PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH 7,0 điểm.. Khảo sự biến thiên và vẽ đồ thị C của hàm số.. Trên mp P cho đường tròn T đường kính AB bằng 2R.. Mặt phẳng Q đi qua A và vuông góc với SB c
Trang 1SỞ GD & ĐT THANH HOÁ ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN I NĂM HỌC 2012- 2013 TRƯỜNG THPT CHUYÊN NÔNG CỐNG 2 Môn: Toán
www.SơnPro.com Thời gian làm bài: 180 phút không kể thời gian giao đề Ngày thi: 08/ 12/ 2012.
I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7,0 điểm).
Câu I (2,0 điểm) Cho hàm số 2 1
1
x y x
+
=
− (C)
1 Khảo sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2 Tìm các giá trị của mđể hệ phương trình sau có đúng 4 nghiệm nguyên:
− − − =
Câu II (2,0 điểm).
1 Giải phương trình: 2 cos3 cos + 3(1 sin 2 ) = 2 3 cos (22 )
4
2 Giải phương trình: + = 2x − 5x − 1
Câu III (1,0 điểm) Tìm các giá trị của tham số mđể bất phương trình: x(2− +x) m x( 2−2x+ + ≤2 1) 0nghiệm đúng với mọi x thuộc đoạn 0; 1+ 3.
Câu IV (1,0 điểm) Trên mp (P) cho đường tròn (T) đường kính AB bằng 2R S là một điểm nằm trên đường thẳng
vuông góc với (P) tại A Đặt SA = h Mặt phẳng (Q) đi qua A và vuông góc với SB cắt SB tại K C là một điểm nằm trên đường tròn (T) sao cho · , (0 )
2
BAC=α < <α π
SC cắt mp (Q) tại H Tính thể tích tứ diện SAHK theo
h, R và α .
Câu V (1,0 điểm) Cho các số dương x y z, , thoả mãn x y z+ + =3 T?m giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P
II PHẦN RIÊNG (3,0 điểm): Thí sinh chỉ được chọn một trong hai phần( Phần A hoặc Phần B)
A.Theo chương tr?nh chuẩn.
Câu VIa (2,0 điểm).
1 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có phương trình đường cao AH và trung tuyến AM lần lượt là:x−2y− =13 0 và 13x−6y− =9 0 Biết tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là I(-5; 1) Tìm toạ độ các đỉnh A, B, C.
2 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho đường tròn (C): (x−4)2 +y2 =25 và M(1; - 1) Viết phương trình đường thẳng d đi qua M cắt (C) tại hai điểm A, B sao cho MA = 3MB.
Câu VIIa (1,0 điểm) Cho A = {0; 1; 2; 3; 4; 5}, từ các chữ số thuộc tập A lập được bao nhiêu số tự nhiên
có 5 chữ số và số đó chia hết cho 3
B.Theo chương trình nâng cao.
Câu VIb (2,0 điểm).
1 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có M là trung điểm của BC, đỉnh A thuộc đường thẳng d: x y+ + =2 0, phương trình đường thẳng DM: x−3y− =6 0và đỉnh C(3; - 3) Tìm toạ độ các đỉnh A, B, D biết D có hoành độ âm.
Trang 22 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho Elip (E) có phương trình chính tắc là:
2 2
1
+ = và hai điểm A(4;-3), B(-4; 3) Tìm toạ độ điểm C thuộc (E) sao cho diện tích tam giác ABC đạt giá trị lớn nhất.
Câu VIIb (1,0 điểm) Tính tổng S C C= 20 120 11+C C20 121 10+ + C C20 1210 1 +C C1120 120 .
……….Hết…………
( Đề thi gồm có 01 trang)
SỞ GD & ĐT THANH HOÁ ĐÁP ÁN ĐỀ THI ĐẠI HỌC LẦN I NĂM HỌC 2012- 2013 TRƯỜNG THPT CHUYÊN NÔNG CỐNG 2 Môn: Toán
Thời gian làm bài: 180 phút không kể thời gian giao đề Ngày thi: 08/ 12/ 2012.
Tập xác định D = R\{1}
Sự biến thiên:
3
( 1)
x
−
= < ∀ ∈
Hàm số nghịch biến trên các khoảng (- ∞; 1) và ( 1 ; + ∞)
- Cực trị: Hàm số không có cực trị
0.25
- Giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực và tiệm cận:
Đường thẳng y = 2 là tiệm cận ngang
Đường thẳng x = 1 là tiệm cận đứng
0,25
-Bảng biến thiên:
y’
-y
2 +∞
- ∞ 2
0,25
Đồ thị:
- Đồ thị hàm số có tâm đối xứng là giao điểm hai tiệm cận I( 1; 2)
0,25 y
Trang 32 T?m các giá trị của m để hệ phương trình sau có đúng 4 nghiệm nguyên
2 2 2
− − − =
1,0
Nhận thấy x = 1 không thỏa mãn phương trình (1) dù y lấy bất kì giá trị nào
1
x
x
+
− Phương trình (2)⇔ −(x 1)2+ −(y 2)2 =m2 là phương trình đường tròn (T) có tâm I(1;2)
bán kính m với mọi m khác 0
Vậy hệ phương trình đã cho có đúng 4 nghiệm nguyên khi và chỉ khi đồ thị (C) ở câu 1
và đường tròn (T) cắt nhau tại 4 điểm phân biệt có tọa độ nguyên
0,25
4 2
-2 -4 -6 -8 -10 -12
-1
5
4 1
3
-2
I y
x o
D
C
B A
Đồ thị (C) chỉ đi qua đúng 4 điểm có tọa độ nguyên là A(1;5), B(4; 3), C(0,-1)và
D(-2; 1)
Từng cặp AvaC, B và D đối xứng nhau qua I(1;2)
0,5
Hệ đã cho có đúng 4 nghiệm nguyên khi và chỉ khi đường tròn (T) phải đi qua 4 điểm
A, B, C, D khi và chỉ khi (T) đi qua A khi và chỉ khi R2 =m2 =10⇔ m = 10
0,25
2
x I
Trang 4II 1
Giải phương trình: 2cos 3 cos + 3(1 s in 2 ) = 2 3 cos (22 )
4
2 2cos3 cos + 3(1 sin 2 ) = 2 3 cos (2 )
4
2
2cos3 cos 3(sin 4 sin 2 ) 0
2cos3 cos 2 3 sin 3 cos 0 2cos (cos3 3 sin 3 ) 0
x
π π
=
⇔
3
k Z
π π
=
x= +π kπ x= −π +kπ k Z∈
0,5
0,5
2 (1)⇔ x− − +2 1 4− − =x 1 2x −5x−3
3 0
2 1 (2)
x
x
− =
*x− = ⇔ =3 0 x 3
*Xét phương trình (2)
ĐK 2≤ ≤x 4
VP 5≥
VT đạt giá trị lớn nhất trên đoạn [2;4] bằng 1 1
2 1
− + khi x = 2 nên phương trình (2)
vô nghiệm
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 3
0,25 0,25 III Tìm các giá trị của tham số m để bất phương trình: 2
x − +x m x − x+ + ≤ 1.0 Đặt t= x2−2x+2 Lập BBT của hàm 2
y x= − x+ với x thuôc 0;1 + 3ta có t thuộc đoạn [ ]1; 2
0,25
Bpt trở thành
2
1
t
t
− + ≤ − ⇔ ≤
+ (do t+1>0) Bpt đã cho nghiệm đúng với mọi x thuôc 0;1 + 3 khi và chỉ Bpt (1) nghiệm đúng 0,25
Trang 5với moi t thuộc đoạn [ ]1;2
Xét ( ) 2 2 , [ ]1; 2
1
t
t
−
+
1
( 1)
t
= + > ∀
+
t 1 2
f’(t) +
f(t)
23 1
2
−
0,25
Từ BBT ta có Bpt (1) nghiệm đúng với moi t thuộc đoạn [ ]1; 2 khi 1
2
m≤− Vậy với 1
2
m≤−
IV Trên mp (P) cho đường tròn (T) đường kính AB bằng 2R S là một điểm nằm trên
đường thẳng vuông góc với (P) tại A Đặt SA = h Mặt phẳng (Q) đi qua A và vuông góc với SB cắt SB tại K C là một điểm nằm trên đường tròn (T) sao cho
2
BAC =α < <α π
SC cắt mp (Q) tại H Tính thể tích tứ diện SAHK theo h, R và
α
1.0
O α
H
K
C
B S
A
Trang 6Chứng minh AH⊥SC.
Ta có:
Lại có:mp Q( )⊥SB⇒SB⊥ AH (2)
Từ (1) và (2) suy ra AH ⊥(SBC)⇒AH ⊥SC
Suy ra SA2 =SH SC =SK SB
4
SAHK
SABC
V = SA SC SB = SC SB = SC SB = SC SB
0,25
0,25
2 2
2 2 2 2
2 2 2
4
SABC
R h
α
α α α
= +
2 5
sin 2
SAHK
R h V
α
α
=
V
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P
1,0
P x y z
0,25
Ta có
2
2
2
2 2
;
z y
z y
+
0,25
Mặt khác
0,25
Trang 74
x y z xy yz xz
P x y z
+ + + + +
⇒ ≥ + + −
2 2 2 2
Dấu = xảy ra khi
2; 2; 2
1 1; 1; 1
1 1 3
x
y
z
x y z
= = =
+ + =
Vậy GTNN của P là 3/2 khi x = y = z =1
0,25
Toạ độ điểm A là nghiệm của hệ
( 3; 8)
A
− − = = −
0,25
Ta có IM đi qua I(-5; 1) và song song với AH Phương trình IM là x−2y+ =7 0
M
Đường thẳng BC qua M và vuông góc với AH Phương trình BC là 2x y+ − =11 0
Gọi B(b;11-2b) Ta có IB = IA
4
b
b
=
0,25
Với b = 2 suy ra B(2;7), C(4;3)
Với b = 4 suy ra B(4;3), C(2,7)
Vậy A( -3; -8), B(2;7), C(4;3) hoặc A( -3; -8), B(4;3), C(2;7)
0,25
A
I
Trang 8Đường tròn (C ) có tâm I(4;0), bán kính R=5
Do IM <5 nên M nằm trong đường tròn (C)
Gọi H là hình chiếu của I trên AB, H là trung điểm của AB
Do MA= 3MB nên M là trung điểm của HB
Xét hai tam giác vuông IHM và IHB ta có
0,5
Đường thẳng (d) đi qua M(1; - 1) có phương trình
a x− +b y+ = a + ≠b
2 2
2 3
2
a b
a b
=
Với b=2a chon a=1;b=2 Phương trình (d): x + 2y +1 = 0
Với a= −2b chon b= −1;a=2 Phương trình (d): 2x - y -3 = 0
Vậy phương trình đường thẳng (d) là x + 2y +1 = 0 hoặc 2x - y -3 = 0
0,5
Gọi số có 5 chữ số là abcde a( ≠0) Do abcdeM nên (3 a b c d e+ + + + ) 3M
Nếu a b c d+ + + M th? e = 0 hoặc e = 33
Nếu a b c d+ + + chia 3 dư 1 thì e = 2 hoặc e = 5
Nếu a b c d+ + + chia 3 dư 2 thì e = 1 hoặc e = 4
Như vậy từ một số có 4 chữ sô abcd (các chữ số được lấy từ tập A) sẽ tạo được 2 số tự
nhiên có 5 chữ số thoả mãn yêu cầu bài toán
Từ các chữ số của tập A lập được: 5.6.6.6 = 1080 số tự nhiên có 4 chữ số
Nên từ các chữ số của tập A lập được: 2.1080 = 2160 sô chia hết cho 3 có 5 chữ số
VII
b
Do A thuộc d: x y+ + =2 0, gọi A( ;a a− −2) Ta có
I
A
M B
I
Trang 93
a a
a
=
Với a= ⇒3 A(3; 5)− , trường hợp này không thoả mãn v? A, C nằm cùng phía với đường thẳng DM
Với a= − ⇒ −3 A( 3;1) Gọi I là tâm của hình chữ nhật, I là trung điểm của AC suy ra I(0;-1)
0,5
Điểm D thuộc DM: x−3y− =6 0, gọi D(3d+6;d) (d < -2)
3
5
d
d
= −
= −
Suy ra D(-3;-3), B(3;1)
Vậy A(-3;1), D(-3;-3), B(3;1)
0,5
Gọi C x y ta có ( ; )o 0 2 02 2 2
o
Phương trình AB là: 3x +4y = 0
0,25
0 0
Do AB không đổi nên diện tích tam giác ABC lớn nhất khi d(C,AB) lớn nhất 0,25
Áp dụng BĐT Bunhiacopxki cho hai bộ số ta có
0 0
12 2
5
o
(Dấu = xảy ra khi 3x0 =4y0)
Vậy diện tích tam giác ABC lớn nhất khi và chỉ khi 3x0 =4y0
0,25
Kết hợp với (1) ta có
0 0
3
2 2;
3
2
Vậy toạ độ điểm C là (2 2;3 2)
2 hoặc
3 2
2
0,25
VII
0 11 1 10 10 1 11 0
20 12 20 12 20 12 20 12
(1+x) = +(1 x) (x+1) (1)
32 0 1 2 2 32 32
32 32 32 32
Hệ số của x11trong khai triển vế trái là 11
32
C (2)
0 1 2 2 20 20 0 1 2 2 12 12
Hệ số của x11trong khai triển vế phải là C C20 120 11+C C120 1210+ + C C1020 121 +C C1120 120 (3)
Từ (1),(2),(3) ta có S C C= 20 120 11+C C20 121 10+ + C C2010 121 +C C1120 120 =C3211
0,25 0,25
0,25 0,25
Trang 10Chú ?: Đối với ? 2 câu 1 thí sinh có thể giải không sử dụng đồ thị mà viết phương trình (1) tương đương
x
y
+
− − (sau khi nhận xét x = 1 không thỏa mãn phương trình với mọi y)
Nhận xét y nguyên khi x nguyên thì 3
1
x− phải nguyên
Suy ra x – 1 phải là ước của 3 hay x∈ −{ 2;0;2; 4} thay vào tìm y tương ứng
Thay 4 cặp (x; y) nguyên vào phương trình (2) tìm được m2= 10
