Tài liệu Một số kiến thức cơ bản về Lượng giác ppt

Một số kiến thức cơ bản về Lượng giác A.. Một số công thức lượng giác 1.. Phương trình bậc nhất, bậc hai, bậc cao đối với một hàm số lượng giác Đặt t= hàm số lượng giác nếu là sinfx,

Một số kiến thức cơ bản về Lượng giác

A Biến đổi lượng giác

I Hằng đẳng thức lượng giác

2 2

2 2

sin

cos

sin

2 1

1

sin

R

k k Z

k k Z

k k Z

k k Z













  



II Một số chú ý

1 Tính tuần hoàn của hàm số

lượng giác

k

k

k

k

R k Z



2 Giá trị lượng giác

1 sin , cos  1(  R)

III Bảng giá trị lượng giác đặc biệt

6



4



3



2



sin 0 1

2

2 2

3 2

1

cos 1 3

2

2 2

1 2

0

tan 0 1

3

3

0

IV Dấu của các giá trị lượng giác

Góc phần tư I II III IV sin + + - -

tan + - + - cot + - + -

V Giá trị lượng giác của các cung

có liên quan đặc biệt

1 Cung đối nhau:  và - 

  

  

  

2 Cung bù nhau:  và  

3 Cung phụ nhau:  và

2







2

2

2

2









4 Cung hơn kém  :  và  + 

5 Cung hơn kém

2



:  và

2



+ 

2

2

2

2









VI Một số công thức lượng giác

1 Công thức cộng:

tan tan tan

1 tan tan tan tan tan

1 tan tan

 

 









2 Công thức nhân đôi, nhân ba

2

2

2 3

3

sin 2 2 sin cos cos 2 cos sin

2 cos 1

1 2 sin

2 tan tan 2

1 tan sin 3 3sin 4 sin cos 3 4 cos 3cos













 





3 Công thức hạ bậc

2

2

3

3

1 cos 2 sin

2

1 cos 2 cos

2 3sin sin 3 sin

4

3 cos cos 3 cos

4





























4 Công thức biến đổi tích thành tổng

   

2

1

2

1

2

5 Công thức biến đổi tổng thành

tích

sin( ) tan tan

cos cos sin( ) tan tan

cos cos

   

   

   

   

 

 





6 Công thức hỗn hợp

sin cos 2 cos

4

2 sin

4 sin cos 2 sin

4

2 cos

4













B Phương trình lượng giác

I Phương trình lượng giác cơ bản

TXĐ: R + |a|>1: Pt vô nghiệm + |a|  1 pt có dạng sinx=sin

2 2

 





(kZ ) Đặc biệt

sin 0

2

2











     

2 Phương trình cosx=a

TXĐ: R + |a|>1: Pt vô nghiệm + |a|  1 pt có dạng cosx=cos

2 2



    



(kZ) Đặc biệt

cos 0

2







3 Phương trình tanx=a





Pt có nghiệm với mọi a tanx=tan

x  k 

   (kZ)

4 Phương trình cotx=a

TXĐ: R\{k ,kZ}

Pt có nghiệm với mọi a cotx=cot

II Phương trình lượng giác thường gặp

1 Phương trình bậc nhất, bậc hai, bậc cao đối với một hàm số lượng giác

Đặt t= hàm số lượng giác (nếu là sinf(x), cosf(x) thì -1  t  1) đưa về phương trình đại số rồi quy

về phương trình lượng giác cơ bản

2 Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx

*Dạng

asinx+bcosx=c (a2+b2 0, a,b,c R )

*Điều kiện có nghiệm

a b c

*Cách giải: Chia cả hai vế cho

a b Đưa vế trái về dạng sin; cos

C Hệ thức lượng trong tam giác

1 Định lí hàm số cos

2 cos

2 cos

2 cos

2 Định lí hàm số sin

2

R

giác

4

abc S R

S p p a p b p c



4 Công thức đường trung tuyến

2

a

Tương tự cho cho đường trung tuyến còn lại

Một số kiến thức cơ bản về Giải tích

A Đạo hàm và các bài tốn liên quan

I Bảng đạo hàm

 

 

 

1

2

' 0

'

'

1

'

2

C

x

x







 

 

 

 



 

 

 

1

2

' 0

1

2

C

u

u







 

 

 

 



2

2

sin ' cos

cos ' sin

1

(tan ) '

cos

1

(cot ) '

sin

x

x x

x



 



 

2

2

sin ' ' cos cos ' 'sin

' (tan ) '

cos ' (cot ) '

sin

u u

u u u

u



 



 

 

 

'

' ln

1

ln '

1

log '

ln

a

x

x

x

x a









 

 

' '

'

ln '

' log '

ln

a

u u u u u

u a









II Quy tắc tính đạo hàm

Cho u=u(x); v=v(x) ta cĩ

(u  v)’=u’  v’; (ku)’=ku’; (uv)’=u’v+uv’

2

'

u u v uv



 



 

 

III Vi phân:ta cĩ cơng thức vi phân

dy=y’dx

IV Một số kiến thức liên quan đến khảo sát hàm

số

1 Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số

Cho hàm số y = f(x) cĩ đạo hàm trên K:

+ Nếu f’(x) > 0 với mọi x thuộc K thỡ hàm

số đồng biến

+ Nếu f’(x) < 0 với mọi x thuộc K thỡ hàm

số nghịch biến

2 Cực trị của hàm số

Dựa vào 2 qui tắc để tỡm cực trị của hàm số y = f(x)

Qui tắc I

B1: Tỡm tập xỏc định

B2: Tớnh f’(x) Tỡm cỏc điểm tại đĩ f’(x) =

0 hoặc f’(x) khơng xác định

B3 Lập bảng biến thiờn

B4: Từ bảng biến thiờn suy ra cỏc cực trị

Qui tắc II

B1: Tỡm tập xỏc định

B2: Tính f’(x) Giải phương trỡnh f’(x) = 0

và kớ hiệu là xi là cỏc nghiệm của nú

B3: Tớnh f ”(xi) B4: Dựa vào dấu của f ” (xi) suy ra cực trị ( f ”(xi) > 0 thỡ hàm số

cú cực tiểu tại xi; ( f

”(xi) < 0 thỡ hàm số cú cực đại tại xi)

3 Tiệm cận của đồ thị hàm số

Cho hàm số y = f(x) cĩ đồ thị là (C)

 y = y0 là tiệm cận ngang của nếu một trong hai điệu kiên sau được thoả mĩn:

lim ( ) ,hoỈc lim ( )

 x = x0 là tiệm cận đứng của (C) nếu một trong các điều kiện sau đựơc thoả mĩn:

lim , lim , lim , lim

xx xx xx xx

4 Bài tốn tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số

 Để tỡm GTLN, GTNN của hàm số y = f(x) trờn a b : ; 

+B1: Tính đạo hàm của hàm số y’ = f’(x) + B2: Xét dấu đạo hàm f’(x), lập bảng biến thiên

Trong đĩ tại x0 thỡ f’(x0) bằng 0 hoặc khơng xác định

 Để tỡm GTLN, GTNN của hàm số y = f(x) trờn [a; b]:

B1: Tỡm caực giaự trũ xia b; (i = 1, 2, , n) laứm cho ủáo haứm baống 0 hoaởc khõng xaực ủũnh

B2: Tớnh f a f x( ), ( ), (1 f x2), , (f x n), ( )f b

B3: GTLN = max{ f a f x( ), ( ), (1 f x2), , (f x n), ( )f b } GTNN =

Min{ f a f x( ), ( ), (1 f x2), , (f x n), ( )f b }

GT LN

-+

y y'

b

x 0 a

x

GTNN

+

-y y'

b

x 0 a

x

B Nguyên hàm

I Bảng nguyên hàm

1

2

1

2

1

dx x C

x

dx

x C

x

dx

C









 



  









1

2

1

2 1

du u C

u

du

u C u

du

C









 



  









2

2

tan

cos

cot

sin

dx

x C

x

dx

x C x









2

2

tan cos

cot sin

du

u C u

du

u C u









ln

ln

x

x

e dx e C

a

a

dx

x C

x







ln ln

u u

e du e C

a

a du

u C u







II Nguyên hàm, tích phân bằng phương pháp đổi biến

1 Phương pháp đổi biến dạng 1:

Ta cần tính ( )

b

a

f x dx

Đặt x=( )t dxd t ' t dt

Giải phương trình ( )

( )

t a t

t b t

  

I= f( ( )) '( )t t dt





 



2 Phương pháp đổi biến dạng 2:

Ta cần tính ( )

b

a

f x dx

 = ( ( )) ' 

b

a

g  x  x dx

Đặt t=( )x dt'( )x dx

1

2

( ) ( )





I=

( )

( ) ( )

b

a

g t dt





3 Phương pháp tích phân từng phần

B1 Chọn u, dv tính du, v B2 Lắp công thức

b a

udv uv vdu udv uv vdu

III ứng dụng nguyên hàm tích phân vào diện tích, thể tích

1 Diện tớch hỡnh phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y = f(x), trục Ox và hai đường thẳng x = a, x = b (a < b ) là ( )

b

a

S   f x dx

2 Diện tớch hỡnh phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y = f(x), y = g(x) và hai đường thẳng x = a, x = b (a < b ) là ( ) ( )

b

a

S   f x  g x dx

3 Thể tớch khối trũn xoay do hỡnh thang cong giới hạn bởi cỏc dường y = f(x), y =

0, x = a, x = b (a < b) quay quanh trục Ox tạo thành là  ( ) 2

b

a

V    f x dx

4 Thể tớch khối trũn xoay do hỡnh thang cong giới hạn bởi các dường x = g(y), x =

0, y = c, y = d (c < d) quay quanh trục Oy tạo thành là  ( ) 2

d

c

V   g y dy

C Số phức

1 Số phức: Một biểu thức dạng z = a + bi, trong đó a và b là những số thực và

i thỏa mãn i2 = -1 được gọi là một số phức

a được gọi là phần thực, b được gọi là phần ảo

i được gọi là đơn vị ảo

Tập các số phức được kí hiệu là 

Số phức có phần ảo bằng 0 gọi là số thực nên R  

Số phức có phần thực bằng 0 gọi là số ảo

0 = 0 + 0i là số vừa thực vừa ảo

2 Hai số phức bằng nhau

z' a'+b' i (a',b' )

'

z z'

'











3 Cộng, trừ hai số phức

z' a'+b' i (a',b' )

z + z' (a + a' ) + (b + b') i

z z' (a - a') + (b - b' )i



Số đối của số phức z = a + bi là số phức - z = - a - bi; z + (-z) = 0

4 Nhân hai số phức

z' a'+b' i (a',b' ) zz' aa ' bb ' ( ab ' a b i ' )

5 Môđun của số phức, số phức liên hợp

z = a +bi (a, b  ) thì môđun của z là z = a +b 2 2

z = a +bi (a, b  ) thì số phức liên hợp của z là z = a - bi

Ta có:

2

z + z' = z + z', zz'=z z', z = z

z là số thực khi và chỉ khi z = z

Nếu z = a + bi (a, b  ) khác không thì số phức nghịch đảo của z là

1 -1

2 z

Thương của z' cho z khác không là: z' -1 z'z

z'z

z   zz Ta có:

'

,

z

 

7 Biểu diễn hình học của số phức

Số phức z = a + bi (a, b  ) được biểu diễn bởi M(a; b) trong mặt phẳng toạ độ Oxy hay còn gọi là mặt phẳng phức

Trục Ox biểu diễn các số thực gọi là trục thực, trục Oy biểu diễn các số ảo gọi

là trục ảo

Số phức z = a + bi (a, b  ) cũng được biểu diễn bởi vectơ u( ; )a b

, do

đó M(a; b) là điểm biểu diễn của số phức z = a + bi (a, b  ) cũng có nghĩa

là OM

biểu diễn số phức đó

8 Định nghĩa căn bậc hai của số phức

Cho số phức w mỗi số phức z thoả mãn z2 = w được gọi là một căn bậc hai của

số phức w

a) Nếu w là số thực + w < 0 thì có hai căn bậc hai:  wi &   wi

+ w 0 thì có hai căn bậc hai: w &  w b) Nếu w là số phức khi đó ta thực hiện các bước:

+ Giả sử w= a + ib, đặt z = x + iy là một căn bậc hai của w tức là: z2w khi

đó ta có hệ:

(1)







Bình phương 2 vế của (1) và (2) rồi cộng lại ta được x2  y2  a2 b2

Do vậy ta được hệ:

(1)

(2')







Giải hệ tìm được x2 và 2

y suy ra x và y để tìm z

Chú ý: Theo (2) ta có nếu b > 0 thì x, y cùng dấu Nếu b < 0 thì x, y trái dấu

9 Công thức nghiệm của phương trình bậc hai hệ số phức

Cho PT: ax2 bx   c 0; (1) ( , , a b c  , a  0) và có   b2 4 ac

Trong đó  là một căn bậc hai của 

+ Nếu  = 0 thì pt có nghiệm kép: 1 2

2

b

a

Một số kiến thức cơ bản về Hình Học

A KHÔNG GIAN

1 Muốn chứng minh hai đường thẳng trong không gian song song với nhau

C1 Quy hai đường thẳng đồng phẳng và dùng các tính chất của hình phẳng

như: không có điểm chung, định lí Ta let, góc so le trong…

C2 Dùng tính chất bắc cầu

C3 Dùng tính chất 3 giao tuyến phân biệt của 3 mặt phẳng phân biệt lần lượt

cắt nhau

2 Muốn chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng: chứng minh

đường thẳng đó song song với một đường thẳng trong mặt phẳng

3 Muốn chứng minh hai mặt phẳng song song: chứng minh hai cặp đường

thẳng cắt nhau nằm trong hai mặt phẳng lần lượt song song với nhau

4 Muốn chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng: chứng minh

đường thẳng đó vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau trong mặt phẳng

5 Muốn chứng minh hai mặt phẳng vuông góc : chứng minh đường thẳng

nằm trong mặt phẳng này vuông góc với mặt phẳng kia

6 Thể tích các khối

1

3

ˆ

7 Diện tích thể tích các khối tròn xoay

4 R  Vcầu = 3

3

4

R

 Vtrụ = Sđáy.h Vnún =

3

1

Sđáy.h Sxq nún

=

2

1

CVđáy .l

B PHƯƠNG PHáP TọA Độ TRONG KHÔNG GIAN

I Các kiến thức mở đầu

1 Tọa độ của vectơ trong khụng gian:

Vectơ uxi yj  k u(x y z)

2 Các phép toán của vectơ:

Cho hai vectơ a(x ; y ; z )1 1 1

, b(x ; y ; z )2 2 2

, k  R khi đó :

1 a b(x1x ; y2 1y ; z2 1z )2

2 k.a(kx ; ky ; kz )1 1 1

3 abx1x ; y2 1y ; z2 1z2

4 a.b x x1 2y y1 2z z1 2

, abx x1 2y y1 2z z1 2 0

5 a  x12y21z12

x x y y z z cos(a; b)



 

với a0; b0

3 Tọa độ của một điểm :

* Tọa độ của vectơ OM

là tọa độ của điểm M Như vậy ta có :

OM(x; y;z)M(x ; y ; z)

* Cho tứ diện ABCD với : A(xA ; yA ; zA), B(xB ; yB ; zB), C(xC ; yC ; zC) ta cú :

1 AB(xBx ; yA By ; zA Bz )A

AB AB (x x ) (y y ) (z z )



3 M(x ; y )M M là trung điểm của AB thỡ

4 G(x ; y ; z )G G G là trọng tõm của  ABC

5 G(x ; y ; z )G G G là trọng tõm tứ diện ABCD thỡ

4 Tích có hướng của hai vectơ:

Cho vectơ a (x ; y ; z ) 1 1 1

, b(x ; y ; z )2 2 2

khi đó tích có hướng của hai vectơ a

, b

là một vectơ được kí hiệu là [a

,b ] và có toạ độ :

1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1

Chỳ ý:1 Hai vectơ a

và b cùng phương khi và chỉ khi

 

 [ a, b] 0

2 Ba vectơ a

, b

và c đồng phẳng khi và chỉ khi [ a, b].c 0

 





3

 





a [ a, b] và

 





b [ a, b] (Tích cĩ hướng của hai vectơ là một vectơ

vuơng gĩc với hai vectơ đĩ)

4

[ a, b] a b sin với  là gĩc giữa hai vectơ a và b

5 Diện tớch tam giỏc, thể tớch của hỡnh hộp, khối tứ diện:

1 Diện tớch tam giỏc ABC : ABC 1

2

 

2 Thể tớch của hỡnh hộp ABCD.A/B/C/D/ :

/ / / /

/ ABCD.A B C D

V  AB, AD AA



 

3 Thể tớch của khối tứ diện ABCD : ABCD 1



  

6 Phương trỡnh mặt cầu:

a Phương trỡnh mặt cầu tõm I(a ; b ; c) bỏn kớnh R cú dạng

(S): (x – a)2 + (y – b)2 + (z – c)2 = R2

b.Phương trỡnh (S) : x2 + y2 + z2 – 2ax – 2by – 2cz + d = 0 (a2 + b2 + c2 – d

> 0) là phương

trỡnh mặt cầu tõm I(a ; b ; c), bỏn kớnh : R a2b2c2d

II.PHƯƠNG TRèNH MẶT PHẲNG

1 Ph trỡnh mặt phẳng (  ) cĩ vectơ pháp tuyến n ( A ; B ; C)

và đi qua điểm M(x 0 , y 0 , z 0 )

cú dạng () : A(x x ) B( y y ) C(z z ) 0 0   0   0 

2 Phương trỡnh tổng quỏt của mặt phẳng: ():Ax +By+Cz+D= 0(A2+B2+C2

>0) với

C)

;

B

;

(A

n 



là vtpt

3.Các trường hợp đặc biệt:

Trong khụng gian (Oxyz) cho ():Ax + By + Cz + D = 0

1) mp đi qua gốc toạ độ O  D = 0

2) mp song song hoặc chứa Ox  A = 0

3) mp song song hoặc trựng với (Oxy)  A = B = 0

4) Phương trỡnh của mặt phẳng theo đoạn chắn:

Mặt phẳng () cắt các trục toạ độ Ox, Oy, Oz lần lượt tại các điểm cĩ toạ độ tại

các điểm (a ; 0 ; 0), (0 ; b ; 0),(0 ; 0 ; c) cĩ phương trỡnh dạng : 1

c

z b

y a

x







(a.b.c≠ 0)

4 Vị trí tương đối của hai mặt phẳng:

Cho hai mặt phẳng: () : A1x + B1y + C1z + D1 = 0, () : A2x + B2y + C2z + D2 = 0

 () cắt ()  A1 : B1 : C1  A2 : B2 : C2  () // () 

2 1 2 1 2 1 2

1

D

D C

C B

B A

A





  ()  () 

2 1 2 1 2 1 2

1

D

D C

C B

B A

A







* ( ) ( )     AA BB CC1 2 1 2 1 2 0

5 Khoảng cách từ một điểm M(x 0 ; y 0 ; z 0 ) đến mặt phẳng () : Ax + By + Cz + D = 0 là:

 

2 2 2

0 0 0 0

C B A

D Cz By Ax M

d













) (

;

6 Gúc giữa hai mặt phẳng:

Cho hai mặt phẳng: () : A1x + B1y + C1z + D1 = 0

() : A2x + B2y + C2z + D2 = 0 Gọi  là gúc giữa hai mặt phẳng () và () thỡ ta cú:

cos =

( ) ( )

n n

n n

 

 

2 2

2 2

2 2

2 1

2 1

2 1

2 1 2 1 2 1

C B A C B A

C C B B A A















.

III PHƯƠNG TRèNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHƠNG GIAN

1 Phương trỡnh tham số – Phương trỡnh chớnh tắc:

Đường thẳng  đi qua M0(x0 ; y0 ; z0), cú VTCP u (a; b c)



thỡ :

a) Phương trỡnh tham số  :























ct z z

bt y y

at x x

0 0

0

b) Phương trỡnh chớnh tắc  :

c

z z b

y y a

x









(a.b.c ≠ 0)

2 Vị trí tương đối của hai đường thẳng:

Đường thẳng 1 đi qua M1(x1 ; y1 ; z1), vectơ chỉ phương u 1 (a1; b1 c1)



) c b

;

( 2 2 2

u 



Khi đó, a) 1 cắt 2  1 2 1 2

u u M M







  

b) 1 // 2  a1 : b1 : c1 = a2 : b2 : c2  (x2 – x1) : (y2 – y1) : (z2 – z1)

c) 1  2  a1 : b1 : c1 = a2 : b2 : c2 = (x2 – x1) : (y2 – y1) : (z2 – z1)

d) 1 chộo 2  u , u1 2 M M1 2 0

 





3 Vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng:

Cho đường thẳng  đi qua M(x0 ; y0 ; z0) có vectơ chỉ phương u (a; b c)



Mặt phẳng () : Ax + By + Cz + D = 0 cú n (A B C)



Khi đó : a)  cắt ()  u và n khụng vuụng gúc  Aa + Bb + Cc  0

b)  // ()  u và n vuông góc và không có điểm chung 





















0 D Cz By

Ax

0 Cc Bb

Aa

0 0 0

c)   ()  u n và có điểm chung 





















0 D Cz By Ax

0 Cc Bb Aa

0 0 0

4.Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng  đi qua M0(x0 ; y0 ; z0) có vectơ

chỉ phương u (a; b c)



là:

0 , ( ; )

| |

M M u

d M

u











5 Khoảng cách giữa hai đường thẳng chộo nhau :

chỉ phương u 1 (a1; b1 c1)



và 2 đi qua M2 (x2 ; y2 ; z2), vectơ chỉ phương )

c b

; ( 2 2 2

u 



Khoảng cách giữa hai đường thẳng 1 và 2 là

 

 



1 2

1 2

u ,u M M

u ,u

6 Góc giữa hai đường thẳng:

Đường thẳng 1 có vectơ chỉ phương u 1 (a1; b1 c1)



Đường thẳng 2 có vectơ chỉ phương u2 (a ; b ; c )2 2 2



Gọi  là góc giữa hai đường thẳng 1 và 2 ta cú

1 2

u u

cos

u u

7 Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng:

Cho đường thẳng  có vectơ chỉ phương 



u (a ; b ; c) và mặt phẳng () cú VTPT n (A B C)



Gọi  là góc giữa đường thẳng  và () Ta cú :

Aa Bb Cc

| n u | sin

| n | | u |

 