ỨNG DỤNG LƯỢNG GIÁC ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH 10600721

Các bước giải bài toán đại số và giải tích sử dụng phương pháp lượng giác hóa: .... Một trong những phương pháp hay, hữu hiệu thường được áp dụng để giải quyết các bài toán đại số và giả

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM – ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

KHOA TOÁN



KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

ĐỀ TÀI:

ỨNG DỤNG LƯỢNG GIÁC ĐỂ GIẢI MỘT SỐ

BÀI TOÁN ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH

Giảng viên hướng dẫn : Th.S Nguyễn Thị Sinh

Sinh viên thực hiện : Nguyễn Thị Thục Uyên

Lớp : 13ST

Đà nẵng, tháng 5 năm 2017

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 3

1 Lý do chọn đề tài: 3

2 Phạm vi nghiên cứu: 3

3 Cấu trúc của luận văn: 3

CHƯƠNG I: LÝ THUYẾT CƠ SỞ 5

1 Các công thức lượng giác cơ bản: 5

2 Các hệ thức lượng giác thường được dùng trong bài: 7

3 Một số cách đặt để đưa bài toán về dạng lượng giác: 12

4 Các bước giải bài toán đại số và giải tích sử dụng phương pháp lượng giác hóa: 15

CHƯƠNG II: ỨNG DỤNG LƯỢNG GIÁC ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH 16

1 Ứng dụng lượng giác để chứng minh đẳng thức đại số 16

2 Ứng dụng lượng giác để chứng minh bất đẳng thức 22

3 Ứng dụng lượng giác để giải phương trình 30

4 Ứng dụng lượng giác để giải hệ phương trình 40

5 Ứng dụng lượng giác để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất 46

6 Ứng dụng lượng giác để tính giới hạn và tìm số hạng tổng quát của dãy số 54

KẾT LUẬN 56

1 Nhận xét và đánh giá chung về đề tài 56

1.1 Kết quả đạt được 56

1.2 Hạn chế 56

2 Hướng phát triển của đề tài 56

TÀI LIỆU THAM KHẢO 57

Xin chân thành cảm ơn quý thầy cô khoa Toán, thư viện đã giúp đỡ và tạo điều kiện thuận lợi nhất để em hoàn thành luận văn tốt nghiệp này

Sau cùng, em xin kính chúc cô Nguyễn Thị Sinh và quý thầy cô khoa Toán thật dồi dào sức khỏe, niềm tin để tiếp tục thực hiện sứ mệnh của mình là truyền đạt kiến thức cho thế hệ mai sau

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài:

Để giải một bài toán phụ thuộc chủ yếu vào việc xác định đúng đắn đường lối giải bài toán đó Quá trình đi từ đường lối đúng đắn đến việc có một lời giải tốt đòi hỏi người học phải biết lựa chọn phương pháp và công cụ thích hợp Một trong những phương pháp hay, hữu hiệu thường được áp dụng để giải quyết các bài toán đại số và giải tích phức tạp đó là ứng dụng lượng giác nhằm đưa ra những phép đặt phù hợp cho bài toán hay còn gọi là phương pháp lượng giác hóa

Vậy thế nào là phương pháp lượng giác hóa?

Khi giải các bài toán đại số và giải tích dựa vào những điều kiện bó hẹp của biến,

ta đặt ẩn phụ quy bài toán ban đầu về bài toán lượng giác, sau đó giải bài toán lượng giác bình thường, từ kết quả đó ta có kết quả của bài toán ban đầu Đó chính là phương pháp lượng giác hóa

Bằng cách lượng giác hóa thích hợp sẽ góp phần đưa bài toán khó giải trực tiếp

về một bài toán gián tiếp đơn giản và dễ giải hơn

Tuy nhiên, khi nào thì nên sử dụng phương pháp lượng giác hóa và cách thức lượng giác hóa một bài toán như thế nào thật là không đơn giản Chúng ta cần phải nhìn bài toán một cách tổng quát cũng như phải hiểu kỹ từng nội dung , phương pháp lượng giác hóa để chuyển bài toán phức tạp về bài toán đơn giản hơn Hơn nữa, các bài toán đại số và giải tích sử dụng phương pháp lượng giác hóa để giải thường xuyên xuất hiện trong các đề thi tuyển sinh đại học, cao đẳng và các đề tuyển chọn học sinh giỏi trong nước và quốc tế Thế nhưng sách giáo khoa rất ít bài tập dạng này Cho nên, việc hướng dẫn cho học sinh THPT biết cách sử dụng phương pháp lượng giác hóa để giải một số bài toán đại số và giải tích phức tạp là điều hết sức cần thiết

Với những lí do trên và với tư cách là một người giáo viên dạy toán trong tương

lai, em nghiên cứu đề tài “Ứng dụng lượng giác để giải một số bài toán đại số và giải

tích” và chọn đó là đề tài luận văn tốt nghiệp của mình

2 Phạm vi nghiên cứu:

Đề tài: “Ứng dụng lượng giác để giải một số bài toán đại số và giải tích” nghiên

cứu giải các bài toán đại số và giải tích trong chương trình phổ thông

3 Cấu trúc của luận văn:

Luận văn này gồm hai chương:

Chương I: Lý thuyết cơ sở

Chương này gồm có 3 phần:

1 Các công thức lượng giác cơ bản:

Phần này hệ thống lại tất cả các công thức lượng giác cơ bản nhất

để áp dụng vào giải các bài toán trong chương II

2 Các hệ thức lượng giác thường được dùng trong bài:

Phần này chứng minh các hệ thức lượng giác cơ bản thường được

sử dụng trong chương II để khi giải toán ta chỉ việc áp dụng mà không cần chứng minh lại

3 Một số cách đặt để đưa bài toán về dạng lượng giác:

Phần này nêu các dấu hiệu đặc biệt của bài toán sử dụng phương pháp lượng giác hóa cũng như cách đặt ẩn phụ để lượng giác hóa bài toán cho phù hợp

4 Các bước giải bài toán đại số và giải tích sử dụng phương pháp lượng giác hóa

Chương II: Ứng dụng lượng giác để giải một số bài toán đại số và giải tích

Chương này gồm 6 phần liên quan đến việc ứng dụng lượng giác để giải toán, mỗi phần là các dạng toán và cách giải Các dạng bài toán được trình bày

rõ ràng, logic

1 Ứng dụng lượng giác để chứng minh đẳng thức đại số

2 Ứng dụng lượng giác để chứng minh bất đẳng thức

3 Ứng dụng lượng giác để giải phương trình

4 Ứng dụng lượng giác để giải hệ phương trình

5 Ứng dụng lượng giác để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất

6 Ứng dụng lượng giác để tính giới hạn và tìm số hạng tổng quát của dãy số

1 cot ; ,

sintan cot 1; ,

2

k k

k k k

1.2 Giá trị lượng giác của các cung có liên quan đặc biệt:

sin( ) sin cos sin cos

sin( ) sin cos sin cos

tan tantan( )

sin 2 2sin cos

cos 2 cos sin 2 cos 1 1 2sin

2 tantan 2

21sin sin [cos(a-b)-cos(a+b)]

21sin cos [sin(a-b)+sin(a+b)]

1.7 Công thức biến đổi tổng thành tích:

3 2

sin 3 3sin 4 sin

cos 3 4 cos 3cos

2 Các hệ thức lượng giác thường được dùng trong bài:

2.1 tan tan tan tan tan tan 1 ( )

sin sin sin sin sin sin

cos cos cos cos cos cos

sin sin cos sin sin cos sin sin cos

cos cos cossin sin( ) sin sin cos

cos cos coscos( ) cos cos( ) sin sin cos

cos( ).cos( ) cos cos( ).cos cos( ).cos 0

[cos( ) cos ].[ cos( ) cos ] 0

2( )2

22

k k k k k

22

k

k k k k

cos  cos   cos  2.cos cos cos        1    

2.3 tantantan tan tan tan         k (kZ)

Chứng minh:

Ta có: tantantan

sin sin sin

cos cos cos

sin( ) sin

cos cos cos

sin( ).cos sin cos cos

cos cos cossin( ) sin cos( ) sin cos cos

cos cos cossin( ) sin sin sin

cos cos cossin(

 ) tan tan tan

cos cos cos

2.4 tan( ) tan tan tan tan tan tan

1 tan tan tan tan tan tan

Vậy tan( ) tan tan tan tan tan tan

1 tan tan tan tan tan tan

2.5 Trong ABC ta luôn có:

a, tanAtanBtanCtan tan tanA B C

Vậy ta có điều phải chứng minh

2.6 Cho ABCcó các góc A B C, , nhọn khi đó:

2 cot

2sin2

2.7 ChoABC khi đó: 2 2 2 9

cos cos cos

Vậy ta có điều phải chứng minh

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi

3 Một số cách đặt để đưa bài toán về dạng lượng giác:

Việc lựa chọn phương pháp lượng giác hóa cho bài toán được xác định thông qua các dấu hiệu đặc biệt của các biểu thức chứa ẩn có mặt trong bài toán và thông qua miền giá trị của chúng Và sau đây là các dấu hiệu đặc biệt của bài toán sử dụng phương pháp lượng giác hóa cũng như cách đặt ẩn phụ để lượng giác hóa bài toán cho phù hợp:

a

x t

t a

, ( ; )cos 2 2

a

x t

t a

3, ( ; )cos 2 2

a

x t

t a

x y z

sin cos

x y

3.9 Các biểu thức thường được lượng giác hóa:

Biểu thức Cách lượng giác hóa

c t x

a

c t y

x y

4 Các bước giải bài toán đại số và giải tích sử dụng phương pháp lượng giác hóa:

Lượng giác hóa là một phương pháp khá rộng Với mỗi bài toán lại có một nét riêng biệt, không bài nào giống bài nào nên không thể có cách nào là hiệu quả với toàn

bộ các bài toán Tuy nhiên ta có thể khái quát nội dung của phương pháp sử dụng lượng giác để giải bài toán đại số và giải tích là tìm cách đổi biến lượng giác phù hợp với các yêu cầu và giả thiết của bài toán để đưa bài toán đại số và giải tích phức tạp về bài toán lượng giác đơn giản hơn và từ đó sử dụng các công thức biến đổi lượng giác quen thuộc để tìm ra lời giải cho bài toán

 Bước 1: Chọn một hoặc nhiều hàm số lượng giác phù hợp để thay biến của

bài toán bằng các giá trị lượng giác đó

Việc chọn biến lượng giác để thay đổi cho biến cũ thông qua các dấu hiệu đặc biệt của các biến trong bài toán và sự nắm bắt các dấu hiệu đó thông qua miền giá trị và hình thức các công thức lượng giác thông dụng

 Bước 2: Sau khi đã chọn được các hàm số lượng giác phù hợp với bài toán

thì ta thay biến cũ bằng hàm số lượng giác vừa chọn được một bài toán mới với ẩn là các hàm số lượng giác Giải bài toán mới bằng cách sử dụng các công thức biến đổi lượng giác đã học

Trước khi thay các hàm số lượng giác vào, chúng ta có thể biến đổi chúng nếu bài toán quá “cồng kềnh”

 Bước 3: Cuối cùng, ta thực hiện bước trả lại biến (với những bài toán giải

phương trình, hệ phương trình) rồi kết luận bài toán

Khi kết luận chúng ta cần lưu ý đề bài hỏi gì để tránh kết luận nhầm hay sai theo bài toán mới khi đã thay các hàm số lượng giác

CHƯƠNG II:

ỨNG DỤNG LƯỢNG GIÁC ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI

TOÁN ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH

1 Ứng dụng lượng giác để chứng minh đẳng thức đại số

Bài 1: Cho ab bc ca, , đều khác  1 Chứng minh rằng:

a b abc b c a c abc a bc ab c b c ab abc abc ac a b c a bc c

a abc a b bc abc ab c a b c abc b c ac bc a b ab a c abc

b c a c ab ac a b bc b c ac bc a b ab a c

0 0

Vậy ta có điều phải chứng minh

* Nhận xét: Với cách 2 ta quy đồng đẳng thức cần chứng minh rồi khử mẫu và chứng

minh về đẳng thức đúng nhưng để chứng minh về đẳng thức đúng ta phải khai triển đa thức ra Cách này khá là dài dòng, mất thời gian Trong khi đó, bài này chứa các biểu

tantantantan tan tan    1 tan tan  tan tan  tan tan  (2)

 Nếu 1 tan tan  tan tan  tan tan  0, ta được:

tan tan tan tan tan tan 1

tan tan tan tan tan tan

Điều này mâu thuẫn

 Nên 1 tan tan  tan tan  tan tan  0, vậy

(theo 2.1 và 2.3)

tan 2 tan 2 tan 2 tan 2 tan 2 tan 2 1

* Nhận xét: Với cách 2 ta bình phương 2 vế của giả thiết rồi rút thế vào vế phải và

chứng minh bằng vế trái nhưng khi bình phương 2 vế của giả thiết rất dễ nhầm lẫn, sai sót và phải thực hiện khá là nhiều bước Trong khi đó, với giả thiết

1

a b c abc    ab bc ca  thì ta nghĩ ngay đến phương pháp lượng giác hóa bằng

cách đặt:

tan tan tan

2 2 2

1 tan tan 1

1 tan tan 1

cos cos cos 1

cos (1 cos )(1 cos ) cos (1 cos )(1 cos ) cos (1 cos )(1 cos )

cos cos cos 1 cos sin sin cos sin sin cos sin sin

cos( ).cos sin( ).sin 1 0

Vậy ta có điều phải chứng minh

Bài 5: Giả sử x x x1, 2, 3 là nghiệm của phương trình 3 2

x ax x b b Chứng minh rằng:

(1) (tan )(tan ) (tan )(tan ) (tan )(tan ) 4

tan 2 tan 2 tan 2 tan 2 tan 2 tan 2

tan 2 tan 2 tan 2 tan 2 tan 2 tan 2

2 Ứng dụng lượng giác để chứng minh bất đẳng thức

Bài 1: Cho a b , 1 Chứng minh rằng: 1 2 1 2 2

sin sin cos cos 0

cos cos sin sincos cos

2 cos coscos cos



 



* Nhận xét: Với cách 2 ta quy đồng khử mẫu bất đẳng thức cần chứng minh rồi

nhóm, phân tích thành nhân tử, sau đó nhận xét chứng minh bất đẳng thức luôn đúng nhưng bước phân tích thành nhân tử rất khó nhìn thấy Nó đòi hỏi người làm phải tinh, nhạy biết cách nhóm, phân tích thành nhân tử sao cho phù hợp Trong khi đó, bài toán

       

       

| sin(  ) || sin(  ) |(vì | cos(  ) | 1,| cos(   ) | 1 )

Do đó, ta có điều phải chứng minh

3 3

| 4[cos (sin ) ] 3(cos sin ) | 2

| 4(cos sin t) 3(cos sin ) | 2

| (4 cos 3cos ) (3sin 4 sin ) | 2

cos

2 sin

cos sin sin cos

1 sin cos sin cos

t t

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi

2 2

t t

      (vì 12 0

cos t  )  4(tan2t  1) 5 12 tant9(tan2t1) (vì [0; )

t t

Vậy ta có điều phải chứng minh

Bài 7: Cho các số dương a, b, c thỏa mãn điều kiện:

1(a 1) (b 1) (c 1) (a 1)(b 1)(c 1)

0 1

a

a a

a a

1 1

1 cos

A B b

B C c

Vậy ta có điều phải chứng minh

Bài 8: Cho x, y thỏa mãn 2 2

(14sin cos 23.sin 25cos ) 24

(14sin cos 24.sin 24 cos sin cos ) 24

tan 2

Vậy ta có điều phải chứng minh

3 x y z 3



3 Ứng dụng lượng giác để giải phương trình

Bài 1: Giải phương trình sau:

4x33x 1x2(1)

Giải:

Cách 1:Phương pháp lượng giác hóa

Điều kiện: | | 1x  Đặt xcos , t t[0; ] (*)

4cos t 3cost 1 cos  t

4cos3t3cost sin2t

cos3tsint (vì t[0; ] nên sint 0)

2

(2t 1)(8t 8t 1) 01

t2

2 2t

4

2 2t

Víi t

12

* Nhận xét: Với cách 2 ta bình phương hai vế để khử dấu căn rồi giải phương trình,

nhưng phải lưu ý có điều kiện VT 0 rồi mới bình phương và sau khi giải phương trình phải kiểm tra lại nghiệm Cách này khá dài dòng, mất thời gian Trong khi đó, bài

bằng cách đặt:xcos , t t[0; ] rồi chuyển về giải phương trình lượng giác dễ dàng hơn nhiều

(nhận) (không thỏa (*))

( thỏa (*))

( thỏa (*)) (không thỏa (*))

(không thỏa (*)) ( thỏa (*))

sin coscos sin

2

2

2 00

2( 1) 0( ) 0

00

22

1 1

2 1

m m

af m

m S

m m

af m m

m m

m m

m m

m m

Vậy m  [ 2;1] thì phương trình (1) có nghiệm

* Nhận xét: Với cách 2 ta bình phương hai vế của phương trình để khử dấu căn rồi áp

dụng định lý đảo về dấu tam thức bậc 2 để tìm m Cách này đòi hỏi người làm phải nhớ chính xác định lý đảo về dấu tam thức bậc 2 để áp dụng và phải làm nhiều bước

1 x nên ta nghĩ ngay đến phương pháp lượng giác hóa bằng cách đặt:

Bài 3: Giải phương trình sau:

1 1 sin t sin (1 2 1 sint   t)

 1 cos2t sin (1 2 cost  2t)

 1 cos t sin (1 2 cos )t  t (vì [ ; ]

2 1 2

t

x x t

Bài 4: Giải phương trình sau:

8 cos cos 2 [8 cos (cos 1) 1] 1

8 cos cos 2 ( 2 sin 2 1) 1

8 cos cos 2 cos 4 18sin cos cos 2 cos 4 sin

4 sin 2 cos 2 cos 4 sin

2 sin 4 cos 4 sinsin 8 sin

Bài 5: Giải phương trình sau:

2

2 2 1

x x x

1cos

t t

2 2cos cos tan

1 1

2 2cos sin

sin cos 2 2 sin cos (2)

1 2 2 2 12

x

2

1 2 2 2 1sin t

(loại) (nhận)

2 2

k t

t k k

t k t

sin cos 2 2 sin cos (2)

4 Ứng dụng lượng giác để giải hệ phương trình

Bài 1: Giải các hệ phương trình sau:

2 3

2 3

x4sin 4 (4 4sin 4 )2 t  2 t 4sin 82 t (2)

Từ (1) và (2) suy ra 4sin 82 t4sin2t

sin 8 sincos16 cos 2

y x

y z y

z x z

xy y z y z x z

1 tan

tan tan 2

2 tan wtan

1 tan w

u v

u v v

v v

u w u

(II)

3 2 3 2 3 2

z

x x y

x

y y z

3 2

26 9 tan 26

k

k z

B

C z



(2) tan tan tan tan tan tan 1

1 cos 5 1tan

5 Ứng dụng lượng giác để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất

Bài 1: Cho các số x y u v, , , thỏa mãn hệ thức:

Ta có: x v  psinqcos  psinqcos

Áp dụng BĐT Bunhiacopxki cho 2 bộ số ( , )p q và (sin , cos )  ta có:

2 2 2

p q p

x

p q q v

2 2

2 2 2

2 2 2

p q p

x

p q q v

2 2

p x

p q q v

2 2

p x

p q q v

nhỏ nhất của biểu thức lượng giác sẽ dễ dàng hơn nhiều

Bài 2: Tìm a b, để hàm số

2 1

ax b y

2 2

0

b a b x

a y

b a b x

4 2

3 2

* Nhận xét: Với cách 2 ta khảo sát hàm số y sau đó dựa vào bảng biến thiên để kết

luận giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất từ đó tìm được a b, nhưng cách này khá là nhiều bước tính toán, dài dòng, mất thời gian Trong khi đó, bài toán chứa biểu thức dạng

lượng giác từ đó tìm a b, sẽ dễ dàng hơn nhiều

Bài 3: Cho x, y thay đổi, thỏa 2 2 2 2 2

b a b a