HSG8 cđ11 đa THỨC và TÍNH CHIA hết của đa THỨC

Gọi thương là qx.Theo định nghĩa phép chia còn dư, ta có :... Hãy tính giá trị của biểu thức... Hãy tính giá trị của biểu thức... Từ đó suy ra P x có giá trị nguyên với mọi x là số ng

Sản phẩm dùng chung tách dạng hsg 6789 hoặc vào 10

ĐS8-Chuyên đề 11: ĐA THỨC VÀ TÍNH CHIA HẾT CỦA ĐA THỨC

Qua Các Đề Thi HSG Môn Toán Lớp 8 Dạng 1: Tìm Dư Trong Phép Chia

Bài 5: Tìm số dư trong phép chia  x  3   x  5   x  7   x  9   2033 cho x2  12 x  30

Bài 6: a) Tìm số dư trong phép chia của đa thức  x  2   x  4   x  6   x  8   2017cho đa thức x2 10 x  21

b) Cho A n  6  10 n4  n3 98 n  6 n5  26và B   1 n3 n Chứng minh với mọi

nthì thương của phép chia Acho B là bội số của 6

Bài 7:

a) Tìm số dư trong phép chia đa thức  x  1   x  3   x  5   x  7   9 cho

x  x 

b) Tìm mọi số nguyên xsao cho x3  2 x2  7 x  7chia hết cho x 2 3

Bài 8: Đa thức f(x) khi chia cho x  dư 4, khi chia cho 1 x 2 1 dư 2x  Tìm phần dư khi chia 3f(x) cho (x1)(x21)

Bài 9: Tìm dư khi chia x2015  x1945  x1930  x2  x  1cho x 2 1

Bài 10: Tìm đa thức dư khi chia đa thức x100  2 x51 1 cho x 2 1

B.Lời giải

Sản phẩm dùng chung tách dạng hsg 6789 hoặc vào 10

Bài 1: Tìm số dư trong phép chia của biểu thức x2 x4 x6 x82008 cho đa thức

Do đó khi chia t2 2t1993cho t ta có số dư là 1993

Bài 2: Tìm số dư trong phép chia của biểu thức:

Vậy số dư của phép chia là 1997

Bài 3: Tìm số dư trong phép chia của đa thức x2 x4 x6 x82010cho đa thức

Đặt tx210x21,biểu thức được viết lại:

Do đó khi chia cho t ta có số dư là

Sản phẩm dùng chung tách dạng hsg 6789 hoặc vào 10

Bài 4: Tìm số dư trong phép chia của biểu thức  x  2   x  4   x  6   x  8   2015cho đathức x2  10 x  21.

Do đó khi chia t2  2 t  2000cho tta có số dư là 2000.

Bài 5: Tìm số dư trong phép chia  x  3   x  5   x  7   x  9   2033 cho x2  12 x  30

Vậy số dư trong phép chia  x  3   x  5   x  7   x  9   2033cho x2 12 x  30là 2018

Bài 6: a)Tìm số dư trong phép chia của đa thức  x  2   x  4   x  6   x  8   2017cho đathức x2 10 x  21

b)Cho A n  6  10 n4  n3 98 n  6 n5  26và B   1 n3  n Chứng minh với mọi nthì

thương của phép chia Acho B là bội số của 6

Do đó khi chia t2  2 t  2000cho t ta có số dư là 2002

b) Thực hiện phép chia , ta được:

Thương của A chia cho B là n3 6n211n 6

Sản phẩm dùng chung tách dạng hsg 6789 hoặc vào 10

Vậy số dư trong phép chia f x   cho x2  8 x  12là  6

b) Thực hiện phép chia đa thức B x  3 2 x2  7 x  7cho C x  2  3, ta được: Đa thức thương:

Sản phẩm dùng chung tách dạng hsg 6789 hoặc vào 10

Vì x  2 3 3nên xảy ra một trong hai trường hợp sau:

Bài 8: Đa thức f(x) khi chia cho x  dư 4, khi chia cho 1 x 2 1 dư 2x  Tìm phần dư khi chia 3f(x) cho (x1)(x21)

Lời giải

Theo định lí bơ-zu ta có: f(x) chia x 1 dư 4 => f(-1) = 4

Do bậc của đa thức chia(x1)(x21) là 3 nên đa thức dư có dạng ax2bx c

Gọi thương là q(x).Theo định nghĩa phép chia còn dư, ta có :

Sản phẩm dùng chung tách dạng hsg 6789 hoặc vào 10

Ta có: f x     x2  1  Q x ( )  ax b 

Đẳng thức trên đúng với mọi xnên

- Với x  1 ta được f   1    a b a b   2 (1)

- Với x  1 ta được: f   1   a b    a b   0 (2)

Từ (1) và (2) suy ra a  1, b  1, Dư phải tìm là x  1

Bài 10: Tìm đa thức dư khi chia đa thức x100  2 x51 1 cho x 2 1

f x chia cho x 2 4được thương là  5xvà còn dư

Bài 2: Tìm đa thức f x ( )biết rằng: f x ( )chia cho x  2dư 10, f x ( )chia cho x  2dư 22, f x ( )

chia cho x 2 4được thương là  5xvà còn dư

Bài 3: Tìm đa thức f x ( )biết rằng : f x ( )chia cho x  2dư 10, f x  chia cho x  2dư 26,

 

f x chia cho x 2 4được thương là  5xvà còn dư

Bài 4: Tìm đa thức f x   , biết f x  chia cho x  3dư 5, f x ( )chia cho x  5 dư 7, f x ( )chia

cho  x  3   x  5 được thương là 2xvà còn dư.

Sản phẩm dùng chung tách dạng hsg 6789 hoặc vào 10

Sản phẩm dùng chung tách dạng hsg 6789 hoặc vào 10

Bài 4: Tìm đa thức f x   , biết f x  chia cho x  3dư 5, f x ( )chia cho x  5 dư 7, f x ( )chia

cho  x  3   x  5 được thương là 2xvà còn dư.

Bài 1: Tính giá trị A = x15 – 8x14 + 8x13 – 8x12 + - 8x2 + 8x + 1 với x = 7

Bài 2: Cho đa thức F x( )x3ax b (với a b  , ) Biết đa thức F x( ) chia cho x  2 thì dư 12,( )

F x chia cho x 1 thì dư 6 Tính giá trị của biểu thức:B(6a3b11)(26 5 a5 )b

Bài 3: Cho a2  b2  c2  a3 b3  c3  1.Tính S a  2  b2012  c2013.

Bài 4:Đa thức chia hết cho các đa thức Tính

Bài 5: Đa thức P x ( )bậc 4 có hệ số bậc cao nhất là 1 Biết P(1) 0; P(3) 0; (5) 0 P  .

Hãy tính giá trị của biểu thức

Sản phẩm dùng chung tách dạng hsg 6789 hoặc vào 10

Bài 7: Cho hai đa thức P x ( )  x5 5 x3 4 x  1, Q x    2 x2   x 1.Gọi là

các nghiệm của Tính giá trị của Q x Q x Q x Q x Q x          1 . 2 . 3 . 4 . 5

Bài 8 : Đa thức bậc 4 có hệ số cao nhất là 1 và thỏa mãn

Sản phẩm dùng chung tách dạng hsg 6789 hoặc vào 10

Bài 5: Đa thức P x ( )bậc 4 có hệ số bậc cao nhất là 1 Biết P(1) 0; P(3) 0; (5) 0 P 

Hãy tính giá trị của biểu thức

Sản phẩm dùng chung tách dạng hsg 6789 hoặc vào 10

Bài 6: Đa thức f x    4 x3 ax b  chia hết cho các đa thức x  2; x  1. Tính 2 a  3 b

Bài 7: Cho hai đa thức P x ( )  x5 5 x3 4 x  1, Q x    2 x2   x 1.Gọi là

các nghiệm của Tính giá trị của Q x Q x Q x Q x Q x          1 . 2 . 3 . 4 . 5

Sản phẩm dùng chung tách dạng hsg 6789 hoặc vào 10

(6) 5.4.3.2.1 6 156(7) 6.5.4.3.2 7 769

P P

Sản phẩm dùng chung tách dạng hsg 6789 hoặc vào 10

1

0 2

có giá trị nguyên với mọi x là số nguyên

Bài 4: Chứng minh n3 17 n chia hết cho 6với mọi n

Sản phẩm dùng chung tách dạng hsg 6789 hoặc vào 10

Bài 5: Chứng minh rằng với mọi số nguyên athì a3  5 achia hết cho 6

Bài 6: Chứng minh rằng: Q n  3  n  1 3   n  2 9 3 với mọi n *

Bài 7: Cho f x ( )  ax2  bx c  với a b c , , là các số thỏa mãn 13 a b   2 c  0

Chứng tỏ rằng f   2    f 3  0

Bài 8: Chứng minh rằng:  xm xn  1 

chia hết cho x2   x 1 khi và chỉ khi  mn  2 3  

Áp dụng phân tích đa thức thành nhân tử:

luôn không âm với

mọi giá trị của biến x

Sản phẩm dùng chung tách dạng hsg 6789 hoặc vào 10

Ta có: G x 8nx4n 1 x8n2x4n 1 x4n x4n1 2 x2n2 x4nx2n1 x4n x2n1

(1)Mặt khác, x4n x2n 1 x4n2x2n 1 x2n x2n1  2 x n 2 x2nx n1 x2n x n1 2  

, còn x1 x x13x x2 1 là số nguyên chia hết cho 6

Từ đó suy ra P x có giá trị nguyên với mọi x là số nguyên.

Bài 4: Chứng minh n3 17 n chia hết cho 6với mọi n

Sản phẩm dùng chung tách dạng hsg 6789 hoặc vào 10

18 6 n , suy ra điều phải chứng minh

Bài 5: Chứng minh rằng với mọi số nguyên athì a3  5 achia hết cho 6

Lời giải

a  a a   a  a a a    a a a   a   a

Vì a a (  1)( a  1)là tích 3 số nguyên liên tiếp nên có 1 số chia hết cho 2, một số chia hết cho 3 mà

 2,3   1nên a a   1   a  1 chia hết cho 6

6a chia hết cho 6

Nên a3 5 achia hết cho 6

Bài 6: Chứng minh rằng: Q n  3  n  1 3   n  2 9 3 với mọi n *

Nên Q  3 Cchia hết cho 9

Bài 7: Cho f x ( )  ax2  bx c  với a b c , , là các số thỏa mãn 13 a b   2 c  0

Sản phẩm dùng chung tách dạng hsg 6789 hoặc vào 10

chia hết cho x2   x 1 khi và chỉ khi  mn  2 3  

Áp dụng phân tích đa thức thành nhân tử:

Sản phẩm dùng chung tách dạng hsg 6789 hoặc vào 10

Bài 9: Chứng minh rằng không có giá trị tự nhiên nnào để giá trị của biểu thức

luôn không âm với

mọi giá trị của biến x

Bài 2:Tìm tất cả các số tự nhiên k để đa thức f k  k32k215 chia hết cho g k   k 3

Bài 3:Xác định các số hữu tỉ a và bsao cho:

Bài 6: Tìm a b, sao cho f x( )ax3bx210x 4chia hết cho đa thức g x( )x2 x 2

Bài 7: Tìm giá trị nguyên của xđể đa thức f x ( )  x3  3 x2  3 x  1 chia hết cho

2

g x  x   x

Sản phẩm dùng chung tách dạng hsg 6789 hoặc vào 10

Bài 8: Cho đa thức f x ( )  x3  3 x2  3 x  4.Với giá trị nguyên nào của xthì giá trị của đa thức

( )

f x chia hết cho giá trị của đa thức x 2 2

Bài 9: Tìm giá trị của a để 21x2 9x3 x x4 a x2 x 2

Bài 10: Tìm anguyên để a3 2 a2  7 a  7chia hết cho a 2 3

Bài 11: Tìm giá trị nguyên của xđể A B  biếtA  10 x2  7 x  5và B  2 x  3

Bài 12:

a) Tìm a b , sao cho f x ( )  ax3 bx2  10 x  4chia hết cho đa thức g x ( )  x2   x 2

b) Tìm số nguyên asao cho a 4 4là số nguyên tố

Bài 13: Tìm tất cả các số nguyên nsao cho: 4 n3  n 3chia hết cho 2 n2   n 1

Bài 14: Cho đa thức h x( )bậc 4, hệ số của bạ cao nhất là 1, biết h 1 2;h 2  ;5

chia hết cho 210 với mọi số tự nhiên n

Bài 20: Cho biểu thức: 2 2

:

x x A

Sản phẩm dùng chung tách dạng hsg 6789 hoặc vào 10

có giá trị nguyên với mọi x là số nguyên

Bài 22: Cho biểu thức

1 1  2 k 2   1 1 2 Q   6 2k 0 k 3

Vậy, A x 3y3z3kxyz chia hết cho đa thức x y z  thì k 3

b) Từ đề bài suy ra P x   6 chia hết cho x 1, cho x  2 , cho x  3

Do đó, P x   6 chia hết cho x 1 x  2 x  3.

Đặt P x  6m x. 1 x 2 x 3

với m Q ( vì P x  có bậc là ba )Suy ra P x   6 m x. 1 x 2 x 3

với m Q Theo giả thiết P  1 18, do đó 18 6   2 3 4m m1

Sản phẩm dùng chung tách dạng hsg 6789 hoặc vào 10

Áp dụng định lí Bézout:

Số dư của f x  chia cho g x  là f  3 27 18 15 6  

Để f x  chia hết cho g x thì 6k 3, suy ra k 0;3

Bài 3:Xác định các số hữu tỉ a và bsao cho:

Sản phẩm dùng chung tách dạng hsg 6789 hoặc vào 10

x4c 1x3b c 1x2   b c x b 

Suy ra x4ax2 b x4c1x3b c 1x2   b c x b 

với mọi xĐồng nhất thức hai vế, ta được: c1 0, b c   1 a b c,  0

Vì f x ( )  ax3 bx2  10 x  4 chia hết cho đa thức g x    x2   x 2

Nên tồn tại một đa thức q x ( )sao cho f x ( )  g x q x ( ) ( )

Thực hiện phép chia x3 3 x2  3 x  1 cho x2   x 1

Ta được thương là x  4,dư là 3

Sản phẩm dùng chung tách dạng hsg 6789 hoặc vào 10

Để f x g x      thì 3  x2   x 1 mà x2    x 1 0nên

2 2

Chia f x ( )cho x 2 2được thương là x  3dư x  2

Để f x ( )chia hết cho x 2 2 thì x  2chia hết cho x 2 2

Thử lại ta thấy x  1; x  2thỏa mãn

Vậy với x  1; x  2thì f x ( )chia hết cho x 2 2

Bài 9: Tìm giá trị của a để 21x2 9x3 x x4 a x2 x 2

Sản phẩm dùng chung tách dạng hsg 6789 hoặc vào 10

a) Tìm a b , sao cho f x ( )  ax3 bx2  10 x  4chia hết cho đa thức g x ( )  x2   x 2

b) Tìm số nguyên asao cho a 4 4là số nguyên tố

Lời giải

a) Ta có: g x ( )  x2   x 2   x  1   x  2 

Vì f x ( )  ax3 bx2  10 x  4chia hết cho đa thức g x ( )  x2   x 2

Nên tồn tại một đa thức q x ( )sao cho f x ( )  g x q x   ( )

Sản phẩm dùng chung tách dạng hsg 6789 hoặc vào 10

n n n

Sản phẩm dùng chung tách dạng hsg 6789 hoặc vào 10

Sản phẩm dùng chung tách dạng hsg 6789 hoặc vào 10

Sản phẩm dùng chung tách dạng hsg 6789 hoặc vào 10

Lời giải

a) ĐKXĐ:

1 1;

Từ đó suy ra P x có giá trị nguyên với mọi x là số nguyên.

Bài 22: Cho biểu thức

Sản phẩm dùng chung tách dạng hsg 6789 hoặc vào 10