Xác định các giá trị của m để hàm số eó hai cực trị.. Cho khối lăng trụ ABC.. Mét mat phAng di qua A’B’ vA qua trung điểm I cha cạnh AC chia khối lăng trụ thành hai phần.. Tính tỉ số thể
Trang 1ĐỀ 9 Câu 1 Cho hàm số y = ftx) = x” - 3mx? + 3(m + 1)x — 2, gọi đổ thị của hàm số
là (Cm)
1 Xác định các giá trị của m để hàm số eó hai cực trị
2 Khảo sát sự biến thiên và vẽ để thị (C;) của hàm số ứng với m = 2
3 Dựa vào đồ thị (C;) hãy xác định các giá trị của k để phương trình sau có
6 nghiệm phân biệt |xÌ2 - 6x? + 9/xl +k =0
Câu 2
1 Xác định các giá trị của m để hai phương trình sau đây tương đương với nhau:
4cos*x — (2m + 3)cos2x + 2(3m + 1)eosx - 4m-3=0 (1)
x+y? -x+y=2
2 Giải hệ phương trình
Câu 3,
1
sinx — V3cosx
Tinh dién tich hinh phang giới hạn bởi (và hai vỉ tiếp tuyến của (C) tại À
Câu 4 Trong không gian Oxyz
C(0; 0; 1) |
ni
1 Chitng minh bat dang thức 2< vlog;3 + Jlog,2 <
2 Cho khối lăng trụ ABC ABC’ Mét mat phAng di qua A’B’ vA qua trung điểm I cha cạnh AC chia khối lăng trụ thành hai phần Tính tỉ số thể tích của hai phần đó
Gidi
Câu 1
1 Xét hàm số y = x® — 3mx? + 3(m + 1)x — 2
Tập xác định: Ø = R
Đạo hàm y' = 3x” - 6mx + 3(m + 1) = 3(x? - 2mx + m + 1)
Biệt thie A’ = m? — m — 1,
44
Trang 2Điều kiện để hàm số có hai cực trị là phương trình y = 0 có hai nghiệm phân biệt và y' đôi dấu khi x di qua hai nghiệm đó, tức là
A >0«<»>mÌ-m-—-l1>0cm< 1: v5 hoặc m> .`
Khi m = 2 phương trình của hàm số trở thành y = f(x) = x” — 6x” + 9x - 2
(đọc giả tự khao sát)
Đề thị của hàm số có dạng như hình 1
y 4
(Hình 1)
3 Xét phương trình |x|° - 6x? + 9ÌxÌ+k=0
Ta có (1) © Ìx|”— 6x“+ 9|xÌ - 2= =k— 2
Phương trình (2) là phương trình hoành độ gì
g(x) = lx}*- 6x? +9|x!|-2 (Dy va ye
Nhận thay ring g(x) la một hàm )
có 6 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi:
—2<-k-2<20-4<k<0O,
Câu 2
1 Ta có:
(2) c> 2eos”x — 3cosx + 1 = 0 cosx = 1 hoặc cosx = I
(1) <> 4cos’x — (2m + 3)cos*x + (3m + 1)eosx ~ m = Ö
Dat t = cosx (-1 <t < 1), ta được phương trình
4t* — (2m + 3)t* + (8m + 1)† - m = 0
«© (2t — LẠt —- l){t - m) = (3)
Phuong trình trên có ba nghiệm tị = 1, tạ = 3° tz = m
45
Trang 3Như vậy hai phương trình (1) và (2) tương đương với nhau khi và chỉ khi phương trình (3) có đúng hai nghiém t = 1 vat = 5:
Có các trường hợp xảy ra như sau:
+t; = tị <m = Ì
1
+ tạ < ~l hoặc tạ > l1 mm < —1 hoặc m » 1
Tóm lại, nếu m œ (—œ, —l) (Q2 (1; +œ) (2 i 3 thi hai phuong trinh (1) va
(2) tương đương với nhau
2 2 _
2 Xét hé phuong trinh [* *Y ~**+¥= 2
xy +x-y=-l1 (2) Đây là hệ chưa đối xứng, để được hệ đối xứng ta đặt t = —x và được hệ sau:
t+y +t+y=2
ty+t+y =1
Tiếp tục đặt: S = t + y và P - ty, hệ trở thành
Khử P ta được phương tr trình:
Tóm lại: Hệ phương trình có hai nghiệm x=0,y=1hodcx=-1,y=0 Cau 3
1 Ta có dx = — F——xdx
sinx — /3cosx 2 sin{ x 2
6
Dat t= tan(% - =) = dt = i 1+ tan'{*- dx => dx = adt
dx = — dt- tmit)+c-= ¬^Ìn an| * - +€ sinx ~ /3cosx 2 fF 2 2 2 12
sinx — V3cosx
46
Trang 42 (C): y = —x* + 3x’, suy ra A(3; 0), B(1; 2)
y’ = 3(2x — x’) > y(3) = -9, y(1) =
Phương trình tiép tuyén cda (C) tai A(3; 0): 6 [one ]
y = -9(x — 3) © y = -0Xx + 27
4
Phương trình tiếp tuyển của ()tạiB(1,2): — — YYY”
Tọa độ giao điểm của hai tiếp tuyến là 2 (B tị
nghiệm của hệ phương trình: AAP YA
y=-9x+27 |x=2 3
=3x-1 = 3
y = Ox y = 6
Hai tiếp tuyến của (C) tại A và B cắt nhau tại điểm I( ặ ; 6)
Dựa vào đổ thị, điện tích của hình phẳng là:
7
3 a
= (x - 1)- Cx? + 3x7))dx + (-9x + 27) - (-x? + 3x?))dx
eS C can tai A Goi D là trung diém = 2
của BC thi AD là đường cao và cũng là phán
giác trong của góc Á trong AABC
* Chu vi của AABC: 2p = 8
* 'Ta có D(1; 0; 1), suy ra AD = 22 Diện tích AABC
2 Trong AABC vẽ phân giác trong của góc B cắt AD tại L, điểm I là tâm
đường tròn nội tiếp của AABC
Trong AABD với phân giác trong BI tacé IA = - = ID =-3ID
Như thế I là điểm chia đoạn thẳng AD theo tỉ số k = —3 Ta được:
47
Trang 51+3.1
m= 1+8 z, =1
¬ ¬ˆ
Vậy đường tròn nội tiếp AARC có tâm là i(k > 5) va ban kinh la
r=ID= v2
2 Cau 5
1 Chứng mình bất đẳng thức 2 < Jlog,3 + Jlog,2 < 3v2
Ta có 1< HC <2= 1< jlog,3 < °
Và loga2 = ——— log,,2
Nhu vay log,3 + log,2 = Jlog,3 +
sổ
r= 1-3
2 =f1<fx)<Ñ 23) co2<x+ 1 < 2>
x
Cho x= Jlog,3 ta được: 2 < Jlog,3 + Jon * >
OB,
Hay 2< /log,3 + flog,2 < 2 (dpem) -
2 Goi S, h, V là diện tich day, chiéu cao, thể tích của khối lăng trụ ABC ABC
Mặt phẳng (A'B]) song song với AB nên cắt mặt phẳng (ABC) theo giao
tuyến 1J / AB (J là trung điểm của BC)
Ta gọi Vị là thể tích khối chóp cụt ABC”.IJC va Vy Ja thé tich cha phan còn lại
Ba đường thẳng CC”, IA’, JB' đồng quy tại điểm K
Trong mp(ACCˆA'):
48
Trang 6IC AC ' => Ke _ We i} = C la trung diém cua KC’
KC’ AC 2
Suy ra d(K,(A’B’C’)) = 2h
Hai tam gidc ClJ va CAB déng dang, ti sé
K
déng dang k = :
Do 46 Sew = 4 SARC = 4
Ta c6: V, = Veane ~ Vue ee GO fessseefrenssetansanes B
1
= 3 Sac 2h :
HHAn HP HN HHỤ NHÀ 44t Ä#ve ve Lan nàn nh BS