ỨNG DỤNG CỦA LÝ THUYẾT ĐỒNG ĐIỀU KỲ DỊ VÀO VIỆC CHỨNG MINH CÁC ĐỊNH LÝ LIÊN QUAN ĐẾN ĐỊNH LÝ ĐƯỜNG CONG JORDAN

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG NGUYỄN LÊ PHƯƠNG THẢO ỨNG DỤNG CỦA LÝ THUYẾT ĐỒNG ĐIỀU KỲ DỊ VÀO VIỆC CHỨNG MINH CÁC ĐỊNH LÝ LIÊN QUAN ĐẾN ĐỊNH LÝ ĐƯỜNG CONG JORDAN Chuyên ngàn

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

NGUYỄN LÊ PHƯƠNG THẢO

ỨNG DỤNG CỦA LÝ THUYẾT ĐỒNG ĐIỀU KỲ DỊ VÀO VIỆC CHỨNG MINH CÁC ĐỊNH LÝ LIÊN QUAN ĐẾN ĐỊNH LÝ ĐƯỜNG CONG JORDAN

Chuyên ngành : Phương pháp toán sơ cấp

Mã số: 60.46.40

TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Đà Nẵng - Năm 2013

Công trình được hoàn thành tại

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

Người hướng dẫn khoa học: TS LÊ HOÀNG TRÍ

Phản biện 1: TS NGUYỄN NGỌC CHÂU

Phản biện 2: PGS.TS NGUYỄN GIA ĐỊNH

Luận văn được bảo vệ tại Hội đồng chấm luận văn tốt nghiệp Thạc sĩ khoa học họp tại Đại học Đà Nẵng vào ngày 25 tháng 5 năm 2013

* Có thể tìm hiểu luận văn tại:

- Trung tâm Thông tin - Học liệu, Đại học Đà Nẵng

- Thư viện trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Topo đại số là một nhánh của toán học sử dụng các công cụ của đại số để nghiên cứu các không gian topo Có nhiều định lý về topo như định lý Jordan, định lý bất biến miền được phát biểu đơn giản nhưng việc chứng minh chúng rất phức tạp và thường phải dùng đến topo đại số Định lý đường cong Jordan được mang tên nhà toán học người Pháp Camille Jordan, người đã đưa ra chứng minh đầu tiên cho định lý này Định lý được phát biểu có vẻ như hiển nhiên nhưng

để có được một chứng minh hoàn chỉnh thì thật sự không dễ chút nào Trong nhiều thập kỉ chứng minh của Jordan được coi là có thiếu sót và chứng minh đầy đủ đầu tiên là của Oswald Veblen, tuy nhiên điều này gần đây đã bị Thomas C Hales và những người khác nghi ngờ Ngày nay đa số những chứng minh rõ ràng dựa vào công cụ của

tô pô đại số Định lý đã được tổng quát hóa lên những không gian có

số chiều cao hơn Do vậy đề tài này tìm hiểu về lý thuyết đồng điều

kỳ dị vào việc chứng minh các định lý liên quan đến định lý của đường cong Jordan Tôi hi vọng tạo được một tài liệu tham khảo tốt cho những người bắt đầu tìm hiểu về Lý thuyết đồng điều kỳ dị và hy vọng tìm ra được một số ứng dụng của nó nhằm góp phần làm phong phú thêm các kết quả trong lĩnh vực này

2 Mục đích nghiên cứu

Nêu các định nghĩa, các tính chất của lý thuyết đồng điều kì dị

và ứng dụng chúng để chứng minh “tổng quát hóa đường cong Jordan, định lý bất biến của miền”

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu là lý thuyết đồng điều kỳ dị

Phạm vi nghiên cứu là các không gian Topo và Topo đại số

4 Phương pháp nghiên cứu

1 Tham khảo tài liệu và hệ thống hóa các kiến thức

2 Thu thập các bài báo khoa học, bài giảng của các tác giả nghiên cứu liên quan đến Ứng dụng lý thuyết đồng điều kỳ dị vào việc chứng minh các định lý liên quan đến định lý của đường cong Jordan

3 Thể hiện tường minh các kết quả nghiên cứu trong đề tài

4 Trao đổi, thảo luận với giáo viên hướng dẫn

Tham gia các buổi thảo luận để trao đổi các kết quả đang nghiên cứu

5 Đóng góp của đề tài

1 Tổng quan các kết quả của các tác giả đã nghiên cứu liên quan đến Ứng dụng lý thuyết đồng điều kỳ dị vào việc chứng minh các định lý liên quan đến định lý của đường cong Jordan nhằm xây dựng một tài liệu tham khảo cho những ai muốn nghiên cứu lý thuyết đồng điều kỳ dị

2 Chứng minh chi tiết và làm rõ mộ số định lý mà phải dùng đến topo đại số mới giải quyết được

6 Cấu trúc của luận văn

Nội dung của luận văn ngoài phần mở đầu và kết luận gồm có

ba chương:

Chương 1: Những kiến thức cơ bản

Trình bày những kiến thức về đại số như phạm trù, hàm tử, phép biến đổi tự nhiên và về topo như tính liên thông, liên thông đường, topo thương, phép đồng nhất và phép dán, nhóm topo, các ví

dụ về không gian topo như quả cầu, mặt cầu, mặt xuyến, các nhóm topo cổ điển cơ bản về các phức đơn hình, phạm trù hàm tử, nhóm Abel tự do, module tự do, đồng luân và đồng điều đơn hình

Chương 2: Lý thuyết đồng điều kỳ dị

Trình bày về hàm tử đồng điều kỳ dị, các đồng cấu cảm sinh bởi các ánh xạ liên tục giữa các phức đơn hình, đơn hình kỳ dị, xích kỳ

dị

Chương 3: Ứng dụng của lý thuyết đồng điều kỳ dị

Trình bày những chứng minh định lý khái quát đường cong Jordan và định lý bất biến của miền

CHƯƠNG 1 NHỮNG KIẾN THỨC CƠ BẢN 1.1 PHỨC ĐƠN HÌNH VÀ ĐA DIỆN

được gọi là một đơn hình k – chiều hay k – đơn hình

Ta ký hiệu  p0, ,p , trong đó k p0, ,p là các đỉnh của đơn k hình 

(i) Nếu K thì mỗi mặt của  cũng thuộc K

(ii) Nếu , K thì hoặc     hoặc   là một

Đường kính của K ký hiệu là mesh K và đường kính này được định

nghĩa như sau: meshKmax  ( ) / K 

Định nghĩa 1.1.3 Đa diện con

Cho ( , K K là một đa diện, ) LK Nếu L cũng là phức đơn hình thì L được gọi là phức đơn hình con của K Khi đó, ( , ) L L được

gọi là đa diện con của đa diện ( , ) K K , với L là giá của L

Định nghĩa 1.1.4 Cho ( , ) K K là một đa diện K Tập hợp tất cả

các mặt thật sự của  ký hiệu là  Khi đó  F( ) \  

Định nghĩa 1.1.5 Cho ( , ) K K là một đa diện, xK Khi đó,

K được gọi là giá của x, ký hiệu ( ) x , nếu  là đơn hình có chiều nhỏ nhất chứax ( )x là duy nhất và có thể biểu diễn dưới dạng ( )x  K,x

Định nghĩa 1.1.6 Cho ( , ) K K là một đa diện Với mọi đỉnh pK,

tập hợp

\  , 

được gọi là hình sao của p , ký hiệu là Stp

Định lý 1.1.1 Cho p p0, 1, ,p là các đỉnh của đa diện ( , n K K )

Ta nhận xét rằng nếu p p0, 1, ,p là các đỉnh của đa diện t

K thì với mỗi xK , x được biểu diễn một cách duy nhất dưới dạng

Hàm số  i:  0,1, với mỗi K , được gọi là hàm

tọa độ trọng tâm của  Ta có  là hàm liên tục

Định nghĩa 1.1.7 Đồng luân

Cho hai ánh xạ , f g X: Y liên tục Hai ánh xạ , f g được gọi

là đồng luân, ký hiệu f g nếu tồn tại ánh xạ , H X:  I Y thỏa ( ,0) H x f x( ); H x( ,1)g x( ),  x X

Khi đó, Hđược gọi là đồng luân của f đối với g

Định lý 1.1.2 Cho ( , ) K K là một đa diện trong không gian n

, Y

là không gian topo bất kỳ và , f g là hai ánh xạ liên tục từ Y

vàoK Nếu với mỗi y Y tồn tại một đơn hình  , K thỏa mãn

( ), ( )

f y g y thì f và g đồng luân

1.1 PHỨC ĐƠN HÌNH VÀ ĐA DIỆN

Cho một phân tích đơn hình K của K , chúng ta sẽ xây dựng một phân tích đơn hình K  khác của K , được gọi là thứ phân trọng tâm của K.

Định nghĩa 1.2.1 Cho đơn hình  p p o, 1, ,p n trọng tâm của 

là một điểm, ký hiệu b hay [ ] được xác định như sau

0

11

n Nếu   p thì trọng tâm của i  trùng với chính nó

Định nghĩa 1.2.2 Cho ( , ) K K là một đa diện Khi đó, 1

Định lý 1.2.1 Cho ( , ) K K là một đa diện có đường kính là  Khi

 Ánh xạ  là ánh xạ afine với mỗi K , nghĩa là

 Với mỗi cặp vật ( , ) A B của phạm trù P cho một tập hợp gọi là tập hợp các cấu xạ f từ A đến B, ký hiệu

A B, P Mỗi phần tử của  A B , P được ký hiệu là f

 Với mỗi bộ ba vật ( , , ), A B C với mỗi cặp cấu xạ

 Phép hợp thành có tính chất kết hợp

 Với mọi vật A của P, tồn tại xạ 1AA A, P được gọi

là cấu xạ đồng nhất sao cho với mọi fB A, P,

 ,  ,



g B C P ta có 1 A f  f, g1Ag

Định nghĩa 1.4.2 Phạm trù con

Một phạm trù C được gọi là phạm trù con của phạm trù P nếu

 Mỗi vật của phạm trù C đều là một vật của phạm trù

P

 Mỗi cấu xạ của phạm trù C đều là một cấu xạ của phạm trù P.

 Các xạ đồng nhất của phạm trù C đều là một xạ đồng nhất của phạm trù P.

 Hợp thành gf của hai cấu xạ , f g trong phạm trù C

đều trùng với hợp thành của các cấu xạ đó trong phạm trù P.

Một phạm trù con C của phạm trù P được gọi là đầy nếu

A B,  C  A B, P, với mỗi cặp , A B trong phạm trù C

Định nghĩa 1.4.3 Vật khởi đầu, vật tận cùng

Mỗi vật A trong phạm trù Pđược gọi là vật khởi đầu nếu với mọi vật X của P, tồn tại duy nhất một cấu xạ từ A đến X

Một vật A trong phạm trù P được gọi là vật tận cùng nếu với mọi vật X của P, tồn tại duy nhất một cấu xạ từ X đến A

 Ánh xạ - cấu xạ cho tương ứng mỗi cấu xạ fA B, P, một cấu xạ thuộc H( ),A H( )B P, ký hiệu là H( )f

và thỏa mãn các điều kiện sau:

Định nghĩa 1.5.2 Giả sử R là một Vmodule,   S R Khi đó,

S được gọi là cơ sở của R nếu mỗi phần tử của R đều được biểu diễn tuyến tính duy nhất qua các phần tử của S

Hệ quả 1.5.1 Cho R là một V module Nếu S là cơ sở của R thì

S là hệ sinh độc lập tuyến tính

A

C

B f

H(A)

H(C)

H(B)( )f

H

( gf )

Mệnh đề 1.5.2 Cho A là tập hợp khác rỗng, x y, , là các phần tử thuộc A ; V là một vành, , ,   là các phần tử thuộc V Ta đặt

Khi đó, X cùng với phép cộng, phép nhân ngoài lập thành một



V Module

Định nghĩa 1.5.2 Module tự do

Module X được thành lập như trên gọi là module tự do sinh bởi A

1.6 KHÔNG GIAN TOPO

Không gian topo là một cặp ( , ) X T , trong đó X là một tập hợp, T là một họ các các tập con của X thỏa mãn

Mỗi phần tử của T được gọi là một tập mở của X; họ

T được gọi là một topo trên X

1.7 KHÔN GIAN LIÊN THÔNG, LIÊN THÔNG ĐƯỜNG

Định nghĩa 1.7.1 Không gian liên thông

Không gian topo X được gọi là liên thông nếu không tồn tại các tập

mở A và B khác  của X sao cho A    B , X   A B

Nói cách khác, không gian X là liên thông nếu và chỉ nếu không tồn tại một tập con thực sự A   vừa đóng vừa mở của X

Mệnh đề 1.7.1 Tập M của không gian topo X liên thông khi và chỉ

khi không tồn tại các tập mở A, B trong X sao cho

Định nghĩa 1.7.3 Không gian liên thông đườngCho E là không gian

topo, E liên thông đường nếu với mọi x, y thuộc E, tồn tại ánh xạ

:[0,1] E

  liên tục sao cho  (0)  x , (1)   y

Mệnh đề 1.7.2 Ảnh của một không gian liên thông đường qua ánh

xạ liên tục là không gian liên thông đường

Mệnh đề 1.7.3 Cho E, F là hai không gian liên thông đường Khi đó

E F  cũng là không gian liên thông đường

1.8 ĐỒNG ĐIỀU ĐƠN HÌNH

1.8.1 Các định nghĩa

Cho K là một phức đơn hình hữu hạn với các đỉnh được sắp thứ tự tuyến tính Khi đó, mỗi đơn hình q q0, , ,1 q n có thể được viết duy nhất thành p p0, 1, ,p n với (p0p1  p n) và được gọi là n – đơn hình định hướng

Định nghĩa 1.8.1.1 Với mỗi n0, nhóm Abel tự do Cn( ) K sinh bởi các n – đơn hình định hướng của K được gọi là nhóm các xích

n - chiều của K Rõ ràng, C n( )K 0 nếu ndimK

Với mỗi n1, toán tử biên :C n( )K C n1( )K là đồng cấu

xác định trên mỗi phần tử sinh bởi công thức

 H  H  Khi đó, tồn tại đồng cấu nhóm

Hơn nữa, nếu  là đẳng cấu và  ( H )  H  thì  là đẳng cấu và

 được gọi là đồng cấu cảm sinh bởi 

Bổ đề 1.8.1.2 Cho X X,  là các không gian vector trên trường

1.8.2 Các phép biến đổi xích và các xích đồng luân

Cho K L , là hai phức đơn hình

Định nghĩa 1.6.2.1 Một họ     n các đồng cấu

n C n K, G C n L, G  n Sao cho  n1 n1 n n1, n 0

được gọi là một biến đổi xích hay một ánh xạ xích

Định nghĩa 1.8.2.2 Cho , : (  C K,G)C(L,G) là hai ánh xạ xích Một đồng luân xích nối  , là họ D    Dn các đồng cấu

Cho K,L là hai phức đơn hình Một ánh xạ đơn hình :KL

cảm sinh một đồng cấu :H(K, G)H(L, G) Ta sẽ xây dựng một đồng cấu duy nhất

Định nghĩa 1.8.3.1 Cho : f KL là ánh xạ liên tục bất kỳ giữa các đại diện,

1.8.4 Đồng điều tương đối

Cho K là đa diện, L là đa diện con của K Xét nhóm thương ( ) ( )

CHƯƠNG 2 ĐỒNG ĐIỀU KỲ DỊ

đối diện với đỉnh ei

Định nghĩa 2.1.2.1 Xét đồng cấu biên n:C X n( ) C n1( )X như sau

Cho không gian X bất kỳ, dãy C X C n X ,n n0,1, 2, 

được gọi là phức kỳ dị của X và dãy

               

được gọi là nhóm đồng điều kỳ dị phân bậc của X

Đối với một ánh xạ liên tục f :X Y , cho

    :     

các nhóm đồng điều kỳ dị cảm sinh bởi ánh xạ xích C  f

Định nghĩa 2.1.2.3 Cho X Y, là không gian topo,

Bổ đề 2.1.2.2 Cho X  ,X liên thông đường thì H0 X 

Bổ đề 2.1.2.3 Cho p là một điểm của X thì

0( ) , n( )  0, 1

2.1.3 Nhóm tương đối, dãy khớp dài

Định lý 2.1.3.1 Dãy đồng điều của một cặp

Cho A là một tập con của X, thì dãy đồng điều của một cặp

Y B,  tức là trong sơ đồ sau, mỗi hình vuông là giao hoán

Định lý.2.1.3.2 (Dãy đồng điều của bộ ba) Cho A B X là không gian topo Khi đó ta có dãy khớp

Định nghĩa 2.3.2 Cho X là không gian Topo, A    U  là một

Định lý 2.3.2.Cho Alà họ các tập con của X mà có phần trong phủ X

(A U , IntU X

 

 ) Cho T: n X liên tục Khi đó

 m sao cho mỗi thành phần của Sd T m là A- nhỏ

Định lý 2.3.3 Định lý khoét

Cho AX , U mở trong Xsao cho UIntA thì phép nhúng

: ( \ , \ )( , )

cảm sinh một đẳng cấu trong đồng điều kỳ dị

Định nghĩa 2.3.3 Dãy Mayer - Vietoris

cảm sinh một đẳng cấu các nhóm đồng điều

Định lý 2.3.4 Dãy Mayer – Vietoris

Cho X X1 X2, X1, X2 là một cặp khoét của X thì dãy sau đây khớp

cũng tồn tại một dãy tương tự cho các đồng diều thu gọn Nếu A là khác rỗng cả hai dãy đều là tự nhiên đối với các đồng cấu cảm sinh

từ các ánh xạ liên tục là các phép nhúng

CHƯƠNG 3 MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA LÝ THUYẾT ĐỒNG ĐIỀU KỲ DỊ

Trong chương này ta sẽ sử dụng các tính chất của lý thuyết đồng điều để chứng minh một vài định lý tổng quát của định lý về đường cong Jordan và định lý bất biến miền của Brouwer

Một tập conA của một không gian topo X được gọi và tách X nếu X \ A là tập không liên thông

Định lý Jordan phát biểu rằng mỗi tập con của 2

3.1 ĐỊNH LÝ VỀ ĐƯỜNG CONG JORDAN VÀ MỞ RỘNG

Định nghĩa 3.1.1 ChoA là một tập con của một không gian topo

X , ta nói rằng A tách X nếu X \ A là tập liên thông

Ta cần có bổ đề sau:

Bổ đề 3.1.1 Cho X là một không gian topo ; khi đó X liên thông

đường khi và chỉ khi H X0( ) là nhóm tầm thường

n i

B được gọi là k  cell

Định lý 3.1.1 Cho B là một k  cell trong Sn thì n \

S B là acylic (có nghĩa là ( n \ ) 0,

n k i

Định lý 3.1.3 (Tổng quát hóa của Định lý đường cong Jordan)

Cho n  0 Cho C là một tập con của Sn mà đồng phôi với

1

n  mặt cầu Khi đó n \

S C có đúng hai thành phần liên thông

và hai thành phần liên thông này nhận C làm biên

Trước khi chứng minh Định lý này ta chứng minh Bổ đề sau :

Bổ đề 3.1.3 Cho X là một không gian topo Khi đó nếu

KẾT LUẬN

Luận văn chủ yếu đọc hiểu và làm rõ một số nội dung sau:

1 Trình bày một cách hệ thống các khái niệm định nghĩa về phức đơn hình, phạm trù, hàm tử, nhóm Abel tự do, topo, liên thông, liên thông đường, đồng điều đơn hình

2 Trình bày về hàm tử đồng điều kỳ dị, các đồng cấu cảm sinh bởi các ánh xạ liên tục giữa các phức đơn hình, tính nhóm đồng điều của một số không gian topo đơn giản, định lý khoét và một số tính chất liên quan, dãy Mayer - Vietoris

3 Trình bày về các ứng dụng của đồng điều kỳ dị để chứng minh định lý khát quát đường cong Jordan và định lý bất biến miền