Sáng kiến kinh nghiệm Đề xuất giải pháp để chinh phục bài toán tìm môđun lớn nhất, môđun...

Sáng kiến kinh nghiệm Đề xuất giải pháp để chinh phục bài toán tìm môđun lớn nhất, môđun nhỏ nhất trong số phức SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BÌNH ĐỊNH TRƯỜNG THPT NGÔ LÊ TÂN  ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN ĐỀ XUẤT GIẢI PHÁP ĐỂ CHINH PHỤC BÀI TOÁN TÌM MÔĐUN LỚN NHẤT, MÔĐUN NHỎ NHẤT TRONG SỐ PHỨC GIÁO VIÊN HUỲNH THỊ TRANG ĐƠN VỊ CÔNG TÁC TRƯỜNG THPT NGÔ LÊ TÂN NĂM HỌC 2019 2020 SangKienKinhNghiem net 1 MỤC LỤC Đề mục Trang MỤC LỤC 1 1 Đặt vấn đề 2 1 1 Lý do chọn đề tài lý luận, thực tiễn 2 1 2 Xác đ[.]

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BÌNH ĐỊNH

TRƯỜNG THPT NGÔ LÊ TÂN



ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN

ĐỀ XUẤT GIẢI PHÁP ĐỂ CHINH PHỤC BÀI TOÁN

NĂM HỌC: 2019-2020

MỤC LỤC

MỤC LỤC 1

1 Đặt vấn đề 2

1.1 Lý do chọn đề tài: lý luận, thực tiễn 2

1.2 Xác định mục đích nghiên cứu 2

1.3 Đối tượng nghiên cứu 3

1.4 Đối tượng khảo sát, thực nghiệm 3

1.5 Phương pháp nghiên cứu 3

1.6 Phạm vi và thời gian nghiên cứu 3

2 Nội dung 4

2.1 Những nội dung lí luận có liên quan trực tiếp đến vấn đề nghiên cứu 4

2.2 Thực trạng vấn đề nghiên cứu 4

2.3 Mô tả, phân tích các giải pháp 5

2.4 Kết quả thực hiện 31

3 Kết luận và khuyến nghị 33

3.1 Những kết luận đánh giá cơ bản về sáng kiến 33

3.2 Các đề xuất khuyến nghị 34

TÀI LIỆU THAM KHẢO 35

1 Đặt vấn đề

1.1 Lý do chọn đề tài: lý luận, thực tiễn

Trong chương trình Toán THPT, phần đại số ở chương trình lớp 12, học sinh được hoàn thiện hiểu biết của mình về các tập hợp số thông qua việc cung cấp một tập hợp số, gọi là Số phức Trong chương này, học sinh đã bước đầu làm quen với các phép toán cộng, trừ, nhân, chia, khai căn, lấy môđun, các số phức Bằng cách đặt tương ứng mỗi số phức  2 

z x yi x y¡ i   với mỗi điểm M x y trên  ; mặt phẳng tọa độ Oxy , ta thấy giữa đại số và hình học có

mối liên hệ khá “gần gũi” Hơn nữa, nhiều bài toán Đại số bên Số phức, khi chuyển sang hình học, từ những con số khá trừu tượng, bài toán đã được minh họa một cách rấ trực quan, sinh động và cũng giải được bằng Hình học với phương pháp rất đẹp Đặc biệt, trong các kì thi THPT Quốc gia trong những năm gần đây, việc sử dụng phương pháp hình học để giải quyết các bài toán về

số phức là một trong những phương pháp khá hay và hiệu quả Đặc biệt là bài toán tìm môđun lớn nhất, môđun nhỏ nhất của số phức Hơn nữa nếu ta biểu diễn bằng phương pháp hình học được trên giấy đối với những bài toán môđun

số phức thì ta có thể lựa chọn đáp án một cách dễ dàng

Mặt khác, tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất - cụm từ ấy hàm chứa một mảng kiến thức rất rộng, trọng tâm trong chương trình toán học ở phổ thông mà phần lớn thí sinh rất “e ngại” khi đối diện với nó Đặc biệt việc áp dụng phương pháp hình học vào bài toán số phức giúp người học có cái nhìn mới lạ, hấp dẫn, thú vị và lôi cuốn khơi tạo sự đam mê, hang say Toán học, giúp bạn học và bạn đọc thấy sự đa dạng của phương pháp hình học trong các mảng Toán hơn, thấy được việc giải quyết các bài toán cực trị trong số phức trở nên đơn giản, nhẹ nhàng hơn

Sáng kiến được trình bày theo hướng giải quyết những câu hỏi:

- Phải bắt đầu từ đâu?

- Khai thác, khám phá, phát hiện và kiến tạo vấn đề ra sao?

- Thực hiện giải pháp như thế nào?

Từ đó hình thành ý tưởng giúp tìm ra phương pháp xử lí hiệu quả cho bài toán

1.2 Xác định mục đích nghiên cứu

Trong đề tài này, tác giả sẽ tìm hiểu cực trị hình học và áp dụng nó trong việc giải bài toán cực trị trong số phức: Tìm mô đun lớn nhất, mô đun nhỏ nhất của một số phức hay xuất hiện trong chương trình toán ở phổ thông

Nhà toán học nổi tiếng Polia cho rằng: ‘ Ví như dòng sông nào cũng bắt nguồn

từ những con suối nhỏ, mỗi bài toán dù khó đến đâu cũng có nguồn gốc từ những bài toán đơn giản ” Viết đề tài này tác giả mong ước bản thân tiến bộ hơn, góp một chút suy nghĩ, một chút ý tưởng, một chút đề xuất giải pháp chinh phục đến với những dòng suối nhỏ kia

1.3 Đối tượng nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu của tác giả trong đề tài này chủ yếu là bài toán tìm

mô đun, mô đun lớn nhất, mô đun nhỏ nhất của một số phức thường hay xuất hiện trong các đề thi học kì, thi THPT Quốc gia

1.4 Đối tượng khảo sát, thực nghiệm

Đề tài này được triển khai nghiên cứu, thực hiện cho các lớp ban khoa học

tự nhiên và học sinh khá, giỏi bộ môn toán thuộc trường trung học phổ thông Ngô Lê Tân; các thầy cô giáo trong nhóm Toán của trường

1.5 Phương pháp nghiên cứu

Tác giả coi mình là thí sinh đi thi kì thi học kì, thi trung học phổ thông Quốc gia, đối diện trực tiếp với bài toán, tác giả tự mình giải quyết những câu hỏi: Phải bắt đầu như thế nào? Khai thác vấn đề ra sao? Làm thế nào để tìm ra giải pháp? Giải pháp nào mới khả thi, dễ áp dụng? Từ đó, tác gải làm rõ những đặc điểm, tính chất đặc trưng của các đại lượng ẩn dấu trong bài toán, bắt được nhịp cầu gắn kết giữa điều đã biết và điều cần tìm, nhìn được bài toán từ phía bên trong, lột tả bản chất của bài toán, tạo ra ý tưởng khác lạ có tính đột phá Từ những phát hiện mới, tác giả chọn lọc, hình thành phương pháp, biểu đạt ngôn ngữ và tường minh nội dung

1.6 Phạm vi và thời gian nghiên cứu

Đề tài được tác giả nghiên cứu và áp dụng giảng dạy trong các tiết dạy tự chọn ở lớp 12 trong phạm vi toán trung học phổ thông, thời gian nghiên cứu bốn năm học: 2015- 2016, 2016-2017, 2017-2018,2018-2019

Đề tài chắc chắn còn nhiều thiếu sót, vì vậy mong quý thầy cô, các bạn đóng góp ý kiến để đề tài hoàn thiện hơn

Xin chân thành cảm ơn!

2 Nội dung

2.1 Những nội dung lý luận có liên quan trực tiếp đến vấn đề nghiên cứu.

Bài toán tìm mô đun lớn nhất, mô đun nhỏ nhất trong số phức có một vị trí xứng đáng trong phần toán học số phức nói riêng và trong chương trình toán phổ thông nói chung Hầu hết các bài toán này rất phông phú, đa dạng, yêu cầu cao về tư duy, kỹ năng và thường không thể giải quyết bằng phương pháp cơ bản trực tiếp Chính vì thế việc tìm tòi những ý tưởng có lý, có căn cứ nhằm tiếp cận và giải quyết được bài toán là vô cùng cần thiết Những ý tưởng tự tìm tòi được sẽ giúp người học nâng cao khả năng quan sát, linh cảm, trực giác toán học ngày càng tinh tế Với cách tự nghiên cứu sẽ chỉ ra cho học sinh cách giải toán chứ không đơn thuần chỉ là giải toán cho học sinh Điều này mang đậm tính đổi mới về phương pháp

Ngoài ra, những ý tưởng đó còn tạo được tâm lý tự tin, lòng đam mê cho người học khi đối diện với bài toán khó

2.2 Thực trạng vấn đề nghiên cứu.

Thực tế dạy và học cho thấy rằng hầu hết thí sinh đều thiếu tự tin khi đối diện với bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của mô đun số phức Bên cạnh đó có rất ít tài liệu về số phức để giáo viên và học sinh tham khảo, lượng bài tập về số phức trong sách giáo khoa còn nhiều hạn chế Chính vì vậy mà việc giảng dạy và học tập của giáo viên và học sinh gặp không ít khó khăn Bài toán tìm tập hợp các điểm trong mặt phẳng biểu diễn số phức z có mô đun lớn nhất,

nhỏ nhất có quan hệ mật thiết với nhau Trong quá trình giảng dạy phần nội dung này, tôi nhận thấy vẫn còn một số học sinh chưa giải quyết được bài toán tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức dù tập hợp các điệm cần tìm thông thường là đường thẳng, đường tròn, đường elip, Nhiều học sinh lại gặp rất nhiều khó khăn khi giải quyết bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của mô đun của một số phức Để làm tốt được bài toán này trước hết học sinh phải tìm được tập hợp các điểm biểu diễn số phức sau đó áp dụng kiến thức về bất đẳng thức, lượng giác, hình học phẳng, để từ đó tìm ra được giá trị lớn nhất, nhỏ nhất cần tìm

Hơn nữa, tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một biểu thức mô đun trong số phức là các bài toán hay và khó thường xuất hiện trong các kì thi học

kì, kì thi THPT Quốc gia Bài toán này rất được sự quan tâm của các bạn học sinh yêu toán, các thầy cô giáo dạy bộ môn toán Trong quá trình dạy học cho học sinh, tôi thường hướng dẫn học sinh tập phát triển, mở rộng, đào sâu từ những bài toán cơ bản, quen thuộc để tạo ra những bài toán mới lạ, cũng chính

từ đó mà hình thành cho các em kỹ năng quy từ các bài toán lạ về vận dụng các bài toán quen thuộc Với kinh nghiệm giảng dạy của mình cũng như qua trao đổi học tập, nghiên cứu cùng với các đồng nghiệp tôi đã mạnh dạn đưa ra một số kỹ năng nhằm hình thành và phát triển, nâng cao khả năng giải quyết các bài toán

về giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của mô đun trong số phức Từ đó, tôi đã viết chuyên đề sáng kiến “Đề xuất giải pháp chinh phục bài toán tìm mô đun lớn

nhất, mô đun nhỏ nhất trong số phức” nhằm giúp học sinh có thể chủ động, tự tin hơn khi đứng trước các bài toán về giá trị lớn nhất - giá trị nhỏ nhất của mô đun trong số phức

Một vấn đề nữa không kém phần quan trọng là sự trải nghiệm, va chạm qua cả một quấ trình để tích lũy, đúc kết kinh nghiệm Từ đó, tạo ra những ý nghĩ mới mang tính bước ngoặt, độc lập và hữu dụng

2.3 Mô tả, phân tích các giải pháp

Việc hình thành, mô tả, phân tích các giải pháp được tác giả trình bày tường minh, chi tiết thông qua nghiên cứu từng bài toán từ các đề thi học kì, các

đề thi thử THPT Quốc gia và đề thi THPT Quốc gia

2.3.1 Kiến thức cơ bản, thiết yếu

* Một số định nghĩa và kí hiệu cần thiết.

• Số i : Ta thừa nhận có một số mà bình phương của nó bằng 1 , kí hiệu:

i Như vậy: 2

1

i  

•Số phức: Mỗi biểu thức dạng z x yi  trong đó ,x y¡ được gọi là

một số phức x : phần thực; y : phần ảo.

•Mô đun của số phức: Với mỗi số phức z x yi  , giá trị biểu thức

2 2

x  y gọi là mô đun của z Kí hiệu là z Như vậy: 2 2

z  x  y

•Cho số phức z x yi  Ta gọi x yi là số phức liên hợp của z và kí

hiệu là z  x yi

•Với mỗi số phức z x yi  , xác định điểm M x y trên  ; mặt phẳng tọa

độ Oxy Điểm M gọi là biểu diễn hình học của số phức z

•Cho hai số phức z x yi  , 'z  x' y i' , x y x y, , ', '¡ 

+ Phép cộng: z z' xx'  yy i'

+Phép trừ: z z' xx'  y y i'

+ Phép nhân: z z 'xx' yy'  xy'x y i' 

+ Phép chia: '

' ' '

z z z

z  z z với ' 0 0z   i

* Một số kí hiệu chuyển từ số phức sang tọa độ Oxy

•Với M x y là  ; điểm biểu diễn số phức z x yi   thì z OM

•Với M x y và  ; M 'x y '; ' lần lượt là điểm biểu diễn các số phức

z   , 'x yi z  x' y i' thì zz' MM'

•Cho hai số phức z z A, Bcó điểm biểu diễn là ,A B Tập hợp các điểm M biểu diễn của số phức z thỏa mãn hệ thức z z A  z z B là đường trung trực

của đoạn AB

•M0 là điểm biểu diễn của số phức z0, R , tập hợp các điểm M biểu 0

diễn của số phức z thỏa mãn hệ thức zz0  là R đường tròn tâm M0, bán kính R

2.3.2 Phương pháp hình học trong một số bài toán tìm mô đun, mô đun lớn nhất, mô đun nhỏ nhất trong số phức.

Bài toán 1.Xét các số phức , z w thỏa mãn z 2 2i  z 4i và w   iz 1

Tìm giá trị nhỏ nhất của P w .

Cách 1 (Dùng phương pháp hình học)

Phân tích và tìm lời giải.

Quan sát biểu thức P w  iz ta 1 thấy có thể biến đổi

 

1

iz  i z   i z i MNvới N 0;1 , M là điểm biểu diễn của số phức z Vậy việc tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức đưa về tìm điểm vị trí điểm M để

MN ngắn nhất với tập hợp điểm M thỏa điều kiện cho trước là một đường

thẳng có phương trình : x  y 2

Lời giải

Đặt z x yi  x y, ¡ và  M x y là  ; điểm biểu diễn số phức z

z  i  z i  x  y x  y     x y

tập hợp điểm M là đường thẳng : x y 2

Ta có P w  iz1 i z i  zi MN với N 0;1

Dựa vào hình vẽ ta thấy min min  

2 2

Cách 2 (Dùng bất đẳng thức Bunhiacopxki).

Đặt z x yi  x y, ¡ và  M x y là  ; điểm biểu diễn số phức z

Từ   2 2 2  2

z  i  z i  x  y x  y     x y

tập hợp điểm M là đường thẳng :x y 2 1 

P w  iz  i zi   i w x  y

1 :x   y 2 x y  1 1 x y1  2x  y1 

 2 2

min

1

Cách 3 (Dùng tính chất hàm số bậc hai).

Đặt z x yi  x y, ¡ và  M x y là  ; điểm biểu diễn số phức z

z  i  z i  x  y x  y     x y

tập hợp điểm M là đường thẳng : x    y 2 x 2 y

1

P w   iz i zi   z i w

bậc hai có hệ số a  nên hàm 2 0 số đạt giá trị nhỏ nhất bằng 2

2 Vậy hàm

số đạt giá trị nhỏ nhất bằng 3 1

f    

P w   w  Lấy ý tưởng từ bài toán trên ta có bài toán tương tự sau

Bài toán 2.Xét các số phức z thỏa mãn z   z 1 2 i Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P 1 2 i z  11 2i

Lời giải.

Đặt z x yi  x y, ¡ và  M x y là  ; điểm biểu diễn số phức z

z   z i x  y  x   y  x y   tập

hợp điểm M là đường thẳng : 2 x4y 5

Ta có   11 2

1 2

i

i



 với N3;4 

Dựa vào hình vẽ ta thấy

min min min

2 3 4.4 5 5

2 20

Cách 2 (Dùng tính chất hàm số bậc hai).

2

x y    x y

Khi đó,

z  i  x  y   y  y  y  y  f y

là hàm số bậc hai có a  nên đạt giá trị nhỏ nhất bằng 5 0 5

4

min

P  z  i  P 

Bài toán 3 Xét các số phức z thỏa mãn z   1 i z 3 i Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P w , với w 1

z



Phân tích và tìm lời giải.

Đây là bài toán biến thể từ hai bài toán trên khi 1

z lớn nhất khi và chỉ khi

z nhỏ nhất khi và chỉ khi OM nhỏ nhất, M là điểm biểu diễn của số phức z với tâp hợp điểm M thỏa điều kiện cho trước là một đường thẳng có phương

trình : 2 x4y  7

Lời giải.

Cách 1 (Dùng phương pháp hình học)

Đặt z x yi  x y, ¡ và  M x y là  ; điểm biểu diễn số phức z

z   i z i  x  y x  y  x y 

tập hợp điểm M là đường thẳng : 2 x4y7

Ta có w 1 1 1

z z OM

   với O 0;0 Dựa vào hình vẽ ta thấy

 

min

d O

Cách 2 (Dùng tính chất hàm số bậc hai)

1

P w

z

  lớn nhất khi và chỉ khi z nhỏ nhất.

z x  y   y  y  y  y  f y

bậc hai có hệ số a  nên 5 0 đạt giá trị nhỏ nhất bằng 7 49

5 20

f    

  suy ra

min

7

2 5

z 

Vậy max 2 5

7

w 

Bài toán4.Xét cácsố phức z thỏa mãn

2

z  z  z  i z i Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  z 2 2i

z  z  z  i z i

 1 2  1 2   1 2  3 1 1 2

 





TH 1.Với z  1 2 i Khi đó P  z 2 2i    1 2i 2 2i 1

TH 2.Với z 1 2i   z 3i 1

Đặt z x yi  x y, ¡ và  M x y là  ; điểm biểu diễn số phức z

z  i    z i x  y  x  y

2y 1 0

   tập hợp điểm M là đường thẳng : 2 y 1 0

Ta có P  z 2 2i MA với A2; 2  

Dựa vào hình vẽ ta thấy min min min    

2 2 1 3

So sánh hai trường hợp ta thấy Pmin 1

Bài toán 5.Xét các số phức z thoã mãn z2i   z 1 2 i Gọi w là số phức thoã mãn điều kiện w 1 i z  Tìm giá 2 trị nhỏ nhất của biểu thức

P w

Lời giải.

Đặt z x yi  x y, ¡ và  M x y là  ; điểm biểu diễn số phức z

z i   z i x  y  x  y  x y 

tập hợp điểm M là đường thẳng : 2 x8y 1

Ta có P w  1iz2  2 z 1 i  2MN với N1;1 

Dựa vào hình vẽ ta thấy

min min min

2 1 8.1 1 5

Bài toán 6.Xét các số phức , z w thỏa mãn z 1 3i  z 2i và

w  i  w i Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P z w  

Lời giải Gọi z a bi   và w c di  a b c d, , , ¡ 

z  i  z i  a  b a  b  a b tập

hợp điểm M biểu diễn số phức z là phần gạch chéo như trên đồ thị có tính biên

  2 2 2  2

w  i  w i  c  d  c  d   c d   tập

hợp điểm N biểu diễn số phức w là phần tô đậm như trên đồ thị có tính biên

Dựa vào hình vẽ ta thấy

Dấu " " xảy ra khi và chỉ khi M  , 1 N2 và MN  2

Nhận xét: Bài toán này phức tạp hơn, khiến học sinh cảm thấy lúng túng

hơn các bài toán trên ở chỗ xuất hiện bất đẳng thức z 1 3i  z 2i và

w  i  w i và điều khác biệt nữa là xuất hiện tới hai số phức z và w Nhưng nếu để ý một chút thì ở biểu thức z w chính là độ dài MN với ,M N

là điểm biểu diễn của z và w Vậy P nhỏ nhất khi và chỉ khi MN nhỏ nhất khi

và chỉ khi MN d  1, 2

Bài toán 7.Xét các số phức z thỏa mãn    Tìm giá iz 1 1 trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức P z

Phân tích và tìm lời giải.

Biến đổi đẳng thức   iz 1 1như sau     iz 1 1 i z    i 1 z i 1

.Vậy tập hợp điểm biểu diễn của số phức z là một đường tròn nên bài toán trên

được giải quyết đơn giản như sau

Lời giải.

Cách 1 (Dùng phương pháp hình học)

Ta có     iz 1 1 i z       tập hợp các điểm biểu diễn i 1 z i 1

số phức z thuộc đường tròn có tâm I0; 1 , bán kính  R 1