Sáng kiến kinh nghiệm Một số kinh nghiệm giảng dạy chương V: Đạo hàm (Sách giáo khoa Đại số và giải...

Sáng kiến kinh nghiệm Một số kinh nghiệm giảng dạy chương V Đạo hàm (Sách giáo khoa Đại số và giải tích lớp 11, chương trình cơ bản) SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ TRƯỜNG THPT LANG CHÁNH SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM TÊN ĐỀ TÀI MỘT SỐ KINH NGHIỆM GIẢNG DẠY CHƯƠNG V ĐẠO HÀM (Sách giáo khoa Đại số và giải tích lớp 11, chương trình cơ bản) Người thực hiện Trịnh Văn Huế Chức vụ Giáo viên SKKN thuộc lĩnh vực (môn) Toán THANH HOÁ, NĂM 2017 SangKienKinhNghiem net 1 MỤC LỤC Mục lục 1 1 Mở đầu 2 1 1 Lí do chọn[.]

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ

TRƯỜNG THPT LANG CHÁNH

TÊN ĐỀ TÀI:

MỘT SỐ KINH NGHIỆM GIẢNG DẠY CHƯƠNG V ĐẠO HÀM (Sách giáo khoa Đại số và giải tích lớp 11, chương trình cơ bản)

Người thực hiện: Trịnh Văn Huế

Chức vụ: Giáo viên

SKKN thuộc lĩnh vực (môn): Toán

THANH HOÁ, NĂM 2017

MỤC LỤC

Mục lục: 1

1 Mở đầu 2

1.1 Lí do chọn đề tài 2

1.2 Mục đích nghiên cứu 2

1.3 Đối tượng nghiên cứu 2

1.4 Phương pháp nghiên cứu… 2

2 Nội dung sáng kiến kinh nghiệm 2

2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm 2-3 2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 3

2.3 Các sáng kinh nghiệm đã sử dụng để giải quyết vấn đề 3-10 2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường 10

3 Kết luận……… 10

1.MỞ ĐẦU 1.1 Lý do chọn đề tài:

Trong thực tiễn hiện nay đa số học sinh lớp 12 rất yếu về đạo hàm, trong khi

đó chương trình giải tích lớp 12 lại sử dụng đạo hàm rất nhiều, mà kiến thức đạo hàm cơ bản lại ở chương cuối của lớp 11 Vì vậy khi dạy chương ứng dụng đạo hàm ở lớp 12 giáo viên gặp không ít khó khăn Từ thực tiễn trên mà tôi đã chọn

đề tài kinh nghiệm “Một số kinh nghiệm giảng dạy chương V Đạo hàm (Sách

giáo khoa Đại số và giải tích lớp 11, chương trình cơ bản)”.

1.2 Mục đích nghiên cứu:

Giúp học sinh biết cách tính được đạo hàm, tạo được hứng thú cho học sinh khi học môn giải tích lớp 12 Giáo viên không cảm thấy khó khăn khi dạy chương ứng dụng đạo hàm ở lớp 12

1.3 Đối tượng nghiên cứu:

Chương Đạo hàm trong chương trình Đại số và giải tích lớp 11 cơ bản

1.4 Phương pháp nghiên cứu:

Phương pháp nghiên cứu xây dựng cơ sở lý thuyết

2 NỘI DUNG SÁNG KẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm:

1 Định nghĩa đạo hàm tại một điểm

 Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; b) và x0  (a; b):

= (x = x – x0, y = f(x0 + x) – f(x0)) 0

0

0 x x

0

f(x) f(x )

f '(x ) lim

x x







y lim

x

 





 Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm tại x0 thì nó liên tục tại diểm đó

2 Ý nghĩa của đạo hàm

 f(x0) là hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại M x ;f(x ) 0 0 

 Khi đó phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại M x ;f(x ) 0 0  là:

y – y0 = f (x0).(x – x0)

3 Qui tắc tính đạo hàm

Giả sử u = u(x), v = v(x), w = w(x) là các hàm số có đạo hàm tại điểm x thuộc khoảng xác định Ta có :

 (u  v  w) = u  v  w

 (uv) = uv + vu

 uv u v v u2 (v  0)

v



     

 

 

 (ku) = ku, (k là hằng số)

 Đạo hàm của hàm số hợp: Nếu u = g(x) có đạo hàm tại x là ux và hàm số

y = f(u) có đạo hàm tại u là yu thì hàm số hợp y = f(g(x)) có đạo hàm tại x là:

x u x

y     y u

4 Bảng đạo hàm

Hàm sơ cấp Hàm hợp (u = u(x))

1  C = 0, (C là hằng số)

2  x = 1

3   1

.

x    x 

4 1 = -

x



 

 

1

x

5  x =

x

2 1

6 (sinx)’ = cosx

7.(cosx)’ = - sinx

8.(tanx)’ =

x

2

cos 1

9.(cotx)’ = -

x

2

sin 1

10   1

.

u    x u

11 1 = -

u



 

 

u u



12  u =

2

u u



13 (sinu)’ = (cosu).u’

= u’.cosu 14.(cosu)’ = (-sinu).u’

= -u’.sinu

15 (tanu)’ =

u

u

2

cos '

16 (cotu)’ = -

u

u

2

sin '

5 Vi phân

 dy df(x) f (x).dx  

6 Đạo hàm cấp cao

 f ''(x) f '(x) ; f '''(x) f ''(x) ; f (x)(n)  f(n 1) (x) (n  N, n  4)

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm:

Trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm đa số học sinh tính đạo hàm chưa

thạo, còn lúng túng khi giải các bài toán liên quan đến đạo hàm, nhất là đối với

các bài toán tính đạo hàm của hàm hợp

2.3 Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề:

VẤN ĐỀ 1 : Tính đạo hàm bằng định nghĩa

Để tính đạo hàm của hàm số y = f(x) tại điểm x 0 bằng định nghĩa ta thực hiện các bước sau:

B ước 1: Giả sử  x là số gia của đối số tại x 0 Tính  y = f(x 0 +  x) – f(x 0 ).

B ước 2: Lập tỉ số 



y x

B ước 3: Tìm

x 0

y lim x

 





Ví dụ : Dùng định nghĩa tính f x ( )0 với: f x( ) x2 4x3tại x0 1

Giải :

Giả sử  x là số gia của đối số tại x0  1 Ta có

 

 y f(1   x) f(1)    1 x 2 4(1    x) 3 (12 4.1 3) 

= 1 2    x  x 2      4 4 x 3  x 2      2 x x( x 2)

      

x

   





x 0 x 0

y

lim lim ( x 2) 2

x

Vậy f x ( )0 = -2

VẤN ĐỀ 2 : Tính đạo hàm bằng công thức

Để tính đạo hàm của hàm số y = f(x) bằng công thức ta sử dụng các quy tắc tính đạo hàm.

Chú ý quy tắc tính đạo hàm của hàm số hợp

Ví dụ 1 : Tính đạo hàm của hàm số f x( ) x2 4x3

Giải :

Ta có:

    



 

2 2 1

( ) ( 4 3)

( ) (4 ) (3)

2 4.( ) 0

2 4.1

x

Ví dụ 2 : Tính đạo hàm của hàm số

y

x

2

2

3 2 1

1

 





Giải :

Ta có



    

y

3 2 1 (3 2 1) ( 1) (3 2 1)( 1)

     



x

(6 2)( 1) (3 2 1)2

( 1)

   



x

2

2 2

( 1)

Ví dụ 3 : Tính đạo hàm của hàm số

y (x2 3x 1).sinx

Giải :

Ta có

y' (x2 3x 1) sinx (x2 3x 1).(sin ) (2x x 3)sinx (x2 3x 1)cosx

Ví dụ 4 : Tính đạo hàm của hàm số

y  x cos3 x

Giải :

Ta có :

y  x .cos3x x(cos3 )x 

x

1 cos3 (sin3 )(3 )

2

x

1 cos3 3 sin3

2

Ví dụ 5 : Tính đạo hàm của hàm số

2

y  2x  5x 2 

Giải :

Ta có :



     

2 2

2





2

x

Ví dụ 6 : Tính đạo hàm của hàm số f(x) 2x  2   x 2 tại x0 = 2

Giải :

Ta có:

   

2

4 1

x

 f x   0  f 2  4.2 1 7  

Bài tập.

Bài 1 : Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) f(x) x  3  3x 1  b) f(x) x  2  2x



1 f(x)

5x 3 e) f(x) cosx  f) f(x)  1

sin x

Bài 2 : Tính đạo hàm của các hàm số sau tại điểm được chỉ ra:

a) y f(x)  3 x tại x0 = –1

2x 1

y f(x)

x 1





c) y f(x) sin x  tại x0 =

6



d) y f(x)  3 x tại x0 = 1

2

y f(x)

x 1

 



Bài 3 : Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) y 2x4 1x3 2 x 5 b)

3

2

3 x

c) y (x 3 2)(1 x ) 2 d) y x2 3x 3

x 1

 





2 2x 4x 1

y

x 3

 





2 2

2x y

x 2x 3



 

Bài 4 : Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) y (x 2  x 1)4 b) y (1 2x )  2 5

c) d)

3

2x 1 y

x 1

  

   

2 3

(x 1) y

(x 1)







1 y

(x 2x 5)



y 3 2x

Bài 5 : Tính đạo hàm của các hàm số sau:

4x 1 y





 b) y (x 2) x  2 3

Bài 6 :Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) b)

2

sin x y

1 cosx

   

c) y sin (2x 1) 3  d) y  cot 2x

e) y sin 2 x  2 f) y  sin x 2x 

g) y tan2x 2tan 2x3 1tan 2x5 h)

   y 2sin 4x 3cos 5x 2  3

Bài 7: Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) y = 5sinx – 3cosx b) y = cos (x3)

c) y = x.cotx d)y(1cotx)2

e)y  cos x sin2 x f) 1 3

3

g) h)

2 sin4 x

y

x x

x x

y

cos sin

cos sin







i)y cot (2x3 ) k)

4



sin (cos 3 )

l) y cot 1 x  3  2 m) y 3sin2 x.sin3x

VẤN ĐỀ 3 : Phương trình tiếp tuyến của hàm số y = f(x) có đồ thị (C)

1. Phương trình tiếp tuyến tại điểm M(x 0 , y 0 ) (C)là: y y  0  f '(x )(x x )0  0 (*)

2. Viết phương trình tiếp tuyến với (C), biết tiếp tuyến có hệ số góc k:

+ Gọi x 0 là hoành độ của tiếp điểm Ta có: f (x ) k  0  (ý nghĩa hình học của đạo hàm)

+ Giải phương trình trên tìm x 0 , rồi tìm y0  f(x ).0

+ Viết phương trình tiếp tuyến theo công thức (*)

3 Vi ết phương trình tiếp tuyến (d) với (C), biết (d) đi qua điểm A(x 1 , y 1 ) cho tr ước: + Gọi (x 0 , y 0 ) là tiếp điểm (với y 0 = f(x 0 )).

+ Phương trình tiếp tuyến (d): y y  0  f '(x )(x x )0  0

(d) qua A(x , y )1 1  y1 y0  f '(x ) (x0 1 x ) (1)0

+ Giải phương trình (1) với ẩn là x 0 , rồi tìm y0  f(x )0 và f '(x ).0

+ Từ đó viết phương trình (d) theo công thức (*).

4. Nhắc lại: Cho (  ): y = ax + b Khi đó:

+ (d) ( )   kd a + (d) ( ) kd 1

a

Ví dụ 1 : Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y 1:



a) Tại điểm có tung độ bằng .12

b) Biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y  4x 3

Hướng dẫn

Ta có y 

x

1

x1 ( 0)2 a) Với y0 1 ta có ;

2

2

4

  

Phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số tại điểm  là:

1 2;

2

y   1 1 ( 2)x

 y 1x 1

4

  

b) Vì tiếp tuyến song song với đường thẳng y  4x 3nên tiếp tuyến có hệ

số góc k = –4

Gọi ( ; )x y0 0 là toạ độ của tiếp tuyến  y x( )0   4







     

  



x

0 2

1

1 2

 Với x0   1 y0 2

2 Phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số tại điểm  là

 1 ;2 

2 y 4x4

 Với x0    1 y0  2

2 Phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số tại điểm  là

 1 ; 2 

2 y 4x4

Ví dụ 2: Cho hàm số f x x x Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị

x

2 2 3 ( )

1



 hàm số f x( ) tại điểm có hoành độ bằng 1

Ta có f x x x 

x

2 2 3 ( )

1





f x

x

2 2

( )

( 1)

 Vớix0   1 f x 0 1 f, (1) 1

2

  

 Phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số là y 1 x 3

2 2

  

Bài tập.

Bài 1.Cho hàm số (C): y f(x) x   2  2x 3  Viết phương trình tiếp với (C): a) Tại điểm có hoành độ x0 = 1

b) Song song với đường thẳng 4x – 2y + 5 = 0

c) Vuông góc với đường thẳng x + 4y = 0

Bài 2.Cho hàm số (C)

2

2 x x

y f(x)

x 1

 

 a) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M(2; 4)

b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến có hệ số góc k = 1

Bài 3.Cho hàm số y f(x) 3x 1 (C)

1 x



 a) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm A(2; –7)

b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của (C) với trục hoành c) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của (C) với trục tung d) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến song song với

d: y 1x 100

2

e) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến vuông góc với

: 2x + 2y – 5 = 0

Bài 4.Viết phương trình tiếp tuyến của (C ): y=x3-3x+7

a) Tại điểm A(1;5)

b) Song song với đường y=6x+1

Bài 5 Viết phương trình tiếp tuyến của (c ): y=x3-3x2 , biết tiếp tuyến vuông góc

với đường thẳng y= x

3 1

V ẤN ĐỀ 4 : Tính đạo hàm cấp cao

1. Để tính đạo hàm cấp 2, 3, 4, ta dùng công thức: y (n)  (y n 1 / )

2. Để tính đạo hàm cấp n:

 Tính đạo hàm cấp 1, 2, 3, từ đó dự đoán công thức đạo hàm cấp n.

 Dùng phương pháp quy nạp toán học để chứng minh công thức đúng.

Ví dụ: Cho hàm số f x( ) (2  x 3)5 Tính f (3), (3)f

Giải:

Ta có:

    

4 4

( ) 5(2 3) (2 3)

10(2 3)

x

  

4 3

( ) 10(2 3)

80(2 3)

x

   

3 2

( ) 80(2 3)

480(2 3)

x



 f (3) 80(2.3 3)   3  2160

Bài t ập

Bài 1: Cho hàm số f(x) 3(x 1)cosx  

a) Tính f '(x),f ''(x) b) Tính    

 

f ''( ), f '' , f ''(1)

2

a) y cosx, y'''  b) y 5x  4  2x 3  5x 2  4x 7, y'' 

c) y x 3, y'' d)

x 4





e) y xsin x, y''  f) y x tan x, y'' 

g) y (x 2 1) ,y''3 h) y x 6 4x34, y(4)

Bài 3: Tìm đạo hàm cấp hai của các hàm số sau:

a) 1 b)

2

x

y

x





2 1 2

x y





  c) 2 d)

1

x

y

x





2

1

yx x  e) y x2sinx f) 2

(1 ) cos

y x x

g) y = x.cos2x h) y = sin5x.cos2x

2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường:

Chất lượng giảng dạy của bản thân được nâng lên, đa số học sinh tiếp thu được, cụ thể là làm được các dạng bài tập về đạo hàm Học sinh học tập tích cực, yêu thích mơn tốn

3 Kết luận

Trên đây là một vài kinh nghiệm nhỏ trong phương pháp giảng dạy “Đạo hàm ” Rất mong được quý thầy cơ và các bạn đồng nghiệp cĩ nhiều ý kiến đĩng gĩp, trao đổi để lần sau được hồn thiện hơn

TÀI LIỆU THAM KHẢO

Sách giáo viên, Sách giáo khoa và Sách bài tập Đại số và Giải tích lớp 11 theo chương trình chuẩn và chương trình nâng cao của nhà xuất bản Giáo dục phát hành năm 2007

Tơi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết, khơng sao chép nội dung của người khác.

Trịnh Văn Huế