Chứng minh rằng trong tất.. Hai mặt bên SAB và SAD vuông góc với đáy, mặt phẳng SBD tạo với mặt phẳng chứa đáy một góc 45”.. a Tính góc giữa mặt phẳng SCD và mặt phẳng ABCD.. phẳng SBD',
Trang 1ĐỀ 8 Câu 1 Cho hàm số y = fx) = ax’ + bx + ex + d(a # 0), gọi đồ thị của hàm số là (C)
1 Khao sát sự biến thiền và vẽ đồ thị của hàm số ứng với a = —2, b = 3,
c=0Q,đ=-]
2 Gọi I là điểm thuộc (C) có hoành độ là nghiệm của phương trình Fx) = 0
Chứng minh rằng trong tất cả các tiếp tuyến của (C) thì tiếp tuyến tai điểm [ có hệ số góc nhỏ nhất khi a > 0 và có hệ số góc lớn nhất khi a < 0
Câu 2
1 Giải phương trình sin2x - 2cos*x = V2 sinx — 1
2 Giải và biện luận hệ phương trình:
x+my =l1 _ —3my = 2m+3
Cau 3
1 Tinh fOSX—SIDX gy
cos2x
2 Tính điện tích của hình phẳng ae
parabol (P): y = oe
Câu 4 Trong không gia
1 Chứng minh rang Inx > a(x =D
X +
2 Cho khối chóp S.ARCD cá đáy ABCD là nửa lục giác đều với AB = CD =
CD = a va AD = 2a Hai mặt bên SAB và SAD vuông góc với đáy, mặt
phẳng (SBD) tạo với mặt phẳng chứa đáy một góc 45”
a) Tính góc giữa mặt phẳng (SCD) và mặt phẳng (ABCD))
b) Tính khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SBD'),
› Gọi M là trung điểm của cạnh SB, mặt phẳng (ADM') cắt SC tại N Tính thể tích khối chóp S.AMND
Với mọi x > 1
Gidi
Cau 1
1 Khia = —2, b = 3, c = 0, d = —1 ta duae ham sé y = —2x" + 3x?- 1
(foe via tu ahaa,
Trang 22 Ta có f(x) = 3ax? + 2bx + c, f G0 = 6ax + 2b
f(x) = 0 © 6ay + 2b =0 c>x = —-C,
3a Suy ra I(x); y;) vdi x; = 5 VA yy) = {|
Nếu gọi k là hệ số góc tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm bất kì M(x; fx))
thi k = f(x)
Vì hàm sé k = f(x) = 3ax? + 2bx + ce là một hàm số bậc hai nên:
* Néu a > 0:
_+
3a
b ìn(k) = P| ——
min(k) [-
a
* Néu a < 0:
Cau 2
1 Xét phương trinh sin2x — 2cos*x = V2 sinx ~ 1 (1)
(1) © sin2x - 2 aoe - /2sinx—1
<> sin2x —- cos2x = 2 sìnx
= B sin (2x7) = J2 sinx
4 12 3
39
Trang 3=1
2 Xét hệ phương trình: J”” ®ở
mx — 3my = 2m+3
Tính các định thức:
DU aạ| — “mẺ— âm = =môm +
2m+3 -3
1
2m + Biện luận:
e Nếu m # 0 và m z -3 thì D = 0: hệ phương trình có một nghiệm
_ -m(m+3) `” ¬—mm+3) m
e Nếu m = 0 thì D, = 3 z0: Hệ phương trình vô nghiệm
e Nếu m = -3 thì D, = 0 và D, = 0: Hệ thu lại x- 3y =1
Hệ phương trình có vô số nghiệm: y = yo, x = đyo: Ới vọ c`
Câu 3
OSXY - SIñX cosx — siInx
1, ese = sine gy
cos2x
1
eos?x - sinÊx
Mã [—Ì_ day
SInX + COSX aS
Dat t =-tan |,
dx = — dt =In|t! +C = -—ìn nà va] 9c
Fe i J2 te 2 8
osx — SInX 1 xX on
ay cay ` V tá) °
2 Phương trình hoành độ giao điểm của (E) và (P):
SInX+ cosXx
Ra g 9) =1 3x ` + 4x? - 64 = 0 *
Tach x + Y eroyeed? 16 — x’
Hình phẳng cần tính diện tích là hình phẳng giới hạn bởi các đường: y= M3 ex ys ox x=-2,x=2
Do Oy là trục đối xứng của (E) và (P), nên diện tích của hình phẳng là:
Trang 4>
S =2 | Sie - là J4
ñ
(P)
= v3 jMa- dx 5px?
2 x? 2
j 3 |, 3
e Tinh |V16- x’ dx
ù
Dat x = 4sint, t € - >! | = dx = 4costdt
Khi x = 0 thì t= 0, khi x= 2 thì t= 2
fvié _x? dx = Misa - sin?t) ,ácost.dt = 16 feos’ t.dt =8 fa + cos3t) (
VV 42? 41? = V6, AC = vi-6) +3? +(-3" =3 V6
theo tỉ số k = -3
x _ 5 +3.2 x _1
yrs 0 a3 yoy PG
-6+8(-2) — |sạ =-3
1+3
Vậy: Độ dài phân giác trong kẻ từ A là AD = ata +0 = svi
2 Đường thẳng BC có vectơ chỉ phương ũ = CB = (7; -1; 4)
41
Trang 5Câu 5 |
1 Bat dang thc
x=2+7t
Phương trình của đường thẳng BC: ly =1-—t
z=-2+4t
Gọi (ơ) là mặt phẳng qua A va vuông góc với BC, thì phương trình của (ad) là:
74x — 1)— l.(y + 1) + 4(2 + 3) = Ö © 7x_— ÿy + 4z+ 4= 0
Gọi I là hình chiến vuông góc của A trên đường thẳng BC tọa độ của
điểm Ï ứng với t nghiệm đúng phương trình:
72 + 7E) — (L— t} + 4(~9 + 4t)4 4-00 66t+9-00t —
22 Suy ra IS 25, =)
22° 22° 11
Gọi (P) là mặt phẳng đi qua BC, thì (P) / BC hoặc (P) 5 BC Gọi H là hình chiếu vuông góc của AÀ trên (P), Ta luôn có AH < AI và IH L AH
Trong mặt phẳng (a), AH < IA > maxAH = AI, khi H = 1 Lac’
Do vậy, mặt phẳng thỏa măn dé bai là mặt phẳng P,) vuông g góc với AI
tai I,
Vectơ pháp tuyến của (Pạ) là n = a cùng phương với
v =(1,47, 122:
=0<>x+47y ~ 122z - 293 = 0
2(x - 1)
x+1 `
Tacs f(x)2i- 4
x (x+1) x(x + 1)
Hàm số f(x) đồng biến trên {1; +œ), do đó:
2(x — 1)
x+1
Xét hàm số f(x) = Inx — c L1; +)
> 0, x € [1; +a)
x > 1 => flx) > f{€1) © Inx - > 0
2(x — 1)
x+1
Vậy Inx > với mỌi x > 1
2 a) Từ giả thiết ta chứng mình được SA L (ABCP), cũng từ giả thiết ta suy
ra, nửa lục giác đều ABCD nội tiếp trong đường tròn đường kính AD, do
đó ABD = 90° hay BD L AD, từ đó suy ra BD | SB
Trang 6Do vậy góc giữa (SBD) và đáy làgóc SBA = 45°
Tam giác SAB vuông cân tai A nén SA = AB = a
Ta có ACD = 90° hay CD 1 AC Suy ra CD 1 SC
Suy ra góc giữa (SCD) và đáy là SCA S
Từ tam giác ACTD vuông tại ©:
AC = VJAD? -CD?
= \J(2a)-a? = a3
Từ tam giác SÀC vuông tại Á:
tan SGA - SA 2 _„ 3
AC av3 3
= SCA = 30°
Vậy góc giữa (SCD) và đáy 1a 30°
Mat khac Vs BCD = Ve SBD = 1 Ssap d(C, (SBD)) (*)
a’ J/3
12
Từ (*) cho
Vậy y 4G/ennf?
Vg ee Vs amn + Vs anp-
® VsAMN = SB sẽ -V§ABRC = — = 4 Vs.asc
Mà Ve ane = = SancSA = ; = AB.BC.sin120°.2 = 8
=> Vs.amn = ax
© Vs.anp = SG -Vsácp = a cp.SÁ = 6 2: A8 a-a = avs
Vay Vs amnp = avs + avs = ==
43