TOÁN 9 đề đa KS THÁNG 4 THCS AMSTERDAM 2021 2022

2,0 điểm 1 Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình : Một đội xe dự định dùng một số xe cùng loại để chở 180 tấn hàng để ủng hộ đồng bào các tỉnh khó khăn để chố

TRƯỜNG THPT CHUYÊN HÀ NỘI – AMSTERDAM

TỔ TOÁN – TIN

ĐỀ KIỂM TRA KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG

NĂM HỌC 2021 - 2022 MÔN TOÁN LỚP 9

Thời gian làm bài: 120 phút

Bài I (2,0 điểm)

Cho hai biểu thức:

7

x A x





và

4

2 2

B

x



1) Tính giá trị của biểu thức A khi x 9.

2) Chứng minh

2

x B

x





3) Tìm tất cả các số nguyên x để biểu thức PA B. có giá trị nguyên

Bài II (2,0 điểm)

1) Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình :

Một đội xe dự định dùng một số xe cùng loại để chở 180 tấn hàng để ủng hộ đồng bào các tỉnh khó khăn để chống dịch Covid Lúc sắp khởi hành đội được bổ sung thêm 3 xe nữa cùng loại Nhờ vậy, so với ban đầu, mỗi xe chở ít hơn 2 tấn Hỏi lúc đầu đội có bao nhiêu xe? Biết khối lượng hàng mỗi xe chở như nhau

2) Một bồn nước inox có dạng một hình trụ với đường kính đáy 60cm , chiều cao là 1 m Hỏi bồn nước này đựng đầy

được bao nhiêu mét khối nươc? (Bỏ qua chiều dày của vỏ thùng và lấy  3,14)

Bài III (2,5 điểm)

1) Giải hệ phương trình

2

1

1 3

2 1

1 2

y x

y x y









2) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy,cho parabol  P :y x 2

và đường thẳng  d :y2m1x m 2 m a) Chứng minh đường thẳng  d luôn cắt  P tại hai điểm phân biệt có hoành độ là x x1, 2

b) Giả sử x1x2 Tìm tất cả các giá trị của m để x12 x2 1 0

Bài IV (3,0 điểm)

Cho tam giác nhọn ABC AB AC   nội tiếp đường tròn  O

, các đường cao AD BE, cắt nhau tại H , F là chân đường vuông góc hạ từ B lên tiếp tuyến tại A của  O

Gọi K là trực tâm của tam giác BEF , đường thẳng CK cắt AF tại điểm M

1) Chứng minh các điểm A F B D E, , , , cùng nằm trên một đường tròn

2) Chứng minh

AM AF

AC EC và ABF CBE

3) Gọi N là chân đường cao hạ từ A lên BM Chứng minh: BA là phân giác của MBC và N K E, , thẳng hàng.

Bài V (0,5 điểm)

ĐỀ CHÍNH THỨC

Với các số thực không âm , ,a b c thỏa mãn ab bc ca abc    tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức4,

P a b c

HƯỚNG DẪN Bài I. (2,0 điểm)

Cho hai biểu thức

7



x A

x và

4

2 2



B

x

a) Tính giá trị của biểu thức A khi x9.





x B

c) Tìm tất cả các số nguyên x để biểu thức P A B có giá trị nguyên. .

Lời giải

a) Ta thấy x9 thỏa mãn điều kiện x0,x4, ta thay vào biểu thức A , ta được

3 9

A

x

Vậy

2 3



A

khi x9

b) Với điều kiện x0,x4, ta có:

4

2 2



B

x





2 2

2







x x

x

Vậy với x0,x4 thì 2





x B

x

c) Ta có:

Để P là số nguyên thì

 

3













x x

(Thỏa mãn x0,x4) Vậy với x1 thì biểu thức PA B có giá trị nguyên.

Bài II. (2,0 điểm)

1) Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình:

Một đội xe dư định dùng một số xe cùng loại để chở 180 tấn hàng để ủng hộ đồng bào các tỉnh khó khăn để chống dịch Covid Lúc sắp khởi hành đội được bổ sung thêm 3 xe nữa cùng loại Nhờ vậy,

so với ban đầu, mỗi xe chở ít hơn 2 tấn Hỏi lúc đầu đội có bao nhiêu xe? Biết khối lượng hàng mỗi

xe chở như nhau

Lời giải

Gọi số xe lúc đầu của đội là x (đơn vị: xe, điều kiện x N ) *

Số tấn hàng mỗi xe chở lúc đầu là:

180

x (tấn hàng/xe)

Số xe thực tế là: x3 (xe)

Số tấn hàng mỗi xe chở thực tế là:

180 3



x (tấn hàng/xe)

Vì thực tế mỗi xe chở ít hơn 2 tấn nên ta có phương trình :

180 180

2 3



2

2

15 18





 





Vậy số xe lúc đầu của đội là 15 xe

2) Một bồn nước inox có dạng một hình trụ với đường kính đáy 60 cm , chiều cao là 1m Hỏi bồn nước này đựng đầy được bao nhiêu mét khối nước? (Bỏ qua chiều dày của vỏ thùng và lấy  3,14)

Lời giải

Đổi 60 cm 0, 6 m

Bán kính của đáy là: 0,6 : 2 0,3 m  

Thể tích của bồn nước là: V  .R h2 3,14.0,3 1 0, 2826(m )2  3

Vậy thể tích của bồn nước là 0, 2826 m nước.3

Bài III (2,5 điểm)

1) Giải hệ phương trình

2

1

1 2









y x

y x y

Lời giải

(ĐKXĐ: x1;y1)

2

1

1 2









y x

y x y

2( 1) 2

1

1 2

 





 



y x

y x

y

2

1

1 2





 



x

y x

y

2

1 2

1





 



x y x y

2

1



 



x

y x

2

1

1 1



 



x y x

2

1

1 1



 



y x

2 1 1

1 1





 

 



y x

1 2

1 1

 



 

 



y x

1 ( )

0 ( )





 





Vậy hệ có nghiệm x y;   0;1.

2) Trong mặt phẳng tạo độ Oxy , cho Parabol ( ) : P y x và đường thẳng2

2 ( ) :d y(2m1)x m  m

a) Chứng minh đường thẳng ( )d luôn cắt ( ) P tại hai điểm phân biệt có hoành độ là x x 1, 2 b) Giả sử x1x Tìm tất cả các giá trị của 2 m để x12 x2 1 0.

Lời giải

a) Chứng minh đường thẳng ( )d luôn cắt ( ) P tại hai điểm phân biệt có hoành độ là x x 1, 2 Xét phương trình hoành độ giao điểm của ( )d và ( ) P , ta có:

x2 (2m1)x m 2 m

 x2 (2m1)x m 2 m0 (1)

Phương trình (1) có: a1;b(2m1);c m 2m

Vì a 1 0 nên (1) là phương trình bậc hai, ta có:

 (2 1)2 4.1.( 2 )

   m  m m

4m24m 1 4m2 4m

1 0,  m

Vì  0,m nên phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt x x với mọi 1, 2 m

 ( )d luôn cắt ( ) P tại hai điểm phân biệt có hoành độ là x x với mọi 1, 2 m (đpcm)

b) Giả sử x1x Tìm tất cả các giá trị của 2 m để x12 x2 1 0

Theo câu a) ta có     phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt1 0

Vì x1x nên 2 x1m và x2  m 1

Thay x1m và x2  m 1 vào 2

1  2 1 0

x x ta được:

2 ( 1) 1 0 

( 1) 0

 m m 

0

1 0





   



m m

0 1







m m

Vậy m0;1 là các giá trị cần tìm.

Bài IV (3,0 điểm)

Cho tam giác ABC (AB AC nội tiếp đường tròn  )  O ,

các đường cao AD BE cắt nhau tại ,, H F

là chân đường vuông góc hạ từ B lên tiếp tuyến tại A của  O Gọi K là trực tâm của tam giác

BEF , đường thẳng CK cắt AF tại điểm M

1) Chứng minh các điểm , , , ,A F B D E cùng nằm trên một đường tròn.

2) Chứng minh

AF



AM

AC EC và  ABF CBE 

3) Gọi N là chân đường cao hạ từ A lên BM Chứng minh: BA là phân giác của MBC và

, ,

N K E thẳng hàng.

Lời giải

M

K

F

H

D

E

O

A

1) Chứng minh các điểm , , , ,A F B D E cùng nằm trên một đường tròn.

Ta có: BFAM  BFA90

Xét tam giác ABF có BFA90 nên ABF nội tiếp đường tròn đường kính AB

Ta có: BEAC BEA 90

Xét tam giác ABE có BEA 90 nên ABE nội tiếp đường tròn đường kính AB

Ta có: ADBC ADB 90

Xét tam giác ABD có ADB90 nên ABD nội tiếp đường tròn đường kính AB

Từ đó, ta suy ra , , , ,A F B D E cùng thuộc đường tròn đường kính AB

Vậy các điểm , , , ,A F B D E cùng nằm trên một đường tròn

2) Chứng minh

AF



AM

AC EC và  ABF CBE 

Vì K là trực tâm BEF nên FK BE mà BEAC FK  AC

Xét AMC có

AF



(định lý Ta-let) (1)

Vì K là trực tâm BEF nên EK BF mà BF AM  EK  AM

Xét AMC có

EC



(định lý Ta-let) (2)

Từ (1) và (2)

(3)

Xét AFB và CEB ta có:

AFB CEB 90

 

FAB ECB (góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cùng chắn AB )

 AFB#CEB g g

 ABF CBE (góc tương ứng) (đpcm)

3) Chứng minh: BA là phân giác của MBC và , , N K E thẳng hàng

Ta có     (4)

#

Từ (3) và (4)    

BC AC AM CA Xét MAB và ACB ta có: MAB ACB ;   

 MAB#ACB c g c 

 MBA ABC   BA là tia phân giác của MBC

Mà ABF CBE cmt

 NBF ABEAFE FEK (5)

Lại có: ANB90  ANB nội tiếp đường tròn đường kính AB

Suy ra sáu điểm , , , , ,A F N B D E cùng thuộc đường tròn đường kính AB

 NBF NEF (góc nội tiếp cùng chắn cung NF ) (6)

Từ (5) và (6)  FEK NEF

 Ba điểm , ,N K E thẳng hàng (đpcm)

Bài V. Với các số thực không âm , ,a b c thỏa mãn ab bc ca abc   4, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Lời giải

Ta có: ab bc ca abc   4

 ab bc ca abc    a b c ab bc ca      a b c ab bc ca   

 abc ab bc ca a b c  bc b c  ca c a  ac a b

 a b c  a b  b c  c a

1

1

Ta lại có:

1

2 2 2

2 2 2



a

a

Tương tự như vậy ta có:

1

22 2



b

b

1

22 2



c

c c

Khi đó ta có: 2 2 2 2 21 2 21 2 21 2 21    

1

1

2 2

2 2

 a b c

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức P2 2

Dấu " " xảy ra khi và chỉ khi a b c; ;   2; 2;0 và các hoán vị của nó.