Sáng kiến kinh nghiệm Giải một số bài toán hình học không gian bằng phương pháp véc tơ

Sáng kiến kinh nghiệm Giải một số bài toán hình học không gian bằng phương pháp véc tơ SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM GV Dương Công Huân 1 I THÔNG TIN CHUNG VỀ SÁNG KIẾN 1 Tên sáng kiến “GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN BẰNG PHƯƠNG PHÁP VÉC TƠ ” 2 Lĩnh vực áp dụng sáng kiến Giảng dạy môn Toán – Hình học 11 3 Tác giả Họ và tên Dương Công Huân Giới tính Nam Ngày tháng năm sinh 18/01/1985 Trình độ chuyên môn Thạc sỹ Toán Chức vụ, đơn vị công tác tổ Toán – Tin 4 Đồng tác giả Không 5 Chủ đầu tư tạo ra[.]

I THÔNG TIN CHUNG VỀ SÁNG KIẾN

1 Tên sáng kiến:

“GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN BẰNG PHƯƠNG PHÁP VÉC TƠ ”.

2 Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Giảng dạy môn Toán – Hình học 11

3 Tác giả:

Họ và tên: Dương Công Huân Giới tính: Nam

Ngày tháng n ăm sinh: 18/01/1985

Trình độ chuyên môn: Thạc sỹ Toán

Chức vụ, đơn vị công tác: tổ Toán – Tin

4 Đồng tác giả: Không

5 Chủ đầu tư tạo ra sáng kiến: Không

6 Đơn vị áp dụng sáng kiến

7 Thời gian áp dụng sáng kiến lần đầu:

II BÁO CÁO MÔ TẢ SÁNG KIẾN

1 Tên sáng kiến:

“GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN BẰNG PHƯƠNG PHÁP VÉC TƠ ”.

2 Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Giảng dạy môn Toán – Hình học 11

3 Mô tả bản chất sáng kiến

3.1 Tình trạng giải pháp đã biết:

* Thực trạng của việc học môn toán, giải bài tập toán của học sinh THPT.

* C ơ sở của việc nghiên cứu: từ thực trạng của việc dạy và học chương “Véctơ trong không gian Quan hệ vuông góc trong không gian ” ở phân môn Hình học

* Về chương trình: Hình học 11

3.1.1 Đặt vấn đề:

Một trong các nhiệm vụ cơ bản của chương trình hình học cải cách giáo dục phổ thông là

“Bồi dưỡng kỹ năng vận dụng phương pháp véctơ vào việc nghiên cứu một số hình hình học, một

số quan hệ hình học Việc sử dụng vectơ để giải bài toán hình học” Chính vì vậy việc giáo viên hướng dẫn học sinh sử dụng phương pháp vectơ để giải bài toán là cần thiết và phù hợp với xu thế cải cách giáo dục hiện nay

Mặt khác khi đứng trước một bài toán hình học không gian thì học sinh mới chỉ dùng phương pháp hình học tổng hợp (lớp 11) để giải mà chưa nghĩ đến việc dùng phương pháp véctơ để giải chúng Vì lí do trên tôi chọn đề tài :

“GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN BẰNG PHƯƠNG PHÁP VÉC TƠ ”.

3.1.2 Cơ sở lý luận:

Các yêu cầu cơ bản khi giải bài toán hình học không gian

bằng phương pháp véc tơ

Học sinh cần nắm chắc được một số định lí: Định lí về hai véctơ cùng phương; Định lí về phân tích một vectơ theo hai vectơ không cùng phương trong mặt phẳng; Định lí về phân tích một vectơ theo ba vectơ không đồng phẳng trong không gian

Học sinh cần có kỹ năng biến đổi các biểu thức véc tơ, phân tích véc tơ theo hệ véc tơ cho trước và ghi nhớ một số bài toán cơ bản

KIẾN THỨC CƠ BẢN a) Định nghĩa véctơ:

+) Véctơ AB là đoạn thẳng có hướng trong đó điểm A là điểm đầu; B là điểm cuối

+) Cho 2 điểm A, B bất kì ta có 2 véctơ AB và BA

+) Khi A trùng B ta có véctơ không AA0

b) Tính chất:

1)



































|

|

|

|

|

|

|

CD AB

CD AB

CD AB

CD AB

CD AB

2) Với 3 điểm A, B, C ta có: ABBC  AC;ABAC CB

3) ABCD là hình bình hành: ABAD AC;AB DC

4) M AB  M, A, B thẳng hàng  MAk MB và với điểm O bất kì:

k

OB k OA OM





 1

5) M là trung điểm của AB  MA  MB0 và với điểm O bất kì:

2

OB OA



6) G là trọng tâm của tam giác ABC GAGBGC0và

3

OC OB OA

7) G là trọng tâm của tứ giác ABCD hoặc tứ diện ABCD ta có:

0







GB GC GD

4

OD OC OB OA



8)





























a k b

a b k

a b k a k

: 0

9) ab  a  b;ab  a  b

10) Nếu a;b0và không cùng phương thì  :!c cx a y bvà x a y b0 x y0 11) a.b|a|.|b|cos(a,b);aba.b0

12) a,b;c0và không đồng phẳng trong không gian thì  :!d d x a y bz c

A

C D

O

A

B

B

3.2 Nội dung giải pháp:

3.2.1.Quy trình chung để giải bài toán hình học không gian

bằng phương pháp véctơ

Bước 1.Lựa chọn một số véctơ mà ta gọi là “ hệ véctơ cơ sở’’; “phiên dịch” các giả thiết, kết luận của bài toán hình học không gian đã cho ra “ngôn ngữ” véctơ

Bước 2 Thực hiện các yêu cầu của bài toán thông qua việc tiến hành các phép biến đổi các hệ thức véctơ theo hệ vectơ cơ sở.

Bước 3 Chuyển các kết luận vectơ sang các tính chất hình học không gian tương ứng

3.2.2 Một số dạng toán sử dụng phương pháp

Dạng 1 Phần quan hệ song song

Bài toán 1 Hai đường thẳng phân biệt AB và CD song song với nhau khi và chỉ khi

ABkCD

 

.

Bài toán 2 Cho hai vé tơ , a b 

không cùng phương thuộc mặt phẳng (P), AB không thuộc (P) Khi đó :AB//(P) ABxayb.

Bài toán 3 Cho hai mặt phẳng phân biệt ( ABC) và (MNP).

(ABC) / / MNP AB xMN yMP

AC x MN y MP



 



  

  

Ví dụ 1 Cho lăng trụ tam giác ABC.A1B1C1 Giả sử M, N, E, F lần lượt là trọng tâm của các tam giác AA1B1, A1B1C1, ABC, BCC1 Chứng minh : MN // EF

Lời giải:

Bước1:Chọn hệ véc tơ cơ sở

AA1 a AB , b AC , c

Theo bài ra:

+M là trọng tâm của tam giác AA1B1:

1( 1 1)

3

AM  AA AB

  

(1) +N là trọng tâm của tam giác A1B1C1:

1( 1 1 1)

3

AN  AA AB AC

   

(2) +E là trọng tâm của tam giác ABC:

1( )

3

AE ABAC

  

(3) +F là trọng tâm của tam giác BCC1:

1( 1)

3

AF  ABACAC

   

(4) + MN/ /EF MNk EF

B 1

B

E

F M

N

Bước 2: Biến đổi các biểu thức véc tơ

3

MN  ANAM  a c

    

(5) Từ (3), (4): 1 

3

EF  AFAE a c

    

(6)

Từ (5), (6): MN EF (7)

Bước 3: Chuyển ngôn ngữ véc tơ sang ngôn ngữ hình học không gian Từ (7) : MN // EF.

Ví dụ 2 Cho hình hộp ABCD.A1B1C1D1.Giả sử M, N lần lượt là trung điểm các cạnh AA1, B1C1 Chứng minh: MN // (DA1C1)

Lời giải:

Bước 1: Chọn hệ véc tơ cơ sở

DAa DC , c DD , 1b

+ M là trung điểm AA1:  1

1 2

DM  DA DA

  

(1) + N là trung điểm B1C1:  1 1

1 2

DN  DB DC

  

(2)

+MN / / DA C  1 1 MNxDC1yDA1 (3)

Bước 2: Biến đổi các biểu thức véc tơ

2 2

MN DNDM   a c b

     

1 

2 c a c b

      

A 1

D1

C B

N

M

Suy ra: 1 1 1

2

MN DC  DA

  

(4)

Bước 3: Chuyển ngôn ngữ véc tơ sang ngôn ngữ hình học không gian Từ (4) : MN // (DA1C1)

Ví dụ 3 Cho lăng trụ tam giác ABC.A1B1C1 Gọi M, N lần lượt là trung điểm các cạnh AA1, CC1

và G là trọng tâm của tam giác A1B1C1

Chứng minh: (MGC1) // (AB1N)

Lời giải:

Bước 1: Chọn hệ véc tơ cơ sở

AA1 a AB , b AC , c

+ M là trung điểm AA1: 1 1

2

AM  AA

 

(1) + N là trung điểm CC1:  1

1 2

AN  ACAC

  

(2) + G là trọng tâm của tam giác A1B1C1:

1( 1 1 1)

3

AG AA AB AC

   

(3)

(MGC ) / / ABN MG x AB y AN

MC x AB y AN



 



  

   (4)

G

A

B 1

B

C

N M

Bước 2: Biến đổi các biểu thức véc tơ

Ta có:

(5)

1 ( ) (6) 2

MG x AG y AM x y a xb yc

     

Từ (5) và (6) , do , ,a b c  

không đồng phẳng nên ta có:

1

3

1

3

x

y

  





 





 



1

(7)

     

Ta có:

 

(8)

1 (9) 2

       

    

Từ (8) và (9): MC1 AN (10)

Bước 3: Chuyển ngôn ngữ véc tơ sang ngôn ngữ hình học không gian

MG//mp(AB )

  

(11)

Từ (10) :MC1 AN MC1/ /mp AB N( 1 ) (12)

Từ (11) và (12) :mp MGC( 1) / /mp AB N ( 1 )

Bài tập vận dung

Bài 1 Cho hình hộp ABCD.A 1 B 1 C 1 D 1 Giả sử E là tâm của mặt ABB 1 A 1 ; N, I lần lượt là trung điểm của CC 1 và CD Chứng minh : EN//AI.

Bài 2 Cho lăng trụ tam giác ABC.A 1 B 1 C 1 Giả sử M, N lần là trọng tâm các tam giác ABA 1 và ABC Chứng minh : MN//(AA 1 C 1 ).

Bài 3 Cho lăng trụ tam giác ABC.A 1 B 1 C 1 Giả sử M, N, E lần lượt là trung điểm BB 1 , CC 1 , AA 1

G là trọng tâm tam giác A 1 B 1 C 1.

Chứng minh:

1 (MGC 1 )//(BA 1 N)

2 (A 1 GN)//(B 1 CE).

Dạng 2 Phần góc và khoảng cách

Bài toán 4 Góc giữa hai đường thẳng AB và CD được tính theo công thức:

os .

AB CD c

AB CD



 

 

A

AB AB  B

Bài toán 6 Cho điểm M và đường thẳng l có véctơ chỉ phương a, điểm A thuộc l Tính khoảng cách từ M đến l.

Phương pháp giải:

Đặt AM m, gọi N là hình chiếu của M lên l.

Khi đó: MN AN AM xa m     và MN a xa m a    0

Khoảng cách cần tìm :  2

MN  xa m

  

giữa MA và (ABC).

Phương pháp giải:

Đặt AM m,ABa AC , b, gọi N là hình chiếu của M lên (ABC).

Khi đó : MN AN AM xa yb m     

Do MN (ABC) nên ( ) 0

xa yb m a

xa yb m b







   

   

Khi cho biết x,y ta tìm được khoảng cách từ M đến (ABC) bằng  2

xayb m .Nếu

0

xayb thì góc giữa AM và (ABC) bằng góc giữa m và xayb, còn xayb0 thì AM

 (ABC).

Bài toán 8 Cho đường thẳng chéo nhau, d 1 đi qua A 1 và có véc tơ chỉ phương a1

; đường thẳng

d 2 đi qua A 2 và có véc tơ chỉ phương a2

Tính khoảng cách và góc giữa hai đường thẳng trên.

Phương pháp giải:

+ Góc giữa hai đường thẳng : 1 2

1 2

os

a a c

a a

 

 

 

+Đoạn vuông góc chung P 1 P 2 ( P 1 thuộc d 1 , P 2 thuộc d 2 ), khi đó:P P1 2 xa 1 m ya2 Do

1 2 1

1 2 2

,

P P a

x y

P P a







 

  Khoảng cách cần tìm: 2

P P  xa  m ya

   

Ví dụ 4

Cạnh đáy của lăng trụ tam giác đều ABC.A1B1C1 bằng a, các điểm O và O1 tương ứng trọng tâm của các dáy ABC và A1B1C1.Độ dài hình chiếu của đoạn thẳng AO1 trên đường thẳng

B1O bằng 5

4

a

.Hãy tính đường cao của lăng trụ

Lời giải:

Chọn hệ véc tơ cơ sở AA1 m AB , n AC , p

Giả sử h m 

Ta có:

1

3

      

     

Suy ra:

2 2

2 2

1

3

h a

h a







 

 

Vì: 1 os =5

4

a

AO c 



nên

2 2

h

h a



B

B1

A1 C1

M

O

N

O1

Ví dụ 5

Đáy của hình chóp S.ABC là tam giác đều ABC với cạnh bằng 1, cạnh SA vuông góc vuông góc với đáy, SA 3 Mặt phẳng   song song với các đường thẳng SB và AC, mặt phẳng   song song với các đường thẳng SC và AB Tính giá trị của góc giữa hai mặt phẳng

  và  

Lời giải:

Chon hệ véc tơ cơ sở

ASa AB , b AC , c

Giả sử ,m n 

là các véc tơ bất kì khác

0

,

tương ứng vuông góc hai mặt phẳng

  và   ,

còn  góc hai mặt phẳng   và  

Thế thì: os .

m n c

m n



 

 

Đặt m xa yb zc   

S

B

b c xa yb zc

SB m m

AC m c xa yb zc



 



     

23

1

2 0

2

y

 



  

Số phương trình bé hơn số ẩn, điều đó chứng tỏ m  không được xác định duy nhất

Chọn z   1 x 1,y nên 4 m a 4b2c là một trong các véc tơ vuông góc với  

     



 

 

Chọn :u   2 v 4,t 1 n  a 2b4c Khi đó : os . 1

5

m n c

m n

 

 

Bài tập vân dụng.

Bài 1 Cho tứ diện ABCD có AB=CD=a, CA=BD=b, AD=BC=c Tính cosin của góc giữa các cạnh đối diện.

Bài 2 Cho lăng trụ đứng tam giác ABC.A 1 B 1 C 1 có BC=a, AC=b, Ab=c, AA 1 =h Tính cosin của góc: 1.Giữa AB 1 và BC 1

2.Giữa AB và B 1 C.

Bài 3 Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB=a, BC=b, CC’=c Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BC’ và CD’.

Bài 4 Cho tứ diện đều SABC cạnh bằng 1 BD là đường cao của tam giác ABC Tam giác đều BDE nằm trong mặt phẳng tạo với cạnh AC góc  , biết rằng các điểm S và E nằm về một phía đối với mặt phẳng (ABC) Tính SE.

Dạng 3 Phần quan hệ vuông góc

Bài toán 9 Hai đường thẳng phân biệt AB và CD vuông góc với nhau khi và chỉ khi  AB CD 0 Bài toán 10 Cho hai , a b 

không cùng phương thuộc mặt phẳng (P), AB không thuộc (P)

Khi đó :AB  (P) . 0

0

AB a

AB b



 





 

  .

Ví dụ 6

Cho hình lập phương ABCD.A1B1C1D1 M và N là các điểm thuộc các đường chéo BA1

và CB1 sao cho:

,

MA  NB  Chứng minh rằng: MN BA MN1, CB1

Lời giải:

Chọn hệ véc tơ cơ sở BAa BB , 1b BC , c

Khi đó: a  b  c a a b;  c b  a c  0

Theo bài ra :

 

 

1 1

1 1

BM

MA

CN

NB

   

   

A 1

B 1

A

B

C D

M

N

Mặt khác:

1 2 3 1 3

    

     

Do đó:

1

3 1

3

      

      

Ví dụ 7

Cho hình hộp ABCD.A1B1C1D1 có các mặt là các hình thoi bằng nhau Các góc phẳng của góc tam diện đỉnh A1bằng nhau

Chứng minh rằng: A C1 (AB D1 1)

Lời giải:

Chọn hệ véc tơ cơ sở A A1 a A B , 1 1 b A D , 1 1c

Theo giả thiết : AA1D1 D1A1B1 AA1B1 

Gọi m là độ dài cạch hình hộp

Ta có:

 

(1)

A C a b c A C AB a b c b a

A C AB

          

 

 

(2)

A C AD a b c c a

A C AD

      

 

Từ (1) và (2) suy ra A C1 (AB D1 1)

O1

A 1

B 1

A

B

C D

Bài tập vân dụng.

Bài 1 Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ Gọi M,N lần lượt là trung điểm cạnh AD và BB’ Chứng minh : MN  A’C.

Bài 2 Cho hình chóp S.ABC, SA  (ABC), SA=a 3 , AC=2a, AB=a, O

ABC 90

 Gọi M và N

là hai điếm sao cho:

MB MS

  

  

Chứng minh: SC  (AMN).

Bài 3 Cho hình chóp S.ABC có SA=SB=SC, đáy ABC là tam giác cân tại A

Vẽ SO  (ABC), D là trung điểm cạnh AB, E là trọng tâm tam giác ADC.

Chứng minh: DC  (SOE)).

3.3 Hiệu quả sáng kiến

Kiểm tra: 45 phút.

Đề bài:

Đề 1:

Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có SA=4 Điểm D nằm trên cạnh SC, CD=3, còn khoảng cách từ A đến đường thẳng BD bằng 2 Tính chiều cao của hình chóp

Đề 2:

Đáy của hình chóp S.ABC là tam giác đều ABC cạnh bằng 4 2 , cạnh bên SC vuông góc với đáy và có độ dài bằng 2 M,N lần lượt là trung điểm BC, AB.Hãy tìm số đo của góc và khoảng cách giữa SM và CN

Đáp án

Lời giải đề 1:

Chọn hệ véc tơ cơ sở SAa SB , b SC , c

Đặt  là góc phẳng ở đỉnh của hình chóp

N là hình chiếu vuông góc của điểm A trên đường

thẳng BD

) (1 )

AN DNDAxDBDA  a xb  x c

       

Do

AN DB

(17 1) 8( 1) os 0 (1

S

A

B

C D

N

AN   AN   x  x  x 

Từ (1) và (2) ta được 7

9

x Vì vậy : os 55

64

c 

Ta tính độ dài đường cao của hình chóp SO.Vì O là trọng tâm của tam giác ABC nên

58 2

1 cos 96 48 3

1 ) 4 (

3

1

|

|

) 4 (

3

1 ) (

3

1





















 c

b a SO

c b a SC

SB SA

SO

Lời giải đề 2:

Ta chọn hệ véc tơ cơ sở

CAa CB , b CS , c

+Ta tìm góc  giữa SM và CN?

Ta có:

1 ( 2 ) 2

1

2

    

  

2

SM CN c

SM CN

 

 

S

B

P

+Tính khoảng cách giữa SM và CN?

2

PQxSM yCNSC ya xy b x c

Do PQ là đoạn vuông góc chung của SM và CN nên:

2

3

x

x y

  





  

  

KẾT QUẢ

Sau khi tôi dạy một số tiết trên lớp và một số buổi bồi dưỡng thì tôi cho tiến hành kiểm tra khả

năng tiếp thu kiến thức của học sinh trên lớp tôi dạy thì thu được kết quả sau:

3.4 Điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến:

Thực hiện trong phạm vi một số buổi chữa bài tập với các bài tập ở mức độ vừa phải

Giáo viên đưa ra phương pháp giải, ví dụ mẫu và hệ thống bài tập, học sinh nêu các lời giải có thể

có được của bài toán Sau đó cho học sinh tìm tòi, phát hiện một số vấn đề xung quanh bài giải ở

mức độ đơn giản

Thực hiện một số buổi trong công tác bồi dưỡng đối với những học sinh khá hơn ở mức

độ những bài toán cao hơn

Hình thức này cũng cần thực hiện liên tục trong quá trình học tập của học sinh, làm cho

khả năng tư duy, tính sáng tạo của học sinh ngày càng được tăng lên

3.5 Cam kết không sao chép hay vi phạm bản quyền:

Tôi xin cam kết không sao chép hoặc vi phạm bản quyền của bất kỳ tác giả nào

KIẾN NGHỊ, ĐỀ XUẤT

Cần tăng cường hơn nữa hệ thống ví dụ giải bài toán hình học không gian bằng phương

pháp véctơ và hệ thống bài tập trên sách giáo khoa, tài liệu tham khảo để học sinh có thể tự

nghiên cứu và vận dụng véctơ trong quá trình giải bài toán hình học không gian

KẾT LUẬN