ỨNG DỤNG SỐ PHỨC TRONG GIẢI TOÁN SƠ CẤP 10600771

Bằng công cụ số phức, nhiều vấn đề khoa học và kỹ thuật đã được giải quyết, đặc biệt số phức có nhiều ứng dụng trong toán sơ cấp.. Trong hình học phẳng, phương pháp số phức có quan hệ mậ

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

CAO THỊ NGUYỆT HOA

ỨNG DỤNG SỐ PHỨC TRONG GIẢI TOÁN SƠ CẤP

Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp

Mã số: 60.46.40

TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Đà Nẵng – Năm 2015

Công trình được hoàn thành tại ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

Người hướng dẫn khoa học: TS NGUYỄN NGỌC CHÂU

Phản biện 1: TS Phan Đức Tuấn

Phản biện 2: GS.TS Lê Văn Thuyết

Luận văn đã được bảo vệ trước Hội đồng chấm Luận văn tốt nghiệp thạc sĩ Phương pháp toán sơ cấp tại Đại học Đà Nẵng

vào ngày 10 tháng 01 năm 2015

Có thể tìm hiểu luận văn tại:

- Trung tâm Thông tin-Học liệu, Đại học Đà Nẵng

- Trung tâm Học liệu, Đại học Đà Nẵng

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Số phức xuất hiện từ thế kỷ XIX, xuất phát từ nhu cầu giải những phương trình đại số Từ khi ra đời, số phức đã góp phần thúc đẩy sự phát triển của toán học cũng như nhiều ngành khoa học khác Khái niệm số phức là một mở rộng của số thực, có những ứng dụng phong phú và hiệu quả Bằng công cụ số phức, nhiều vấn đề khoa học và kỹ thuật đã được giải quyết, đặc biệt số phức có nhiều ứng dụng trong toán sơ cấp Trong hình học phẳng, phương pháp số phức có quan hệ mật thiết với phương pháp vectơ, phương pháp tọa độ; trong lý thuyết số và số học, số phức

góp phần giải quyết được nhiều lớp bài toán

Trong chương trình toán bậc Trung học phổ thông hiện nay, học sinh cũng đã được học số phức, tuy nhiên với một thời lượng không nhiều và nội dung còn khiêm tốn Nhằm mục đích tìm hiểu các ứng dụng

của số phức, tôi chọn đề tài “Ứng dụng số phức trong giải toán sơ cấp” cho luận văn Thạc sĩ của mình

2 Mục tiêu và nhiệm vụ nghiên cứu

- Tìm hiểu số phức, trường số phức

- Nghiên cứu các ứng dụng của số phức trong giải toán sơ cấp

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

- Cấu trúc trường các số phức

- Các ứng dụng của số phức trong toán sơ cấp

- Số nguyên Gauss

4 Phương pháp nghiên cứu

- Thu thập, tổng hợp các tài liệu có liên quan đến nội dung của đề tài luận văn, đặc biệt là các tài liệu về số nguyên Gauss

- Phân tích, nghiên cứu các tài liệu để thực hiện đề tài

- Trao đổi, thảo luận, tham khảo ý kiến của giáo viên hướng dẫn

5 Cấu trúc luận văn

Mở đầu

Chương 1: Trường số phức

Phần đầu chương này giới thiệu về lịch sử hình thành số phức, phần tiếp theo trình bày sơ lược về trường số phức, đủ để làm cơ sở cho hai chương tiếp theo

Chương 2: Ứng dụng số phức trong trong giải toán sơ cấp

Chương này sẽ trình bày một số ứng dụng của số phức trong việc giải một số lớp bài toán sơ cấp thuộc chương trình Trung học phổ thông Chương 3: Vành các số nguyên Gauss và ứng dụng

Chương này sẽ giới thiệu sơ lược về số nguyên Gauss, một lớp số phức đặc biệt, cùng những ứng dụng của chúng trong việc giải một số lớp bài toán sơ cấp thuộc chương trình Trung học phổ thông

Kết luận

CHƯƠNG 1 TRƯỜNG SỐ PHỨC

- và được gọi là số đối của số phức z , khi đó z + - = ( ) 0 z

ii) Ta gọi số phức liên hợp của z a bi= + ( ,a bΡ là ) a bi- và

Cho hai số phức z a bi= + , z'= +a b i' ' Ta gọi

i) Tổng của hai số phức z và z’ là số phức, kí hiệu z + z’ và được

xác định như sau z z+ ' = +a a'+ (b b i+ ')

ii) Tích của hai số phức z và z’ là số phức, kí hiệu z z ', và được xác định như sau z z ' = ( aa'-bb') + (ab a b i'+ ' )

iii) Nếu z = + ¹ a bi 0 Ta gọi thương z'

Tập £ các số phức cùng với hai phép toán cộng và nhân xác định

như trên là một trường, gọi là trường số phức

1.3 DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC

1.3.1 Dạng lượng giác của số phức

Trong mặt phẳng phức £ , mỗi số phức z a bi= + được biểu diễn

bởi một điểm duy nhất M(a,b)

Độ dài r OM=uuuur

được gọi là môđun của số phức z và kí hiệu z

Góc định hướng j =(Ox,OMuuuur)

, với M ¹ , tạo bởi tia Ox và vec 0

tơ OMuuuur

được xác định sai kém một bội nguyên tùy ý của 2p Góc j

được gọi là acgumen của số phức z và kí hiệu Arg z Trường hợp ( )

0

M º , ta quy ước acgumen của z là bất kỳ Số phức z viết dạng

( os sin )

z = r c j+i j gọi là dạng lượng giác của số phức z

1.3.2 Nhân chia số phức ở dạng lượng giác

Mệnh đề 1.5.(Công thức Moivre)

Cho số phức z =r(cosj+isin )j và n NÎ * Ta có

i) z n=[ (cosr j+isin )]j n=r n(cosnj+isinn j)

ii) Các căn bậc n của z là

của số phức z Khi đó các công thức của phép nhân và chia số phức ở

dạng lượng giác, được viết ở dạng mũ là

-= =

1.4 BIỂU DIỄN HÌNH HỌC CỦA SỐ PHỨC

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ trực chuẩn Oxy, cho mỗi số phức

z a bi= + tương ứng với một điểm M a b ( , )có hoành độ a, tung độ b

và ngược lại điểm M a b ( , ) được gọi là ảnh hay điểm biểu diễn số phức

z a bi= + , số phức z a bi= + gọi là tọa vị của điểm M a b ( , ) Phép tương ứng trên là một song ánh từ tập hợp £

các số phức lên tập các điểm trong mặt phẳng tọa độ Mặt phẳng tọa độ

Oxy mà trên đó biểu diễn các số phức được gọi là mặt phẳng phức £.

Từ song ánh trên, mỗi số phức z a bi= + được đồng nhất với vectơ OMuuuur

có điểm đầu là góc tọa độ O và điểm cuối là M(a, b), và ta

cũng đồng nhất số phức z a bi= + với vectơ ur=( , )a b

Do sự đồng nhất số phức z a bi= + với điểm M(a,b), hay với vectơ

( , )

ur= a b , nên từ nay về sau ta không phân biệt số phức z a bi= + với

vectơ ur=( , )a b , hay số phức M với điểm M

1.5 ĐƯỜNG TRÒN TRONG MẶT PHẲNG PHỨC

Đường tròn tâm M bán kính R > 0 là tập hợp các điểm cách 0 M 0

khoảng không đổi R Xét trong mặt phẳng phức thì mô đun M M- 0 là

khoảng cách từ M đến M , vì vậy có thể xem: 0 M-M0 =R là phương trình đường tròn tâm M , bán kính R 0

Cho dãy số thực ( ),u n n= ¥ , 1, u và 0 u đã được xác định Gọi 1 z,1 z là 2

hai nghiệm phức của phương trình đặc trưng của u n+2+p u n+1+q u n=0.

Khi đó số hạng tổng quát y của dãy số được xác định bởi n

CHƯƠNG 2 ỨNG DỤNG SỐ PHỨC TRONG GIẢI TOÁN SƠ CẤP

Chương này sẽ trình bày một số ứng dụng của số phức trong việc giải một số lớp bài toán sơ cấp thuộc chương trình Trung học phổ thông

là góc tọa độ O của mặt phẳng phức, khi đó: A = B = C =R

Ta có AB2+BC2+CA2=3(GA2+GB2+GC2) (với G là trọng tâm của tam giác ABC), vì vậy AB2+BC2+CA2 lớn nhất khi chỉ khi

G nhỏ nhất ÛG nhỏ nhất ÛG O = , hay trọng tâm G trùng với

tâm của đường tròn ngoại tiếp, khi đó tam giác ABC là tam giác đều, và tổng bình phương các cạnh là lớn nhất và bằng 3R 2

2.1.2 Các bài toán dựng hình

Ví dụ 2.6 (Dựng đa giác đều 17 cạnh)

Giải: Tính độ dài cạnh đa giác đều 17 cạnh:

Giả sử đa giác đều 17 cạnh nội tiếp đường tròn đơn vị Khi đó cạnh

của đa giác đều là 2sin

2cos17

2cos17

của phương trình x2+ - = x 4 0 (2) nên 1 1 17; 2 1 17

x -- + x- =

(3)

y = +z z- = p 4 4

2

82cos17

Dựng đa giác đều 17 cạnh

· Ta biết các nghiệm của phương trình bậc hai đều dựng được bằng thước và compa

· Cạnh của đa giác đều 17 cạnh được suy ra từ các phương trình bậc hai (2), (3), (4), (5) nên dựng được, vì thế dựng được đa giác đều đã nêu

2.1.3 Các bài toán quỹ tích

Ví dụ 2.11

Cho tam giác đều có cạnh 2a Tìm quỹ tích điểm M sao cho

MA +MB +MC = a

Giải: Ta chọn hệ trục tọa độ trong mặt phẳng phức như sau:

Cạnh AB nằm trên trục thực, trung điểm O của cạnh AB trùng với

Vậy quỹ tích điểm M là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

2.2 ỨNG DỤNG TRONG LƯỢNG GIÁC

-2.2.2 Khai triển và tuyến tính hoá

a Khai triển cos n q, sinn q, tann q

cos sin cos sin

n

E

k k n k k n

2

2 1 2 1 0

( ) 2

2 2 0

tan

( 1) tan

n E

k k k n

k

n E

k k k n k

C n

C

q q

m k

sin m 2 m( 1)m m ( 1)k k sin(2 1 2 ) )

m k

-2.2.3 Giải phương trình, chứng minh đẳng thức, tính tổng lượng giác

1cos3

2

z x z

x y x

x y

x y y

Giải: Điều kiện x2+ ¹ Đặt z x iy y2 0 = + , ta có 1 z2 x iy2 2

Vậy nghiệm của hệ phương trình đã cho là (2;1) hoặc (1; 1)-

2.3.2 Sự chia hết của hai đa thức

Ví dụ 2.26

Trong vành C x[ ], chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n> và số 1thực a thỏa sin a¹ , đa thức 0 x nsina-xsinn a+sin(n-1)a chia hết cho đa thức x2-2 cosx a+ 1

Giải: Xét phương trình x2-2 cosx a+ = , có 1 0

Vì x và 1 x là hai số phức liên hợp nên nếu 2 x là nghiệm thì 1 x cũng là 2

nghiệm của f x Vậy ( ) x nsina-xsinn a+sin(n-1)a chia hết cho

n n

n

u = é + + - pù " În N

CHƯƠNG 3 VÀNH CÁC SỐ NGUYÊN GAUSS VÀ ỨNG DỤNG

Cho hai số nguyên Gauss a và b Ta nói rằng b chia hết cho , a

kí hiệu là a Z i[ ]b nếu tồn tại g Î Z i[ ] sao cho ag b= Khi đó a gọi là

một ước của b hay b là bội của a

Định nghĩa 3.3

Một số nguyên Gauss e được gọi là đơn vị nếu và chỉ nếu e là

ước của mọi số nguyên Gauss

Định nghĩa 3.4

Chuẩn của một số nguyên Gauss a , kí hiệu ( ), N a là bình phương

của môđun của nó, tức là a = + Î a bi Z i[ ] thì N( )a aa= = + a b2 2

Mệnh đề 3.2

Tập tất cả các phần tử đơn vị của [ ]Z i là U = ± ±{ 1; i}. Số nguyên

Gauss a là một đơn vị khi và chỉ khi ( ) 1 N a =

Định nghĩa 3.6 ( Số nguyên Gauss nguyên tố cùng nhau )

Hai số nguyên Gauss khác 0 được gọi là nguyên tố cùng nhau nếu tất cả các ước chung của chúng chỉ là {± ± 1, i}

Mệnh đề 3.4

Nếu ,x y là hai số nguyên khác tính chẵn lẻ và ( , ) 1 x y = thì x iy+

và x iy- là nguyên tố cùng nhau trong [i]Z

Một số nguyên Gauss p khác đơn vị đươc gọi là một số nguyên tố

Gauss nếu p không biểu diễn được dưới dạng tích của hai số nguyên

Gauss khác đơn vị Nói cách khác p gọi là một số nguyên tố Gauss nếu từ

đẳng thức p ab= ta phải có a hoặc b là đơn vị

Bổ đề 3.1

Giả sử p là số nguyên tố Gauss Khi đó

i/ Nếu p ab thì p a hoặc p b

ii/ Một cách tổng quát, nếu p a a a , 1 2 n n ³ thì p là ước của 2

một của một thừa số a nào đó của tích i a a a 1 2 n

Định lý 3.1 (Định lý cơ bản của số học cho vành Gauss)

Mọi số nguyên Gauss a khác không và khác đơn vị đều có thể

được phân tích dưới dạng a g g= 1 n , trong đó g1, ,g là các số nguyên n

tố Gauss Sự phân tích này là duy nhất, sai khác thứ tự các nhân tử và

Cho p là một số nguyên tố Khi đó phương trình p x= 2+ có y2

nghiệm nguyên khi và chỉ khi p không có dạng 4 k+ 3

Định lý 3.3 (Xác định tất cả các số nguyên tố)

Tập hợp các số nguyên tố Gauss là

i/ Tất cả các số nguyên tố thông thường p có dạng 4 k+ và các số 3nguyên Gauss liên kết với chúng

ii/ Tất cả các số nguyên Gauss a bi+ , trong đó ( , )a b là nghiệm

nguyên của phương trình p x= 2+ y2 với p = hoặc p là số nguyên tố 2

có dạng 4k+ (nghiệm ( , )1 a b luôn tồn tại theo Bổ đề 3.1)

3.1.3 Đồng dư trong [i]Z

Định nghĩa 3.9

Cho , ,a b g là các số nguyên Gauss Ta nói rằng a đồng dư với

b modulo g nếu g a b- Khi đó ta viết a bº (mod )g

Quan hệ đồng dư modulo g xác định cho ta một quan hệ tương

đương trên [i]Z

Định lý 3.4

i/ Nếu g = là một số nguyên thông thường, m a = + a bi,b = + x iy, thì

(mod )

a bº g nếu và chỉ nếu a xº (mod )m , b yº (mod )m

ii/a b1º 1(mod )g , a b2º 2(mod )g Þ + º +a a b b1 2 1 2(mod ),g aa1 2ºbb1 2(mod )g

ì

º íî

(mod )(mod )

p

p

khi khi

ii/ Với mọi số nguyên tố p thông thường a p2 ºa (mod )p

iii/ a p2- 1º (mod )1 p nếu p= 4k+3, a ¹ (mod )0 p

1 1

p

a - º (mod )p nếu p=4k+1, N( )a ¹ 0(mod )p

3.2 ỨNG DỤNG CỦA SỐ NGUYÊN GAUSS

3.2.1 Ứng dụng số nguyên Gauss giải phương trình nghiệm

nguyên

Mục này sẽ dùng số nguyên Gauss để giải phương trình nghiệm

nguyên có dạng y2n+ 1= x2+4 ,k với n N k NÎ *, Î Khi k= ta có 0,

bài toán sau

trình được viết lại dưới dạng y2n+ 1= (x i x i+ )( - , trong đó x i) + và

x i- là hai số nguyên tố cùng nhau Thật vậy giả sử trái lại có số nguyên

tố Gauss p sao cho p x i+ , p x i- Suy ra p 2i Þ p 2 Vậy ( ) (2) 4

N p N = , suy ra ( )N p chẵn Vì N( ) (x i)p N + = + =x2 1 y2 1n+nên y chẵn, trái với điều kiện y lẻ Vậy x i + và x i- là nguyên tố cùng nhau nên theo Định lý 3.2 và Hệ quả 3.1, tồn tại a bi Z+ Î [i]sao chox i+ = +(a ib)2n+1 (1) Khai triển vế phải của (1) rồi đồng nhất phần

ảo hai vế ta sẽ tìm được các giá trị nguyên ,a b , từ đó suy ra các nghiệm

1=b a b3 - Giải phương trình trên ta có các giá trị nguyên a=0,b=- , do 1

đó x=0,y= Vậy (0,1) là nghiệm duy nhất của phương trình 1

Bài toán 3.2

Tìm tất cả các số nguyên ,x y thoả mãn y2 1n+ = +x2 4 ; ,k n k NÎ *

Giải: Ta nhận thấy x , y phải cùng tính chẵn lẻ

· Trường hợp 1: Nếu x , y là các số lẻ Phương trình trên tương

đương với y2n+ 1=(x+2 )(k i x-2 )k i Vì y lẻ 2 k chẵn, ( , 2 ) 1y k = , nên theo Mệnh đề 3.4 x+2k i và x-2k i là nguyên tố cùng nhau Theo

Định lý 3.2 và Hệ quả 3.1, tồn tại a bi Z+ Î [i] sao cho

x+2k i=(a bi+ )2n+1

Khai triển hai vế rồi đồng nhất phần ảo của đẳng thức trên ta sẽ tìm

được các giá trị nguyên a, b Suy ra các nghiệm nguyên cần tìm

· Trường hợp 2: Nếu x , y là các số chẵn Đặt x=2x1, y=2y1ta

được phương trình 2 1 2 1 2 1

2 n- y n+ = x +4k

-Để phương trình trên có nghiệm thì điều kiện cần là x y phải 1, 1

cùng tính chẵn hoặc lẻ Xét tính chẵn lẻ của x y , nếu 1, 1 x chẵn thì đặt 1

1 2 2

x = x , nếu y chẵn thì đặt 1 y1=2y2 , cứ tiếp tục như thế ta sẽ tìm

được nghiệm của phương trình hoặc biến đổi phương trình về dạng

2n1

g + =a b trong đó ,a b là hai số nguyên Gauss nguyên tố cùng nhau

Khi đó sử dụng Định lý 3.2 và Hệ quả 3.1 để tìm ra nghiệm nguyên cần

tìm

Ví dụ 3.2.1

Tìm tất cả các số nguyên ,x y thoả mãn phương trình y x3= + 2 4

Giải: Ta nhận thấy x , y phải cùng tính chẵn lẻ

· Trường hợp 1: Nếu x , y là các số lẻ Phương trình trên tương

đương với y3= +(x 2 )(i x-2 )i Do x+ và 2i x- là nguyên tố cùng 2i

nhau Theo định lý 3.2 và Hệ quả 3.1 , tồn tại a bi Z+ Î [i] sao cho

cũng phải là số lẻ, phương trình được viết lại như sau:

i+ là ước chung lớn nhất của x1+ và i x1- i

x i i

+ là nguyên tố Gauss cùng nhau Theo Định lý 3.2 và Hệ quả 3.1, tồn tại d Î Z[i] sao cho 3

Như vậy x+ cũng là luỹ thừa bậc ba của một số nguyên Gauss, 2i

tương tự như trường hợp 1 ta có ( , ) ( 2,2)x y = - và ( , ) (2, 2).x y =

Vậy phương trình có 4 nghiệm nguyên (2;2); ( 2,2)- ( 11,5); (11,5).-

KẾT LUẬN

Luận văn “Ứng dụng số phức trong giải toán sơ cấp” đã hoàn thành được mục tiêu và nhiệm vụ đề ra Cụ thể là đã thực hiện được:

1 Ứng dụng số phức để giải một số lớp bài toán trong hình học, đại

số, lượng giác thuộc chương trình trung học phổ thông

2 Giới thiệu một lớp số phức đặc biệt, số nguyên Gauss, cùng các khái niệm, kết quả liên quan như: số nguyên tố Gauss, quan hệ đồng dư trong vành các số nguyên Gauss,…

3 Ứng dụng số nguyên Gauss để giải phương trình nghiệm nguyên dang y2 1n+ = +x2 4 ,k với n N k NÎ *, Î và một số bài toán số học

4 Đề tài là một tài liệu tham khảo hữu ích cho các học sinh, sinh viên muốn tìm hiểu những ứng dụng của số phức trong giải toán sơ cấp

Hy vọng rằng, trong thời gian tới, các kỹ thuật được khai thác trong luận văn còn tiếp tục được bổ sung và hoàn thiện hơn nhằm khẳng định vai trò của số phức trong giải toán sơ cấp nói riêng và trong khoa học nói chung