MỘT SỐ TÍNH TOÁN TRÊN IĐÊAN CHIỀU KHÔNG. VÀ VÀNH TỌA ĐỘ CỦA ĐA TẠP

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ——————————– NGUYỄN PHẠM HỒNG TRÂM MỘT SỐ TÍNH TOÁN TRÊN IĐÊAN CHIỀU KHÔNG VÀ VÀNH TỌA ĐỘ CỦA ĐA TẠP TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Đà Nẵng - 201

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

——————————–

NGUYỄN PHẠM HỒNG TRÂM

MỘT SỐ TÍNH TOÁN

TRÊN IĐÊAN CHIỀU KHÔNG

VÀ VÀNH TỌA ĐỘ CỦA ĐA TẠP

TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Đà Nẵng - 2019

Công trình được hoàn thành tại TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM - ĐH ĐÀ NẴNG

——————————–

Người hướng dẫn khoa học: PGS TS Nguyễn Chánh Tú

Phản biện 1: TS Nguyễn Ngọc Châu

Phản biện 2: PGS.TS Trần Đạo Dõng

Luận văn sẽ được bảo vệ trước Hội đồng chấm Luận văn tốt nghiệp thạc sĩ Đại số và lí thuyết số họp tại Trường Đại học Sư phạm - Đại học Đà Nẵng vào ngày 26 tháng 10 năm 2019

MỞ ĐẦU

1 Lí do chọn đề tài

Cùng với sự phát triển của toán học hiện đại nói chung và hình học đại số nói riêng, đại số tính toán và các phần mềm toán học đã cung cấp những công

cụ thúc đẩy sự phát triển của các lý thuyết này, mở ra các ứng dụng quan trọng khác

Trong đại số tính toán, cơ sở Gr¨obner đóng vai trò quan trọng Lý thuyết này được nhà toán học người Áo Bruno Buchberger đưa ra trong luận văn tiến

sĩ của mình năm 1965 dưới sự hướng dẫn của người thầy Wolfgang Gr¨obner

Sự hình thành lý thuyết cơ sở Gr¨obner dựa vào việc mở rộng thuật toán chia hai đa thức một biến sang trường hợp đa thức nhiều biến

Sử dụng cơ sở Gr¨obner cũng như các ứng dụng của nó là một trong những hướng nghiên cứu hiện nay trong hình học đại số Với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về ứng dụng của cơ sở Gr¨obner, với sự hướng dẫn của PGS TS Nguyễn Chánh Tú, chúng tôi chọn đề tài “MỘT SỐ TÍNH TOÁN TRÊN IĐÊAN CHIỀU KHÔNG VÀ VÀNH TỌA ĐỘ CỦA ĐA TẠP” làm đề tài nghiên cứu cho luận văn của mình

2 Mục tiêu và nhiệm vụ nghiên cứu của đề tài

Nghiên cứu tính toán trên iđêan của tập điểm, tính toán trên vành tọa độ

và vành địa phương dựa vào cơ sở Gr¨obner và một số kiến thức khác

3 Phương pháp nghiên cứu

Nghiên cứu các tài liệu liên quan đến đề tài, tổng hợp và trình bày lý thuyết một cách có hệ thống

4 Đóng góp của đề tài

Tổng hợp tài liệu để có một bài báo cáo tổng quan tương đối hệ thống về vành địa phương, vành tọa độ, cơ sở Gr¨obner nhằm nghiên cứu một số tính

toán trên iđêan chiều không và vành tọa độ.

5 Cấu trúc của luận văn

Luận văn viết thành 2 chương, cụ thể như sau:

Chương I: Trình bày một số kiến thức chuẩn bị về vành đa thức, iđêan, đa tạp liên quan đến các vấn đề ở chương II

Chương II: Trình bày về cơ sở Gr¨obner, vành tọa độ và tính số chiều của vành tọa độ, vành địa phương, iđêan chiều không và tính bội của các điểm thuộc đa tạp trong vành địa phương

Chương 1

KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1 Vành đa thức

1.1.1 Vành đa thức một biến.

a) Xây dựng vành đa thức một biến

Định nghĩa 1.1.1 Vành P gọi là vành đa thức của biến x lấy hệ tử trong A, hay vành đa thức của biến x trên A Kí hiệu: A[x] Các phần tử của vành đó gọi là đa thức của biến x lấy hệ tử trong A Trong một đa thức

f (x) = anxn+ a n−1 xn−1+ + a 1 x1+ a 0 x0.

• a i , i = 0, n gọi là các hệ tử thứ i của đa thức

• a i xi, i = 0, n gọi là các hạng tử thứ i của đa thức

• a 0 x0 = a 0 gọi là hạng tử tự do

• a n x n với an 6= 0 gọi là hạng tử cao nhất

b) Bậc của đa thức

Định nghĩa 1.1.2 Cho đa thức:

f (x) = anxn + a n−1 xn−1+ + a 1 x1+ a 0 x0 với an 6= 0, n ≥ 0.

Khi đó bậc của đa thức là n, kí hiệu là deg f (x) và hệ tử a n gọi là hệ tử cao nhất của f (x) và a 0 gọi là hệ tử tự do của f (x)

c) Phép chia đa thức.

Định lý 1.1.3 Cho hai đa thức f (x), g(x) ∈ A[x] với g(x) 6= 0 thì luôn luôn tồn tại hai đa thức duy nhất q(x) và r(x) thuộc A[x] sao cho:

f (x) = g(x).q(x) + r(x)

với r(x) = 0 hoặc r(x) 6= 0 thì deg r(x) < deg g(x).Ta gọi q(x) và r(x) lần lượt là thương và dư trong phép chia f (x) cho g(x) Nếu r(x) = 0 thì ta nói f (x) chia hết cho g(x) Kí hiệu: f (x) g(x) hay g(x)|f(x)

d) Hàm đa thức

Định nghĩa 1.1.4 Cho đa thức:

f (x) = a n xn+ a n−1 xn−1+ + a 1 x1+ a 0 x0∈ A[x] với a n 6= 0, n ∈N.

Xét ánh xạ:

b 7→ ϕf(b) = anbn+ + a 1 b1+ a 0 , ai∈ A, i = 1, n, n ∈N Khi đó ϕf được gọi là hàm đa thức xác định bởi đa thức f

1.1.2 Vành đa thức nhiều biến.

a) Xây dựng vành đa thức nhiều biến

Định nghĩa 1.1.5 Giả sử A là vành giao hoán có đơn vị Đặt:

A 1 = A[x 1 ]

A 2 = A 1 [x 2 ]

A 3 = A 2 [x 3 ]

A n = A n−1 [x n ]

Vành A n = A n−1 [x n ]kí hiệu là A[x 1 , x 2 , , x n ] và được gọi là vành đa thức n biến

x 1 , x 2 , , x n lấy hệ tử trong vành A, các phần tử trongA n có dạngf (x 1 , x 2 , , x n ).

b) Bậc của đa thức.

Định nghĩa 1.1.6 Cho đa thức f (x 1 , , x n ) ∈ A[x 1 , x 1 , , x n ] khác 0

f (x 1 , , xn) = c 1 xa11

1 xa1n

n + + cmxam 1

1 xamn

n

trong đó ci 6= 0, i = 1, m và (a i1 , , ain) 6= (a j1 , , ajn) khi i 6= j.Khi đó:

Bậc của đa thức f (x 1 , , x n ) đối với biến x i là số mũ cao nhất của x i trong các hạng tử của đa thức Nếu trong đa thức f (x 1 , , x n ) biến x i không có mặt thì bậc của f (x 1 , , x n ) đối với nó bằng 0

Bậc của hạng tử c i xai 1

1 xain

n là tổng các số mũ a i1 + + a in Bậc cúa đa thức đối với tất cả các biến (bậc toàn phần) là số lớn nhất trong các bậc của các hạng tử của đa thức

d) Hàm đa thức

Định nghĩa 1.1.7 Cho đa thức:

f (x 1 , , x n ) = c 1 xa11

1 xa1n

n + + c m xam 1

1 xamn

n ∈ A[x 1 , , x n ]

trong đó c i 6= 0, i = 1, m và (a i1 , , a in ) 6= (a j1 , , a jn ) khi i 6= j Xét ánh xạ:

b = (b 1 , , bn) 7→ ϕf(b) = c 1 ba11

1 ba1n

n + + cmbam 1

1 bamn

n

trong đó c i 6= 0, i = 1, m và (a i1 , , a in ) 6= (a j1 , , a jn ) khi i 6= j Khi đó ϕf được gọi là hàm đa thức xác định bởi đa thức f

1.2 Iđêan.

Định nghĩa 1.2.1 Cho A là vành giao hoán Khi đó I ⊂ A được gọi là iđêan của A nếu I thỏa mãn các điều kiện sau:

1) I 6=∅

2) Nếu ∀x, y ∈ I thì x + y ∈ I.

3) Nếu ∀x ∈ I, ∀r ∈ A thì rx ∈ I.

Ví dụ 1.2.2.

Định nghĩa 1.2.3 Cho A là vành giao hoán có đơn vị Khi đó I 6= A là iđêan nguyên tố của A nếu I thỏa mãn các điều kiện sau:

1) I là iđêan của A

2) Nếu ∀x, y ∈ A, xy ∈ I thì x ∈ I hoặc y ∈ I

Định nghĩa 1.2.4 Cho A là vành giao hoán có đơn vị Khi đó I 6= A là iđêan cực đại của A nếu I thỏa mãn các điều kiện sau:

1) I là iđêan của A

2) Nếu tồn tại J là iđêan của A mà I ⊂ J thì J = I hoặc J = A

Nhận xét 1.2.5

Định nghĩa 1.2.6 Cho I ⊂ k[x1 , , xn] là iđêan Khi đó, căn của I là:

√

I = {g ∈ k[x 1 , , xn] : gm ∈ I với m ≥ 1}

Iđêan I được gọi là iđêan căn nếu √I = I

Định nghĩa 1.2.7 Cho f1, , fs ∈ k[x 1 , , xn] Khi đó

hf 1 , , fsi = {p 1 f1+ + psfs : p i ∈ k[x 1 , , xn] với i = 1, s }

được gọi là iđêan sinh bởi các đa thức f 1 , , f s

Ví dụ 1.2.8

1.3 Đa tạp afin.

1.3.1 Không gian afin.

Định nghĩa 1.3.1 Cho k là trường, n ∈N∗, không gian afin n− chiều trên k

là:

kn = {(a 1 , , a n ) : a 1 , , a n ∈ k}.

Ví dụ 1.3.2.

Mệnh đề 1.3.3 Cho k là trường vô hạn và f ∈ k[x1 , , x n ] Khi đó hàm đa thức:

(a 1 , , an) 7→ ϕf(a 1 , an)

bằng 0 khi và chỉ khi f = 0 ∈ k[x1 , , x n ].

Bổ đề 1.3.4 Cho k là trường vô hạn và f, g ∈ k[x1 , , xn] tồn tại hai hàm đa thức

(a 1 , , an) 7→ ϕf(a 1 , an) (a 1 , , an) 7→ ϕg(a 1 , an).

Khi đó:

f = g ⇔ ϕ f = ϕ g

1.3.2 Đa tạp afin.

Định nghĩa 1.3.5 Cho k là trường, f 1 , , f s ∈ k[x 1 , , x n ] và hàm đa thức

f i : k n → k xác định bởi đa thức f i với i = 1, s Đặt

V (f 1 , , f s ) = {(a 1 , , a n ) ∈ kn : f i (a 1 , , a n ) = 0, ∀1 ≤ i ≤ s}

Khi đó V (f 1 , , f s ) được gọi là đa tạp afin xác định bởi f 1 , , f s

Ví dụ 1.3.6

Ví dụ 1.3.7

Định nghĩa 1.3.8 Cho V là một tập điểm tùy ý trong kn Kí hiệu

IV = {f ∈ k[x 1 , , x n ]/f (a) = 0 với mọi a ∈ V }.

Khi đó, ta dễ dàng thấy IV là iđêan và được gọi là iđêan của tập điểm V trong

k[x 1 , , x n ]. Nếu V chỉ gồm một điểm a thì ta kí hiệu là I a

Ví dụ 1.3.9

Chương 2

MỘT SỐ TÍNH TOÁN TRÊN IĐÊAN

CHIỀU KHÔNG VÀ VÀNH TỌA ĐỘ

2.1 Cơ sở Gr¨obner

2.1.1 Thứ tự đơn thức, thuật toán chia

Định nghĩa 2.1.1 Một đơn thức gồm các biến x 1 , , x n trong k[x 1 , , x n ] có dạng

xα1

1 xα2

2 xαn

n

trong đó αi là số nguyên không âm Đơn thức trên thường được viết gọn là x α

với α = (α 1 , α 2 , , αn) là một vectơ của số mũ trong đơn thức Bậc của đơn thức

là tổng của các số mũ α 1 + α 2 + + α n Kí hiệu là |α|.

Định lý 2.1.2 (Định lí cơ sở Hilbert)([5], Hilbert Basis Theorem, Ch.1) Mọi iđêan I trong k[x 1 , , x n ] có một tập sinh hữu hạn Nói cách khác, cho một iđêan I, tồn tại một tập hữu hạn các đa thức {f1 , , f n } ⊂ k[x 1 , , x n ] sao cho

I = hf 1 , f2, , fni

Định lý 2.1.3 ([4], Th.7, Ch.2) Cho I 1 ⊂ I 2 ⊂ I 3 ⊂ ⊂ là chuỗi các iđêan tăng trong k[x 1 , , xn]. Khi đó, tồn tại số nguyên N ≥ 1 sao cho:

IN = IN+1 = IN+2 =

Định nghĩa 2.1.4 Một quan hệ ” > ” trong tập hợp các đơn thức x α trên

k[x 1 , , xn] được gọi là thứ tự đơn thức trên k[x 1 , , xn] nếu thỏa các điều kiện sau:

a) ” > ” là quan hệ thứ tự toàn phần;

b) nếu xα> xβ thì xα.xγ = xα+γ > xβ.xγ = xβ+γ;

c) ” > ” được sắp thứ tự tốt

Định nghĩa 2.1.5 Thứ tự từ điển kí hiệu là >lex và được xác định như sau: Cho x α và x β là các đơn thức trong k[x 1 , , xn] Khi đó x α >lex x β nếuα−β ∈ Zn

và thành phần khác 0 đầu tiên bên trái là số dương

Định nghĩa 2.1.6 Thứ tự từ điển phân bậc kí hiệu là >grlex được xác định như sau: Cho xα và xβ là các đơn thức trong k[x 1 , , x n ] Khi đó xα >grlex xβ

khi và chỉ khi

n

X

i=1

α i >

n

X

i=1

β i hoặc nếu

n

X

i=1

α i =

n

X

i=1

β i thì xα>lexxβ

Định nghĩa 2.1.7 Thứ tự từ điển ngược phân bậc kí hiệu là >grevlex được xác định như sau: Cho xα và xβ là các đơn thức trong k[x 1 , , x n ] Khi đóxα >grevlex

xβ khi và chỉ khi

n

X

i=1

α i >

n

X

i=1

β i hoặc nếu

n

X

i=1

α i =

n

X

i=1

β i thìα −β ∈ Zn và thành phần khác 0 đầu tiên bên phải là số âm

Ví dụ 2.1.8

Định nghĩa 2.1.9 Cho thứ tự đơn thức ” > ” trên k[x 1 , , xn] và đa thức

f =X

α

c α xα.

Khi đó:

• Bậc toàn phần của f là multideg (f ) = max(|α|, α ∈Zn≥0 : c α 6= 0)

• Hạng tử dẫn đầu của f (đối với quan hệ >) làc α xα với xα là đơn thức lớn nhất của f với thứ tự > Kí hiệu là LT > (f ) = c α xα

• Nếu LT (f ) = cx α thì LC(f ) = c là hệ tử dẫn đầu của f và LM (f ) = x α là đơn thức dẫn đầu của f

Ví dụ 2.1.10

Bổ đề 2.1.11 ([4], Lem.8, Ch.2) Giả sử f, g ∈ k[x1 , , x n ] và f, g 6= 0 Khi đó: (i) multideg(f g) =multideg(f ) +multideg(g)

(ii) Nếu f + g 6= 0 thì multideg(f + g) ≤ max(multideg(f ),multideg(g)) Ngoài

ra nếu multideg(f ) 6=multideg(g) thì đẳng thức xảy ra

Mệnh đề 2.1.12 (Thuật toán chia trên k[x 1 , , xn]) ([5], §2, Ch.1) Cho thứ

tự đơn thức ” > ” trên k[x 1 , , xn] và tập sắp thứ tự gồm s đa thức F = (f 1 , fs)

trên k[x 1 , , x n ] Khi đó với mỗi f ∈ k[x1 , , x n ] có thể viết

f = a 1 f 1 + a 2 f 2 + + a s f s + r

trong đó ai, r ∈ k[x 1 , , xn] Với mỗi i thì aifi = 0 hoặc LT>(f ) ≥ LT > (aifi) và

r = 0 hoặc r là tổ hợp tuyến tính của các đơn thức mà các đơn thức đó không chia hết cho bất kì LT>(f 1 ), , LT>(fs) Khi đó r được gọi là phần dư khi chia

f cho F và được kí hiệu là r = fF

Ví dụ 2.1.13

2.1.2 Cơ sở Gr¨obner

Định nghĩa 2.1.14 Một iđêanI ⊂ k[x1 , , xn]là iđêan đơn thức nếu có tập con

A ⊂ Zn

≥0 sao cho I chứa các đa thức có dạng Pα∈Ahαx α với hα ∈ k[x 1 , , xn].

Khi đó, ta viết:

I = hxα: α ∈ Ai

Bổ đề 2.1.15 ([4], Lem.2, §4, Ch.2) Cho I = hxα : α ∈ Ai là iđêan đơn thức Khi đó xβ ∈ I khi và chỉ khi xβ chia hết cho xα với α ∈ A nào đó

Định nghĩa 2.1.16 Cho I ⊂ k[x1 , , x n ] là iđêan khác {0} Khi đó ta định nghĩa:

(i) Tập các hạng tử dẫn đầu của các đa thức f ∈ I là

LT (I) = {cxα : trong đó f ∈ I với LT (f ) = cxα}.

(ii) Iđêan sinh bởi các các phần tử của LT (I) LT (I).

Định nghĩa 2.1.17 Cho thứ tự đơn thức ” > ” trên k[x 1 , , xn] và iđêan

I ⊂ k[x 1 , , xn] Cơ sở Gr¨obner của I ( đối với >) là tập hữu hạn các đa thức

G = {g 1 , , gt} ⊂ I sao cho

∀f 6= 0 và f ∈ I thì LT (f ) LT (g i ), với i nào đó

Hay nói cách khác

LT (I)= LT (g 1 ), , LT (gt).

Mệnh đề 2.1.18 ([4], Pro.1, §6, Ch.2) Giả sử G = {g1 , , g t }là cơ sở Gr¨obner của I ⊂ k[x1 , , x n ] và f ∈ k[x1 , , x n ] Khi đó, tồn tại duy nhất r ∈ k[x1 , , x n ]

thỏa mãn hai tính chất:

(i) Không có hạng tử nào của r chia hết cho LT (g 1 ), , LT (gt).

(ii) Tồn tại g ∈ I sao cho f = g + r

Đặc biệt r là phần dư của mọi phép chia của f cho G

Hệ quả 2.1.19 ([5], Cor.2, §6, Ch.2) Giả sử G là cơ sở Gr¨obner của iđêan

I ⊂ k[x 1 , , x n ] đối với một thứ tự cho trước và f ∈ k[x1 , , x n ] Khi đó f ∈ I khi và chỉ khi fG = 0.

Định nghĩa 2.1.20 Giả sử f, g ∈ k[x1 , , xn] và f, g 6= 0 Với thứ tự đơn thức

đã cho và giả sử:

LT (f ) = cxα và LT (g) = dxβ ∀c, d ∈ k.

Giả sử x γ = BCN N (x α , x β ) Khi đó S− đa thức của f và g được kí hiệu là

S(f, g) và được tính theo công thức:

S(f, g) = x

γ

LT (f ) f − x

γ

LT (g).g

Ví dụ 2.1.21.

Chú ý 2.1.22

Bổ đề 2.1.23 ([4], Lem.5, §6, Ch.2) Cho

s

X

i=1

cifi, ci ∈ k với multideg(fi) = δ,

δ ∈ Zn≥0, ∀i Nếu multideg





s

X

i=1

cifi



< δ thì

s

X

i=1

cifi là tổ hợp tuyến tính với hệ

tử trong k của S− đa thức S(fj, fk) với 1 ≤ j, k ≤ s

Ví dụ 2.1.24

2.1.3 Tiêu chuẩn Buchberger

Định lý 2.1.25 (Tiêu chuẩn Buchberger)([5], §3, Ch.1) Tập G = {g1 , , gt} là

cơ sở Gr¨obner của iđêan I = hg1 , , gti khi và chỉ khi

S(g i , g j )G= 0 ∀i 6= j.

Chú ý 2.1.26

Ví dụ 2.1.27

2.1.4 Thuật toán Buchberger

Định lý 2.1.28 (Thuật toán Buchberger) ([5], §3, Ch.1) Cho I = hf1 , , f s i

khác {0}. Khi đó cơ sở Gr¨obner của I có thể được xây dựng qua một số bước hữu hạn bằng thuật toán sau:

Input: F = (f1, , fs)

Output: Cơ sở Gr¨obner G = {g1 , , gt} của I với F ⊂ G

G := F

Repeat

G′:= G

Với mỗi cặp {p, q} với p 6= q trong G′ thì

S := S(p, q)G

′

Nếu S 6= 0 thì G := G ∪ {S}

Until G = G′.

Ví dụ 2.1.29

2.2 Tính toán trong vành tọa độ

2.2.1 Vành tọa độ

Định nghĩa 2.2.1 Cho V là đa tạp trong kn và I V là iđêan tập điểm của V Khi đó vành thương k[X]/I V được gọi là vành tọa độ của đa tạp V và được kí hiệu là k[V ]

Ví dụ 2.2.2

2.2.2 Tính số chiều của vành tọa độ.

Mệnh đề 2.2.3 ([4], Pro.1, §3, Ch.4) Cho thứ tự đơn thức trên k[x 1 , , x n ] và

I ⊂ k[x 1 , , x n ] Khi đó:

(i) Với mọi đa thức f ∈ k[x1 , , xn], tồn tại duy nhất r sao cho f ≡ r mod I, trong đó r là tổ hợp tuyến tính của các đơn thức nằm trong phần bù của

LT (I)

(ii) Nếu X

α

c α xα ≡ 0 mod I thì c α = 0, ∀α, trong đó xα∈ / LT (I).

Ví dụ 2.2.4

Định lý 2.2.5 ([4], Th.6,§3, Ch.4]) Cố định thứ tự đơn thức trong C[x 1 , , x n ].Cho

V = V (I) là đa tạp trong Cn Khi đó các mệnh đề sau tương đương:

(i) V là tập hữu hạn

(ii) Với mỗi i, 1 ≤ i ≤ n tồn tại mi ≥ 0 sao cho xmi

i ∈ LT (I).

(iii) Giả sử G là cơ sở Gr¨obner Khi đó, với mỗi i, 1 ≤ i ≤ n tồn tại m i ≥ 0 sao cho xmi

i = LM (g i ), với g ∈ G nào đó

(iv) C− Không gian vectơ S = Span(xα/xα ∈ / LT (I)) có chiều hữu hạn

(v) C− Không gian vectơ C[x 1 , , xn]/I có chiều hữu hạn

Ví dụ 2.2.6

Ví dụ 2.2.7.

Định lý 2.2.8 (Định lí hữu hạn)([5], §2, Ch.2) Cho k ⊂ C là một trường và

I ⊂ k[x 1 , , x n ] là iđêan Khi đó các mệnh đề sau tương đương:

(i) Đại số A = k[x 1 , , x n ]/I là hữu hạn chiều

(ii) Đa tạp V (I) ⊂Cn là tập hữu hạn

(iii) Nếu G là cơ sở Gr¨obner của I thì với mọi i, 1 ≤ i ≤ n tồn tại mi ≥ 0 sao cho xmi

i = LT (g) với g ∈ G

Hệ quả 2.2.9 ([4], Cor.7, Ch.4) Giả sử I ⊂C[x 1 , , xn] là iđêan chiều không, với mỗi i, xmi

i ∈ LT (I), trong đó mi là lũy thừa nhỏ nhất Khi đó số điểm nhiều nhất của V (I) là m 1 m 2 m n

Ví dụ 2.2.10

Ví dụ 2.2.11

Mệnh đề 2.2.12 ([4], Pr0.8, Ch.4) Giả sử I ⊂ C[x 1 , , xn] là iđêan sao cho

V = V (I) là tập hữu hạn Khi đó:

(i) Số điểm nhiều nhất của V là dimC[x 1 , , xn]/I.

(ii) I là iđêan căn khi và chỉ khi số điểm của V chính là dimC[x 1 , , x n ]/I.

2.3 Tính toán trên iđêan chiều không.

2.3.1 Vành địa phương.

Định nghĩa 2.3.1 Vành địa phương là vành chỉ có một iđêan cực đại

Mệnh đề 2.3.2 ([6], Pro.1.2, Ch.1) Cho R là vành và M (R là iđêan Khi

đó các mệnh đề sau tương đương:

(i) R là vành địa phương với iđêan cực đại M

(ii) Mọi phần tử của R\M đều khả nghịch trong R