ỨNG DỤNG CỦA SỐ PHỨC VÀO GIẢI TOÁN SƠ CẤP 10600786

Tuy vậy, không chỉ riêng đối với các công trình nghiên cứu về các phương trình đại số, mà sự phát triển của khoa học hiện đại nói chung cho thấy những ứng dụng không thể thiếu được của s

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ĐÀ NẴNG

KHOA TOÁN

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

Tên đề tài:

ỨNG DỤNG CỦA SỐ PHỨC VÀO

GIẢI TOÁN SƠ CẤP

Giảng viên hướng dẫn : ThS Phan Thị Quản

Đà Nẵng, tháng 05 năm 2018

MỤC LỤC

LỜI CẢM ƠN 2

MỞ ĐẦU 3

I Lý do chọn đề tài 3

II Mục tiêu của đề tài 3

III Phương pháp nghiên cứu 3

IV Bố cục của đề tài 3

Chương I CƠ SỞ LÝ THUYẾT 4

I Các lý thuyết về số phức 4

II Các lý thuyết về đại số và giải tích 6

Chương II ỨNG DỤNG SỐ PHỨC TRONG ĐẠI SỐ, LƯỢNG GIÁC, GIẢI TÍCH 8

I Các bài toán về hệ phương trình 8

II Các bài toán về bất đẳng thức 11

III Các bài toán về lượng giác 13

IV Các bài toán về nhị thức Newton 16

Chương III ỨNG DỤNG SỐ PHỨC TRONG HÌNH HỌC 30

I Các bài toán về góc và độ dài 30

II Các bài toán về đường thẳng 36

III Các bài toán về đường tròn 38

IV Các bài toán về tam giác 46

KẾT LUẬN 51

DANH MỤC TÀI LIỆU 52

LỜI CẢM ƠN

Em xin cảm ơn các thầy giáo, cô giáo ở khoa Toán – Trường ĐH Sư phạm Đà Nẵng đã cùng với tri thức

và tâm huyết của mình để truyền đạt vốn kiến thức quý báu cho em trong suốt thời gian học tập tại trường Con xin cám ơn gia đình đã ở bên cạnh và giúp đỡ con hết lòng, dù cho bất kì điều gì xảy ra

Em xin gởi lời cảm ơn chân thành và sự tri ân sâu sắc đối tới cô Phan Thị Quản đã nhiệt tình hướng dẫn

em hoàn thành tốt khóa luận này

Cuối cùng, xin cám ơn các bạn Phạm Anh Khoa và Trương Minh Hoàng đã giúp đỡ mình trong thời gian học tập cùng nhau và trong thời gian nghiên cứu khóa luận

Dù em đã cố gắng đầu tư nhiều thời gian, nhưng với trình độ còn hạn chế, luận văn chắc chắn không thể tránh khỏi sai sót, rất mong được các thầy, cô nhắc nhở để em rút kinh nghiệm về sau

Em xin chân thành cảm ơn!

MỞ ĐẦU

I Lý do chọn đề tài

ố phức lần đầu tiên được nhà toán học Ý R Bombelli (1526-1573) đưa ra định nghĩa (vào thời

điểm đó được gọi là số "không thể có" hoặc "số ảo") trong công trình Đại số (xuất bản ở Bologne năm 1572) của ông Nhà toán học Thụy Sĩ L Euler (1707-1783) sau đó đưa ra ký hiệu i để chỉ

căn bậc hai của 1. Đến năm 1746 nhà toán học Pháp D’Alembert xác định dạng tổng quát a bicủa số phức

So với những nhánh khác trong Toán học, số phức xuất hiện có phần muộn hơn Tuy vậy, không chỉ riêng đối với các công trình nghiên cứu về các phương trình đại số, mà sự phát triển của khoa học hiện đại nói chung cho thấy những ứng dụng không thể thiếu được của số phức Trong việc giải các bài toán sơ cấp nói riêng, bằng số phức, ta có thể sáng tạo ra những phương pháp mới lạ và đầy hấp dẫn Tuy vậy, ở chương trình THPT hiện nay, số phức chiếm thời lượng khá ít, chỉ những kiến thức cơ bản được đưa vào giảng dạy và học tập, dẫn đến việc vận dụng số phức để giải toán còn rất hạn chế

Với các lý do nêu trên đây, tôi đã chọn đề tài khóa luận tốt nghiệp là: “Ứng dụng của số phức vào giải

toán sơ cấp”

II Mục tiêu của đề tài

Đề tài tập trung vào việc nêu ra các khái niệm quan trọng, phân loại các dạng toán có thể giải bằng số phức

và các phương pháp giải các dạng toán này

III Phương pháp nghiên cứu

Nghiên cứu sử dụng duy nhất phương pháp lý luận

IV Bố cục của đề tài

Chương 1 Cơ sở lý thuyết

Chương 2 Ứng dụng số phức trong Đại số, Lượng giác, Giải tích

Chương 3 Ứng dụng số phức trong Hình học

S

1.2 Dạng đại số và biểu diễn hình học của số phức

- Mỗi biểu thức có dạng a bi , trong đó a b,  và i là đơn vị ảo, được gọi là một số phức Dạng biểu

diễn z a bi được gọi là dạng đại số của số phức Trong đó, a và b lần lượt được gọi là phần thực

và phần ảo của số phức ,z kí hiệu lần lượt là Re z và Im z

- Tập hợp các số phức kí hiệu là

- Các số phức có phần ảo bằng 0 hiển nhiên chính là các số thực Các số phức có phần thực bằng 0 là

các số ảo

- Ta thấy rằng: z là số thực   z z 0 và z là số ảo   z z 0

- Ta có thể thấy mỗi số phức z a bi được xác định bởi một cặp số thực a b Như vậy, trên mặt ; 

phẳng với hệ tọa độ Oxy vuông góc, ta có thể gọi điểm M a b là điểm biểu diễn số phức  ;  z a bi

Độ dài vectơ OM khi đó được gọi là module của số phức z và được kí hiệu là z Ta có thể thấy:

2 2

- Các điểm trên trục hoành Ox và trục tung Oy lần lượt biểu diễn các số thực và số ảo Vì lí do đó ta

gọi Ox và Oy tương ứng là trục thực và trục ảo

2 Các phép toán với hai số phức

- Trong toàn bộ phần này, ta đều cho trước hai số phức z1 a1 b i1 và z2 a2b i2

- Các phép toán cộng, trừ, nhân, chia với hai số phức được định nghĩa như sau:

- Cho số phức z0. Gọi M là điểm biểu diễn hình học của z Số đo (đơn vị radian) của mỗi góc lượng

giác với tia đầu Ox và tia cuối OM được gọi là một argument của , z kí hiệu là arg z Các argument

của mỗi số phức sai khác nhau lượng k2 

- Kí hiệu argument nằm trong khoảng  ;  của z là arg0z được gọi là argument chính của , z

3.2 Dạng lượng giác của số phức

- Với số phức z khác 0 cho trước, ta đều có thể biểu diễn z zcosisin, trong đó  là một argument của z. Dạng biểu diễn này được gọi là dạng lượng giác của số phức

3.3 Nhân và chia số phức dưới dạng lượng giác

- Cho hai số phức khác 0 biểu diễn dưới dạng lượng giác z1 z1cos1isin1 và

II Các lý thuyết về đại số và giải tích

1 Phép chia lấy dư

- Với hai số nguyên , ,m n ta kí hiệu mmodn là số dư trong phép chia m cho n

4 Nguyên hàm

- Cho hàm số f x xác định trên   D Hàm số F x được gọi là nguyên hàm của hàm số   f x trên D  nếu F x'  f x  với mọi xD

- Ta kí hiệu F x  f x dx 

Chương II

ỨNG DỤNG SỐ PHỨC TRONG ĐẠI SỐ,

LƯỢNG GIÁC, GIẢI TÍCH

I Các bài toán về hệ phương trình

Bài toán 1 Giải hệ phương trình:

2 1 2 1 2 1 0

n

n k

Bài toán 2 Giải hệ phương trình:

v v

II Các bài toán về bất đẳng thức

- Trong tập số phức không có quan hệ so sánh, ta chỉ so sánh được module giữa chúng

Bài toán 3 Chứng minh rằng:

Như vậy bất đẳng thức cũng đúng với n2

Ta giả sử bất đẳng thức đúng với na Với n a 1, ta có:

III Các bài toán về lượng giác

- Các bài toán lượng giác một cách tự nhiên gợi cho chúng ta đến việc dùng dạng lượng giác của số phức

Bài toán 4 Tính toán các đẳng thức chứa sin2



Đồng nhất phần thực và phần ảo ở 2 vế, ta thu được biểu diễn cần tìm

Ví dụ Biểu diễn cos3x theo cos , sin3 x x theo sin x

k



1

12

0 5

5 5

321sin 5 5sin 3 10sin16

k k k

k k k

IV Các bài toán về nhị thức Newton

- Phương pháp giải tổng quát của các bài toán này đều là khai triển xyn, biến đổi và sử dụng thêm phép lấy đạo hàm và tích phân nếu cần thiết Sau đó thay ,x y bởi các số phức thích hợp, kết hợp với công

n

n k

k m m

Thay x lần lượt bởi các phần tử tập  2 1

t t

Ta lưu ý rằng Bài toán 8 là một trường hợp nhỏ của Bài toán 9, ứng với t 0

Thực hiện tương tự như bài toán 8, ta khai triển   0 1 2 2

1x n C n xC nx C n   x C n n n, nhân hai vế với

k t

x  ta thu được:

Và sau đó thay x lần lượt bởi các phần tử tập  2 1

1, ,  , ,k , thực hiện tương tự như bài toán 8

- Trong phạm vi của luận văn, ta chỉ nghiên cứu các bài toán áp dụng đạo hàm cấp 1 Thực ra các bài toán

áp dụng đạo hàm cấp cao hơn 1 cũng được thực hiện bằng các phương pháp tương tự như các phương pháp được trình bày dưới đây

Bài toán 10 Với a b,  ,n *, tính các tổng sau:

2 1 2 2 2 1 0

n

n k



 Trong ví dụ này, ta thấy a 3,b1,n101.

Bài toán 11. Với ,a b ,n ,m , tính các tổng sau:

n k

Và sau đó thay x lần lượt bởi các phần tử tập  2 1

1, ,  , ,k , thực hiện tương tự như bài toán 9

n k

n k

k n m k k n

k n m k n

n k

n t k

k

k t

n k

Sau đó thay x lần lượt bởi các phần tử tập  2 1

1, ,  , ,k , thực hiện tương tự như bài toán 9

k k

Chương III

ỨNG DỤNG SỐ PHỨC TRONG HÌNH HỌC

I Các bài toán về góc và độ dài

- Để thuận tiện cho việc làm bài, trên mặt phẳng tọa độ ta quy ước mỗi điểm M (viết hoa) biểu diễn cho

1 3 2

1

22

1.3.2.2 M M1 2//M M3 4 M M1 2,M M3 4 cùng phương

1 2 0

3 4

1 2 0

3 4

1 2 0

1.3 Ta đi sâu hơn vào phần 1.3.2.2 Trước tiên ta đưa ra định nghĩa sau: Hai số phức z z bất kì được 1, 2

gọi là cùng phương nếu z1z2 0 hoặc 1

2

z

z  hoặc 2

1,

z

z  ngược lại ta gọi là không cùng phương

- Rõ ràng là 0 cùng phương với mọi số phức

- Gọi M M là điểm biểu diễn lần lượt cho hai số phức 1, 2 z z phân biệt khác 0 nào đó Nếu 1, 2 z z cùng 1, 2

phương thì 1 1

00



 tương đương với O M M thẳng hàng , 1, 2

- Ta chứng minh mệnh đề sau: Nếu z z không cùng phương và 1, 2 r z1 1r z2 2 m z1 1m z2 2 * với

Trước tiên ta thấy  * r1m z1 1m2r z2 2

Ta chọn hệ trục Oxy có O trùng , A các đỉnh hình vuông biểu

diễn tương ứng cho các số phức b4,c 4 4 ,i d 4 i Suy ra

2 4 ,2

1 4

  và MPB90 ,0

Bài toán 2 Trong mặt phẳng cho 3 hình vuông bằng nhau ABCD BCEF và , FEQP Chứng minh rằng: .

.2

Bài toán 3 Cho tam giác ABC Về phía ngoài của tam giác vẽ các hình vuông ABEF ACGH Chứng ,

minh rằng đường trung tuyến AM vẽ từ đỉnh A của tam giác ABC là đường cao của tam giác AHF

Bài toán 4 Cho tam giác  0

60

hình bình hành AEFD Chứng minh tam giác BFC đều

Suy ra tam giác BFC đều

Bài toán 5 Cho tam giác ABC M là trung điểm của cạnh , BC Trên cạnh AB lấy điểm D sao cho

Để tránh nhầm lẫn với đơn vị phức, ta gọi j là số phức

được biểu diễn bởi I

33

44

IA r

MA IC r

Bài toán 6 Cho tứ giác ABCD có ADBC M N lần lượt là trung điểm , AB CD Gọi ,, E F lần lượt là

giao điểm giữa AD BC với , MN Chứng minh rằng AEM BFM

II Các bài toán về đường thẳng

1 Lý thuyết

- Cho 2 điểm ,A B phân biệt biểu diễn 2 số phức , a b Xét điểm Z biểu diễn cho số phức z nằm trên

đường thẳng AB Vì , , Z A B thẳng hàng nên ta đã biết: z a  *

Ta lưu ý rằng đối với phương trình cuối cùng, nếu cho     0 z b Z AB

- Ta gọi phương trình za 1 b với  là phương trình tham số của đường thẳng AB

c

b e

Bài toán 9 Chứng minh rằng trung điểm các cạnh đáy, giao giữa hai đường chéo và giao giữa hai cạnh

bên của một hình thang (không là hình bình hành) thẳng hàng

Giải

Xét hình thang ABCD với 2 đáy là AB CD ,

Suy ra ,E M F thẳng hàng Như vậy , ,, E F M N thẳng hàng ,

III Các bài toán về đường tròn

Từ đó ta có thể định nghĩa z a R hoặc z zazaz b 0 với aa b 0 là phương trình tổng

quát của đường tròn trong mặt phẳng phức

1.2 Điều kiện để bốn điểm cùng thuộc một đường thẳng hoặc một đường tròn

- Cho 4 điểm , , ,A B C Z đôi một phân biệt Điều kiện cần và đủ

để chúng cùng thuộc một đường thẳng hoặc một đường tròn là:

trường hợp  1 và trái dấu ở trường hợp  2

1.3 Phương trình đường tròn đi qua 3 điểm

- Bằng cách coi mỗi đường thẳng trong mặt phẳng phức là một đường tròn có tâm tại vô cùng và bán

kính vô cùng lớn, ta nhận xét nếu Z nằm trên đường thẳng đi qua 3 điểm , , A B C thẳng hàng cũng có

nghĩa là Z nằm trên đường tròn đi qua 3 điểm này Kết hợp với kết luận ở 1.2, ta thấy điều kiện cần và

đủ để điểm Z nằm trên đường tròn đi qua 3 điểm , , A B C là z a c: a

- Cho dây cung AB bất kỳ thuộc đường tròn đơn vị Điều kiện cần và đủ để điểm M thuộc AB là

1.4.1 Quan hệ song song và vuông góc giữa hai dây cung

- Xét hai dây cung bất kỳ A A B B trên đường tròn đơn vị Ta rút ra hai nhận xét: 1 2, 1 2

1.4.2 Giao điểm giữa hai dây cung

- Ta xét hai dây cung phân biệt không song song A A B B nằm trên đường tròn đơn vị Gọi M là 1 2, 1 2giao điểm giữa hai dây cung này Ta sẽ tìm m theo a a b b Trước tiên ta thấy vì 1, 2, ,1 2 A A B B 1 2, 1 2không song song nên a a1 2b b1 2 0

1.4.3 Giao điểm hai tiếp tuyến

Lưu ý rằng ở phần 1.4.2, nếu A1 A2 hoặc B1B2 thì dây cung trở thành tiếp tuyến của đường tròn Giả sử A1 A2 biểu diễn cho số phức a và B1B2 biểu diễn cho số phức b Khi đó M là giao điểm

giữa 2 tiếp tuyến tại A B Thay 1, 1 a a bởi 1, 2 a và b b bởi 1, 2 b từ ,  * ta rút ra m 2ab





1.4.4 Chân đường vuông góc ở dây cung

- Cho dây cung AB và điểm M trên đường tròn đơn vị, M  A M, B. Gọi H là hình chiếu của

Mặt khác MH  ABh m a b     h m a b  0

Vậy h là nghiệm của hệ:

2 Các ví dụ

Bài toán 10 Cho 4 đường tròn phân biệt    C1 , C2 ,   C3 , C4 sao cho    C1 , C2 giao nhau tại A B1, 1,

 C2 , C giao nhau tại 3 A B 2, 2,    C3 , C4 giao nhau tại A B 3, 3,    C4 , C giao nhau tại 1 A B Chứng 4, 4.minh rằng nếu A A A A cùng thuộc một đường thẳng hoặc một đường tròn thì 1, 2, 3, 4 B B B B cũng 1, 2, 3, 4cùng thuộc một đường thẳng hoặc một đường tròn

Theo đề thì A A A A cùng thuộc một đường thẳng hoặc một đường tròn suy ra 1, 2, 3, 4 1 2 3 2

Bài toán 11 Từ các đỉnh của tứ giác ABCD nội tiếp trong đường tròn bất kỳ, ta dựng các tiếp tuyến với

đường tròn đó và chúng cắt nhau tạo thành tứ giác PQRS Chứng minh trung điểm của PR QS và tâm của ,đường tròn thẳng hàng

Ta suy ra

0202

Bài toán 13 Trên một đường tròn có hai cung không song song AB CD Hai đường thẳng vuông góc với ,

AB tại A và vuông góc với CD tại C cắt nhau tại M Hai đường thẳng vuông góc với AB tại B và

vuông góc với CD tại D cắt nhau tại N Chứng minh rằng nếu BC AD cắt nhau thì , BC AD MN đồng , ,quy và nếu BC/ /AD thì BC/ /AD/ /MN

Giải

Lấy đường tròn đã cho làm đường tròn đơn vị

Bài toán 14 Cho 4 điểm , , , A B C D nằm trên một đường tròn, AB là đường kính, CD AB. Gọi M là

giao điểm giữa AC BD E là giao điểm giữa , , AD BC Dựng các tiếp tuyến của đường tròn tại , C D các , ,tiếp tuyến này cắt nhau tại N Chứng minh rằng M N E thẳng hàng và , , MEAB

IV Các bài toán về tam giác

- Đối với các bài toán về tam giác, ta chọn đường tròn ngoại tiếp tam giác làm đường tròn đơn vị Bằng

các kiến thức từ các phần I, II và III, ta có thể chứng minh được một số tính chất, định lý về các điểm đặc

biệt trong tam giác

Bài toán 15 (Định lý về đường thẳng Euler) Chứng minh rằng trong một tam giác, trực tâm , H trọng tâm

Tương tự ta cũng suy ra được bh b 2 abch ca

Vậy h là nghiệm của hệ phương trình:

Bài toán 16 Chứng minh rằng trong một tam giác, điểm đối xứng của trực tâm qua các cạnh nằm trên đường

tròn ngoại tiếp tam giác đó

Giải

Từ Bài toán 15, ta đã biết: h  a b c

Theo III, 1.4.4, ta suy ra:

Tương tự ta cũng có: b2  abc c, 2  abc

Suy ra: OA2 abc 1,OB2 abc 1,OC2 abc 1

2, 2, 2

A B C

 nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Bài toán 17 Chứng minh rằng trong một tam giác điểm đối xứng của trực tâm qua trung điểm các cạnh nằm

trên đường tròn ngoại tiếp tam giác đó

2, 2, 2

A B C

 nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Bài toán 18 Gọi G là trọng tâm tam giác ABC N là chân đường cao hạ từ , A Qua A dựng đường thẳng

song song BC cắt đường tròn tại P Chứng minh rằng N G P thẳng hàng và , , 1

Ta có:

1212

Bài toán 20 (Định lý về đường tròn Euler) 9 điểm gồm: 3 chân đường cao hạ từ 3 đỉnh, 3 trung điểm của 3

cạnh và 3 trung điểm của 3 đoạn nối 3 đỉnh với trực tâm trong một tam giác cùng nằm trên một đường tròn Hơn nữa, bán kính đường tròn này bằng một nửa bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác

Đường tròn đi qua 9 điểm trên được gọi là đường tròn Euler hay đường tròn chín điểm