Van de 2 mot so phuong trinh luong giac thuong gap

MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP Dạng 1.. Phương trình đa thức đối với một hàm số lượng giác Phương pháp:  Dạng phương trình: Phương trình bậc hai đối với một hàm lượng

VẤN ĐỀ 2 MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP Dạng 1 Phương trình đa thức đối với một hàm số lượng giác

Phương pháp:

 Dạng phương trình:

Phương trình bậc hai đối với một hàm lượng giác: asin2 x b sinx c 0 1  (Tương tự, khi ta thay sin x bởi các hàm lượng giác khác cos , tan , cotx x x )

Phương trình bậc 3 đối với một hàm lượng giác: 3 2  

(Tương tự, ta thay sin x bởi các hàm lượng giác khác cos , tan , cotx x x )

Để giải phương trình  1 hay  1' ta có thể đặt ẩn phụ là hàm lượng giác, chẳng hạn

t x  t (nếu không có điều kiện gì của x ) rồi giải phương trình đại số (bậc

hai, bậc ba) đối với ẩn t Cuối cùng ta giải các phương trình lượng giác cơ bản

 Một số chú ý:

+ Nếu đặt tsin ,x tcosx và x không có điều kiện ràng buộc nào thì t   1;1 ; nếu đặt tan , cot

t x t x và x cũng không có điều kiện ràng buộc nào khác ngoài điều kiện làm

cho các hàm tan , cotx x có nghĩa thì t  

Trong trường hợp x có ràng buộc nào khác thì chúng ta phải căn cứ vào điều kiện đó để

suy ra khoảng xác định của ẩn mới

+ Nếu trong phương trình đã cho chỉ chứa sin x và cos 2x thì ta sử dụng công thức

2 cos 2x 1 2sin x và đặt t sinx t   1;1  

+ Nếu trong phương trình đã cho chỉ chứa cos , cos 2x x thì ta sử dụng công thức

2 cos 2x2 cos x và đặt 1 tcosx t   1;1  

+ Đôi khi ta cũng hay sử dụng các công thức nhân 3: sin 3x3sinx4 sin3x hoặc

3 cos3x4 cos x3cos x

1 Giải các phương trình lượng giác sau:

a) 2cos2x3cosx 1 0. Đáp số: 2 , 2

3

b) cos2xsinx 1 0 Đáp số: 2

2



  

c) cos 3x4 cos 2x3 cosx40 với 0x14 Đáp số: , 3 , 5 , 7

x    

d) 3 tanx 3 cotx 3 30. Đáp số: ;

2 Giải các phương trình lượng giác sau:

a) 2 cos23 1 3cos4

b) 2 cos26 1 3cos8

c) 2sin3x2 cos 2xsinx0. Đáp số: 2 , 2 , 5 2 ,

3

3 (TSĐH A 2003) Tìm nghiệm thuộc khoảng 0; 2 của phương trình: 

sin 3 cos 3

1 2sin 2

x





Đáp số: , 5

4 Cho phương trình:

2

2

cos

x

x

  Phương trình có bao nhiêu nghiệm

trên đoạn 0;10 Đáp số:  ,5 ,7 , ,3

 

5 Tìm m để phương trình: cos2 xcosx 1 m có nghiệm 0 0,

2

  Đáp số:

3

1

4m

6 Cho phương trình: cos 2x2m1 cos x m  1 0 Tìm m để phương trình có nghiệm

3

2 2

  Đáp số:  1 m0.

7 Tìm m để phương trình: 2(sin4 xcos ) cos 4 + 2sin2x  x x m = 0 có ít nhất một nghiệm

0,

2

Đáp số: 2 10

3

m

8 Giải và biện luận theo tham số m số nghiệm của phương trình:

1 sin x 1 sin x m.cos x Đáp số: m  3 PT vô nghiệm Với m  3 PT có

nghiệm

2

2

2

m

Dạng 2 Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx

Phương pháp:

 Dạng phương trình: asinx b cosxc  2 trong đó a b không đồng thời bằng 0 ,

Chú ý: Dạng tổng quát của phương trình là: Asin f x Bcos f x C Ở đây f x  thường là hàm bậc nhất của x Khi đó cách giải hoàn toàn tương tự như trình bày dưới

đây

 Cách giải:

+ Cách 1: Chia cả hai vế của phương trình cho a2b2 ta được phương trình tương đương:

2a 2 sinx 2b 2 cosx 2c 2

để

2 2

 



và

2 2

 



Khi đó phương trình  2 trở thành:

2 2

sin cosx cos cosx c



2 2





Đây là phương trình cơ bản ta đã biết cách giải

+ Cách 2:

Bước 1: Xét xem xk2 có thỏa mãn  2 hay không Nếu  2 được thỏa mãn thì ta kết luận xk2 là một họ nghiệm của phương trình và chuyển qua bước 2

Bước 2: Xét xk2 khi đó đặt tan

2

x

t  khi đó

2



vào  2 ta được phương trình bậc hai của t Giải ra ta được tt0, cuối cùng giải phương trình cơ bản tan 0

2

x t

 ta được nghiệm của  2

 Chú ý:

Từ đẳng thức  * ta suy ra điều kiện để  2 có nghiệm là: 2 2 2

2c 2 1 a b c



Các em cũng có thể suy ra điều kiện này từ đánh giá dựa vào bất đẳng thức Bunhiacopski:

c  a x b x  a b x x c a b

9 Giải các phương trình:

a) 3sinx 3 cosx1.Đáp số: arcsin 3 2 ; 5 arcsin 3 2

b) 5 cos 2x12 sin 2x13. Đáp số:

2



  với sin 12, cos 5

c) 5 sinx2 cosx4. Đáp số:

d) 3 sin 3xcos 3x1. Đáp số: 2 , 2

e) 3 cos 4xsin 4x2 cos 3x0. Đáp số: 2 ; 2

k



f) sin4 cos4 1

  Đáp số: x k ,x 4 k .



10 Giải phương trình 4sin cosx x 13 sin 4x3cos 2 x



      trong đó: 0; : sin 3 ; cos 2

11 Tìm các nghiệm 2 6

  của phương trình cos 7x 3 sin 7x  2

Đáp số: 5 ,43 ,59

12 84 84

12 Tìm a để phương trình: 2sin cos 1

sin 2cos 3

a



13 Tìm m để phương trình: sin2x(2m2) sin cosx x(m1) cos2xm có nghiệm Đáp số:

Dạng 3 Phương trình đẳng cấp bậc hai đối với sin x và cos x

Phương pháp:

 Dạng phương trình: asin2 x b sin cosx x c cos2 xd 0 3  

 Cách giải:

Cách 1:

Bước 1: Xét xem

2



  có thỏa mãn  3 hay không Nếu  3 được thỏa mãn thì ta

kết luận phương trình nhận

2



  là một họ nghiệm

Bước 2: Xét

2



  , khi đó chia cả 2 vế của phương trình cho cos2x  ta được 0

phương trình bậc hai của tan x mà ta đã biết cách giải Chú ý rằng  2 

cos

d

Cách 2: Sử dụng các công thức hạ bậc sin2 1 cos 2 ; cos2 1 cos 2

về dạng phương trình bậc nhất đối với sin 2x và cos 2x mà ta đã biết cách giải

 Chú ý:

+ Trong cách 1, không nhất thiết lúc nào ta cũng chia 2 vế của phương trình cho cos x mà 2

ta cũng có thể chia 2 vế cho sin2x tất nhiên trước đó phải xét xem , xk  có thỏa mãn

 3 hay không Khi đó ta sẽ được phương trình bậc hai của cot x

+ Phương trình đẳng cấp bậc ba đối với sin xvà cos x hay tổng quát hơn là phương trình

đẳng cấp bậc n đối với sin x và cos x được định nghĩa và có cách giải hoàn toàn tương tự

như đã trình bày ở trên

Chẳng hạn, phương trình đẳng cấp 3 đối với sin x và cos x là phương trình có dạng:

a x b x x c x x d x e 

14 Giải các phương trình lượng giác:

a) 2sin2xsin cosx xcos2x2

b) 3sin2 x8sin cosx x(8 39) cos2x0

c) sin2 sin 2 2 cos2 1

2

d) 2sin2 x(3 3) sin cosx x( 3 1) cos 2x 1

Dạng 4 Phương trình đối xứng đối với sinx và cosx

Dạng phương trình:

sin cos  sin cos 0 4 

asinxcosxbsin cosx x c 0 4 '  

Cách giải:

 Đối với phương trình  4 : Ta đặt tsinxcosx khi đó 2 sin ,

4

  đo đó nếu x không có điều kiện gì đặc biệt thì t  2; 2 

Ngoài ra:

2

1 2sin cos sin cos

2

t

t   x x x x  thay vào  4 ta được phương trình bậc hai của t Giải phương trình này và chọn nghiệm t0  2; 2 

  Cuối cùng ta giải phương trình cơ bản sin 0

t

x 

 Đối với phương trình  4 ' Ta đặt tsinxcosx khi đó 2 sin ,

4

  đo đó nếu x không có điều kiện gì đặc biệt thì t  2; 2 

Ngoài ra:

2

1 2 sin cos sin cos

2

t

t   x x x x  thay vào  4 ' ta được phương trình bậc hai của t Giải phương trình này và chọn nghiệm t0  2; 2  Cuối cùng ta giải

phương trình cơ bản sin 0

t

x 

15 Giải các phương trình lượng giác:

a) 2 sin xcosx6 sin cosx x 2 0

b) sinxcosx4 sin cosx x 1 0

c) 3(sinxcos ) 2sin 2x  x 3 0

d) sin 2x12(sinxcos ) 12x  0

16 Giải các phương trình lượng giác:

1 sin x cosx 1 cos x sinx 1 sin 2 x

b) 1 sin 2 3 xcos 23 x3sin 2 cos 2 x x Đáp số: ,

c) sinxcosx7 sin 2x1

7

 

4

  Đáp số: x k2 ,x 2 k2 ,x 4 k2

17 Giải các phương trình lượng giác:

a) sin3xcos3x1

b) sin xcosx 4sin2x1 Đáp số:

2

x k 



18 Cho phương trình: msinxcosxsin 2x0 Tìm m để phương trình có nghiệm

19 Tìm m để phương trình: sin 2xsin 3 xmsinx có nghiệm xk 

20 Tìm m để phương trình: sin 2x4 cos xsinxm có nghiệm

Đáp số: 4 2 1 m4 2 1.