PTLG PT doi xung va nua doi xung doi voi sin va cos

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC PHẦN 2 Phương trình đối xứng đối với sinx và cosx Phương trình đối xứng với sinx và cosx là phương trình có dạng: asinxcosxbsin cosx x c 0.. Chú ý: Với phư

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC (PHẦN 2)

Phương trình đối xứng đối với sinx và cosx

Phương trình đối xứng với sinx và cosx là phương trình có dạng: asinxcosxbsin cosx x c 0

Cách giải:

Đặt tsinxcos x Vì sin cos 2 sin 2 2

4

Ta có:

2

2

t

t   x x x x  Ta đưa về phương trình bậc 2 của t : 2

bt  at c b  Giải phương trình này, chọn nghiệm thích hợp sau đó đưa về việc giải phương trình lượng giác cơ bản

Chú ý: Với phương trình asinxcosxbsin cosx x c  (Người ta còn gọi là phương trình nửa đối 0 xứng) ta cũng có cách giải hoàn toàn tương tự

Ví dụ 1: Giải phương trình sinxcos3xsin2x0

Giải: Phương trình tương đương:    2 

sinx 1 sin x cosx 1 sin x 0

1 sin sin cos sin cos  0 sin 1

sin cos sin cos 0

x

 





2



sinx cosx sin cosx x 0

4

Phương trình trở thành:

2

2 1

2

t

t   t  t    t ( Loại nghiệm 1 2)

Đáp số:

x  k   x     k   x     k 

Ví dụ 2: Giải phương trình 1 sin3 cos3 3sin 2

2

Giải: Phương trình tương đương:  1 sinxcosx1 sin cos x x3sin cos x x

4

2

1 2sin cos

t   x x suy ra 2

1

2

t

x x  Phương trình trở thành:

t

t





  



( vì t  2 )

2

2













3 2

3 2















Đáp số:

xk  x k  x    k  x     k 

Ví dụ 3: Giải phương trình 2 sinxcotx2 sin 2x1

Giải:

Điều kiện: sinx0 xm ,m  Phương trình tương đương:

cos 4 sin 1 cos

x



2sin 1 1 2 sin cos cos 0 2 sin 1

sin cos 2 sin cos 0 sin

x

x

x







2

5

2 6



















sinx cosx 2sin cosx x 0 :

4

t   t  t    t 

x k  x  k  x    k 

x     k 

Ví dụ 4: Giải phương trình cos 2x 5 2 2 cos  xsinxcosx

cos xsin x 5 2 cos x cosxsinx

sinx cosx4 2 cosx sinx cosx 5 0 sinx cosxsinx cosx 4 5 0

4

5

t

t





 



2

2

2

k











 





2

Ví dụ 5: Cho phương trình msinxcosx1 1 sin 2 x Tìm m để phương trình có nghiệm thuộc đoạn

0;

2



 

4

t mt Dễ thấy t  1 không thể là

nghiệm nên phương trình tương đương với  

2 1

t m t

 Bài toán quy về tìm m để PT   có nghiệm 1; 2 ,

t  đặt  

2

1

t

f t t



 thì yêu cầu bài toán được thỏa mãn khi và chỉ khi    

1; 2 1; 2

max

2

2

2

1

t



1

minf t f f t f

1

2 2 2

2m 

Ví dụ 6: Cho phương trình cos3xsin3xm

a) Giải phương trình khi m 1

b) Tìm m để phương trình có đúng 2 nghiệm trong đoạn ;

4 4

 



cos xsin xm sinxcosx 1 sin cos x x m0

Đặt tsinxcos x Ta có: 2 sin 2; 2

4

2

2

t

t   x x x x  Phương trình trở thành

2

1

2

t

t   m  t t m t  t m

t

t



 

 2

2















          

Do hàm sin đơng điệu trên ;0

2





nên với mỗi 2; 0

t   sẽ có duy nhất một nghiệm x từ phương trình sin ,

t

do vậy yêu cầu bài toán được thỏa mãn nếu phương trình 3

t  t m có đúng 2 nghiệm trên đoạn  2; 0 

t  t m  m f t t  t  Có:   2

f t  t 

t  2  1 0 '

f  0 

f

2 2

0

Từ BBT suy ra điều kiện để phương trình   có 2 nghiệm trên đoạn  2; 0 là

2

2

BÀI TẬP TƯƠNG TỰ

1 Giải phương trình

a) 2 sin xcosxtanxcot x Đáp số: 2

4



b) 3 cot xcosx5 tan xsinx2. Đáp số: 2 ; 3 2

      với tan 3

5

 

2 Giải phương trình

2

3 1 sin

4 2 cos

x



3

2 4

2

b) tan2x1 sin 3xcos3x 1 0. Đáp số: 2 ; ; 2

2 1

2

3 Cho phương trình cos3xsin3xmsin cos x x

Giải phương trình khi m  2. Đáp số: 2 ; 2

2

  

b) Tìm m để phương trình có nghiệm Đáp số: m

4 Cho phương trình sin cos  1 1 tan cot 1 1 0

a) Giải phương trình khi 1

2

4



  

b) Tìm m để phương trình có nghiệm trên 0;

2



  Đáp số: m   2 1.

cos 2 2 sin cos 3sin 2

a) Giải phương trình f x  khi   0 m  3.Đáp số: 2 , 2 , 3

b) Tính theo m giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của f x Tìm   m sao cho f x 2 36,    Đáp x

số: max f x m3; min f x m 3 4 2; 4 2 3 m3

2 cos 2xsin xcosxsin cosx xm sinxcosx a) Giải phương trình khi m 2.Đáp số: 2 , 2 ,

b) Tìm m để phương trình có ít nhất 1 nghiệm trên đoạn 0;

2



  Đáp số:  2 m2.

7 Giải các phương trình :

a) 3tan2x4 tanx4 cotx3cot2 x 2 0. Đáp số:

4



  

b) tanxtan2xtan3xcotxcot2xcot3x6. Đáp số:

4



c) 22 2 tan2 5 tan 5 cot 4 0

sin x x x x  Đáp số: x 4 k .





  

2

1

cos x x m x x  

a) Giải phương trình khi 5

2

4



  

b) Tìm m để phương trình có nghiệm Đáp số: 5

2

m   hoặc 5

2

m 