ỨNG DỤNG HÌNH HỌC XẠ ẢNH VÀO GIẢI TOÁN HÌNH HỌC SƠ CẤP 10600803

Tập hợp các phép biến đổi xạ ảnh của không gian xạ ảnh Pn lập thành một nhóm với phép toán lấy tích các phép biếnđổi.. CHƯƠNG 2MỐI QUAN HỆ GIỮA BÀI TOÁN HÌNH HỌC XẠ ẢNH VÀ BÀI TOÁN HÌNH

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

BÙI THỊ ANH ĐÀO

ỨNG DỤNG HÌNH HỌC XẠ ẢNH VÀO GIẢI TOÁN HÌNH HỌC SƠ CẤP

Chuyên ngành : Phương pháp toán sơ cấp

Mã số: 60.46.40

TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Đà Nẵng - Năm 2013

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

Người hướng dẫn khoa học: TS NGUYỄN NGỌC CHÂU

Phản biện 1: TS PHẠM QUÝ MƯỜI

Phản biện 2: PGS TS TRẦN ĐẠO DÕNG

Luận văn được bảo vệ tại Hội đồng chấm luận văn tốt nghiệp Thạc sĩ khoa học họp tại Đại học Đà Nẵng vào ngày 14 tháng 12 năm 2013

* Có thể tìm hiểu luận văn tại:

- Trung tâm Thông tin - Học liệu, Đại học Đà Nẵng

- Thư viện trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng

MỞ ĐẦU

1 Lí do chọn đề tài

Hình học xạ ảnh xuất hiện từ thế kỉ XVII do các nhà toán học

G Desargues và B Pascal đặt nền móng Đến cuối thế kỉ XVIIIđầu thế kỉ XIX, hình học xạ ảnh đã trở thành môn hình học độclập nhờ các công trình nghiên cứu của G Monge và J V Pencelet.Hiện nay, hình học xạ ảnh được đưa vào hầu hết các chương trìnhđào tạo sinh viên ngành Toán của các trường Đại học trong cả nước,cung cấp cho sinh viên cái nhìn tổng quan về các loại hình học vàmối quan hệ giữa chúng Hình học xạ ảnh và hình học sơ cấp cómối quan hệ mật thiết với nhau, chẳng hạn chúng ta có thể dùnghình học xạ ảnh để giải những bài toán hình học sơ cấp và ngượclại; đồng thời, từ một bài toán hình học sơ cấp thông qua hình học

xạ ảnh ta có thể sáng tạo ra nhiều bài toán mới

Nhằm mục đích tìm hiểu hình học xạ ảnh và ứng dụng của nótrong giải toán hình học sơ cấp, tôi chọn đề tài: “Ứng dụng hìnhhọc xạ ảnh vào giải toán hình học sơ cấp” cho luận văn thạc

sĩ của mình

2 Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu

- Tìm hiểu hình học xạ ảnh, hình học sơ cấp, mối quan hệ giữabài toán xạ ảnh và bài toán hình học sơ cấp

- Nghiên cứu việc vận dụng hình học xạ ảnh vào giải toán hìnhhọc sơ cấp và việc sáng tạo những bài toán hình học sơ cấp

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

- Không gian xạ ảnh, mặt phẳng xạ ảnh và các bài toán xạ ảnh

- Hình học sơ cấp và các bài toán hình học sơ cấp thuộc chươngtrình phổ thông trung học

- Các ứng dụng của hình học xạ ảnh trong giải toán hình học sơcấp.

4 Phương pháp nghiên cứu

- Thu thập, hệ thống các tài liệu về hình học sơ cấp, hình học

xạ ảnh, đặc biệt là các tài liệu về mặt phẳng xạ ảnh, về ứng dụnghình học xạ ảnh trong hình học sơ cấp

- Khảo sát, phân tích, nghiên cứu các tài liệu thu thập được đểthực hiện luận văn

- Trao đổi, thảo luận với giáo viên hướng dẫn

5 Cấu trúc của luận văn

Nội dung luận văn được chia thành 3 chương

Chương 1 Không gian xạ ảnh

Chương này trình bày sơ lược các kiến thức cơ bản về khônggian xạ ảnh, mặt phẳng xạ ảnh đủ để làm cơ sở cho các chương sau.Chương 2 Mối quan hệ giữa bài toán xạ ảnh và bài toán hình học

sơ cấp

Chương này xây dựng các mô hình afin của mặt phẳng xạ ảnh

và mô hình xạ ảnh của mặt phẳng afin Từ đó, chỉ ra mối quan hệgiữa hình học xạ ảnh và hình học sơ cấp, mối quan hệ giữa bài toán

xạ ảnh và bài toán hình học sơ cấp

Chương 3 Ứng dụng hình học xạ ảnh vào giải và sáng tạo những bàitoán hình học sơ cấp

Chương này dùng các kết quả của hình học xạ ảnh như: Định

lý Desargues, Định lý Pappus, tính chất hình bốn cạnh toàn phần,nguyên tắc đối ngẫu để giải và sáng tạo một số bài toán hình học

sơ cấp

CHƯƠNG 1

KHÔNG GIAN XẠ ẢNH

Chương này trình bày sơ lược các kiến thức cơ bản về không gian

xạ ảnh, mặt phẳng xạ ảnh đủ để làm cơ sở cho các chương sau

1.1 KHÔNG GIAN XẠ ẢNH

1.1.1 Định nghĩa

Định nghĩa 1.1.1 Cho K là một trường, Vn+1 là không gian vectơ

n + 1 chiều (n ≥ 0) trên trường K và X là một tập không rỗng tùy

ý Kí hiệu [Vn+1] là tập hợp các không gian vectơ con một chiều của

Vn+1 Nếu có một song ánh

f : [Vn+1] −→ X

thì bộ ba (X, f, Vn+1) được gọi là không gian xạ ảnh n chiều liên kếtvới không gian vectơ Vn+1 trên trường K và được kí hiệu Pn Nhưvậy Pn= (X, f, Vn+1)

Khi n = 2, ta có không gian xạ ảnh hai chiều, gọi là mặt phẳng xạảnh

1.1.2 Điểm, đường thẳng trong không gian xạ ảnhCho không gian xạ ảnh Pn= (X, f, Vn+1) Nếu Vm+1 là khônggian vectơ con m + 1 chiều của Vn+1(0 ≤ m ≤ n) thì tập hợp con

f ([Vm+1]) của X được gọi là m-phẳng xạ ảnh của không gian xạảnh Pn

Các 0 - phẳng xạ ảnh được gọi là các điểm và thường được kíhiệu bằng các chữ cái in hoa: A, B, M, N Như vậy, mỗi điểm A làảnh của một không gian con một chiều V1 của Vn+1 qua song ánh

f , tức là A = f (V1)

Các 1 - phẳng xạ ảnh được gọi là đường thẳng, (n - 1) - phẳngđược gọi là siêu phẳng Như vậy, với mỗi không gian vectơ con V2của Vn+1 thì tập con f ([V2]) của X là một đường thẳng của khônggian xạ ảnh và thường được kí hiệu bởi các chữ in thường a, b, c Trong Pn, cho điểm A = f (V1) và đường thẳng d = f ([V2]).Nếu f (V1) ∈ f ([V2]) thì ta nói điểm A thuộc đường thẳng d hayđường thẳng d đi qua điểm A.

Nếu ba điểm A, B, C cùng thuộc một đường thẳng, ta nói bađiểm A, B, C thẳng hàng

1.1.3 Ví dụ (Mô hình bó)

Trong không gian afin An+1 liên kết với không gian vectơ Vn+1

ta lấy một điểm O tùy ý Gọi X là tập hợp tất cả các đường thẳngcủa An+1 cùng đi qua điểm O (gọi là bó đường thẳng tâm O)

Ta thiết lập tương ứng f : [Vn+1] −→ X sao cho với mỗi khônggian con một chiều V1 của Vn+1 ta cho tương ứng với một đườngthẳng của X có phương là không gian con V1 đó Khi đó, f là mộtsong ánh và do đó (X, f, Vn+1) là không gian xạ ảnh n chiều vàđược gọi là mô hình bó của không gian xạ ảnh

Hình 1.1Trong mô hình đó,

- Mỗi điểm là một đường thẳng của bó

- Mỗi đường thẳng là một mặt phẳng afin chứa hai đường thẳngphân biệt của bó

1.1.4 Vectơ đại diện cho một điểm

Gọi Pn là không gian xạ ảnh n chiều liên kết với không gianvectơ Vn+1qua song ánh f Trong Vn+1, mỗi vectơ −→a 6=−→0 sinh ramột không gian con một chiều và qua song ánh f không gian nàyứng với một điểm A duy nhất của Pn Ta nói vectơ −→a đại diện chođiểm A

1.1.5 Mục tiêu xạ ảnh Tọa độ xạ ảnh

Một hệ r điểm (r ≥ 1) của không gian xạ ảnh Pnđược gọi là hệđiểm độc lập nếu hệ r vectơ đại diện cho chúng là hệ vectơ độc lậptuyến tính trong Vn+1

Cho không gian xạ ảnh Pn liên kết với không gian vectơ Vn+1.Một tập hợp có thứ tự gồm n + 2 điểm của Pn: {S0, S1, , Sn; E}được gọi là một mục tiêu xạ ảnh của Pnnếu bất kì n + 1 điểm trong

n + 2 điểm đó đều độc lập

Một mục tiêu xạ ảnh còn được kí hiệu {Si; E}, i = 0, n Các điểm

Si được gọi là các đỉnh; điểm E được gọi là điểm đơn vị; các đườngthẳng SiSj(i 6= j) được gọi là các trục tọa độ của mục tiêu đó.Với mỗi mục tiêu xạ ảnh {Si; E}, i = 0, n, luôn tìm được một

cơ sở {−→e0, −→e1, , −→en} của V0n+1 sao cho vectơ −→ei đại diện cho cácđiểm Si và −→e = −→e0 + −→e1 + + −→en đại diện cho điểm E Khi đó,{−→e0, −→e1, , −→en} được gọi là cơ sở đại diện của mục tiêu đó

Với mỗi điểm M ∈ Pncó vectơ đại diện là −→x 6=−→0 Khi đó, tọa

độ của vectơ −→x đối với cơ sở {−→e0, −→e1, , −→en} được gọi là tọa độ xạảnh của điểm M đối với mục tiêu xạ ảnh {Si; E}, i = 0, n và được

kí hiệu M (xi), i = 0, n

Với mỗi đường thẳng d ⊂ Pn có phương trình u0x0 + u1x1 + + unxn= 0 thì bộ số (u0, u1, , un) được gọi là tọa độ của đường

thẳng d đối với mục tiêu {Si; E} và được kí hiệu d(ui), i = 0, n.1.1.6 Phép biến đổi xạ ảnh

Định nghĩa 1.1.2 Cho hai không gian xạ ảnh có cùng số chiều

Pn và P0n lần lượt liên kết với hai không gian Vn+1 và V0n+1 Mộtánh xạ f : Pn −→ P0n được gọi là ánh xạ xạ ảnh nếu có một phépđẳng cấu tuyến tính ϕ : Vn+1 −→ V0n+1 sao cho nếu −→a là vectơđại diện cho điểm A thuộc Pn thì ϕ(−→a ) là vectơ đại diện cho f (A)thuộc P0n

Một ánh xạ xạ ảnh f : Pn −→ Pn biến một không gian xạ ảnhthành chính nó được gọi là phép biến đổi xạ ảnh

Định lý 1.1.1 Tập hợp các phép biến đổi xạ ảnh của không gian

xạ ảnh Pn lập thành một nhóm với phép toán lấy tích các phép biếnđổi

1.2.1 Nguyên tắc đối ngẫu

a Quan hệ liên thuộc

Nếu điểm A nằm trên đường thẳng a thì ta nói điểm A thuộcđường thẳng a và cũng nói đường thẳng a thuộc điểm A Khi đó, tacòn nói điểm A và đường thẳng a có mối quan hệ liên thuộc

b Phép đối xạ

Cho mặt phẳng xạ ảnh P2 liên kết với không gian vectơ V3 Kíhiệu πP là tập hợp tất cả các điểm và các đường thẳng của P2 Vớimục tiêu xạ ảnh {Ai; E}, i = 0, 2 đã chọn, ta xác định một ánh xạ

d Nguyên tắc đối ngẫu

Giả sử T là một mệnh đề trong mặt phẳng xạ ảnh, trong T chỉ

đề cập đến các điểm và các đường thẳng cùng với quan hệ liên thuộcgiữa chúng Nếu thay các từ “điểm” bởi “đường thẳng” và ngược lại,còn các từ khác được giữ nguyên thì ta được mệnh đề mới T∗, gọi

là mệnh đề đối ngẫu của mệnh đề T

Bằng cách thực hiện tương tự thì từ một khái niệm xạ ảnh ta

sẽ thu được một khái niệm mới gọi là khái niệm đối ngẫu với kháiniệm đã cho

Như vậy trong P2, ta có các cặp khái niệm sau đây là đối ngẫunhau

- Điểm và đường thẳng

- Đường thẳng nối hai điểm và giao của hai đường thẳng

- Các điểm thẳng hàng và các đường thẳng đồng quy

Trong một định lí của hình học xạ ảnh, nếu ta thay các khái

niệm bởi các khái niệm đối ngẫu của chúng thì ta được một định límới, gọi là định lí đối ngẫu của định lí đã cho.

Trong P2, nếu T là một mệnh đề đúng thì mệnh đề đối ngẫu T∗cũng là mệnh đề đúng

1.2.2 Tỉ số kép

Định nghĩa 1.2.1 (Tỉ số kép của bốn điểm thẳng hàng)

Trong P2, với mục tiêu xạ ảnh cho trước, cho bốn điểm A, B, C, Dthẳng hàng và đôi một phân biệt Các vectơ −→a ,−→b , −→ −→d lần lượt làcác vectơ đại diện cho các điểm A, B, C, D

Do A 6≡ B nên −→a ,−→b độc lập tuyến tính và do các điểm A, B, C, Dthẳng hàng nên các vectơ −→a ,−→b , −→ −→d đồng phẳng Do đó, tồn tạicác số α1, α2, β1, β2 sao cho:

Định nghĩa 1.2.2 (Hàng điểm điều hòa)

Trong P2, cho bốn điểm A, B, C, D thẳng hàng Nếu (ABCD) = −1thì ta nói cặp điểm C, D chia điều hòa cặp điểm A, B và ngược lại

Ta còn nói cặp đểm A, B và cặp điểm C, D liên hiệp điều hòa vớinhau hay A, B, C, D làm thành một hàng điểm điều hòa

Định nghĩa 1.2.3 (Hình bốn cạnh toàn phần)

Trong P2, tập hợp bốn đường thẳng trong đó không có ba đườngthẳng nào đồng quy được gọi là hình bốn cạnh toàn phần

Trong hình 4 cạnh toàn phần,

- Mỗi đường thẳng được gọi là một cạnh (có 4 cạnh)

- Giao điểm của hai cạnh là một đỉnh (có 6 đỉnh)

- Hai đỉnh không thuộc một cạnh gọi là hai đỉnh đối diện (có 3 cặp)

- Đường thẳng nối hai đỉnh đối diện gọi là đường chéo (có 3 đườngchéo)

- Giao điểm của hai đường chéo gọi là điểm chéo (có 3 điểm chéo)

CHƯƠNG 2

MỐI QUAN HỆ GIỮA BÀI TOÁN HÌNH HỌC XẠ ẢNH VÀ BÀI TOÁN HÌNH HỌC

SƠ CẤP

Chương này xây dựng các mô hình afin của mặt phẳng xạ ảnh

và mô hình xạ ảnh của mặt phẳng afin Từ đó, chỉ ra mối quan hệgiữa hình học xạ ảnh và hình học sơ cấp, mối quan hệ giữa bài toán

xạ ảnh và bài toán hình học sơ cấp

2.1 CÁC MÔ HÌNH

2.1.1 Mô hình afin của mặt phẳng xạ ảnh

Trong không gian afin A3, ta bổ sung thêm các phần tử mới nhưsau:

- Mỗi đường thẳng bổ sung thêm một điểm gọi là điểm vô tậnsao cho hai đường thẳng song song cắt nhau tại điểm vô tận

- Tập hợp các điểm vô tận của một mặt phẳng cùng nằm trênmột đường thẳng gọi là đường thẳng vô tận

Bây giờ ta xét một mặt phẳng afin A2 có bổ sung thêm đườngthẳng vô tận ∆ Ta xem các điểm thông thường và các điểm vô tận

có vai trò như nhau

Đặt P2 = A2∪ ∆, lấy một điểm O /∈ A2, gọi B(O) là tập hợptất cả các đường thẳng đi qua O Xét ánh xạ

Khi đó, f là một song ánh và do đó P2 là một mặt phẳng xạ ảnh.Mặt phẳng afin A2 có bổ sung thêm các điểm vô tận là một mặtphẳng xạ ảnh và được gọi là mô hình afin của mặt phẳng xạ ảnh

2.1.2 Mô hình xạ ảnh của mặt phẳng afin

Trong mặt phẳng xạ ảnh P2 liên kết với không gian vectơ V3,

ta bỏ bớt một đường thẳng ∆ nào đó (gọi là đường thẳng vô tận).Khi đó, tập hợp A2 = P2\∆ là mặt phẳng afin và được gọi là môhình xạ ảnh của mặt phẳng afin Các điểm thuộc ∆ được gọi là cácđiểm vô tận, các điểm không thuộc ∆ được gọi là các điểm thôngthường

Trong mô hình xạ ảnh của mặt phẳng afin,

- Hai đường thẳng xạ ảnh cắt nhau tại một điểm nằm trên ∆thể hiện cho hai đường thẳng afin song song với nhau

- Cho ba điểm A, B, C thẳng hàng Nếu D là một điểm thuộc

∆, thì (ABCD) = (CAB)

- Mọi phép biến đổi xạ ảnh mà bảo toàn đường thẳng vô tận đều

là phép biến đổi afin

2.2 MỐI QUAN HỆ GIỮA BÀI TOÁN XẠ ẢNH VÀ BÀITOÁN HÌNH HỌC SƠ CẤP

2.2.1 Mối quan hệ giữa bài toán xạ ảnh và bài toán hìnhhọc sơ cấp

- Từ các kết quả của hình học afin và hình học ơclit cho biết+ Hình học afin là hình học của nhóm các phép biến đổi afincủa không gian afin, hình học ơclit là hình học của nhóm các phépdời hình của không gian ơclit

+ Trong mặt phẳng afin, nếu ta trang bị một tích vô hướng thì

nó sẽ trở thành mặt phẳng ơclit Như vậy, một mặt phẳng ơclit cũng

là một mặt phẳng afin nên trong đó có các phép biến đổi afin Đặcbiệt, các phép dời hình của mặt phẳng ơclit là các phép biến đổi

afin đặc biệt có tính chất không làm thay đổi khoảng cách giữa haiđiểm bất kì Do đó nhóm các phép dời hình của không gian ơclit

là nhóm con của nhóm các phép biến đổi afin của không gian ơclit.Hay nói cách khác, hình học afin là một bộ phận của hình học ơclit

- Trong mô hình xạ ảnh của mặt phẳng afin, mỗi phép biến đổi

xạ ảnh mà bảo toàn đường thẳng vô tận sẽ sinh ra một phép biếnđổi afin Như vậy, nhóm các phép biến đổi afin của mặt phẳng afin

là nhóm con của nhóm các phép biến đổi xạ ảnh của mặt phẳng xạảnh Đồng thời, những khái niệm, những tính chất của A2mà khôngthay đổi qua các phép biến đổi xạ ảnh thì dĩ nhiên cũng không thayđổi qua các bất biến afin Do đó, mọi bất biến xạ ảnh đều là mộtbất biến afin Hay nói cách khác, hình học xạ ảnh là một bộ phậncủa hình học afin

Tóm lại ta rút ra được kết luận về mối quan hệ giữa hình họcafin, hình học ơclit và hình học xạ ảnh như sau:

- Từ một bài toán afin, bằng cách bổ sung vào mặt phẳng afinmột đường thẳng vô tận ∆ sao cho hai đường thẳng song song cắtnhau tại một điểm nằm trên ∆, ta thu được một bài toán xạ ảnh

- Từ một bài toán xạ ảnh, bằng cách chọn một đường thẳng củamặt phẳng xạ ảnh làm đường thẳng vô tận ta thu được một bàitoán afin

Nhận xét: Chọn đường thẳng chứa M, N, P làm đường thẳng

vô tận Khi đó trong mô hình xạ ảnh của mặt phẳng afin các cặpđường thẳng AB và A0B0; AC và A0C0 ; BC và B0C0 song song vớinhau

Hình 2.2

Ta thu được bài toán sơ cấp tương ứng Cho hai tam giác ABC

và A0B0C0 có các đường thẳng nối các đỉnh tương ứng đồng quy tạimột điểm Chứng minh rằng nếu hai cặp cạnh tương ứng của tamgiác song song với nhau thì cặp cạnh còn lại cũng song song

Nhận xét: Để chứng minh M, N lần lượt là trung điểm của

AB, CD ta cần chứng minh (M AB) = (N DC) = −1

Hình 2.3

Bổ sung một đường thẳng vô tận ∆ sao cho AB ∩ CD = K ∈ ∆.Khi đó, cần chứng minh (ABM K) = (DCN K) = −1 Dựa vào tínhchất hình bốn cạnh toàn phần, dễ dàng suy ra điều cần chứng minh

CHƯƠNG 3

ỨNG DỤNG HÌNH HỌC XẠ ẢNH VÀO GIẢI VÀ SÁNG TẠO NHỮNG BÀI TOÁN

HÌNH HỌC SƠ CẤP

Chương này dùng các kết quả của hình học xạ ảnh như: Định

lý Desargues, Định lý Pappus, tính chất hình bốn cạnh toàn phần,nguyên tắc đối ngẫu để giải và sáng tạo một số bài toán hình học

sơ cấp

3.1 BÀI TOÁN DỰNG HÌNH

Bài toán 3.1.3 Trong một mặt phẳng, cho đường thẳng c vàhai điểm A, B /∈ c Hãy dựng giao điểm của c và AB với điều kiệnkhông dựng đường thẳng AB (giả thuyết AB, c không song song vớinhau)

Phân tích

Trên c lấy hai điểm C, D phân biệt Gọi I = AD ∩ BC;

J = AC ∩ BD; K = IJ ∩ CD Các điểm I, J, K hoàn toàn xác định

và không phụ thuộc vào việc dựng đường thẳng AB

Vì các đường thẳng AC, BD, KI nối các đỉnh tương ứng của haitam giác ABK và CDI đồng quy tại J nên theo Định lý Desargues,các điểm AB ∩ CD; BK ∩ DI; AK ∩ CI thẳng hàng

Giải sử O = AB ∩ CD; L = KB ∩ DI; M = AK ∩ CI, khi đó