ thông.

2.1 Kiến thức học sinh cần nhớ khi học "Thể tích khối đa diện"

2.1.1 Hệ thức lượng trong tam giác vuông:

Cho tam giác ABC vuông tại A, ta có:

a) Định lí Pytago: 2 2 2

b) 2

,

.

c) AB AC BC AH.

d) 1 2 12 12

e) sinB b; cosB c; tanB b; cotB c

sinC c; cosC b; tanB c; cotB b

2.1.2 Hệ thức lượng trong tam giác thường:

a) Định lí Cosin:

2 2 2

2 2 2

2 2 2

2 cos

2 cos

2 cos

b) Định lí Sin:

sin sin sin

R

(R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC)

2.1.3 Các công thức tính diện tích

a) Công thức tính diện tích tam giác:

S 1 . 1 . 1 .

2a h a 2b h b 2c h c

1 .sin 1 .sin 1 .sin

R

 

- Đặc biệt:

+ Tam giác ABC vuông tại A: 1

2

+ Tam giác ABC đều cạnh a: 2 3

4

a

b) Diện tích hình vuông: S = cạnh x cạnh

c) Diện tích hình chữ nhật: S = dài x rộng

d) Diện tích hình thoi: S = chéo dài x chéo ngắn

e) Diện tích hình thang: S = 1

2.(đáy lớn + đáy nhỏ) x chiều cao

a

H B

A

C

g) Diện tích hình bình hành: S = đáy x chiều cao

h) Diện tích tứ giác có hai đường chéo x, y vuông góc: 1

2

h) Diện tích hình tròn: 2

.

2.1.4 Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng

Ta tìm hai điểm chung của hai mặt phẳng Khi đó đường thẳng nối hai điểm chung là giao tuyến của hai mặt phẳng Ta thường tìm hai đường thẳng a, b đồng phẳng lần lượt nằm trong hai mặt phẳng và giao điểm M (nếu có) của hai đường thẳng này chính là một điểm chung của hai mặt phẳng

2.1.5 Tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng

Muốn tìm giao điểm A của đường thẳng d và mặt phẳng (P), ta cần khéo léo chọn một mặt phẳng (Q) chứa d sao cho giao tuyến a của (P) và (Q) dễ xác định Trong mặt phẳng (Q), đường thẳng d cắt a tại A (nếu có) Đó chính là giao điểm cần tìm

2.1.6 Chứng minh ba điểm thẳng hàng, chứng minh ba đường thẳng đồng

quy

- Muốn chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng ta chứng minh A, B, C là ba điểm chung của hai mặt phẳng phân biệt (P) và (Q) Khi đó A, B, C nằm trên giao tuyến của chúng

- Muốn chứng minh ba đường thẳng a, b, c đồng quy ta chứng minh hai trong

ba đường thẳng đó cắt nhau và giao điểm của chúng nằm trên đường thẳng còn lại (thông thường lại đưa về bài toán chứng minh ba điểm thẳng hàng)

2.1.7 Tìm thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (P)

B1: Tìm hai điểm chung của mặt phẳng (P) với từng mặt của hình chóp ta được các đoạn giao tuyến

B2: Nối các đoạn giao tuyến ta được một đường gấp khúc khép kín là đa giác cần tìm

2.1.8 Chứng minh đường thẳng a song song với đường thẳng b

C1: Chứng minh a, b đồng phẳng rồi áp dụng các phương pháp chứng minh trong hình học phẳng

C2: Chứng minh a, b cùng song song với một đường thẳng thứ 3

C3: Áp dụng định lí về giao tuyến: Nếu hai mặt phẳng phân biệt lần lượt chứa hai đường thẳng song song thì giao tuyến (Nếu có) của chúng song song với hai đường thẳng ấy

2.1.9 Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (S/d quan hệ song song)

- Tìm một điểm chung của hai mặt phẳng

- Tìm phương của giao tuyến (Biết giao tuyến song song với một đường thẳng đã cho)

Khi đó giao tuyến là đường thẳng đi qua điểm chung và song song với đường thẳng đã cho

2.1.10.Chứng minh đường thẳng d song song với mặt phẳng (P)

Chứng minh d không nằm trong (P) và song song với đường thẳng a nằm trong (P)

(Quay về bài toán chứng minh 2 đường thẳng song song)

2.1.11 Chứng minh hai mặt phẳng song song

Chứng minh mặt phẳng này chứa hai đường thẳng cắt nhau lần lượt song song với mặt phẳng kia

2.1.12 Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Muốn chứng minh đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P) ta thường dùng một trong hai cách sau:

C1: Chứng minh d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong (P) C2: Chứng minh d song song với đường thẳng a và a vuông góc với mp(P)

2.1.13 Chứng minh hai đường thẳng vuông góc với nhau

Muốn chứng minh đường thẳng a vuông góc với đường thẳng b ta thường dùng các cách sau:

C1: Chứng minh đường thẳng này vuông góc với mặt phẳng chứa đường thẳng kia

C2: Nếu hai đường thẳng đó cắt nhau thì ta có thể áp dụng các phương pháp chứng minh vuông góc đối với hai đường thẳng đã được học trong hình học phẳng

C3: Dùng định lí ba đường vuông góc (Nếu vuông góc với hình chiếu thì muông góc với đường xiên và ngược lại)

2.1.14 Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc

C1: Chứng minh mặt phẳng này chứa một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng kia

C2: Chứng minh góc giữa hai mặt phẳng bằng 900 hay góc phẳng nhị diện do hai mặt phẳng đó tạo nên bằng 900

2.1.15 Xác định đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau

C1: Nếu a và b vuông góc với nhau thì:

- Dựng mặt phẳng (P) chứa a và vuông góc với b tại B

- Dựng tại A Đoạn AB là đoạn vuông góc chung

C2: Cho a và b chéo nhau

- Dựng mp(P) chứa a, song song với b

- Chọn M trên b dựng tại M'

- Từ M' dựng b'//b cắt a tại A

- Từ A dựng AB//M'M cắt b tại B

Đoạn AB là đoạn vuông góc chung

BAa

' ( )

P

a b

B A

P

b

a

M

M' B

A

C3: Cho a và b chéo nhau

- Dựng mặt phẳng tại O, (P) cắt b tại I

- Dựng hình chiếu vuông góc b' của b trên (P)

- Dựng trong (P) đường

- Từ H, dựng đường thẳng song song với a cắt b tại B

- Từ B dựng đường thẳng song song với OH, cắt a tại A

Đoạn AB là đoạn vuông góc chung của a và b

2.1.16 Góc giữa hai đường thẳng a và b: là góc giữa hai đường thẳng a’ và

b’ cùng đi qua một điểm và lần lượt cùng phưng với a và b

2.1.17 Góc giữa đường thẳng a không vuông góc với mặt phẳng (P): là góc giữa a và hình chiếu a’ của nó trên (P)

2.1.18 Góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q): là góc giữa hai đường thẳng lần

lượt vuông góc với hai mặt phẳng đó,

Hoặc là góc giữa hai đường thẳng lần lượt nằm trong hai mặt phẳng cùng vuông góc với giao tuyến của chúng tại một điểm

2.1.19 Thể tích khối chóp:

1 .

3

V  B h (B là diện tích đáy, h là chiều cao)

2.1.20 Tỉ số thể tích tứ diện:

Cho khối tứ diện SABC A’, B’, C’

là các điểm tùy ý lần lượt thuộc

SA, SB, SC Ta có:

' ' '

.

S A B C

S ABC

2.1.21 Thể tích khối lăng trụ:

V B h.

(B là diện tích đáy, h là chiều cao)

-Đặc biệt:

+ Thể tích khối hộp chữ nhật: V a b c . (a, b, c là ba kích thước)

+ Thể tích khối lập phương: 3

V a (a là độ dài cạnh)

( )P a

'

OH b

P

a

b'

b A

O

I H B

2.2 Kinh nghiệm dạy bài tập ”Thể tích khối đa diện”

2.2.1.Phương pháp

a) Cách xác định đường cao của khối đa diện

- Đường thẳng qua đỉnh và vuông góc với mặt đáy

- Giao tuyến của hai mặt phẳng phân biệt cùng chứa đỉnh và vuông góc với

đáy

- Nếu mặt phẳng (P) đi qua đỉnh, vuông góc với đáy theo giao tuyến  thì trong mặt phẳng (P), kẻ đường thẳng qua đỉnh và vuông góc với  sẽ được đường cao của khối chóp

- Cho hình chiếu vuông góc của đỉnh lên mặt đáy thì đoạn nối đỉnh và hình chiếu của nó là đường cao

- Khối chóp có các cạnh bên bằng nhau hoặc tạo với đáy những góc bằng nhau (ít nhất 3 cạnh bên) thì chân đường cao là tâm đường tròn ngoại tiếp của đa giác đáy

- Khối chóp có các mặt bên (ít nhất 3 mặt bên) cùng tạo với đáy góc bằng nhau thì chân đường cao là tâm đường tròn nội tiếp đa giác đáy

- Khối chóp có hai mặt bên kề nhau và cùng tạo với đáy những góc bằng nhau thì chân đường cao nằm trên đường phân giác góc của đỉnh chung, nằm trong mặt phẳng đáy

- Với khối lăng trụ ta lấy một đỉnh kết hợp với đáy đối diện ta cũng được một khối chóp sau đó việc xác định chân đường cao cũng dựa theo các hướng trên

- Cho điểm A và mặt phẳng (P) Đường thẳng d chứa A và d/ /( )P thì khoảng cách từ A đến (P) bằng khoảng cách từ điểm M bất kỳ trên d đến (P)

- Nếu có mặt phẳng (Q) chứa A và song song với (P) thì khoảng cách từ A đến (P) bằng khoảng cách từ điểm M bất kỳ trên (Q) đến (P)

b) Tính thể tích bằng cách sử dụng công thức tỉ số thể tích:

- Tính thể một khối đa diện, ta không tính trực tiếp nó mà thông qua một khối trung gian Sau đó tìm tỉ số thể tích giữa khối đa diện cần tính và khối đa diện trung gian Từ thể tích khối trung gian ta suy ra thể tích của khối đa diện cần tính

- Nếu hai khối chóp có cùng diện tích đáy thỡ tỉ số thể tích bằng tỉ số hai đường cao tương ứng

- Nếu hai khối chóp có cùng độ dài đường cao thì tỉ số thể tích bằng tỉ số hai diện tích đáy

- Cho khối tứ diện SABC A’, B’, C’ là các điểm tùy ý lần lượt thuộc SA,

SB, SC Ta có:

' ' '

.

.

S A B C

S ABC

c) Tính thể tích bằng phương pháp tọa độ:

Hình lập phương hoặc hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D'

Với hình lập phương,

Chọn hệ trục tọa độ sao cho :

(0; 0; 0) ; ( ; 0; 0) ; ( ; ; 0) ; D(0; ;0)

'(0; 0; ) ; '( ; 0; ) ; '( ; ; ) ; D'(0; ; )

Với hình hộp chữ nhật,

Chọn hệ trục tọa độ sao cho :

(0; 0; 0) ; ( ; 0; 0) ; ( ; ; 0) ; D(0; ;0)

'(0; 0; ) ; '( ; 0; ) ; '( ; ; ) ; D'(0; ;c)

D

C B

C'

A'

B'

D'

A

Hình hộp đáy là hình thoi ABCD.A'B'C'D'

Chọn hệ trục tọa độ sao cho :

- Gốc tọa độ trùng với giao điểm O

của hai đường chéo của hình thoi

ABCD

- Trục Oz đi qua 2 tâm của 2 đáy

x

y

z

D

C B

C'

A'

B'

D'

A

Hình chóp tứ giác đều S.ABCD

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ

Giả sử cạnh hình vuông bằng a và

đường cao SOh

Chọn O(0;0;0) là tâm của hình vuông





























2

2

; 0

; 0

; 2

C

a A

0; ; 0 ; 0; ; 0 ; (0; 0; )



D

C

A O S

x

y z

Hình chóp tam giác đều S.ABC

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ

Giả sử cạnh tam giác đều bằng a và

đường cao bằng h Gọi I là trung

điểm của BC

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ

sao cho I(0;0;0)

Khi đó : 2; 0; 0 ; 2; 0; 0

0; ; 0 ; S 0; ;

Hình chóp S.ABCD có ABCD là hình chữ nhật và SA (ABCD)

ABCD là hình chữ nhật

;

chiều cao bằng h

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao

cho A(0;0;0)

Khi đó : B a ; 0; 0 ;  C a b; ; 0

D0; ; 0 ; (0; 0; )b  S h

Hình chóp S.ABC có ABCD là hình thoi và SA (ABCD)

ABCD là hình thoi cạnh a

chiều cao bằng h

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao

cho O(0;0;0)

B

H

C A

I S

x

y z

B

D

C

A

O S

x

y z

B

D

C

A

O S

x

y z

Hình chóp S.ABC có SA (ABC) và  ABC vuông tại A

Tam giác ABC vuông tại A có

;

ABa ACb đường cao bằng h

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ

sao cho A(0;0;0)

Khi đó : B a ; 0; 0 ; C 0; ; 0  b 

S 0; 0; h 

Hình chóp S.ABC có SA (ABC) và  ABC vuông tại B

Tam giác ABC vuông tại B có

;

BAa BCb đường cao bằng h

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ

sao cho B(0;0;0)

Khi đó : A a ; 0; 0 ; C 0; ; 0  b 

Sa; 0;h

Hình chóp S.ABC có (SAB) (ABC),  SAB cân tại S

và  ABC vuông tại C

 ABC vuông tại C CAa CB; b

chiều cao bằng h

H là trung điểm của AB

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao

cho C(0;0;0)

Khi đó : A a ; 0; 0 ; B 0; ; 0  b 

( ; ; )

2 2

a b

B

C A

S

x y z

z

B

C A

S

B C

S

z

Hình chóp S.ABC có (SAB) (ABC),  SAB cân tại S

và  ABC vuông tại A

 ABC vuông tại A ABa AC; b

chiều cao bằng h

H là trung điểm của AB

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao

cho A(0;0;0)

Khi đó : B a ; 0; 0 ; C 0; ; 0  b 

(0; ; )

2

a

Hình chóp S.ABC có (SAB) (ABC),  SAB cân tại S

và  ABC vuông cân tại C

Tam giác ABC vuông cân tại C có

CACBa đường cao bằng h

H là trung điểm của AB

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ

sao cho H(0;0;0)

Khi đó : ; 0; 0 ; A 0; ; 0

B 0; ; 0 ; S 0; 0; 

2

a

h

Diện tích tam giác ABC: 1

, 2

S  AB AC 

 

Thể tích tứ diện ABCD: 1

  

Thể tích khối hộp ABCD.A’B’C’D’: V   AB AD AA,   '

  

B

H

C A

H S

x y z

B C

A

S

x y

z

2.2.2 Các dạng toán

Loại I: Thể tích khối chóp

Dạng 1: Khối chóp có một cạnh bên vuông góc với đáy

Ví dụ 1:

Cho hình tứ diện ABCD có cạnh

AD vuông góc với mặt phẳng (ABC),

ngoài ra AD = AC = 4a; AB = 3a; BC =

5a Tính thể tích khối chóp tứ diện

ABCD theo a và tính khoảng cách từ A

đến (BCD)

A

B

C D

M H

Giải

* Tính thể tích khối chóp tứ diện ABCD theo a

Vì AD = AC = 4a; AB = 3a; BC = 5a

Suy ra ABC là tam giác vuông tại A

3

V  AD S  a a a a

* Tính khoảng cách từ A đến (BCD)

Dựng AM BC tại M và dựng AH  DM tại H





Suy ra AH DBCd A DBC ,   AH

Ta có 1 2 1 2 1 2 12 12 12 12 12 12

AH  AD  AM  AD  AB  AC  a  a  a 6 34

17

a AH

Vậy     6 34

,

17

a

Ví dụ 2:

Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông cân đỉnh B, AB = a, SA vuông góc với mặt phẳng (ABC); mp(SBC) tạo với mp(ABC) một góc 0

45 Gọi G

là trọng tâm tam giác ABC Tính thể tích khối chóp S.BCG và tính khoảng cách từ điểm G đến mp(SBC) theo a