Chứng minh rằng với mọi m hàm số luôn đạt cực đại và cực tiểu.. Viết phương trình của đường thẳng đi qua điểm cực đại và cực tiểu của đồ thi C,,.. Tính t ủa khối tròn xoay, khi cho hình
Trang 1DE 10 Câu 1 Cho ham sé y = f(x) = x" - 3mxŸ + 3(m — 2)x, gọi đỗ thị của hàm số là (C„)
1 Chứng minh rằng với mọi m hàm số luôn đạt cực đại và cực tiểu
2 Viết phương trình của đường thẳng đi qua điểm cực đại và cực tiểu của đồ
thi (C,,)
> ˆ = a’ tm ~ kh nw’ os - 1
3 Khảo sát sự biến thiên và vẽ dé thị của hàm số ứng với m = 3:
1 Giải phương trình sin?x + sin2x - 2cos”x =
Câu 3
fuln’ cs +1)dy
1 Tính
t ủa khối tròn xoay, khi cho hình phẳng giới hạn bởi các đường sau quay xung quanh trục hoành:
y=sinx,y=0,x=0,x=n
49
Trang 2Câu 4
1 Cho x, y là hai số bất kì Tìm giá trị nhỏ nhất, của biểu thức:
¬" re rằhr
2 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, hãy viết phương trình của mặt cầu
tiếp xúc với mặt phẳng (Oxy) tại điểm A(2; 4; 0) và đi qua điểm B(3; 6; 1)
Câu 5ð
—=2x+l
1 Giải bất phương trình 2 - <0),
x
2 Cho khối chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a và các cạnh bên cùng hợp với mặt phẳng đáy một gác 609
a) Tính điện tích của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC
b) Một mặt phẳng (P) qua BC và vuông góc với cạnh S$A chia khối chóp đã cho thành hai phần Tính thể tích của hai phần đó
Giải
Câu 1
1 Xét hàm số y = x’ — 3mx” + 3(m ~ 2)x
Tập xác định: Ø@ = *
Dao ham y’ = f(x) = 3(x”- 2mx + m — 2)
y= Oe x! ~ 2mx + m- 2= OM
Suy ra Vị =ÑXg) = (-2m” + 2m ~ 4)x, + m(m - 2) (1)
yo = fixe.) = (—2m” + 2m -— 4)x, + m(m — 2) (2)
Từ (1) và (2) ta kết luận: phương trình của đường thẳng đi qua điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị hàm số đã cho là
ÿ =(-2m” + 2m - 4)x + mím - 2),
3 Khim = 3 phương trình của hàm số trở thành y = x" — x* ~ 5x
(doc ela tue aan,
Cau 2,
_ 1
1 Xét phuong trinh sin*x + sin2x — 2cos”x = — (1)
(1) © 2sinx + 4sinxeosx — 4cos*x = cos*x + sin?x
€> sin’x + 4sinxcosx — 5cos°’x = Ö
50
Trang 3Nếu cosx = 0 thi sinx = 0, vé Li Do đó cosx # 0
Chia hai vế của phương trình cho cos”x, ta được phương trình:
tanÏx + 4tanx - 5 = 0, Giải được tanx =1 hoặc tanx = -5
Vậy phương trình có hai họ nghiệm:
x= | + kx va x = arctan(—5) + kr (k e€ Z)
x°+x+a-0
2
2 Xét hé phuong trinh
x t+ax+1=0
Gia sử hệ phương trình có nghiệm là xụ, khi đó ta có hệ phương trình:
X2 +Xe+a=0 (1)
xạ +8X,+l =0 (2)
Lấy (1) trừ (2) ta được: (1 —- a)xạ = 1-— a(*)
+ Nếu a = 1 thì phương trình (*) có võ số nghiệm, trong trường hợp này hai phương trình thu lại một phương trình là xŸ + x + 1 = 0, nhưng
phương trình này vô nghiệm
+ Nếu a z 1 thì phương trình (*) có một nghiệm xa= 1 :
Thế xạ; = 1 vào hệ phương trình đã cho ta được a + 2 =:Ö
Kết luận: Nếu a = ~2 thì hệ phương trình đã: mn
Cau 3 ị
1L Tính na + Idx
Tinh fin?t
= In’t, dv = dt Ta được du = 2 at, v=
2 9 2 2
(In* tat = tln’t | — 2 fintdt = 2ln?2 - 2 fintdt
1 1 1 1
Dat s = Int, dr = dt ta được ds = cắt và r =†
2 ạ 2
fin? tat = 2In?2 - 2 ing — jr = 2In?2 — 2(2in2 - 1)
1 ]
1
Vậy fain? (x? +1)dx = In?2 - 2ln2 + 1 = (In2— 1)
lÙ
2 Ta có:
Vein kem? x)dx = m in! xdx = — fs ~ 4cos2x + cos4x)dx
0 0 8 6
31
Trang 4V= (ay - 2sin2x + sintx) Bn
\ 4 Ấn — (dvtt)
3 v
Cau 4
1 Vidt A duéi dang A= fx? +(y- 2)? +1 4+ int De ty? +2
Trong không gian Oxyz, xét các veetơ: ủ = (x; y - 2; 1), ¥ = (—-x - 1; -y; 1)
Tacé: u + V¥ =(-l;-2; 2)
Suyra: A= lũl+ lý| và lũ+vị|=3
Mặt khác với vectơ ú, v ta luôn có |ú| + lử|z> lñ+vÌ=<a
Do đó: A > 3 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ủ, ý cùng hướng, tức là:
x
X y-2 1 TT x=}
-x-l -y 1 y-2_, y=1
¬y
Vay minA = 8, xây ra khi x= ~ 2 và y = 1
I(2; 4; c}
e Vi (S) di qua điểm B(3; 6; 1) nén.tacd:
IA =IB= Reo IA‘ = IB oe = (3 - 2)?
Suy ra 1(2; 4; 3) va R= 3 Vậy phương
: : 4//+(1-ecesc=3
ình của mặt cầu (8S) là:
Cau 5
Xệ 1 <0 khi x < 0
2'* _9x41<0 khi x >0
2'*-9x+1>0 khi x<0
2'* <9x-1 khi x >0 2'*>2x-1I khi x<0
Gọi (C): y = 2`" và A:y = 2x — 1
Dễ thấy điểm A(1; 1) là một giao điểm của (C) và A
Mặt khác trên %, hàm số y = 2`" là hàm số nghịch biến và y = 2x — 1 là hàm số đồng biến, nên A(1; 1) là giao điểm duy nhất của (C) và A
Dựa vào đồ thị ta có kết quả sau:
2* <2x-1
e®
x>Ũ
{&x>Í
52
Trang 5l2) *>9x-1
®
X<Ô c>w<0
Vậy tập nghiệm của bất phương trình: S = (~<; 0) U [1, +0)
2 n) Kẻ đường cao SH của hình chóp, thì H là tâm của AABG
Do đó SH là trục của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
Từ giả thiết suy ra SAH = 60°
Goi J la trung diém cia BC va J 1a trung điểm của SA Dựng mặt phẳng
trung truc cha SA tai J cdt SH tai O, diém O là tâm của mặt cầu ngoai tiép hinh chép S.ABC
Tứ giác AHQW nội tiếp trong đường tròn, nên ta có: 8
SJSA — SA’ : SO.SH = SJ.SA => SO = “SH “ 35H
Tam giác SHA là nửa tam giác đều
2avA
3
nén SA = 2AH = va SH = a
Suy ra bán kính của mặt cầu ngoại wis versed s¢ tiép S.ABC la: wood
ty ADAI la ntfa tam gide déu, suy ra AD = tại = ¬
Suy ra SD z SA ~- AD - Says , 8D -°
12 * SA 8
Ta cớ: Vsope - Sb _5
Vy ABC SA 8
2
Ma Ve ance = ặ Sanc.SH, trong d6 Sage = a 3 va SH = a
1 a’ J3 ab /3
Do TỢU SABES d6 Vsanc = — BBS acs TD
5 a'V3 5,/3a8 a"/3
Vậy: Vsgppnec = — Ay $ PBC 8 T13 = 96 Suy ra V Y ra Vp asc ¬= 39
53