Việc biết mô tả các vấn đề kinh tế dưới dạng mô hình toán học thích hợp, vận dụng các phương pháptoán học để giải quyết, phân tích, chú giải cũng như kiểm nghiệm các kếtquả đạt được một
Một số kiến thức chung
Khái niệm phương trình vi phân
Định nghĩa 1.1 Phương trình vi phân là phương trình có dạng
Trong đó F là hàm xác định trên một miền nào đó của không gian
R n+2 , và x là biến độc lập, y là hàm của biến độc lập x và y ′ , y ′′ , y ′′′ , y (n) , là các đạo hàm từ cấp 1 đến cấp n của nó.
Trong bài toán giải phương trình vi phân, nếu từ phương trình trên ta suy ra được biểu diễn của đạo hàm cấp cao nhất y(n) bằng các biến còn lại, ta nói phương trình đã được giải đối với y(n); đây được xem là dạng chuẩn (dạng chính tắc) của phương trình, tức là có dạng y(n) = f(x, y, y', , y(n−1)).
Cấp của phương trình vi phân
Cấp của phương trình vi phân là cấp cao nhất của đạo hàm xuất hiện trong phương trình.
+ y = 0, là phương trình vi phân cấp 2.
Nghiệm của phương trình vi phân
Nghiệm của phương trình vi phân là hàm y = y(x), khả vi n, lần trên khoảng (a, b), nào đó và thỏa mãn phương trình đã cho, tức là
Giải phương trình vi phân là quá trình tìm tất cả nghiệm của nó Nghiệm của phương trình vi phân có thể được biểu diễn ở nhiều dạng khác nhau: dưới dạng y = y(x) hoặc x = x(y), dưới dạng ẩn φ(x, y) = 0, hoặc ở dạng tham số x = x(t), y = y(t) Đồ thị của nghiệm được gọi là đường tích phân của nghiệm và việc giải phương trình vi phân đồng nghĩa với việc xác định tất cả các đường tích phân tương ứng.
Phương trình vi phân cấp 1
Định nghĩa
Phương trình vi phân cấp 1 có dạng tổng quát là
F (x, y.y ′ ) = 0, (1.1) trong đó hàm F xác định trên miền D ⊂ R 3
Trong miền D, từ phương trình (1.1) ta có thể giải được y′ = f(x, y) (1.2); như vậy ta có một phương trình vi phân cấp một ở dạng chuẩn, hay còn gọi là phương trình vi phân đã giải ra đối với đạo hàm.
- Hàm y = ϕ(x), xác định và khả vi trên khoảng I = (a, b), được gọi là nghiệm của phương trình (1.1) nếu: a) x, ϕ(x), ϕ (x) ∈ D, với mọi x ∈ I; b) F x, ϕ(x), ϕ (x)′ ≡ 0, trên I.
- Ta cũng có thể viết phương trình vi phân đã giải ra đối với đạo hàm dạng đối xứng : M (x, y)dx + N (x, y)dy = 0.
Một số phương trình vi phân cấp 1
i) Phương trình với biến số phân li
Phương trình vi phân cấp 1 dạng
M (y)dy + N (x)dx = 0, (1.3) được gọi là phương trình với biến số phân li ( hay còn gọi là phương trình tách biến).
Các hàm M (y), N (x), được giả thiết liên tục trên các khoảng nào đó Khi đó chuyển về số hạng thứ hai và lấy tích phân hai vế của (1.3), ta được ∫ ∫
Công thức này cho ta nghiệm tổng quát của phương trình (1.3). ii) Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1
Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 có dạng y ′ + p(x)y = q(x) (1.4)
Trong đó p(x), q(x), là các hàm xác định trên khoảng (a, b), nào đó, y = y(x), là hàm cần tìm để phương trình(1.4) thỏa mãn.
- Nếu q(x) ≡ 0, ta có phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất y ′ + p(x)y = 0 (1.5)
+ Nếu q(x) /= 0 , ta gọi (1.4) là phương trình vi phân tuyến tính không thuần nhất.
* Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 với hệ số hằng. y ′ + ay = b (1.6)
- Xét phương trình thuần nhất tương ứng y ′ + ay = 0
- Tìm được nghiệm riêng của (1.6) là y p = b/a nếu a a
- Nghiệm tổng quát của phương trình (1.6) có dạng y = y p + y c
, với a = 0; a y = Ae −ax + bx = y(0)e −ax + bx, với a = 0
* Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 với hệ số biến thiên. y ′ + p(x)y = q(x) (1.7)
- Xét phương trình tuyến tính thuần nhất tương ứng y ′ + p(x)y = 0 dy
- Sử dụng phương pháp biến thiên hằng số Lagrange.
Coi C là một hàm theo biến x, ta sẽ tìm nghiệm của phương trình (1.7) dưới dạng y = C(x)e −
Thay vào phương trình (1.7) ta được suy ra
Thay vào (1.8) ta thu được nghiệm tổng quát của (1.7) là
, K là hằng số. iii) Phương trình Bernoulli
Phương trình Bernoulli là phương trình có dạng y ′ + p(x)y = q(x)y α , α ∈ R (1.9)
+ Với α = 0 hay α = 1, thì (1.9) trở thành phương trình vi phân tuyến tính cấp 1.
+ Với α /= 0 và α /= 1, ta chia cả hai vế của (1.9) cho y α y −α y ′ + p(x)y 1−α = q(x) (1.10) Đặt z = y 1−α Khi đó z ′ = (1 − α)y −α y ′
Thay biểu thức của z và z ′ vào (1.10) ta được z ′ + (1 − α)p(x)z = (1 − α)q(x).
− Đây là phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 đối với z Giải phương trình này ta tìm được nghiệm z = z(x) Từ đó suy ra nghiệm của phương trình
(1.9) là h i1/(1 α) y = z(x) iv) Phương trình vi phân toàn phần
Phương trình vi phân cấp 1
Phương trình vi phân P(x,y)dx + Q(x,y)dy = 0 (1.11) được gọi là phương trình vi phân toàn phần khi vế trái của nó là vi phân toàn phần của một hàm U(x,y); tức tồn tại một hàm U(x,y) sao cho dU(x,y) = P(x,y)dx + Q(x,y)dy.
Từ (1.11) và (1.12) suy ra dU (x, y) = 0 ⇒ U (x, y) = C, với C là hằng số.
Ta có thể chứng minh điều ngược lại
∂x cũng đúng Vậy phương trình (1.11) là phương trình vi phân toàn phần khi và chỉ khi điều kiện sau được thỏa mãn
Lấy đạo hàm hai vế theo y ta thu được
Từ đó ta có thể tìm ϕ(y), và do đó tìm được U (x, y) Nghiệm cần tìm sẽ là:
Phương trình vi phân cấp 2
Khái quát chung về phương trình vi phân cấp 2 13
Phương trình vi phân cấp hai có dạng tổng quát như sau:
Trong đó F là hàm số của 4 biến số x, y, y ′ , y ′′
Việc xét phương trình tổng quát (1.14) khá phức tạp, do đó người ta thường xét phương trình vi phân cấp 2 dưới dạng giải được theo đạo hàm cấp
Phương trình vi phân cấp hai thường được giải bằng hai lần tích phân bất định; nghiệm tổng quát của nó có dạng y = φ(x, C1, C2) (1.16), với C1 và C2 là các hằng số bất kỳ.
Họ hàm số (1.16), được gọi là nghiệm tổng quát của phương trình vi phân cấp hai nếu khi gán cho mỗi ký hiệu C 1 , C 2 , một số bất kỳ ta được
Trong bài toán này, ta xét một nghiệm của phương trình đã cho Nghiệm tổng quát của phương trình được xác định bằng các tham số C1, C2; khi gán cho chúng các giá trị xác định, mỗi cách gán sẽ sinh ra một nghiệm riêng của phương trình, hay còn gọi là nghiệm cụ thể từ nghiệm tổng quát.
Ví dụ 1.2 Phương trình y ′′ = 2x, có thể giải như sau:
Nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là : y = 1 x 3 + c
Từ nghiệm tổng quát ta có các nghiệm riêng y = 1 x 3 (khi c
Phương trình vi phân tuyến tính cấp 2
Định lý tồn tại và duy nhất nghiệm đối với phương trình vi phân tuyến tính cấp hai
Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai có dạng y'' + p(x) y' + q(x) y = g(x), trong đó p(x), q(x), g(x) là các hàm số cho trước Định lý tồn tại và duy nhất nghiệm đối với phương trình (1.17) cho biết rằng nếu các hàm p(x), q(x), g(x) xác định và liên tục trên đoạn [a, b], thì với x0 ∈ (a, b) và mọi giá trị thực y0, y0' tại x0, sẽ tồn tại và đồng thời duy nhất một nghiệm y(x) của phương trình (1.17) thỏa mãn điều kiện ban đầu y(x0) = y0 và y'(x0) = y0'.
Chứng minh: Viết lại phương trình (1.17) dưới dạng y ′′ = g(x) − p(x)y ′ − q(x)y (1.18)
Giả thiết rằng p(x), q(x), g(x) liên tục trên đoạn [a; b], từ đó suy ra hàm số f(x, y, y′) = g(x) − p(x) y′ − q(x) y liên tục trên miền D = { (x, y, y′) : a ≤ x ≤ b, y ∈ R, y′ ∈ R } Do p(x) và q(x) là các hàm liên tục trên [a; b] nên chúng bị chặn trên miền này, do đó tồn tại các hằng số dương K, L sao cho |p(x)| ≤ K và |q(x)| ≤ L với mọi x ∈ [a; b].
Như vậy, hàm số ở vế phải của phương trình (1.18) đã thỏa mãn đầy đủ các điều kiện của định lý tồn tại và duy nhất nghiệm đối với phương trình vi phân cấp hai tổng quát, nên có thể áp dụng định lý này để khẳng định sự tồn tại và duy nhất của nghiệm trên miền xác định Điều này cung cấp cơ sở để chứng minh các tuyên bố liên quan và cho ta hướng đi rõ ràng để tiến hành chứng minh điều cần thiết.
⋆ Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai thuần nhất
Trong trường hợp đặc biệt khi g(x) ≡ 0, phương trình (1.17) trở thành một phương trình vi phân tuyến tính cấp hai thuần nhất: y'' + p(x) y' + q(x) y = 0 (1.19) Phương trình (1.19) được gọi là phương trình vi phân tuyến tính cấp hai thuần nhất, và ta xét nó với giả thiết rằng p(x) và q(x) là các hàm liên tục trên [a, b] Định lý 1.2 cho biết: nếu y(x) là nghiệm của phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất (1.19), thì Cy(x), với C là một hằng số bất kỳ, cũng là nghiệm của cùng một phương trình.
Chứng minh: Nếu y(x), là nghiệm của phương trình (1.19), thì y ′′ (x) + p(x)y ′ (x) + q(x)y(x) = 0.
Khi đó, với mọi hằng số C ta có
Phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất (1.19) có dạng C(y''(x) + p(x) y'(x) + q(x) y(x)) = 0, do đó với C ≠ 0 ta có y''(x) + p(x) y'(x) + q(x) y(x) = 0, và C y(x) là nghiệm của phương trình (1.19) Điều này chứng tỏ C y(x) là nghiệm của phương trình (1.19) Định lý 1.3 cho biết tổng của hai nghiệm y1(x) và y2(x) của phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất (1.19) cũng là nghiệm của cùng phương trình.
Chứng minh: Nếu y 1(x), và y 2(x) là hai nghiệm của phương trình (1.19), thì y1′′(x) + p(x)y1′ (x) + q(x)y 1(x) = 0, và
Điều này chứng tỏ tổng y1(x) + y2(x) là nghiệm của phương trình (1.19) Định lý 1.4 cho biết, nếu phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất (1.19) với các hệ số p(x), q(x) là các hàm thực, có nghiệm phức y(x) = u(x).
+iv(x), thì phần thực u(x), và phần ảo v(x), của nghiệm phức đó cũng là các nghiệm của (1.19).
Chứng minh: Nếu y(x) = u(x) + iv(x), là nghiệm phức của phương trình (1.19) thì
⇒ (u ′′ (x) + p(x)u ′ (x) + q(x)u(x)) + i(v ′′ (x) + p(x)v ′ (x) + q(x)v(x)) 0. Điều này xảy ra khi và chỉ khi thỏa mãn cả hai đồng nhất thức u ′′ (x) + p(x)u ′ (x) + q(x)u(x) = 0, và v ′′ (x) + p(x)v ′ (x) + q(x)v(x) = 0.
Tức là u(x), và v(x), là các nghiệm của phương trình (1.19).
Hệ phương trình vi phân cấp 1
Định nghĩa
Trong toán học, (1.20) được gọi là hệ phương trình vi phân cấp một dạng chuẩn tắc, trong đó x là biến độc lập; y1, , yn là các hàm cần tìm và các hàm fi (i = 1, n) xác định trên miền G ⊂ R^{n+1}.
Hệ y 1 = ϕ 1(x), , y n = ϕ n (x), khả vi trên khoảng (a, b), gọi là nghiệm của hệ phương trình nếu: i) (x, ϕ 1(x), , ϕ n (x)) ∈ G; ∀x ∈ (a, b). ii) ϕ ′ i(x) = f i x, ϕ 1(x), , ϕ n (x) ; i = 1, n; ∀x ∈ (a, b).
Hệ phương trình vi phân tuyến tính cấp một
Hệ phương trình vi phân tuyến tính cấp một có dạng
(1.21) trong đó p ij (x); i, j = 1, n, liên tục trên khoảng (a, b)
Nếu f i (x) = 0; i = 1, n , thì (1.21), được gọi là hệ phương trình vi phân tuyến tính cấp một thuần nhất.
Nếu f i (x) 0; i = 1, n, thì (1.21), được gọi là hệ phương trình vi phân tuyến tính cấp một không thuần nhất.
Nếu p ij (x); i, j = 1, n, là hằng số, thì (1.21), được gọi là hệ phương trình vi phân tuyến tính cấp một với hệ số hằng số.
MỘT SỐ MÔ HÌNH PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TRONG KINH TẾ
Khái niệm phân tích cân bằng động
Một số định nghĩa
Các biến kinh tế thường nhận các giá trị khác nhau tùy theo thời điểm và có tính biến động theo thời gian, ví dụ giá cả một mặt hàng là một hàm của thời gian P = P(t) Kinh tế động là lĩnh vực phân tích các quỹ đạo thời gian của các biến kinh tế nhằm xác định xem chúng có hội tụ về một mức cân bằng nhất định sau một khoảng thời gian đủ dài (t → +∞) hay không Trong phân tích cân bằng động, mức cân bằng không nhất thiết luôn đạt được mà chỉ có thể đạt được dưới một số điều kiện nhất định Phân tích cân bằng động là một nhánh quan trọng của kinh tế động nhằm làm rõ các điều kiện cần thiết để các biến kinh tế hội tụ về cân bằng.
Một cách tổng quát, ta nghiên cứu sự hội tụ của quỹ đạo thời gian của biến kinh tế tới một quỹ đạo cân bằng, chẳng hạn x*(t) = x(t) hoặc tới một quỹ đạo tối ưu x*(t) và tiệm cận tới một trạng thái cân bằng x*(t) Trong khuôn khuôn khố của luận văn này, ta sẽ chỉ xem xét trường hợp x*(t) = x = const, tức là mức cân bằng liên thời có tính dừng của biến kinh tế được xét Nếu với một số điều kiện nhất định x(t) hội tụ tới x, ta nói x là mức cân bằng liên thời ổn định động và có tính dừng, hay nói ngắn gọn x(t) có tính ổn định động.
Hình 2.1: Đường biến động giá cả
Trong phân tích cân bằng động, yếu tố thời gian hay thời điểm đóng vai trò rất quan trọng, bởi sự thay đổi theo thời gian quyết định cách các biến kinh tế tương tác và hồi phục sau các biến động thị trường Chính vì vậy, các biến kinh tế được phân chia làm hai loại: biến nội sinh và biến ngoại sinh Biến nội sinh là những biến được xác định và điều chỉnh bởi cơ chế của mô hình, phụ thuộc lẫn nhau giữa các yếu tố như sản lượng, tiêu dùng, đầu tư và lãi suất; còn biến ngoại sinh là những biến được đưa vào mô hình từ bên ngoài, thường ở mức cố định hoặc theo một quy luật được cho trước Việc phân tách này giúp phân tích động lực của hệ thống theo thời gian, hỗ trợ đánh giá tác động của chính sách và nâng cao tính dự báo của mô hình.
- Biến liên tục là hàm số phụ thuộc vào t, biến thiên một cách liên tục.
- Biến rời rạc là hàm số phụ thuộc vào t biến thiên một cách rời rạc
Trên hình 2.1, biến giá P(t) của một đơn vị hàng hóa là một hàm liên tục theo thời gian; tại mỗi thời điểm t, giá được xác định là P(t) Sau một thời gian đủ dài, giá P(t) sẽ ổn định ở mức giá cân bằng P Đường biến động giá P(t) có xu hướng dao động quanh mức cân bằng P, tuy nhiên trong một số trường hợp đường biến động có thể không dao động mà tiệm cận về P từ dưới lên hoặc từ trên xuống Để thực hiện phân tích cân bằng động, người ta có thể dùng các công cụ toán học như tính tích phân, phương trình vi phân và phương trình sai phân.
2.1.2 Một số ví dụ về fíng dụng của phép tính tích phân và phương trình vi phân
Ví dụ 2.1 Cho dH dt
= t − 2 , và H(0) = 100 Trong đó: H(t), là dân số tại thời điểm t, H(0), là dân số tại thời điểm t = 0.
Hãy xác định quĩ đạo thời gian của biến dân số H(t).
Xét phương trình vi phân dH dt∫ t − 2 dH 1
Tại thời điểm t = 0, ta có H(0) = c,
Theo bài ra ta có H(0) = 100.
Phương trình này xác định quỹ đạo thời gian của biến dân số H(t).
Ví dụ 2.2 Cho MC = C ′ (Q) = 2e 0,2Q và FC = C(0) = 90 Tìm chi phí toàn phần phụ thuộc vào mức sản phẩm đầu ra.
Trong đó: MC, là hàm chi phí biên, FC, là chi phí cố định và C = C(Q), là chi phí toàn phần.
Ví dụ 2.3 Cho biết khuynh hướng tiết kiệm biên MSP, phụ thuộc vào mức thu nhập dS MSP dY
= 0, 3 − 0, 1Y −0,5 , trong đó: Y, là thu nhập, S = S(Y ), là hàm tiết kiệm Cho biết điều kiện ban đầu S = 0, và Y = 81 Hãy tìm hàm tiết kiệm.
Từ điều kiện ban đầu S = 0 và Y = 81 ta có S(81) = 0 suy ra c = −22, 5 Vậy S(Y ) = 0, 3Y − 0, 2Y 0,5 − 22, 5.
2.1.3 Ứng dụng phương trình vi phân xác định hàm cầu khi biết hệ số co dãn của cầu
Co dãn điểm là sự co dãn tại một điểm trên đường cầu, phản ánh mức độ nhạy cảm của lượng cầu với sự biến động giá tại điểm đó Áp dụng phương pháp tính co dãn điểm khi có sự thay đổi vô cùng nhỏ về lượng cầu và các yếu tố ảnh hưởng, ta xác định được hệ số co dãn của cầu thị trường cho một sản phẩm.
Q: là cầu thị trường của sản phẩm
P : là giá bán trên thị trường
E d :, là hằng số được gọi là hệ số co dãn của cầu theo giá.
Ta nhận thấy phương trình trên là phương trình vi phân biến số phân ly, giải bằng cách tích phân 2, vế ta được: ln Q E d ln P + ln c ⇔ ln Q c
Ví dụ 2.4 Tìm hàm cầu của sản phẩm A : Q = f (P ), cho biết hệ số co dãn của cầu theo giá P, là:
Vậy cầu của sản phẩm A là: Q = −10P + 2P 2 + 400.
Ví dụ 2.5 Tìm hàm cầu của sản phẩm A : Q = D(P ), cho biết hệ số co dãn của cầu theo giá P, là:
Vậy cầu của sản phẩm A, là: Q = −5P − P 2 + 650.
Phân tích cân bằng động đối với giá cả thị trường
Phát biểu mô hình cân bằng động
Xét mô hình kinh tế thị trường vi mô với một mặt hàng cho bởi hệ phương trình sau:
Q s , sẽ tìm được mức giá cân bằng P = βP + δP
+ Khi P (0) = P , thị trường đã ở trạng thái cân bằng, do đó không cần phân tích tiếp giá cả thị trường.
Khi P(0) ≠ P, ta tiếp tục phân tích để xác định xem sau một thời gian nhất định thị trường có điều chỉnh để đạt tới trạng thái cân bằng hay không Để nghiên cứu vấn đề này, cần thiết lập quỹ đạo thời gian của giá cả, hay đồ thị của hàm giá P(t) Trong mô hình này, giá cả mặt hàng được điều chỉnh tỷ lệ thuận với thặng dư của cầu so với cung, do đó ta có mối quan hệ giữa biến động giá và sự mất cân bằng trên thị trường.
Hình 2.2: Đường cung, đường cầu Ở đó j, là hằng số dương
Từ đó ta có dP dt = j(Q d − Q s ).
⇔ P ′ + j(βP + δP)P = j(α + γ). Đây là phương trình vi phân tuyến tính cấp một hệ số hằng Theo công thức đã biết ở chương 1, nghiệm tổng quát có dạng
+δP)t + P. Ở đây mức giá cân bằng chính là P p α + γ
Hình 2.3: Biện luận P (t) theo giá trị P (0)
2.2.2 Khảo sát tính ổn định động của mfíc giá cân bằng
P, được gọi là mức cân bằng liên thời của giá cả Mức cân bằng này được gọi là ổn định động do P (t), hội tụ tới P khi t −→ ∞ Ngoài ra, do P p = P = const, mức cân bằng liên thời được gọi là mức cân bằng dừng.
P (0) − P, được gọi là sai số ban đầu, P (t) − P, là sai số giữa P (t) và P, tại thời điểm t.
Ví dụ 2.6 Xét mô hình thị trường với một mặt hàng cho bởi hệ phương trình sau dP d = α − βPP + σ dt với α, βP, γ, δP >
Q s = −γ + δPP a) Giả sử tốc độ biến thiên của giá cả tỉ lệ thuận với thặng dư của cầu so với cung Hãy tìm quỹ đạo thời gian P (t).
Đề bài yêu cầu xác định mức giá cân bằng theo thời gian và xác định giá trị của tham số σ để đảm bảo mức giá cân bằng có tính ổn định động Giải: a) Với giả thiết cân bằng cầu bằng cung, Q_d = Q_s, ta có dP − βP − δP, từ đó có thể xác định mức giá cân bằng theo thời gian và điều kiện để tham số σ đảm bảo ổn định động của mức giá.
Do tốc độ biến thiên của giá cả tỉ lệ thuận với thặng dư của cầu so với cung, ta có dP dt = j(Q d − Q s ). Ở đó j, là hằng số dương.
Từ đó ta có dP dP dt = j α − βPP + σ dt + γ − δPP suy ra dP βP +
+ α + γ βP + δP b) Để mức giá cân bằng liên thời P " α + γ P (0) − βP
+ α + γ βP + δP có tính ổn định động, ta cần điều kiện 0 < σ < 1.
Ví dụ 2.7 Sản phẩm A, có hàm cung và hàm cầu được xác định như sau:
Giả định rằng sự điều chỉnh giá theo thời gian là:
(2.1) dt 2(Q d − Q s ) hệ số điều chỉnh j
2 Xác định hàm p(t), biết rằng p = 15, lúc t = 0.
Từ (2.1) và (2.2) ta có : dp 1 dt 2(Q d − Q s ) d p dt
Ta nhận được từ phương trình vi phân tuyến tính cấp 1: dp+ 3p = 5. dt
+) Giải phương trình thuần nhất dp
Thay vào phương trình đầu ta được
Khảo sát tính ổn định động của mức giá cân bằng 28
Mô hình tăng trưởng Solow
Phát biểu mô hình tăng trưởng Solow
Chúng ta xét hàm sản xuất phụ thuộc cả vào K, và L,:
Q: mức sản xuất đầu ra
Giả thiết đây là một hàm đồng nhất cấp một và do đó có tính chất hiệu suất cố định, tức là với mọi k > 0, f(kK, kL) = k f(K, L) Tính chất này cho thấy khi tăng gấp đôi quy mô của hai đầu vào K và L thì đầu ra cũng tăng gấp đôi, phản ánh sự ổn định của quy mô sản xuất Với giả thiết trên, ta có thể rút gọn phân tích tối ưu và dự báo sản lượng khi thay đổi quy mô, đồng thời thuận tiện cho việc so sánh chi phí và hiệu quả giữa các lựa chọn đầu vào Đây là khái niệm quan trọng trong kinh tế lượng và tối ưu hoá sản xuất, có ứng dụng rộng rãi trong mô hình hoá và đánh giá hiệu suất của hệ thống sản xuất.
= Φ(k), ⇒ Q = LΦ(k) với k = K , được gọi là tỉ số vốn – lao động.
Biến số k biểu thị hàm lượng vốn bình quân cho một đơn vị lao động Trong mô hình tăng trưởng Solow, ta giả thiết các điều kiện cơ bản được thỏa mãn để phân tích quá trình tích lũy vốn và tăng trưởng sản xuất, trong đó vốn được tích lũy từ tiết kiệm, chịu khấu hao, có sự tăng trưởng của dân số và tác động của công nghệ như một yếu tố ngoài Nhờ các giả thiết này, mô hình cho phép nhận diện trạng thái cân bằng tăng trưởng và mức vốn bình quân k tại mức cân bằng lâu dài, từ đó rút ra những kết luận về tác động của tiết kiệm, đầu tư, tăng trưởng dân số và công nghệ lên sản lượng và vốn trên mỗi đơn vị lao động.
Trong mô hình này, sQ đại diện cho một tỷ lệ cố định của Q được dùng cho tái đầu tư Hệ số s thể hiện khuynh hướng tiết kiệm biên và được coi là một hằng số dương, với điều kiện s < 1.
Trong mô hình này, λ được coi là một hằng số dương Giả thiết này tương đương với một hàm tăng trưởng của lực lượng lao động có dạng L(t) = L(0) e^{λ t}, trong đó λ chính là tốc độ tăng trưởng của lao động và L(0) là mức lao động ban đầu.
Từ các giả thiết trên có thể rút ra phương trình vi phân sau k ′ = sΦ(k)− λk.
Mặt khác,K = kL, nên khi lấy đạo hàm theo t cả hai vế sẽ có
Chuyển biểu thức kλL, từ vế phải sang vế trái, sau đó chia cả hai vế cho
Phân tích định tính trên biểu đồ pha
Để sử dụng biểu đồ pha phân tích định tính đường k = k(t), ta vẽ đường y = λk, và đường y = sΦ(k), trong cùng hệ tọa độ (hình 2.4).
Sau đó vẽ biểu đồ pha của k ′ = sΦ(k) − Φk (hình 2.5).
Trên hình 2.5, độ dốc tại điểm k của biểu đồ pha là âm hữu hạn, cho thấy k là mức cân bằng liên thời có tính dừng và ổn định động Quỹ đạo thời gian của k = k(t) do đó có dạng như hình 2.6.
Phân tích tính ổn định vững của nghiệm k = k(t).
Từ các phân tích trên về mô hình tăng trưởng Slow có thể rút ra một số kết luận sau:
+ Vì tốc độ tăng trưởng của L, là A, (do giá thiết L
K = k = const, khi cho thời gian đủ lớn, nên tốc độ tăng trưởng của K,
L cũng là λ, tại t ≈ ∞, (khi tỉ số K
, ổn định ở mức k = const ) Các trạng thái như vậy, mà trong đó các biến kinh tế có tốc độ tăng trưởng như nhau, được gọi là trạng thái vững Điều này luôn được đảm bảo trong mô hình Slow.
+ Ngoài ra, xét phương trình Q = LΦ(k), Tại t = +∞, do k ≈ K, nên có thể coi Φ(k) = const Do đó ta có:
⇒ tốc độ tăng trưởng của Q cũng xấp xỉ λ, khi t, khá lớn.
⇒ các biến kinh tế K, L, Q, đều có tốc độ tăng trưởng λ, khi t đủ lớn.
⇒, khi t, đủ lớn mô hình kinh tế Slow tiến đến trạng thái vững.
Phân tích định lượng
Để phân tích định lượng mô hình Solow, chúng ta xét bài toán sau.
Ví dụ 2.8 Cho Xét hàm sản xuất dạng Cobb-Douglas
Hãy chứng tỏ rằng tốc độ tăng trưởng của tỉ số vốn trên lao động K/L, phụ thuộc vào khuynh hướng tiết kiệm biên s, và tốc độ tăng trưởng của lượng lao động.
Theo bài ra ta có:
Trong trường hợp này cũng có Φ(K) = k α , nên mô hình Solow được mô tả bởi phương trình vi phân k ′ = sk α − λk
⇒ k ′′ + λk = sk α λ Đây là phương trình vi phân Bernoulli Giải phương trình này ta nhận được nghiệm k1−α h k(0)
Trong giới hạn t → ∞, tỷ lệ vốn trên lao động tiến tới một mức cân bằng bền vững, và giá trị của mức cân bằng này được xác định bởi hệ số khuynh hướng tiết kiệm biên s cùng với tốc độ tăng trưởng của lao động λ, như đã được khảo sát trong mô hình.
Cho xét hàm sản xuất dạng Cob-Douglas
Trong khuôn khổ mô hình Solow, tốc độ tăng trưởng của tỉ số vốn trên lao động K/L phụ thuộc vào khuynh hướng tiết kiệm biên s và tốc độ tăng trưởng của lượng lao động n Khi s tăng lên, mức đầu tư vào vốn tăng và K/L có đà tăng mạnh hơn cho tới khi đạt cân bằng vốn trên lao động; ngược lại, tốc độ tăng trưởng của lực lượng lao động cao sẽ làm giảm hoặc hạn chế mức tăng của K/L Cụ thể, sự tăng trưởng của K/L được mô tả bằng k̇/k = [s f(k) / k] - (δ + n), cho thấy s và n tác động trực tiếp lên tốc độ tăng trưởng của vốn trên lao động Do đó, khuynh hướng tiết kiệm biên và tốc độ tăng trưởng của lao động là hai yếu tố then chốt định hình mức tăng trưởng của tỉ số vốn trên lao động trong nền kinh tế.
Giải: Theo bài ra ta có:
Trong trường hợp này cũng có Φ(k) = ak α , nên mô hình
Solow được mô tả bởi phương trình vi phân k ′ = ask α − λk
Đây là phương trinh Bernoulli Giải phương trình này ta được nghiệm h k = k(0) 1−0 − as λ e−λ(1−α) t +
Trong mô hình Solow, khi t → +∞ và λ → 1, tỷ lệ vốn trên lao động tiến tới một mức cân bằng ổn định Giá trị của mức cân bằng này phụ thuộc vào hệ số tiết kiệm biên s và tốc độ tăng trưởng của lực lượng lao động.
Mô hình thị trường với kỳ vọng giá được dự báo trước 37
Phát biểu mô hình
Trong mô hình này, lượng cầu và lượng cung Qd và Qs phụ thuộc không chỉ vào mức giá P của hàng hóa mà còn vào khuynh hướng biến động của giá cả, tức là các đạo hàm P′(t) và P′′(t) Chẳng hạn, nếu tại thời điểm t cụ thể P′(t) > 0, thì giá P có khuynh hướng tăng lên; ngược lại, nếu P′(t) < 0, giá có khuynh hướng giảm Đồng thời, P′′(t) < 0 cho thấy tốc độ tăng của giá đang giảm (độ tăng của P đang xẹp xuống), trong khi P′′(t) > 0 cho thấy tốc độ tăng giá đang tăng lên Những yếu tố này giúp làm sáng tỏ động lực thị trường và hỗ trợ các quyết định về cân bằng cung cầu và điều chỉnh sản lượng.
P, sẽ có khuynh hướng chậm (giảm) đi.
Chúng ta xét mô hình sau
Trong trường hợp riêng khi các hàm Q d , và Q s ,là các hàm phụ thuộc tuyến tính vào P, P ′ , và p ′′ , chúng ta có
d = Q s, với α, βP, γ, δP > 0, cho phép phân tích ý nghĩa của các hệ số m, n, u và w trong mối quan hệ cung cầu Chẳng hạn, nếu m > 0, mức tăng của giá P sẽ kéo theo tăng của lượng Q; người mua (bên cầu) lúc này có khuynh hướng mua nhiều hàng hơn khi giá chưa quá cao Hệ số m cho biết hành vi của người mua phụ thuộc vào tốc độ thay đổi của dp.
, (tức là phụ thuộc vào việc P, tăng / giảm nhanh hay chậm đi). dt
Tương tự, các hệ số u, và w, sẽ cho phép phân tích về khía cạnh người bán (bên cung).
Xác định đường biến động giá
(Tìm quỹ đạo thời gian P(t)) Từ hệ phương trình (2.3), chúng ta dễ dàng nhận được phương trình vi phân cấp hai
Giả sử w = u = 0 và n /= 0, lúc đó ta có p′′ + m P ′ − βP + δP
Chúng ta cần tìm quỹ đạo thời gian của giá cả theo công thức P (t) P c + P p , và khảo sát tính ổn định động của mức giá cân bằng liên thời: n→lim
Trong phương trình(2.4) ta đặt m
Khi đó nghiệm tổng quát của (2.4), có cấu trúc như sau
P = P c + P p , trong đó P c , là nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất tương ứng, còn P p , là một nghiệm riêng.
Chúng ta đi tìm P c , là nghiệm tổng quát của phương trình
Xét phương trình đặc trưng λ2 + m λ − βP + δP = 0 (2.5) n n và biệt thức ∆, của nó:
Khi đó (2.5) có hai nghiệm thực phân biệt là λ 1 , λ 2 Do đó
A 2 e λ 2 t. Để phân tích tính ổn định động theo thời gian của giá cả P, chúng ta
Dễ thấy, nếu λ , λ xét lim P (t). t→∞
1 2 t→∞ βP + δP nên P¯, là ổn định động (hình 2.7).
Phương trình (2.5) có nghiệm kép λ, nên
⇒ P βP + δP + (A 3 + tA 4)e α + γ p¯, ổn định khi và chỉ khi λ < 0.
− n trong đó i = √−1 là đơn vị ảo
, t→∞ βP + δP nên P (t) dao động tắt dần và giá cân bằng
Trường hợp 3b : h = 0. là ổn định động theo
Lúc này P (t) dao động xung quanh P¯ (Hình 2.8).
Trường hợp 3c : h = − m > 0 Lúc này lim t→∞ P (t) không tồn tại, nên giá cân bằng P¯ không ổn định theo thời gian (Hình 2.9). h t
Ví dụ 2.10 Cho Xét mô hình thị trường sau đây
Cho biết P (0) = 6 và P ′ (0) = 4 a) Tìm đường biến động giá. b) Xác định mức giá cân bằng
Giải: a) Theo bài ra ta có Q d = Q s , và cho biết nó có ổn định động hay
⇒ P ′′ − 4P ′ − 12P = −48. Đây là phương trình vi phân tuyến tính cấp hai nên ta dễ dàng tìm được nghiệm riêng
−12 = 4. Để tìm nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất tương ứng, ta
xét phương trình đặc trưng λ 2 − 4λ − 12 = 0.
Phương trình này có hai nghiệm λ 1 = 6, λ 2 = −2
Do đó P = P c + P p Từ điều kiện đầu bài đã cho ta có
Do lim P (t) lim (4 + e 6t + e −2t ) không tồn tại. t→+∞
P¯ t→+∞ không ổn định động theo thời gian.
Ví dụ 2.11 Cho Xét mô hình thị trường
Cho biết P (0) = 12 và P ′ (0) = 1. a) Tìm đường biến động giá. b) Xác định mức giá cân bằng P và cho biết nó có ổn định động hay không?
Giải: a) Theo bài ra ta có Q d = Q s ,
⇔ P ′′ + P ′ + 5P = 45. Đây là phương trình vi phân tuyến tính cấp hai nên ta dễ dàng tìm được nghiệm riêng
= 9. Để tìm nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất tương ứng ta xét phương trình đặc trưng λ 2 + 2λ + 5 = 0.
Phương trình này có hai nghiệm λ 1 = −1 + 2i, λ 2 = −1 − 2i
Từ điều kiện đầu bài đã cho ta có
= 9 nên P (t) là dao động tắt dần.
Vậy giá cân bằng P¯, ổn định động theo thời gian.
Ví dụ 2.12 Xét mô hình thị trường
Cho biết P (0) = 4 và P ′ (0) = 4. a) Tìm đường biến động giá. b) Xác định mức giá cân bằng
Giải: a) Theo bài ra ta có Q d = Q s , và cho biết nó có ổn định động hay
⇒ 2P ′′ − 2P ′ + 5P = −10. Đây là phương trình vi phân tuyến tính cấp hai nên ta dễ dàng tìm được nghiệm riêng
5 = −2. Để tìm nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất tương ứng ta xét phương trình đặc trưng
Phương trình này có hai nghiệm
Từ điều kiện đầu bài đã cho ta có
Vậy giá cân bằng P¯, không ổn định động theo thời gian.
Chương 3 ỨNG DỤNG HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN GIẢI BÀI TOÁNKINH TẾ
Mô hình cân đối liên ngành động đối với cầu vượt mức 47
Giả sử mức cầu về hàng hóa của ngành công nghiệp i, trong giai đoạn t, vượt quá mức cung trong cùng giai đoạn, thì việc điều chỉnh đầu ra được thực hiện sao cho cân bằng cung cầu được phục hồi và hiệu suất sản xuất được tối ưu hóa, nhằm đảm bảo nguồn cung đáp ứng đúng nhu cầu thị trường Quá trình này có thể được thực hiện bằng cách điều chỉnh mức sản xuất hoặc phân bổ nguồn lực, đồng thời duy trì chi phí ở mức hợp lý và nâng cao tính cạnh tranh của ngành trên thị trường.
Mô hình cho thấy đầu ra của mỗi ngành i (i = 1, 2) tại kỳ t+1 được xác định dựa trên sản lượng của hai ngành ở kỳ t và thặng dư cầu tại kỳ t Cụ thể, xi,t+1 = ai1 x1,t + ai2 x2,t + di,t − xi,t, nghĩa là điều chỉnh mức đầu ra ở kỳ t+1 theo thặng dư so với kỳ t và đáp ứng tương ứng với đầu ra trước đó Khi cộng hai vế của phương trình (3.1) với xi,t, ta được hệ xi,t+1 + xi,t = ai1 x1,t + ai2 x2,t + di,t, và từ đó ta có hệ phương trình cho i = 1, 2 là xi,t+1 = ai1 x1,t + ai2 x2,t + di,t − xi,t.
Mô hình (3.1) cho thời gian rời rạc có thể được viết tương tự cho thời gian liên tục — với giãn cách giữa các mốc thời gian đủ nhỏ — thành x′i(t) = ai1 x1(t) + ai2 x2(t) + di(t) − xi(t), i = 1, 2 Dưới dạng phương trình ma trận, mô hình được viết là x′(t) = (A − I)x(t) + d(t), với x(t) = [x1(t), x2(t)]ᵀ, A = [[a11, a12], [a21, a22]] và d(t) = [d1(t), d2(t)]ᵀ, I là ma trận đơn vị kích thước 2×2.
Nghiệm riêng của (3.3) được xác định tùy theo dạng véc-tơ d Căn cứ vào phương pháp giải hệ phương trình vi phân tuyến tính cấp một đã biết, nghiệm bù của (3.3) được xác định sau khi giải phương trình đặc trưng.
Ví dụ 3.1 Giả sử véctơ nhu cầu cuối cùng d t , có các thành phần biến thiên dạng hàm mũ
λ 1 e ρtt λ 1 d t = ở đó ρt là một hằng số dương λ2eρt t
Lúc đó chúng ta cần tìm nghiệm riêng dưới dạng
βP1 e ρtt βP 2 0 ρt βP 2 với βP 1 , βP 2 , là các hệ số cần xác định sau
Thay vào (3.3), chúng ta thu được
Giả sử ma trận hệ số của hệ x t+1 = Ax t + d t ⇔ x t+1 − Ax t = d t , là không suy biến.
Khi đó hệ có nghiệm βP = λ 1( ρt + 1 − a 22) + λ 2 a 12
1 ∆ 2 ∆ , trong đó ∆ = (ρt + 1 − a 11)(ρt + 1 − a 22) − a 12 a 21. Áp dụng phương pháp tìm nghiệm bù và nghiệm tổng quát của hệ phương trình vi phân tuyến tính chúng ta sẽ tìm được nghiệm tổng quát.
Mô hình trong tương tác lạm phát và thất nghiệp
Phát biểu mô hình
Xét mối quan hệ Phillips: w = f (U ), (3.6)
W d π với điều kiện f ′ (U ) < 0, trong đó:
U : mức thất nghiệp w: mức tăng trưởng của lương: w = W ′
. Ngoài ra, giả sử trong đó:
P′ p = w − T, (3.7) p = , là mức tăng trưởng về giá (lạm phát)
T, là hiệu suất lao động (coi là biến ngoại sinh).
Dễ thấy p > 0, khi ω > T, tức là nếu tốc độ tăng trưởng của tiền lương nhanh hơn hiệu suất lao động thì sẽ có lạm phát về giá.
Nếu giả sử mối quan hệ: w = a − βPU, với α, βP > 0, tức là tốc độ tăng trưởng của tiền lương tỉ lệ nghịch với mức thất nghiệp, thì ta có p = α − T − βPU.
Xét mối quan hệ Phillips có bổ sung giá trị kì vọng: w = f (U ) + hπ(với 0 < h < 1), trong đó π, là tốc độ lạm phát dự báo (kì vọng tốc độ lạm phát).
Khi đó thay vào (3.7), sẽ có p = α − T − βPU + hπ (với 0 < h < 1) (3.8) Ngoài ra, chúng ta cũng giả sử rằng dt = j(p − π) (với 0 < j < 1) (3.9) d U
Điều này đồng nghĩa với việc: nếu lạm phát thực tế hiện tại vượt quá mức lạm phát dự báo (p > T), dự báo lạm phát sẽ có xu hướng tăng (dπ/dp > 0) Ngược lại, khi lạm phát thực tế thấp hơn mức dự báo (p < π), dự báo lạm phát sẽ có xu hướng giảm (dπ/dp < 0).
′ , với M, là lượng tiền cân bằng danh nghĩa (phụ thuộc
M chính sách tiền tệ của nhà nước), ta có thể giả sử rằng dt = −k(m − p) (vớik > 0).
Hệ thức này có nghĩa là, chẳng hạn, nếu m > p, thì dU dt
< 0, , nên U, có khuynh hướng giảm.
Chúng ta có thể nhận thấy rằng m − p = M ′
— r = r , chính là tốc độ tăng trưởng giá trị thực của tiền tệ.
Vậy mô hình tương tác giữa lạm phát và thất nghiệp được phát biểu dưới dạng hệ phương trình vi phân sau đây
> 0 Trong đó: p là mức tăng trưởng về giá (lạm phát)
T là hiệu suất lao động
T là tốc độ lạm phát dự báo (kì vọng tốc độ lạm phát) m, là tốc độ tăng trưởng của lượng tiền cân bằng danh nghĩa.
Khảo sát đường biến động lạm phát, giá cả và thất nghiệp 52
Thay biểu thức của p, trong phương trình đầu vào hai phương trình sau của hệ, chúng ta thu được
Để tìm nghiệm riêng của hệ (3.10), ta coi T và U là các hằng số Với điều kiện T′ = U′ = 0, từ hệ (3.10) ta thu được các nghiệm riêng π̄_m và Ū̄ Để tìm nghiệm bù dưới dạng …
(3.11) π = me rt và U = ne rt ; trước hết chúng ta đặt
Lúc đó m, n, và r, phải thỏa mãn phương trình ma trận sau
−kh r + kβP n 0 Để hệ thuần nhất trên đây có nghiệm không tầm thường ta phải có det (rJ + M ) = r 2
Khi đó phương trình (3.13), có hai nghiệm λ 1 , λ 2 = −a 1 ± √ a 2 4a
Khi đó phương trình (3.13), có nghiệm kép λ < 0, nên π = A 1 + tA 2 e λt + m −→ m, khi t −→ ∞.
Do đó, chúng ta có kết luận tương tự như trong trường hợp 1
Khi đó phương trình (3.13), có hai nghiệm phức a 1 λ 1 , λ 2 = −± i q 1
3 6 18 ¯ e A 5 cos vt + A 6 sin vt + m −→ m, khi t −→ ∞.
Trong cả ba trường hợp được xét, π(t) đều hội tụ về m theo thời gian M, được xem là mức cân bằng động ổn định của quá trình π(t) Tuy nhiên, cách thức biến đổi của hàm dự báo lạm phát π(t) lại khác nhau ở từng trường hợp.
Ví dụ 3.2 Xét mô hình tương tác giữa lạm phát và thất nghiệp
Hãy khảo sát đường biến động lạm phát, giá cả và thất nghiệp.
Dễ dàng tìm được π¯ = m và
Lúc này phương trình đặc trưng (3.13) có dạng r 2 + 3 r + 9
4 Thay các nghiệm r 1 , và r 2, tìm được trên đây vào (3.12), sẽ nhận được các hệ thuần nhất:
= elt (m 1 + m 2) cos vt + (m 1 − m 2)i sin vt
U c (n 1 + n 2) cos vt + (n 1 − n 2)i sin vt Đặt A 5 = m 1 + m 2 và A 6 = (m 1 − m 2)i, ta có ngay
Do đó chúng ta thu được
Cuối cùng nghiệm tổng quát của hệ sẽ là π(t) = e− 3 t 4 A A cos3t + sin3t + m
Nhận xét cho thấy các đường π(t) và p(t) có tính dao động tắt dần và hội tụ về m; vì vậy m, mức tăng trưởng tiền tệ cân bằng danh nghĩa, chính là mức cân bằng của lạm phát giá Trong khi đó, đường U(t) cũng có tính dao động tắt dần nhưng hội tụ về mức 1.
“vàng” về lạm phát, đảm bảo cho mô hình tương tác giữa lạm phát và thất nghiệp có hiệu quả trong thực tế.
Vấn đề giá cả, lương, tiền tệ, hiệu suất lao động và việc làm là những yếu tố cốt lõi được xem xét và phân tích trong mô hình kinh tế vĩ mô nhằm đánh giá diễn biến và định hướng chính sách Các kết luận từ mô hình này mang tính tương đối, phụ thuộc vào tham số và các mối quan hệ giữa các biến, đồng thời được điều tiết bởi các chính sách kinh tế phù hợp Vì vậy, hiệu quả của phân tích và dự báo sẽ tăng lên khi tham số và cơ chế tác động giữa các biến được thiết kế và điều chỉnh phù hợp với thực tế nền kinh tế.
Ví dụ 3.3 Xét mô hình tương tác giữa lạm phát và thất nghiệp
Hãy khảo sát đường biến động lạm phát, giá cả và thất nghiệp Giải Ta có α − T Dễ dàng tìm được
Lúc này phương trình đặc trưng (3.13) có dạng r 2 + 2r + 9
Thay các nghiệm r 1 và r 2 , tìm được trên đây vào (3.12), sẽ nhận được các hệ thuần nhất:
= elt , nn12evit e−vit+ hay
= elt (m 1 + m 2) cos vt + (m 1 − m 2)i sin vt
U c (n 1 + n 2) cos vt + (n 1 − n 2)i sin vt Đặt A 5 = m 1 + m 2 và A 6 = (m 1 m 2)i, ta có n 1 + n 2 và
Do đó chúng ta thu được
Cuối cùng nghiệm tổng quát của hệ sẽ là
3.3 Biểu đồ pha hai biến và fíng dụng
Trong phần này, chúng ta sử dụng biểu đồ pha hai biến để phân tích tính ổn định động của mô hình kinh tế được mô tả bởi hệ phương trình vi phân phi tuyến cấp một dạng tự điều khiển Phương pháp này cho phép quan sát quỹ đạo trạng thái và các điểm cân bằng, từ đó xác định điều kiện ổn định và các loại ổn định của hệ thống theo thời gian Thông qua phân tích pha đồ thị, ta có thể nhận diện sự tồn tại của chu trình giới hạn, đánh giá ảnh hưởng của tham số đến sự hội tụ hoặc phân kỳ của trạng thái, và thiết lập vùng ổn định cho mô hình kinh tế Kết quả sẽ cung cấp khung tham chiếu để điều chỉnh tham số và chính sách nhằm đảm bảo tăng trưởng bền vững dựa trên hiểu biết sâu về tính ổn định động của hệ thống.
Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, các đường x ′ = f (x, y) = 0 và
(3.14) y ′ = g(x, y) = 0 được gọi là các đường ranh giới Chẳng hạn xét đường x ′ = 0 Trên đường này y là hàm ẩn của x và ta tính được: dy ∂f/∂x f x
Tương tự, ta tính được: dy ∂g/∂x g x
Xét một trường hợp cụ thể khi biết f x < 0, f y > 0, g x > 0 và g x < 0.
Lúc đó các đường ranh giới đều có các độ dốc dương Nếu giả sử đường x ′ y y
Khi x' = 0 và dốc hơn đường y' = 0, ta gặp tình huống như minh họa trên hình 3.1 Hai đường ranh giới chia mặt phẳng tọa độ thành bốn vùng I, II, III và IV Điểm E, nơi x' = y' = 0, chính là điểm cân bằng liên thời của mô hình đã cho Tại mọi điểm (x, y) bất kỳ khác x' = y' = 0, sự biến thiên của x và y phụ thuộc vào thời gian t, theo hướng tăng hay giảm, tùy thuộc vào dấu của các đạo hàm x' và y'.
Trên hình 3.1, các điểm thỏa mãn (3.14) nằm về bên trái của đường ranh giới x ′ = 0, sẽ cho x ′ > 0, các điểm nằm về bên phải cho x ′ < 0 Điều này là do ∂x
< 0 Tương tự, các điểm thỏa mãn (3.14) nằm phía dưới của đường ranh giới y ′ = 0, sẽ cho y ′ > 0, các điểm nằm phía trên cho y ′ < 0 (do ∂y
Với các giả thiết của hình 3.1a, chúng ta xuất phát từ một điểm (x, y) bất kì trên mặt phẳng tọa độ Chẳng hạn từ điểm A thuộc phần II (hình
3.1b) Do tại góc này đạo hàm x ′ > 0 và y ′ < 0, điểm A, có khuynh hướng chuyển động sang phải và xuống phía dưới và “hội tụ”về điểm E, sau một thời gian đủ dài (t → +∞) Toàn bộ quỹ đạo tạo nên bởi chuyển động của điểm A, được gọi là một đường dòng hay quỹ đạo pha được biểu thị bằng một đường có mũi tên hướng về điểm E trên hình 3.1b Phân tích một cách tương tự ta thấy: xuất phát từ các điểm khác nhau, các đường dòng đều “hội tụ” về E Như vậy, nếu f x < 0, f y > 0, g x > 0, và g x 0 (3.15) tiền tệ và lạm phát: dp M s − M d
Trong đó M,: mức cầu tiền tệ
Mô hình này cho thấy dư thừa cung tiền M s so với cầu tiền M d làm tăng tốc độ lạm phát p nhưng không tác động tới mức giá P Do đó, loại bỏ dư thừa tiền trên thị trường tiền tệ sẽ ổn định tốc độ lạm phát nhưng không làm ổn định mức giá Giả thiết thêm rằng cầu tiền tệ tỉ lệ thuận với tổng sản phẩm quốc dân cho thấy mối quan hệ Md với Ms phụ thuộc vào mức thu nhập quốc dân, tức là tỉ lệ cầu–cung tiền tệ Md/Ms được xác định bởi Y.
, M s ra được viết như sau: à = Md
Lấy đạo hàm theo t cả hai vế, chúng ta sẽ có: dà/dt da/dt dP/dt dQ/dt dM s /dt
= + + − à a P Q M s trong đó: p : tốc độ lạm phát
= p + q − m, (3.16) q : tốc độ tăng trưởng (ngoại sinh) sản phẩm quốc dân m : tốc độ mở rộng qui mô cung tiền tệ.
Các phương trình (3.15) và (3.16) dẫn tới hệ phương trình sau:
Do h > 0 nờn p ′ = 0, khi và chỉ khi 1 − à = 0.
Do à > 0 nờn à ′ = 0, khi và chỉ khi p + q − m = 0.
Vậy cỏc đường ranh giới của p ′ = 0, và à ′ = 0 là cỏc đường sau:
Trường hợp 1: Giả sử m là hằng số Các đường biên là các đường thẳng và dấu của các đạo hàm riêng được cho như trong biểu thức (3.19), nên ta có thể áp dụng các phân tích tương tự như ở hình 3.3b, với các đại lượng đảm nhận vai trò của x′ và y′ tương ứng Do đường ranh giới y′ = 0, mặt phẳng được phân thành hai phần trái và phải, với các dấu − và + ở hai bên đường biên.
Trong không gian pha, đường p′ = 0 phân thành hai miền trên và dưới, được ký hiệu bằng dấu − và +, nên các quỹ đạo pha quay ngược chiều kim đồng hồ Lúc này điểm E có tọa độ p = m − q và α = 1 chính là nút cân bằng, hay điểm nút trung tâm của hệ Trong Hình 3.4a cho thấy khi thời gian trôi qua, các điểm (p, α) di chuyển quanh E, tức là trạng thái nằm quanh E; trạng thái cố định tại E (tại đó p′ = 0 và α′ = 0) sẽ không xảy ra trừ khi điều kiện ban đầu của hệ nằm tại E.
Trong trường hợp 2, xét m = m(p′) với m′(p′) < 0 Khi p′ tăng lên, nhà nước sẽ điều chỉnh để m giảm, đây là quy tắc chuẩn trong việc điều chỉnh cung tiền tệ Vì vậy, m trở thành một hàm nghịch biến của p′ và sự tăng của p′ đồng nghĩa với sự giảm của lượng tiền được cung ứng Do đó, công thức (3.17) được biến đổi thành một dạng mới thể hiện m phụ thuộc nghịch biến vào p′, phù hợp với nguyên lý điều chỉnh cung tiền theo điều kiện thị trường.
Do đó, các đường ranh giới sẽ là: p ′ à.
Từ phương trình thứ hai của (3.21), tức là trên đường u =0, chúng ta có: dp = m
Theo định lý hàm ngược, trên đường y' = 0 sẽ xuất hiện dp > 0 Lúc này, với p' đóng vai trò của x', đường biên giới p' = 0 chính là đường thẳng nằm ngang y' = 1 Với y' đúng vai trò của x', chúng ta có thể áp dụng các phân tích tương tự như trên hình 3.3b.
Để phân tích quỹ đạo pha, ta xem hai đường ranh giới y′ = 0 và p′ = 0 Đường y′ = 0 chia mặt phẳng thành hai miền trái và phải với các dấu − và +, trong khi đường p′ = 0 chia mặt phẳng thành hai miền trên và dưới, cũng với các dấu − và + Sự phân chia này khiến chiều của mũi tên trên các quỹ đạo pha là ngược chiều kim đồng hồ Lúc này, điểm E có tọa độ p = m(0) − q, cho phép xác định vị trí ban đầu của hệ và các quan hệ giữa p và m(p) trong điều kiện ban đầu.