Vì vậy để đến B đúng giờ đã định người đó phải tăng vận tốc thêm 10km/h trên quãng đường còn lại.. Bài 10: Một đội sản xuất dự định làm 25 sản phẩm một ngày.. Do cải tiến kĩ thuật nên th
Trang 1ĐÈ CƯƠNG ÔN TẬP KÌ 2 THCS GIẢNG VÕ NĂM 2017-2018
PHẦN ĐẠI SỐ
Bài 1: Giải các phương trình sau:
x 2 x 3 3 4x 2 (x 4 ) ; f) (x2 9)(x 7) (x 3)(x2 6) ; b)
2
8
-5x 2 12
=
2
; g) x2 x 20 0 ; h) 2x3 2 2x2 =1 ; c)
2
; i) 7 x 2x 3 ; k)
2x 3 4x 9 0
0 4x 20 20 2x 6x 30
m) 3x 5 2 5x ; n)
2
x x 3 x x 1 1
e) x 2 x 1 2 4
x 3 x 1 x 2x 3
; p*) x 4 x 1 9 ;
Bài 2: Giải các bất phương trình sau rồi biểu diễn tập nghiệm trên trục số:
a) (x 3)2 3(2 x 1) x(x 4) ; d) 2x 1
2
x 3
; f)
2
x 3x 4 0 b) x 1 2x 1
3 2x 6
; g)
5x 1 5 3x
c) 2x 7 2x 2x 3
; h*) 2 x 1 3 2 x 1 x 0
Bài 3: Cho biểu thức : A=
2 2
:
a) Rút gọn A; c) Tính giá trị của A biết x 1 3;
b) Tìm x để A < 2; d) Tìm x để A 1
Bài 4: Cho biểu thức: B=
2 2
:
a) Rút gọn B; c) Tìm x để B ;
b) Tính giá trị của B biết 2x2 7x 3 0 ; d) Tìm x để B 1
Bài 5: Cho biểu thức: C= 4a 12 1 1 3 1
:
a) Rút gọn C; c) Tìm giá trị nhỏ nhất hoặc giá trị lớn nhất của C để a + b = 6
b) Tính giá trị của C biết a =1 6
;b
Trang 2Bài 6: Cho biểu thức
a) Rút gọn D
b) Tìm giá trị của x để D = 3
c) Tìm những giá trị của x để D < 0 d) Tìm GTNN của biểu thức x.D biết x > 2
Bài 7: Một người đi xe đạp từ A đến B mất 3 giờ Lúc về người đó đi với vận tốc nhỏ hơn lúc đi là 3km/h
nên thời gian về nhiều hơn thời gian đi là 45 phút Tính quãng đường AB
Bài 8: Quãng đường AB dài 75km Lúc 8 giờ một xe máy đi từ A và dự định đến B lúc 11 giờ, nhưng đi
đực một lúc thì xe hỏng phải dừng lại sửa mất 32 phút Sau đó xe đi tiếp với vận tốc bằng 3
5 vận tốc ban
đầu nên đến B chậm hơn dự định 2 giờ Hỏi xe hỏng lúc mấy giờ Chỗ hỏng xe cách A bao nhiêu km?
Bài 9: Một người dự định đi xe máy từ A đến B với vận tốc 30km/h Sau khi đi được 2 giờ với vận tốc đó,
người ấy dừng lại nghỉ 15 phút Vì vậy để đến B đúng giờ đã định người đó phải tăng vận tốc thêm 10km/h trên quãng đường còn lại Tính quãng đường AB?
Bài 10: Một đội sản xuất dự định làm 25 sản phẩm một ngày Do cải tiến kĩ thuật nên thực tế mỗi ngày đã
làm được 30 sản phẩm, vì vậy chẳng những đã hoàn thành kế hoạch trước 3 ngày mà còn làm vượt 10 sản phẩm Tính số sản phẩm đội phải làm theo kế hoạch
Bài 11: Một xí nghiệp may được giao may một số áo trong 20 ngày Xí nghiệp đã tăng năng suất 20%nên
sau 18 ngày không những đã làm xong số áo được giao mà còn làm thêm được 24 chiếc nữa Tính số áo mà
xí nghiệp đã làm trong 18 ngày đó
Bài 12: Một lâm trường dự định trồng 75ha rừng trong một số tuần lễ Do mỗi tuần trồng vượt mức 5ha so
với kế hoạch nên đã trồng được 80ha và hoàn thành sớm hơn 1 tuần Hỏi mỗi tuần lâm trường đã trồng được bao nhiêu ha rừng?
Bài 13: Hai công nhân cùng làm trong 16 giờ thì xong công việc Nếu người thứ nhất làm một mình trong
3 giờ rồi đi làm việc khác, người thứ hai làm trong 6 giờ tiếp theo thì cả hai làm được 25% công việc Hỏi nếu mỗi người làm một mình thì sau bao lâu hoàn thành công việc?
Bài 14: Hai tổ sản xuất phải dệt 140 áo len Trong thực tế tổ I đã vượt mức 10% kế hoạch của mình, tổ 2
vượt mức 5% kế hoạch của mình nên cả hai tổ đã dệt được 150 áo len Hỏi theo kế hoạch thì mỗi tổ phải dệt bao nhiêu áo len?
Bài 15: Tìm số có hai chữ số biết rằng chữ số hàng đơn vị gấp hai lần chữ số hàng chục Nếu viết thêm
chữ số 1 vào giữa hai chữ số của số đó thì đước ố mới hơn số cũ 280 đơn vị
Bài 16: Tìm giá trị nhỏ nhất hoặc giá trị lớn nhất của các biểu thức sau
2
A 3x 2x 3
B 3x 6xy 5y y 3x 2016
2
2
C*
x 4 x 9
x
2
2
1
Bài 17*: Chứng minh bất đẳng thức
a) 2 1
x
c) a2 b2 c2 ab bc ca
Trang 3b) 1 1
với a, b > 0 d) a 1 b 1 c 1 8 với a, b, c > 0 và abc 1
PHẦN HÌNH HỌC
Bài 1: Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 18cm, AD = 12cm Gọi M là trung điểm của AB Tia DM cắt
AC tại N, cắt tia CB tại P
a) Tính độ dài các đoan DM, DN, DP
b) Không sử dụng kết quả tính được ở câu a, hãy chứng minh DN2 NM.NP
Bài 2: Cho ABC cân tại A có chu vi là 80cm Đường phân giác của A và B cắt nhau tại I, AI cắt BC tại D Cho AI 3
.
AD 4 Tính các cạnh của ABC
Bài 3: Cho hình thang cân ABCD có AB là đáy nhỏ Biết BD BC, đường cao BH chia đáy DC thành hai đoạn DH = 16cm, HC = 9cm
a) Tính độ dài BH, AC
b) Tính chu vi và diện tích của hình thang ABCD
Bài 4: Cho ABC vuông tại A, AB = a, AC = 3a Trên cạnh AC lấy các điểm D và E sao cho
AD DE EC
a) Tính các tỉ số DB DC
;
DE DB
b) Chứng minh BDE cdb
c) Tính AEB ACB
Bài 5: Cho hình vuông ABCD Lấy E thuộc đoạn BC, kẻ tia Ax vuông góc với AE, Ax cắt CD tại F
Trung tuyến AI của AEF cắt DC tại K Qua E kẻ đường thẳng song song với AB, cắt AI tại G
a) Chứng minh AF = AE và tứ giác GEKF là hình thoi
b) Chứng minh AKF CAF c) Chứng minh AF.AE = FC.GE
Bài 6: Cho ABC vuông tại A, đường cao AH Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của H trên AB, AC a) Tứ giác AEHF là hình gì? Vì sao? b) Chứng minh AEF CAB
c) Cho AH = 2,4mc; BC = 5cm Tính SEAF
d) Lấy I đối xứng với H qua AB Từ B kẻ đường thẳng vuông góc với BC cắt AI ở K Chứng minh
KC, AH, EF đồng quy
Bài 7: Cho ABC vuông ở A, trung tuyến BD Phân giác của BDA và BDC cắt AB và BC lần lượt ở
M và N Biết AB = 16cm; AD = 12cm
a) Tính độ dài các đoạn thẳng BD, BM
b) Chứng minh MN // AC
c) Tứ giác MACN là hình gì? Tính diện tích
tứ giác đó
d) Tính AMD
DNM
S
S
Bài 8: Cho ABC nhọn, các đường cao AM, BN cắt nhau tại K
a) Chứng minh AKN BKM b) Chứng minh AKB NKKM
c) Kẻ MH AC H AC Chứng minh MC2 AC.HC
Trang 4d) Gọi I là giao điểm của KH và MN Kẻ IE AC E AC Gọi F là giao điểm của IE và KM
Chứng minh 1 1 2
KN MH EF
Bài 9: Cho hình vuông ABCD, M, N lần lượt là trung điểm của AB, BC Kẻ DN CM I
a) Chứng minh DN CM
b) Chứng minh CI.CM = CN.CB
c) Chứng minh DI = 2CI; DI = 4IN d) Gọi P là trung điểm của CD, AP cắt DI tại H Tính diện tích tứ giác HICP biết AB = a
Bài 10: Cho ABC có A 600 Các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H
a) Chứng minh AC.AE = AB.AF
b) Chứng minh BHC FHE c) Tính ABC
IAF
S S
d) Gọi I, K, L, M lần lượt là hình chiếu vuông góc của D trên các đường thẳng AB, BE, CF, AC Chứng minh rằng I, K, L, M là bốn điểm thẳng hàng
Bài 11: Một bình nước hình hộp chữ nhật ABCD.EFGH
a) Vẽ hình hộp chữ nhật đã cho Kể tên các đường thẳng song song với mp(EFGH)
b) Đường thẳng AB song song với những mặt phẳng nào?
c) Đường thẳng AE vuông góc với những mặt phẳng nào?
d) Cho AB = 15cm, BC = 11cm, AE = 8cm Tính thể tích của hình hộp
e) Người ta đổ nước vào hình hộp ABCDEFGH sao cho độ cao của mực nước trong bình là 5cm sau
đó thả 3 viên đá vào trong bình, mỗi viên có thể tích là 82,5cm 3 Hỏi mực nước trong bình dâng lên bao nhiêu cm?
Bài 12: Một hình chóp tứ giác đều có chiều cao 6cm, cạnh đáy 5cm
a) Tính diện tích xung quanh của hình chóp
b) Tính thể tích của hình chóp
Trang 5HƯỚNG DẪN GIẢI:
PHẦN ĐẠI SỐ
Bài 1: Giải các phương trình sau:
16
)
3
a S
1 ) 6
b S
23
d S
) x 1(KTM)
e S ) 3; 3
2
f S
g S ) 4; 5 h S ) 1
8 2
S
) 1; 1
Ta có
2
2 4
x x x x x
x x x x
….Phá GTTĐ và giải…
) * 4 1 9
p x x
Ta có bảng phá giá trị tuyệt đối:
Nếu x 1 thì phương trình trở thành:
4 1 9
2 6
3( )
x
Nếu 1 thì phương trình trở thành: x 4
4 1 9
0.x 6
(vô lí)
Nếu 4 x thì phương trình trở thành:
4 1 9
2 12
6( )
x
Vậy S 3; 6
Bài 2: Giải các bất phương trình sau rồi biểu diễn tập nghiệm trên trục số:
-(x + 1) x + 1 x + 1
-(x - 4)
0
0
4 -1
x + 1
x - 4
x
Trang 6a 2
3 3 2 1 4
x x x x
HDG
4 12 0
BPT x x 3
Tập nghiệm BPT là T x x 3
e 12 3 3
2 6
x x
BPT
3 2 0
3 0
x x
hoặc
3 2 0
3 0
x x
Tập nghiệm BPT là 3 2
3
T x x
b 1 1 2 1 2
x x
HDG BPT 3 x 1 2x 1 12
17
x
Tập nghiệm BPT là T x x17
f 2
3 4 0
x x
HDG BPT x 1x4 0
1 0
4 0
x x
hoặc
1 0
4 0
x x
Tập nghiệm BPT là T x 4 x 1
c 2 7 2 2 3 1
x
HDG
12 3 2 7 8 6 2 3 12
BPT x x x x
51
10 51 0
10
Tập nghiệm BPT là 51
10
T x x
5x 1 5 3x
HDG BPT 5x 1 5 322 x0
5x 1 5 3 x 0
5
x
hoặc 5
3
x
Nghiệm BPT là 1
5
x hoặc 5
3
x
d 2 1 2
3
x
x
HDG 2 1 2 0
3
x BPT
x
7
0 3
x
Tập nghiệm BPT là T x x3
h *
2x1 3 2 x 1x 0
HDG
Nghiệm BPT là 1 1
2 x
hoặc 3
2
x
Trang 7Bài 3: Cho biểu thức :
2 2
:
A
a Rút gọn A
ĐKXĐ x và 2 1
2
x Rút gọn
2
2
:
A
2
4 2 2
2 2 2 2 1
x
x x A
2 2
x
x
b Tìm x để A 2
Để A 2 2 2 4 0
x
Kết hợp đkxđ, ta được : A 2 x 2, 1
2
x , x 2
c Tính giá trị của A biết x 1 3
Xét x hoặc 1 3 x 4 x (Loại ) 2
Khi x tính được 4 2.4 4
2 4 3
d Tìm x để A 1
2
x
x
( loại ) hoặc
2 3
x
Vậy 1 2
3
A x
Bài 4: Cho biểu thức :
2 2
:
B
a) Rút gọn B
ĐKXĐ: 3
2
x và x 3
Rút gọn 3 4 4 2 232 12 2 3
B
2
2 3 2 3 3
B
2
2 3
x
x b) Tính giá trị của B biết 2
2x 7x 3 0
2x 7x 3 0 2x1 x 3 0 1
2
x
( Vì x 3 )
Thế 1
2
x vào biểu thức 2
2 3
x B x
ta được
1 4
B c) Tìm x để B
Trang 8Ta viết 2
2 3
x B x
về dạng
3 1
2 3
B
x
2 3
B
x
2x Ư(3) Từ đó, ta tìm được 3 x 0;1; 2;3 d) Tìm x để B 1
2 3
x
x
*) xét x 0 BPT 1 2x 2x luôn đúng 3 x 0
*) xét 0 3
2
x
4
BPT x x x
*) xét 3
2
x BPT 1 2x2x vô nghiệm 3
Vậy B 1 3
4
x và 3, 3
2
x x
Bài 5: a) Rút gọn:
𝐶 = (4𝑎 + 1
5𝑎2− 5+
1 5𝑎 + 5+
1
1 − 𝑎) : (
1
𝑎3𝑏 − 𝑎𝑏)
𝐶 = (4𝑎 + 1 + 𝑎 − 1 − 5(𝑎 + 1)
5(𝑎 − 1)(𝑎 + 1) ) : (
1 𝑎𝑏(𝑎2− 1))
𝐶 = (4𝑎 + 1 + 𝑎 − 1 − 5𝑎 − 5)
5(𝑎 − 1)(𝑎 + 1) )
𝑎𝑏(𝑎 − 1)(𝑎 + 1)
1
𝐶 = ( −5
5(𝑎 − 1)(𝑎 + 1))
𝑎𝑏(𝑎 − 1)(𝑎 + 1)
1
𝐶 = −𝑎𝑏
b) Thay:
𝑎 =1
2; 𝑏 =−6
5 vào C ta được: 𝐶 = 3
5 c) a + b = 6 ⇔ a = 6 – b
C = -( 6 – b) b = 𝑏2- 6b = (𝑏 − 3)2 - 9 ≥ −9
Vậy giá trị nhỏ nhất của C là (-9) khi a = b = 3
Bài 6: Điều kiện:𝑥 ≠ 1; 𝑥 ≠ 2
𝐷 = (2𝑥
2+ 1
𝑥3 − 1 −
1
𝑥 − 1) : (1 −
𝑥2+ 3
𝑥2+ 𝑥 + 1)
𝐷 = (2𝑥
2+ 1 − (𝑥2+ 𝑥 + 1)
(𝑥 − 1)(𝑥2+ 𝑥 + 1) ) : (
𝑥2+ 𝑥 + 1 − 𝑥2− 3
𝑥2+ 𝑥 + 1 )
𝐷 = ( 𝑥
2− 𝑥 (𝑥 − 1)(𝑥2+ 𝑥 + 1)) : (
𝑥 − 2
𝑥2 + 𝑥 + 1)
𝐷 = ( 𝑥(𝑥 − 1)
(𝑥 − 1)(𝑥2+ 𝑥 + 1)) : (
𝑥 − 2
𝑥2 + 𝑥 + 1)
𝐷 = 𝑥
(𝑥 − 2)
b) 𝐷 = 3
⇔ 3 = 𝑥
(𝑥 − 2)
Trang 9⇒ 3𝑥 − 6 = 𝑥 ⇔ 𝑥 = 3 ( 𝑡ℎỏ𝑎 𝑚ã𝑛)
c) 𝐷 < 0 ⇔ 𝑥
𝑥−2< 0 Mà: 𝑥 > 0 𝑛ê𝑛: 𝑥 < 2
Kết hợp điều kiện ta được: 0 < x < 2 và x ≠ 1
d)
𝑥 𝐷 = 𝑥
2
𝑥 − 2 =
𝑥2− 4 + 4
𝑥 − 2 = 𝑥 + 2 +
4
𝑥 − 2 = 𝑥 − 2 +
4
𝑥 − 2+ 4
Áp dụng bất đẳng thức Cô si: cho x – 2 > 0 và 4
𝑥−2> 0
𝑥 − 2 + 4
𝑥−2≥ 2√(𝑥 − 2) 4
𝑥−2 = 4 Vậy: x.D ≥ 8
Dấu bằng xảy ra:
𝑥 − 2 = 4
𝑥 − 2 ⇔ (𝑥 − 2)
2 = 4
⇒ 𝑥 − 2 = 2( 𝑑𝑜 𝑥 > 2) ⇔ 𝑥 = 4
Vậy GTNN của x.D bằng 8 khi: x = 4
Bài 7:
Vận tốc (km/h) Thời gian (h) Quãng đường (km)
4
15 ( 3)
4 x Phương trình: 3 15( 3) 15( / )
4
Vậy quãng đường AB dài 45 km
Bài 8:
Gọi C là điểm mà tại đó xe bị hỏng
Vận tốc (km/h) Thời gian (h) Quãng đường (km)
Thực tế
48 15
C đến B 25.3 15
15 15
x x (67 )15 67 15
15x x
Phương trình: 25 67 15 75
0,8
Vậy xe hỏng lúc 8 giờ 48 phút Chỗ hỏng xe cách A là 20km
Bài 9:
Vận tốc (km/h) Thời gian (h) Quãng đường
(km)
Nghỉ 15 phút 0 15p0, 25h 0
Trang 10Còn lại 30 10 40 x 2 0, 25 x 2, 25 40(x2, 25) PT: 6040(x2, 25)30x x 3( )h
Vậy quãng đường AB dài 90km
Bài 10:
Số sản phẩm/ngày Số ngày Số sản phẩm
Dự định 25 x x( 3,xN*) 25x
PT: 30(x 3) 25x10 x 20(ngày)
Vậy số sản phẩm đội phải làm theo kế hoạch là 500 sản phẩm
Bài 11:
Số áo/ngày Số ngày Số áo
Thực tế 1, 2x 18 1, 2 18x 21,6x
PT: 21,6x20x24 x 15(áo/ngày)
Vậy số áo làm trong 18 ngày là 324 áo
Bài 12:
Số ha/tuần Số tuần Số ha
5
PT: 75 80 1 15
25( ) 5
x
Vậy thực tế mỗi tuần lâm trường trồng được 20 ha rừng
Bài 13:
Bài này mình chỉ biết làm theo kiểu giải hệ phương trình thôi Có cách nào đặt theo giải phương trình thì bạn nhắn lại mình sẽ sửa nha
Gọi thời gian người thứ nhất làm một mình xong công việc là x h x( )( 16)
Gọi thời gian người thứ hai làm một mình xong công việc là y h y( )( 16)
Ta có HPT:
1 1 1
24 16
4
x
y
Vậy người thứ nhất làm một mình trong 24h xong công việc
Người thứ hai làm một mình trong 48h xong công việc
Bài 14:
Số áo theo kế hoạch Số áo trên thực tế
PT: 1,1x1, 05(140x)150 x 60(áo)
Vậy theo kế hoạch, tổ 1 phải dệt 60 áo; tổ 2 phải dệt 80 áo
Bài 15:
Trang 11Gọi chữ số hàng chục là x x( 10,xN*)
=> Chữ số hàng đơn vị là 2x
+ Số có hai chữ số ban đầu có giá trị là 10x2x12x
+ Sau khi viết thêm chữ số 1 vào giữa hai chữ số ta được số mới có giá trị là 100x 10 2x102x10 PT: 102x 10 12x280 x 3
Vậy số có hai chữ số cần tìm là 36
Bài 16: Tìm GTLN hoặc GTNN của :
a) A3x22x3
2
Ta có:
2
1
0 3
2
3
Dấu “=” xảy ra
2
1 0 3
x
0
Vậy GTNN của A là 10
3
khi 1
3
x
b) B3x26xy5y2 y 3x2016
min
8059 4
Dấu “=” xảy ra khi 1
1;
2
x y c)
1
C
Ta có:
2
5 2
x x x x x
Vì
2
1 0 2
2
2 2
19
4
x
2
5 19 x C 19 x
x x
Dấu “=” xảy ra
2
1 0 2
x
0
Vậy GTLN của C là 79
19khi
1 2
x
Trang 12d) x 4x 9
E
x
với x 0
2
13
Áp dụng BĐT Cauchy cho 2 số dương x;36
x ta có:
Dấu “=” xảy ra x 36
x
2
36 6
Vậy GTNN của E là 25 khi x = 6
e) Tìm GTLN của 2
2
1 2
2
F x
x
- Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 2 số dương
2 2
4 2;
2
x x
ta có:
- Có x2 2 2( x) 2 3 3
2 2
x
(2)
- Từ (1) và (2) 4 3 5
2 2
min
5 2
F
Dấu “=” xảy ra khi x = 0
Bài 17: Chứng minh bất đẳng thức:
a) 2
2
1
x
4 2 2
1
x
Ta có: 2 2 2
2
2 2
1
1 0
x
x x
2 2
1
2 0 0
x
2
2
1
x
Dấu “=” xảy ra 2 2 2
b) 1 1
4 , 0
a b
Áp dụng BĐT Cauchy cho 2 số dương a, b ta có: a b 2 ab (1)
Trang 13Áp dụng BĐT Cauchy cho 2 số dương 1 1;
a b ta có:
2
a b ab (2)
Từ (1) và (2) 1 1 1
2 2 4 , 0
Dấu “=” xảy ra 1 1
a b
a b
a b
c) 2 2 2
a b c abac bc
Xét hiệu 2 2 2
Aa b c ab ac bc
2
Ta có:
2
2
0 ,
0 ,
Dấu “=” xảy ra
2
2
2
0 0 0
b c
b c
d) a1b1c 1 8 a b c, , 0;abc 1
Áp dụng BĐT Cauchy cho 2 số dương a và 1 ta được: a 1 2 a (1)
Áp dụng BĐT Cauchy cho 2 số dương b và 1 ta được: b 1 2 b (2)
Áp dụng BĐT Cauchy cho 2 số dương c và 1 ta được: c 1 2 c (3)
Từ (1), (2) , (3) suy ra a1b1c 1 2 a.2 b.2 c 8 abc8
Dấu “=” xảy ra
1
1
a
c
PHẦN HÌNH HỌC
Bài 1: Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 18cm, AD = 12cm Gọi M là trung điểm của AB Tia DM cắt AC
tại N, cắt tia CB tại P
a) Tính độ dài các đoan DM, DN, DP
b) Không sử dụng kết quả tính được ở câu a, hãy chứng minh DN2 NM.NP
HDG:
a) Tính độ dài các đoạn DM, DN, DP
Xét ADM vuông tại A (gt)
