Áp dụng phương pháp xác suất để giải toán sơ cấp

Trong xác suất, khái niệm phép thử ngẫu nhiên gọi tắt là phépthử là khái niệm cơ bản không có định nghĩa.. Mỗi tập con của một không gian mẫu gọi là biến cố.. Ta nói "biến cố A xảy ra" k

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗    ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗

PHAN QUỐC KHÁNH

ÁP DỤNG PHƯƠNG PHÁP XÁC SUẤT

ĐỂ GIẢI TOÁN SƠ CẤP

Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP

Mã số: 8.46.01.13

TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học:

TS Lê Văn Dũng

Đà nẵng, 2020

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

Người hướng dẫn khoa học: TS Lê Văn Dũng

Phản biện 1: TS Phạm Qúy Mười

Phản biện 2: PGS.TS Trần Đạo Dõng

Luận văn sẽ được bảo vệ trước Hội đồng chấm Luận văn luận văn tốt nghiệp thạc sĩ

Toán học họp tại Đại học Đà Nẵng vào ngày 30 tháng 5 năm 2020.

Có thể tìm hiểu luận văn tại:

- Trung tâm Thông tin-Học liệu, Đại học Đà Nẵng.

- Thư viện trường Đại học sư phạm, Đại học Đà Nẵng.

CƠ SỞ LÝ THUYẾT XÁC SUẤT

1.1 XÁC SUẤT VÀ CÁC QUY TẮC TÍNH XÁC SUẤT

1.1.1 Không gian mẫu và biến cố

Phép thử Trong xác suất, khái niệm phép thử ngẫu nhiên (gọi tắt là phépthử) là khái niệm cơ bản không có định nghĩa Ta có thể hiểu phép thử

là việc thực hiện một nhóm các điều kiện cơ bản nào đó để quan sát mộthiện tượng có xảy ra hay không Nói chung, là những thí nghiệm mà khithực hiện sẽ xảy ra kết quả hoàn toàn ngẫu nhiên ngay cả khi thí nghiệm

đó được lặp lại nhiều lần trong cùng một điều kiện giống nhau

Ví dụ 1 Khi tung một xúc xắc cân đối thì ta không thể biết chắc chắn

số chấm xuất hiện của nó Việc tung xúc xắc đó ta gọi là phép thử ngẫunhiên

Không gian mẫu Tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra của mộtphép thử ngẫu nhiên Ta thường kí hiệu là Ω

Ví dụ 2 Gieo một đồng xu cân đối đồng nhất, có hai kết quả có thể xảyra: xuất hiện mặt sấp (S) hoặc xuất hiện mặt ngữa (N) nên có không gianmẫu là:

Ω = S; N Biến cố Mỗi tập con của một không gian mẫu gọi là biến cố Ta nói

"biến cố A xảy ra" khi thực hiện phép thử nếu kết quả phép thử rơi vào A.Như vậy mỗi phần tử của không gian mẫu cũng là một biến cố và được gọi

là biến cố sơ cấp, không gian mẫu Ω cũng là một biến cố và được gọi là

biến cố chắc chắn, tập rỗng ∅ cũng là một biến cố và được gọi là biến cốkhông thể.

Ví dụ 3 Khi tung một con xúc xắc thì số chấm xuất hiện một cách ngẫunhiên Ta có không gian mẫu là:

Ω = 1; 2; 3; 4; 5; 6 ,còn biến cố xuất hiện mặt lẻ là:

A = 1; 3; 5

a Mối quan hệ giữa các biến cố

Quan hệ bao hàm: Biến cố A được gọi là kéo theo biến cố B, kí hiệu A

⊂ B, nếu A xảy ra thì B cũng xảy ra

Quan hệ bằng nhau: Hai biến cố A, B được gọi là bằng nhau nếu A ⊂

B và B ⊂ A

b Các phép toán trên biến cố

Cho A và B là 2 biến cố của không gian mẫu Ω

*Phép giao

A ∩ B (hoặc kí hiệu là: A.B hay đơn giản hơn là AB ), là biến cố xảy

ra khi và chỉ khi đồng thời hai biến cố A và B cùng xảy ra

Cho tập hợp A gồm n phần tử (n ≥ 1) Mỗi kết quả của sự sắp xếp thứ tự

n phần tử của tập hợp A được gọi là một hoán vị của n phần tử đó

Số cách sắp xếp n phần tử vào n vị trí sao cho mỗi vị trí có đúng 1 phần

tử là n!

3) Tổ hợp

Tổ hợp chập k của n phần tử là một tập con của tập hợp mẹ S chứa n phần

tử, tập con gồm k phần tử riêng biệt thuộc S và không sắp thứ tự

Cho không gian mẫu Ω khác rỗng Một lớp F các tập con của Ω được gọi

là σ-đại số nếu thỏa mãn 3 điều kiện:

c Các tính chất cơ bản của xác suất

Từ định nghĩa xác suất trên ta dễ dàng suy ra các tính chất sau:

1) P ∅
= 0,

P (A) = |A|

|Ω|,trong đó |A| là số phần tử của A

e Định nghĩa của xác suất theo hình học

Xét một phép thử có vô hạn kết cục đồng khả năng Giả sử ta có thể biểuthị tập hợp mọi kết cục này bởi một miền hình học G nào đó: một đoạn

thẳng, một miền phẳng, một mảnh mặt cong hay một khối không gian

và những kết cục thích hợp cho sự kiện A bởi các điểm thuộc miền cong

g ⊂ G Với các giả thiết trên, xác suất của sự kiện A được tính như sau:

P (A) = kích thước miền g

kích thước miền G.Tùy theo G là đoạn thẳng, miền phẳng hay khối không gian mà kíchthước được hiểu là độ dài, diện tích hay thể tích

1.1.3 Xác suất có điều kiện

Định nghĩa 1.1.2 Cho hai biến cố A và B với P B
6= 0, xác suất của

A với điều kiện B đã xảy ra, kí hiệu P A|B
, xác định bởi

P A|B
= P A ∩ B

P B
.Tính chất 1.1.3 1) P ∅|B
= 0, P B|B
= 1, P Ω|B
= 1.

2) P A|B
+ P A|B
= 1

3) Với A1 và A2 là hai biến cố xung khắc,

P A1 ∪ A2|B
= P A1|B
+ P A2|B
4) Nếu P B
6= 0 thì P A ∩ B
= P B
P A|B

Nếu P A
6= 0 thì P A ∩ B
= P A
P B|A

5) P B|A
= P B
P A|B

P A
6) Công thức nhân xác suấtCho A1, A2, , An là các biến cố của không gian mẫu Ω thỏa mãn

P A1A2 An−1
6= 0 Khi đó:

P A1A2 An
= P A1
P A2|A1
P A3|A1A2
P An|A1A2 An−1

1.1.4 Các biến cố độc lập

Định nghĩa 1.1.4 Hai biến cố A và B được gọi là độc lập nếu việc xảy

ra hay không xảy ra biến cố này không làm thay đổi xác suất xảy ra củabiến cố kia hay ta có thể nói A và B độc lập nếu P A∩B
= P A
P B
.Tổng quát ta có định nghĩa sau:

Định nghĩa 1.1.5 Một tập hữu hạn các biến cố A1; A2; ; An (n ≥ 2)được gọi là độc lập nếu k (1 ≤ k ≤ n) biến cố bất kì An1, An2, , Ank tacó:

P An1An2 Ank
= P An1
P An2
P Ank

Định lí 1.1.6 Nếu A và B độc lập thì A và B, A và B, A và B là nhữngcặp biến cố độc lập

1.1.5 Công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes

Định nghĩa 1.1.7 Một hệ gồm n biến cố E1, E2, , En được gọi là hệđầy đủ nếu thỏa mãn hai điều kiện:

(i) Ei ∩ Ej = 0 nếu i 6= j (các biến cố đôi một xung khắc);

(ii) E1 ∪ E2 ∪ ∪ En = Ω (chắc chắn có 1 biến cố xảy ra)

Từ định nghĩa hệ đầy đủ ta suy ra: nếu E1, E2, , En là hệ đầy đủ thì:

1.2 BIẾN NGẪU NHIÊN VÀ QUY LUẬT PHÂN BỐ XÁC SUẤT

1.2.1 Biến ngẫu nhiên

Định nghĩa 1.2.1 Cho không gian xác suất (Ω, F , P) Ánh xạ

X : Ω → R,được gọi là biến ngẫu nhiên nếu với mọi a ∈ R,ω ∈ Ω : X ω
< a ∈ F.Nhận xét 1.2.2 Cho không gian xác suất (Ω, F , P) Mọi ánh xạ X : Ω →

R có miền giá trị hữu hạn đều là biến ngẫu nhiên và được gọi là biến ngẫunhiên đơn giản

1.2.2 Hai loại biến ngẫu nhiên

a Biến ngẫu nhiên rời rạc

Định nghĩa 1.2.3 Nếu biến ngẫu nhiên X có miền giá trị hữu hạn hoặc

vô hạn đếm được thì X được gọi là biến ngẫu nhiên rời rạc

Giả sử biến ngẫu nhiên rời rạc X có miền giá trị X Ω
, hàm số p :

Bảng trên được gọi là bảng phân bố xác suất của biến ngẫu nhiên X

Định lí 1.2.4 Cho biến ngẫu nhiên X có miền giá trị X Ω
= x1, x2,

b Biến ngẫu nhiên liên tục

Định nghĩa 1.2.5 Nếu biến ngẫu nhiên X có miền giá trị là gồm một sốkhoảng trên trục số thì X được gọi là biến ngẫu nhiên liên tục

Nếu tồn tại hàm số y = f x
thỏa mãn f x
≥ 0, ∀x sao cho với mọi a ≤ b

Định lí 1.2.6 Cho biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật độ xác suất

1.2.3 Hàm phân phối xác suất

Định nghĩa 1.2.7 Cho biến ngẫu nhiên X, hàm số :

F x
= P X < x
, x ∈ R,được gọi là hàm phân phối xác suất của X

1 Nếu biến ngẫu nhiên X có miền giá trị x1, x2, thì:

2 Không giảm: nếu x1 ≤ x2 thì F x1
≤ F x2

3 Nếu X là biến ngẫu nhiên liên tục có hàm mật độ xác suất f x
thì:

F0 x
= f (x)

4 Với a < b, P a ≤ X ≤ b
= F b
− F a

1.2.4 Kì vọng

Định nghĩa 1.2.9 Cho biến ngẫu nhiên X xác định trên không gian mẫu

Ω Kì vọng của biến ngẫu nhiên X, kí hiệu là E X
, được xác định nhưsau:

1 Nếu biến ngẫu nhiên rời rạc X có hàm xác suất p x
thì :

E X
= X

x ∈X(Ω)

xkp (xk)

2 Nếu biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật độ xác suất f x
thì:

1.2.5 Phương sai và độ lệch chuẩn

Định nghĩa 1.2.11 Cho biến ngẫu nhiên X Khi đó, đại lượng:

Var X
với mọi a,b ∈ R

Định lí 1.2.13 1 Nếu biến ngẫu nhiên rời rạc X có hàm xác suất p x
thì:

1.2.8 Biến ngẫu nhiên độc lập

Định nghĩa 1.2.17 Các biến ngẫu nhiên X1, X2, , Xn (n ≥ 2) được gọi

là độc lập nếu với mọi x1, x2, , xn ∈ R ta có:

Định lí 1.2.18 Nếu hai biến ngẫu nhiên X và Y độc lập thì:

1 E XY
= E X
E Y

2 Var X ± Y
= Var X
+ Var Y

1.2.9 Một số phân số xác suất quan trọng

a Phân phối Bernoulli

Định nghĩa 1.2.19 Biến ngẫu nhiên rời rạc X có phân bố Bernoulli vớitham số p 0 < p < 1
nếu X có miền giá trị X (Ω) = {0, 1} và hàm xácsuất:

c Phân phối siêu bội

Định nghĩa 1.2.23 Biến ngẫu nhiên rời rạc X có phân bố siêu bội với

ba tham số là các số tự nhiên N ∈ N và K, n ≤ N nếu X có miền giá trị

X (Ω) = {max{0, n + K − N }; ; min{K, n}} và hàm xác suất:

d Phân phối Poisson

Định nghĩa 1.2.25 Biến ngẫu nhiên rời rạc X có phân bố Poisson vớitham số λ λ > 0
nếu X có miền giá trị N = 0, 1, 2, và hàm xác suất:

p (k) = P (X = k) = e

−λλkk! , k ∈ N

Kí hiệu: X ∼ P oi (λ)

Tính chất 1.2.26 1 Nếu X ∼ P oi (λ) thì E (X) = λ, V ar (X) = λ

2 Nếu X1, X2, , Xn là n biến ngẫu nhiên độc lập, cùng phân bố xác suấtvới X ∼ P oi (λ) thì biến ngẫu nhiên T = X1 + X2 + + Xn có phân bốPoisson P oi (nλ)

Định lí 1.2.27 (Luật biến cố hiếm) Cho Xn; n ≥ 1 là dãy biến cốngẫu nhiên có phân bố nhị thức Xn ∼ B (n; pn) Nếu tồn tại giới hạnlim

e Phân phối chuẩn

Định nghĩa 1.2.28 Biến ngẫu nhiên liên tục X có phân bố chuẩn vớitham số µ và σ (−∞ < µ < +∞, σ > 0) nếu có hàm mật độ xác suất:

f (x) = 1

σ√2πe

f Phân phối đều

Định nghĩa 1.2.30 Biến ngẫu nhiên liên tục X có phân bố đều trên đoạn[a; b] (a < b) nếu có hàm mật độ xác suất:

µ và phương sai Var X
= σ2

hữu hạn thì

lim

1n

≤ ε

!

= 1,

với mọi ε > 0

b Định lí giới hạn trung tâm

Định lí 1.2.36 Nếu Xn, n ≥ 1 là dãy các biến ngẫu nhiên độc lập,cùng phân phối xác suất với biến ngẫu nhiên X có kì vọng E (X) = µ vàphương sai Var X
= σ2

Ý nghĩa Định lí giới hạn trung tâm : Nếu X1, X2, , Xn là cácbiến ngẫu nhiên độc lập, cùng phân phối xác suất (không cần thiết có phânphối chuẩn) thì với n đủ lớn ta có:

Sn = X1 + X2 + + Xn có phân bố xấp xỉ phân bố chuẩn N nµ; nσ2

Hệ quả 1.2.37 (Định lí giới hạn tích phân Moivre - Laplace) Giả sử Xn

là biến ngẫu nhiên có phân phối nhị thức B n; p
Đặt

Zn = Xn − np

pnp (1 − p).Khi đó với mọi x ∈ R,

ÁP DỤNG PHƯƠNG PHÁP XÁC SUẤT ĐỂ

GIẢI TOÁN SƠ CẤP

Chương này sẽ giới thiệu những ý tưởng cơ bản nhất trong phươngpháp xác suất để áp dụng vào các bài toán thuộc nhiều lĩnh vực Một phầnquan trọng trong chương sẽ là những ứng dụng của phương pháp xác suấttrong các bài toán Olympic Trong phần cuối, tôi sẽ giới thiệu ứng dụngcủa phương pháp xác suất để chứng minh một vài định lý quan trọng trong

lý thuyết cực trị tập hợp hữu hạn Toàn bộ nội dung của chương này tôitham khảo trong các tài liệu [1], [2], [4], [5], [7], [8], [9], [10]

2.1 Một số bài toán mở đầu

Lần đầu tiên tôi biết đến ứng dụng của phương pháp xác suất trongcác bài toán thi học sinh giỏi trung học phổ thông là qua bài toán sau đây:Bài toán 1 Một người đi thi lấy bằng lái xe Nếu thi không đạt anh ta lạiđăng ký thi lại cho đến khi nào đạt mới thôi Gọi X là số lần anh ta đi thi.Tìm phân bố xác suất của X, biết rằng xác suất thi đạt của anh ta là 1

3.Giả sử có 243 người dự thi, mỗi người đều có xác suất thi đỗ là 1

3 và cũngđều thi đến khi nào có bằng mới thôi Có khoảng bao nhiêu người thi đạtngay lần đầu? Phải thi tới hai lần? Phải thi ít nhất bốn lần?

Lời giải Các giá trị mà đại lượng ngẫu nhiên X nhận là 1, 2, 3, 4, 5

Để thi đạt sau hai lần sẽ có khoảng 243.2

9 = 54 người phải thi tới lần thứhai mới đạt

Từ đó theo công thức trên ta có:

Bây giờ ta tính giá trị trung bình của mỗi số hạng Với mỗi i = 1, 2, , 1998,

ta có i là phần tử của A1∪A2∪ ∪An Xác suất của biến cố này là 1−2−n

Do đó, giá trị trung bình của mỗi số hạng trong tổng là 1998(1 − 2−n), vànhư thế đáp số 3à 21998n.1998(1 − 2−n)

2.2 Phương pháp xác suất ứng dụng trong các bài toán học sinhgiỏi

Kết quả đơn giản sau đây là bổ đề chìa khóa cho rất nhiều bài toán giảibằng phương pháp xác suất:

Bổ đề 2.1 Cho X là biến ngẫu nhiên Khi đó tồn tai điểm nào đó củakhông gian xác suất mà X ≥ E(X), và tồn tại điểm bào đó của không gianxác suất mà X ≤ E(X)

Bài toán 5 (Iran TST, 2008) Giả sử rằng 799 đội bóng chuyền tham gia

và một giải đấu mà trong đó hai đội bất kỳ đấu với nhau đúng một lần.Chứng minh rằng tồn tại hai nhóm A và B rời nhau, mỗi nhóm có 7 độisao cho mỗi đội bóng của nhóm A đều thua các đội bóng của nhóm B.

Lời giải Xét giải đấu như một đồ thị có hướng đầy đủ Ta xét A là mộttập ngẫu nhiên có 7 phần tử Gọi X là só đội thắng tất cả các đội của A.Gọi d(v−) là bậc vào của v, ta có

E(X) =

P

v Cd(v7 − )

C7997Nhưng X

Lời giải Chọn ngẫu nhiên một cặp tiểu ban (tức là lấy một cách ngẫu nhiênmột cặp trong C160002 cặp) Gọi X là số người có trong cả hai tiểu ban đượcchọn Chú ý rằng X = X1+ X2+ + X1600, trong đó mỗi Xi là biến ngẫunhiên {0, 1} nói rằng người thứ i có mặt trong cả hai tiểu ban hay không.theo tính tuyến tính kỳ vọng, ta có

E(X) = E(X1) + E(X2) + + E(X1600)

Điều thần kỳ ở đây là mỗi một E(Xi) có thể tính dễ dàng Gọi ni là sốtiểu ban mà người thứ i thuộc vào Khi đó:

E(Xi) = P (người thứ i được chọn vào cả hai tiểu ban) = C

2

ni

C160002 .Thông tin duy nhất mà chúng ta biết về {ni} là tổng của chúng: X

i

=16000.80 Điều này gợi ý chúng ta sử dụng tính lồi để đánh giá E(X) thông

qua giá trị trung bình của {ni}, được kí hiệu là n va bằng n = 16000.80

1600 =800

E(X) ≥ 1600C

2 n

C160002 =

1600C8002

C160002 = 3, 995.

Nhưng theo bổ đề, ta biết rằng sẽ có một kết quả nào đó cho ta: X ≥ 3, 995

Vì X luôn là số nguyên, kết quả này thưc sự phải có X ≥ 4 Nói riêng, takết luận rằng có một cặp hai tiểu ban có ít nhất 4 thành viên chung

Bài toán 7 Giả sử a, b, c là các số thực dương sao cho với mọi n nguyênthì

banc + bbnc = bcnc

Chứng minh rằng ít nhất một trong ba số a, b, c nguyên (Kí hiệu banc làphần nguyên của an)

Ghi chú Bạn có thể sử dụng kết quả lý thuyết số quen thuộc sau đây: Nếu

x là số vô tỷ thì phần lẻ của các bội số của x phân bố đều trên đoạn [0,1] Nói riêng, nếu ta chọn n một cách ngẫu nhiên trong {1, 2, , N} thìE({xn}) → 1

2 khi N → ∞.

Lời giải Giả sử rằng không có số nào trong a, b, c là số nguyên Chia hai

vế cho n và cho n dần đến vô cùng ta được a + b = c Từ đó ta suy ra

{an} + {bn} = {cn} (1)

Nếu x vô tỷ thì {xn} phân bố đều tên đoạn [0, 1] Nói riêng, nếu ta chọn

n một cách ngẫu nhiên trong {1, 2, , N} thì E({xn}) → 1

2 khi N → ∞.Mặt khác, nếu x là số hữu tỷ có dạng tối giản là p

q thì {xn} có kỳ vọngtiến đến q − 1

2q =

1

2 − 12q Như vậy nó nằm trong khoảng

 1

4,

12

 Tóm lại,

với mọi số không nguyên x, ta có E({xn}) → t, trong đó t ∈  1

4,

12

 Lấy

kỳ vọng hai vế của (1) và cho n dần đến vô cùng, ta thấy rằng cách duynhất để có đẳng thức là E({an}) và E({bn}) phải tiến đến 1

duy nhất để có kỳ vọng 1

2 là c vô tỷ Nhưng do a + b = c nên ta không thể

có hai số hữu tỷ cộng lại ra số vô tỷ Mâu thuẫn

Bài toán 8 Chứng minh rằng giữa 2100 người, không nhất thiết phải có

200 người đôi một quen nhau hoặc 200 người đôi một không quen nhau.Lời giải Ta sẽ cho một cặp hai người bất kỳ quen nhau hoặc không quennhau bằng cách tung một đồng xu đối xứng Trong nhóm gồm 200 người, xácsuất để họ đôi một quen nhau hoặc đôi một không quen nhau là 2.2−C2002 =

(1) Mỗi một hàng được chọn đúng một ô

(2) Mỗi một cột được chọn đúng một ô

(3) Các số trong các sô được chọn đôi một khác nhau

Lời giải Chọn hoán vị ngẫu nhiên (a1, , a100) của {1, ,100} và chọn ôthứ ai trong hàng thứ i Cách chọn như vậy thỏa mãn (1) và (2) Với mỗi j

= 1, 2, , 5000, xác suất để chọn hai ô có cùng số j là 0 nếu hai ô này cùnghàng hoặc cùng cột và là 1

100.

1

99 trong trường hơp ngược lại Do đó xácsuất để các chọn này thỏa mãn (3) ít nhất là

ÁP DỤNG PHƯƠNG PHÁP XÁC SUẤT ĐỂ

GIẢI TOÁN SƠ CẤP

Chương giới thiệu ý tưởng phươngpháp xác suất để áp dụng vào toán thuộc nhiều lĩnh vực Một... nhiều lĩnh vực Một phầnquan trọng chương ứng dụng phương pháp xác suấttrong toán Olympic Trong phần cuối, giới thiệu ứng dụngcủa phương pháp xác suất để chứng minh vài định lý quan trọng

lý... xác suất ứng dụng toán học sinhgiỏi

Kết đơn giản sau bổ đề chìa khóa cho nhiều toán giảibằng phương pháp xác suất:

Bổ đề 2.1 Cho X biến ngẫu nhiên Khi tồn tai điểm củakhơng gian xác