Trường Đại học Bách khoa tp.. Chuỗi số, chuỗi luỹ thừa • Giảng viên Ts.. Đặng Văn Vinh 11/2008 dangvvinh@hcmut.edu.vn Trường Đại học Bách khoa tp.. Chuỗi số, chuỗi luỹ thừa.. Hội II – Ch
Trang 1Trường Đại học Bách khoa tp Hồ Chí Minh
Bộ môn Toán Ứng dụng
-Giải tích 2 Chương 7 Chuỗi số, chuỗi luỹ thừa
• Giảng viên Ts Đặng Văn Vinh (11/2008)
dangvvinh@hcmut.edu.vn
Trường Đại học Bách khoa tp Hồ Chí Minh
Bộ môn Toán Ứng dụng
-Giải tích 2 Chương 7 Chuỗi số, chuỗi luỹ thừa
Giảng viên Ts Đặng Văn Vinh (11/2008)
dangvvinh@hcmut.edu.vn
Trang 2Nội dung
-I – Khái niệm chuỗi số
III- Chuỗi có dấu tuỳ ý Hội
II – Chuỗi không âm
IV- Chuỗi đan dấu Tiêu chuẩn
V- Chuỗi luỹ thừa Bán kính
Nội dung
-tụ tuyệt đối
chuẩn Leibnitz
kính và miền hội tụ
Trang 3II Chuỗi không âm Định nghĩa chuỗi không âm
Chuỗi số không âm là chuỗi
Nhận xét
Với chuỗi không âm, dãy tổng
Vậy chuỗi không âm hội tụ khi
II Chuỗi không âm
1
n
khi và chỉ khi bị chặn trên
n
S
Trang 4Tiêu chuẩn so sánh 1
,
n n
n n
1
n n
b
1
n n
a
1
n n
b
'
0 0
CM
dãy bị tụ
1
n n
a
1
n n
a
bị chặn trên, vậy chuỗi hội tụ
1
n n
a
Trang 5Tiêu chuẩn so sánh 2
Hai chuỗi
1 1
,
lim
n
K
3) K : Nếu chuỗi (1) HT,
thoả
0
0 a n b n, n n
n
a b
tụ, thì chuỗi (1) hội tụ
và (2) cùng HT hoặc cùng PK
HT, thì chuỗi (2) HT
Trang 6Ví dụ Khảo sát sự hội tụ của
Chuỗi dương
2
n
n n n n
1
b n
n
n
a b
Suy ra hai chuỗi
,
n n
n n
1
n
b
n
của chuỗi
2
cos
n
a
n n
2
n n n n n
n
b
không
cùng tính chất hội tụ
n n
tụ, nên chuỗi đã cho hội tụ
Trang 7Ví dụ Khảo sát sự hội tụ của
Chuỗi dương
3 3
0
n
1
2
n
q
Chuỗi dương
3
3
n
1
n
n
q
Ví dụ Khảo sát sự hội tụ của
5 3( 1)
2
n
n
n
a
3 3
hội tụ, nên chuỗi đã cho hội tụ
2
n
e n e e
FK, nên chuỗi đã cho FK
của chuỗi
3
3
1 2 ln 1
n
n
n
e n
a n
Trang 8Ví dụ Khảo sát sự hội tụ
Chuỗi dương
ln
2 1
1
n n
n
n
2
3/ 2
1 2
Ví dụ Khảo sát sự hội tụ
1/ 2
2
ln(1 sin(1/ )
n
a
ln(1 sin(1/ )n 1/ n 1
n
chuỗi đã cho hội tụ
chuỗi đã cho HT
n
Trang 9Ví dụ Khảo sát sự hội tụ
1 ln cosh(1/ )
n
a n n
1
1 2
n n
2 2
3
a
n
1
1
n
Ví dụ Khảo sát sự hội tụ
2
nên chuỗi đã cho hội tụ
chuỗi đã cho HT
2
2
n n
a n
2
2
2n
Trang 101 sin(1/ )
n
a n n
n
a
3
6
1 n
Ví dụ Tìm để chuỗi HT
Chuỗi đã cho hội tụ khi và chỉ
Ví dụ Tìm để chuỗi HT
ln 1
Chuỗi đã cho hội tụ khi và chỉ
3
1
3!
n
1
1
n
2
1
2
1
ln 1
6n
1
6 n
2
Trang 113 2
1
n
a
1
n
a
Ví dụ Tìm để chuỗi HT
n
n
a
Chuỗi đã cho hội tụ khi
1
1
1
cos(1/ ) sin(1/ )
n
n
2
Trang 12Ví dụ Tìm để chuỗi HT
ln(1 1/ )
1 1
n
n
1/ 2
e e e
1
2
e e
n
4
n
n
Chuỗi đã cho hội tụ khi và
1
1 1/
1 cos(1/ )
n
n
n
2 (1/ 1/ 2 )
e e
e e
2
e n
2
/ 2 4
n
a
n
2
e n
Trang 13Tiêu chuẩn d'Alembert
1
n n
a
2) được, chuỗi có thể HT, hoặc PK
1 lim n
n
n
a
D a
chuỗi phân kỳ
1:
D
Trang 14Tiêu chuẩn Cô si
1
n n
a
2) được, chuỗi có thể HT, hoặc PK
n
chuỗi phân kỳ
1:
C
Trang 15Ví dụ Khảo sát sự hội tụ của
1
1
1
(
1 1
) )
n
n
n
n
n
Ví dụ Khảo sát sự hội tụ của
n
n
n
n n n
3 (1 1/ )
5
lim
n n
n
n n
3 4
của chuỗi
1 1
n
n
n
a n
Phân kỳ
n
n
n
n
n
n n
3 (1 1/ ) n n
3
1
n
e
3
1 4
Trang 161
1 )
n
n n
a
Ví dụ Khảo sát sự hội tụ của
n
n a
n
n
n
Chuỗi hội tụ theo tiêu chuẩn
của chuỗi
1
n n
a
n n
n n
n
n a
n
3
1 5
chuẩn d'Alembert
Trang 171 1
1 1
n
n
n
Ví dụ Khảo sát sự hội tụ của
n a
n
1 3 5
n
n
Chuỗi phân kỳ theo tiêu chuẩn
của chuỗi
1
n n
a
n n
n n
n
n a
n
3
1 2
chuẩn d'Alembert
Trang 18Ví dụ Khảo sát sự hội tụ của
/ 2
(ln( 1))
n a
n
Chuỗi hội tụ theo tiêu chuẩn Cô
Ví dụ Khảo sát sự hội tụ của
3 1
n
n
n a n
n
1/ 2
e
1
1
e
1
n
n n
1
của chuỗi
3 1
1 cos
n
2 1
lim cos
n
n
1
1 2
1
2
n n
Cô si
Trang 19Ví dụ Khảo sát sự hội tụ của
3
3 1
1
1
n n n
n
n
n a
n
Chuỗi hội tụ theo tiêu chuẩn Cô
Ví dụ Khảo sát sự hội tụ của
1
3
n n
n
n
chuỗi
4
3 1
1
1 1
n n
n
n n
4
( 1) 1 2
2
1
n n
n n n
Cô si
của chuỗi
2
1 1
2 3
3
n n
n
n n
1 ( 3) 3 1
1 3
n
n
Phân kỳ
2
1
e
3
1
e
Trang 20II Chuỗi có dấu tuỳ ý Hội tụ tuyệt đối.
Định nghĩa hội tụ tuyệt đối
1
n n
a
Định lý
1
n n
a
Theo định lý: chuỗi hội tụ tuyệt
Mệnh đề ngược lại không đúng
tuy nhiên chuỗi của trị tuyệt đối
II Chuỗi có dấu tuỳ ý Hội tụ tuyệt đối
1
n n
a
1
n n
a
tuyệt đối thì hội tụ
đúng: có những chuỗi hội tụ, đối không hội tụ